2. 2
4.1 Konsep Turunan
c
x
c
f
x
f
mPQ
)
(
)
(
4.1.1 Turunan di satu titik
Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema )
a. Garis Singgung
Kemiringan tali busur PQ adalah :
c
f(c) P
x
f(x)
Q
x-c
f(x)-f(c)
Jika x c , maka tali busur PQ akan
berubah menjadi garis singgung di ttk P
dgn kemiringan
c
x
f(c)
f(x)
m
c
x
lim
3. 3
b. Kecepatan Sesaat
Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga
posisinya setiap saat diberikan oleh s = f(t). Pada saat t = c benda
berada di f(c) dan saat t = c + h benda berada di f(c+h).
Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h] adalah
c
c+h
Perubahan waktu Perubahan
posisi
s
f(c)
f(c+h)
h
c
f
h
c
f
v rata
rata
)
(
)
(
4. 4
Jika h 0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c :
Misal x = c + h, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk
Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan kecepatan
sesaat terlihat bahwa dua masalah tersebut berada dalam satu tema,
yaitu turunan
Definisi 4.1 : Turunan pertama fungsi f di titik x = c, notasi didefinisikan
sebagai berikut:
bila limit diatas ada
h
c
f
h
c
f
v
v
h
rata
rata
h
)
(
)
(
lim
lim
0
0
c
x
f(c)
f(x)
v
c
x
lim
)
(
' c
f
c
x
f(c)
f(x)
c
f
c
x
lim
)
(
'
5. 5
Notasi lain :
Contoh : Diketahui tentukan
)
(
'
,
)
(
c
y
dx
c
df
x
)
x
(
f
1
3
3
3
3 x
)
f(
f(x)
lim
)
f'(
x 3
3
1
1
lim
3
x
x
x
)
x(x
x
x 3
3
3
lim
3
9
1
3
1
lim
3
x
x
)
3
(
'
f
)
x(x
x
x 3
3
)
3
(
lim
3
6. 6
4.1.2 Turunan Sepihak
Turunan kiri dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :
Turunan kanan dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :
bila limit ini ada.
Fungsi f dikatakan mempunyai turunan(diferensiabel) di c atau
ada, jika
sebaliknya f dikatakan tidak mempunyai turunan di c.
)
c
(
f
)
c
(
f '
'
c
x
c
f
x
f
c
f
c
x
)
(
)
(
lim
)
(
'
c
x
f(c)
f(x)
(c)
f
c
x
'
lim
)
(
' c
f
)
c
(
f
)
c
(
f
)
c
(
'
f '
'
_
dan
7. 7
Contoh : Diketahui
1
,
2
1
1
,
3
)
(
2
x
x
x
x
x
x
f
Selidiki apakah f(x) diferensiabel di x=1
Jika ya, tentukan
Jawab :
a.
b.
Jadi, f diferensiabel di x=1. .
1
)
1
(
dan '
f
)
1
(
'
f
1
1
1
1
x
)
(
f
)
x
(
f
lim
)
(
f
x
'
1
1
2
1
3
2
1
x
)
(
x
x
lim
x
1
2
1
x
x
x
lim
x
1
1
1
1
x
)
x
(
x
lim
x
1
1
1
1
x
)
(
f
)
x
(
f
lim
)
(
f
x
'
1
1
2
1
2
1
1
x
)
(
x
lim
x
1
2
2
1
x
x
lim
x
1
1
1
1
2
1
)
x
)(
x
(
x
lim
x
8. 8
Teorema 4.1 Jika f diferensiabel di c f kontinu di c.
Bukti : Yang perlu ditunjukkan adalah
Perhatikan bahwa
Maka
Sifat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya, Jika f kontinu di c,
maka belum tentu f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh
contoh berikut.
)
(
)
(
lim c
f
x
f
c
x
c
x
c
x
c
x
c
f
x
f
c
f
x
f
,
)
.(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
)
(
lim c
x
c
x
c
f
x
f
c
f
x
f
c
x
c
x
)
(
lim
.
)
(
)
(
lim
)
(
lim c
x
c
x
c
f
x
f
c
f
c
x
c
x
c
x
0
).
(
'
)
( c
f
c
f
= f(c). Terbukti.
