2. Notasi :
 f (x) dx  F (x)  C
f ( x)  x 2
1
F ( x)  x 3
3
F ( x) 
1 3
x C
3
Sifat-sifat integral tak tentu
x r 1
1.  x r dx 
C
r 1
, r  -1
2.  sin x dx  cos x  C
3.  cos x dx  sin x  C
4.  sec 2 x dx  tan x  C
5.  csc 2 x dx   cot x  C
2

3. 6. Sifat Kelinieran
  a f ( x)  bg ( x) dx  a  f ( x) dx  b  g ( x) dx
7. Integral dengan substitusi
Misal u = g(x) , du
maka
 g ' ( x) dx
 f ( g ( x)) g ' ( x) dx   f (u ) du  F (u )  c  F ( g ( x))  c
Contoh : Hitung
 sin  2x  1 dx
Misal u = 2x + 1 
Sehingga
du  2 dx
 sin 2 x  1dx 

dx  1 du
2
1
 sin u du
2
1
1
  cos u  C   cos 2 x  1  C
2
2
3

4. Notasi Sigma (  )
Notasi sigma ( jumlah ) :
n
a
i 1
i
n
 a1  a2  ...  an dan  k  k  k ... k  nk
 
 
i 1
Sifat dan rumus sigma
n
n
n
i 1
i 1
n suku
i 1
1.  k ai lbi   k  ai l bi
n
2.
i 
i 1
n
3.  i 2 
i 1
n( n  1)
2
n(n  1)( 2n  1)
6
 n( n  1) 
4.  i  
 2 

i 1
n
3
2
Contoh :
Nyatakan dalam notasi sigma, jumlah
10 buah bilangan ganjil yang pertama.
Jawab:
A = 1+3+5++7+9+11+13+15+17+19
10
  ( 2i  1)
i 1
4

5. Integral Tentu
Integral tentu dikonstruksi dengan jumlah Rieman yang
menggambarkan luas daerah. Misal fungsi f(x) terdefinisi pada
selang tutup [ a,b ].
Langkah :
1.
a
a  x0  x1  ...  xn  b
ck
x1
Partisi selang [a,b] menjadi n selang
dengan titik pembagian
x k 1 x k
x k
b
P  { a  x0 , x1 , x2 ,..., b  xn }
disebut partisi dari [a,b].
2. Definisikan panjang partisi P, sebagai
|| P || Maks | x k |, x k  x k  x k 1
1 k  n
3. Pilih
ck  [ xk 1 , xk ] k = 1, 2, ..., n
5

6. 4. Bentuk jumlah Riemann
f (c k )
a
x2
x kc1k x k

b
n
 f ( c ) x
k 1
k
k
x k
Jika || P ||  0 , maka diperoleh limit jumlah Riemann
n
lim
|| P || 0
 f (ck ) xk
k 1
Jika limit ini ada, maka dikatakan f terintegralkan
Riemann pada selang [a,b], dan ditulis sbg
b
n
n
 f (ck ) xk  lim  f (ck )xk
 f ( x) dx  lim
n k 1
|P||0 k 1
a
6

7. Sifat integral tentu
1. Sifat linear
b
b
b
a
a
a
  p f ( x)  q g( x) dx  p f ( x) dx  q  g( x) dx
2. Jika a < b < c, maka
c
b
c
a
a
b
 f (x ) dx   f (x ) dx   f (x ) dx
3.
a
 f ( x ) dx  0
dan
a
4. Bila f(x) ganjil , maka
b
a
a
b
 f  x dx    f ( x ) dx
a
 f ( x)dx  0
a
5. Bila f(x) genap, maka
a
a
a
0
 f ( x ) dx  2  f ( x ) dx
7

8. TDK I
Misal f(x) kontinu pada [ a,b ] dan F(x) suatu anti turunan dari f(x).
Maka
b
 f (x ) dx  F (b)  F (a )
a

Contoh Selesaikan integral tentu  sin  2 x dx

Jawab : Misal u = 2x 
Maka

Sehingga
2
du = 2 dx.
 sin 2 x dx  
1
cos 2 x
2
1
 sin 2 xdx   2 cos2 x

2

 /2
1
cos2  cos   1

2
8

9. Contoh hitung
5
 | x  2 | dx
1
Jawab :
 x  2, x  2
f ( x ) | x  2 | 
 ( x  2 ) , x  2
5
2
5
 | x  2 | dx    x  2dx   x  2dx 
1
1
2
1
2
2
x  2x  x  2x
2
1
1
2
2
5
2
= ( (-2 + 4) – (-1/2+ 2 ) ) + ( (25/2 - 10 ) – ( 2 – 4 ) )
= ½+9/2 = 5
9

10. 
Jika fungsi f kontinu pada [a,b], dan x sebuah (variabel) titik dalam
[a,b], maka
x


  f (t ) dt   f ( x)
Dx 

a

Secara umum
 u( x)

Dx   f (t )dt   f (u ( x))u ' ( x)


 a

 v( x)

 f (t )dt   f (v( x))v ' ( x)  f (u ( x))u ' ( x)
Dx 


 u ( x)

dan
Contoh Tentukan nilai rata-rata fungsi f ( x)  x 2 x 2  1 pada selang [0,2]
2
Jawab : Misal u  2 x  1  du = 4x dx.
u  2(0) 2  1  1
Bila x=0 
2
x=2  u  2(2)  1  9
Sehingga rata-rata :
9
9
1
1
27 1 26
9
 x 2 x  1dx  4  u du  4 u u |1  4  4  4
1
1
2
10

11. Menghitung Luas Daerah
1. Misalkan daerah y  f ( x)  0, x  a, x  b dan sumbu X
Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi
panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh:
b
f(x)
D
x
Luas D =
 f ( x)dx
a
2. Misalkan daerah y  f ( x)  0, x  a, x  b dan sumbu X
x
b
Luas D =
  f ( x)dx
a

12. 3. Misalkan grafik dungsi dinyatakan dalam peubah y,
yakni x  v( y )  0 dan sumbu Y
b
Luas D =
 v( y)dx
a
4. Misalkan grafik dungsi dinyatakan dalam peubah y,
yakni x  v( y )  0 dan sumbu Y
b
Luas D =
  v( y)dx
a
12

13. Contoh :
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh f ( x)  x  x  6 x dan sumbu X,
Pada selang [-2,0] untuk f ( x )  0 dan pada selang [0,3] untuk f ( x )  0
3
2
Jawab :
0
3
2
0
L   f ( x)dx   f ( x)dx
0
3
  ( x  x  6 x)dx   ( x 3  x 2  6 x)dx
3
2
2
0
4
 x 4 x3

x3
2 0   x
    3x |2      3x 2 |3 
0
 4 3
  4 3

 


16 63 253


3 4
12
13

14. 5. Misalkan suatu daerah dibatasi oleh 2 buah grafik fungsi,
a. Dibatasi oleh grafik y=f(x), y=g(x), x=a dan x=b
f ( x)  g ( x) untuk x  [a, b]
b
Luas D=
 (h( x)  g ( x))dx
a
b. Dibatasi oleh grafik x=w(y), x=v(y), y=c dan y=d
w( y )  v( y ) untuk y  [c, d ]
d
Luas D=
 (h( y)  g ( y)) dy
c
14

15. Contoh :
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh
y  x4
dan
y  x2  2
Jawab :
 x  4  x
3
L
2
2

 2 dx 
125
6
15

16. Volume Benda Putar
Metoda Cakram
a. Daerah y  f ( x ), y  0, x  a
dan x=b diputar terhadap sumbu x
Jika irisan berbentuk persegi panjang
dengan tinggi f(x) dan alas diputar
terhadap sumbu x akan diperoleh
suatu cakram lingkaran dengan tebal
dan jari-jari f(x).
Daerah D
sehingga
V   f 2 ( x) x
b
V     f ( x)  dx
2
Benda putar
a
16

17. b. Daerah
x  w( y ), x  0, y  c
dan y=d diputar terhadap sumbu x
Jika irisan berbentuk persegi panjang
dengan tinggi g(y) dan alas
diputar
terhadap sumbu y akan diperoleh suatu
cakram lingkaran dengan tebal
dan
Jari-jari g(y).
Daerah D
sehingga
V   w2 ( y) y
d
d
V    w( y ) dy
c
2
c
Benda putar
17

18. Contoh:
Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi oleh
y  x 2 , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu x
Jika irisan diputar terhadap sumbu x
akan diperoleh cakram dengan jari-jari
x 2 dan tebal x
y  x2
x
x
2
2
Sehingga
V   ( x 2 ) 2 x   x 4 x
Volume benda putar
2

32
V    x dx  x |  
5
5
0
4
5 2
0
18

19. Metoda Kulit Tabung
Diketahui
y  f ( x), y  0, x  a
dan
x b
Jika D diputar terhadap sumbu y diperoleh benda putar
Jika irisan berbentuk persegi panjang
dengan tinggi f(x) dan alas x serta berjarak
x dari sumbu y diputar terhadap sumbu y
akan diperoleh suatu kulit tabung dengan
tinggi f(x), jari-jari x, dan tebal x
f(x)
D
b
a
Daerah D
sehingga
V  2 x f ( x) x
b
Benda putar
V  2  xf ( x)dx
a

20. Contoh:
Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi oleh
y  x 2 , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu y
Jika irisan dengan tinggi x 2 ,tebal x
dan berjarak x dari sumbu y diputar terhadap
sumbu y akan diperoleh kulit tabung
dengan tinggi x 2 , tebal x dan jari-jari x
y  x2
x
D
x
x
2
2
Sehingga
V  2 x x 2 x  2 x 3 x
Volume benda putar
2
V  2  x dx 
3
0

2
2
x 4 |0  8
20

21. Persamaan parameter kurva dibidang x = f(t), y = g(t)
,a  t  b
Definisi :
Suatu kurva dalam bentuk parameter seperti diatas disebut mulus jika
(i)
f'
dan
g'
Ada dan kontinu pada selang[a,b]
(ii)
f'
dan
g'
tidak secara bersamaan bernilai nol pada selang(a,b)
a. Jika persamaan kurva y=f(x), a  x  b
b
b
L   [ f ' (t )]  [ g ' (t )] dt  
2
2
a
a
2


2
dx
dx
dy
 dy 
[ ]2  [ ]2 dt   ( ) 2 (1    )dt   1  f ' ( x) dx
dt
dt
dt
 dx 
a
a
b
b
b. Jika persamaan kurva x=g(y), c  y  d
d
L   [ f ' (t )]  [ g ' (t )] dt 
2
c
d

c
2
d

c
[
dx 2 dy 2
]  [ ] dt
dt
dt
2
d
dy 2   dx  
1    dt  1  f ' ( x)
( )

dt   dy  
  
c



2
dy
21

22. c. Jika persamaan kurva x=f(t), y=g(t) dan a  t  b
b
L   [ f ' (t )]2  [ g ' (t )]2 dt
a
Contoh :
y  2x 3 / 2
antara x =1/3 dan x=7
Jawab :
u  1  9x
du  9dx
dy
 3x 1 / 2
dx
7
L


1  3x
 dx  
1/ 2 2
1/ 3
(1  9 x)

1.5
1
9
7
1/ 3
1.5
7
1  9 x dx  1  u1/ 2 du
9
1/ 3
7
1
|1/ 3  13.5 (512  8)  37 1
3
22