9. 9
Contoh Tunjukkan bahwa f ( x ) = | x | kontinu di x = 0
tetapi tidak diferensiabel di x = 0
Jawab
Akan ditunjukkan bahwa f(x)=|x| kontinu di x=0
0
,
0
,
|
|
)
(
x
x
x
x
x
x
f
)
x
(
f
lim
x
0
0
0
)
x
(
lim
x
)
x
(
f
lim
x
0
0
0
x
lim
x
0
)
(
lim
0
x
f
x
)
0
(
)
(
lim
0
f
x
f
x
f(0) = 0
f kontinu di x=0
11. 11
Contoh: Tentukan konstanta a dan b agar fungsi f(x) berikut
diferensiabel di x=1 ;
1
,
1
,
)
(
2
x
ax
x
b
x
x
f
).
(
lim
)
(
lim
)
1
(
1
1
x
f
x
f
f
x
x
Jawab : Agar f(x) terdiferensialkan di x = 1, haruslah
a. f kontinu di x = 1 (syarat perlu)
b. Turunan kiri = turunan kanan di x = 1 (syarat cukup)
f kontinu di x = 1 jika f kontinu kiri dan kontinu kanan di x = 1 atau
1
1
lim
lim
1
2
1
a
b
a
b
a
ax
b
x
a
x
x
12. 12
1
)
1
(
)
(
lim
)
1
(
1
'
x
f
x
f
f
x
2
)
1
(
)
1
( '
'
a
f
f
Maka diperoleh : a = 2 dan b = 1.
1
2
1
x
a
b
x
lim
x
1
1
2
1
x
a
)
a
(
x
lim
x 1
1
2
1
x
x
lim
x
1
1
1
1
x
)
x
)(
x
(
lim
x
2
1
1
x
lim
x
1
)
1
(
)
(
lim
)
1
(
1
'
x
f
x
f
f
x 1
1
x
a
ax
lim
x
a
x
x
lim
a
x
1
1
1
13. 13
Soal Latihan
f x
a x x
x bx x
( )
;
;
3 0 1
1
2
f x
ax b x
x x
( )
;
;
2
2 1 2
2
f x
x x
ax b x
( )
;
;
2 1 3
2 3
Tentukan nilai a dan b agar fungsi berikut diferensiabel
di titik yang diberikan.
, x = 1
,x = 2
,x = 3
1.
2.
3.
14. 14
4.2 Aturan Pencarian Turunan
Fungsi Turunan Pertama
Definisi 4.2 Misalkan f (x) terdefinisi pada selang I. Fungsi turunan
pertama dari f, ditulis , didefinisikan sebagai
atau jika h=t-x
bila limitnya ada.
Notasi lain , bentuk dikenal
sebagai notasi Leibniz.
x
x
t
x
f
t
f
x
f
x
t
,
)
(
)
(
lim
)
(
'
x
h
x
f
h
x
f
x
f
h
,
)
(
)
(
lim
)
(
'
0
)
(
,
,
)
(
,
,
' x
f
D
y
D
dx
x
df
dx
dy
y x
x
dx
dy
)
(
' x
f
15. 15
Dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan aturan
untuk mencari turunan sebagai berikut :
1. Jika f (x)=k, maka
2.
3.
4.
5. dengan g(x) 0.
R
r
x
r
dx
x
d r
r
;
1
(x)
g
(x)
f
dx
g(x)
f(x)
d '
'
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( '
'
x
g
x
f
x
g
x
f
dx
x
g
x
f
d
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
'
'
)
(
)
(
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
dx
d x
g
x
f
0
)
(
'
x
f
16. 16
Bukti aturan ke-4
Misal h(x) = f(x)g(x)
h
x
h
h
x
h
x
h
h
)
(
)
(
lim
)
(
'
0
h
x
g
x
f
h
x
g
h
x
f
h
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
0
h
x
g
x
f
x
g
h
x
f
x
g
h
x
f
h
x
g
h
x
f
h
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
0
h
x
f
h
x
f
h
x
g
h
x
g
h
x
g
h
x
f
h
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
0
h
x
f
h
x
f
h
x
g
h
x
g
h
x
g
h
x
f
h
h
h
h
)
(
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
)
(
lim
0
0
0
0
)
(
'
)
(
)
(
'
)
( x
f
x
g
x
g
x
f
)
(
'
)
(
)
(
)
(
' x
g
x
f
x
g
x
f
18. 18
4.3 Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus
Bukti:
a. Misal f(x) = sin x maka
x
x
f
x
x
f
a cos
)
(
'
sin
)
(
.
x
x
f
x
x
f
b sin
)
(
'
cos
)
(
.
x
t
x
t
x
f
x
t
sin
sin
lim
)
(
'
)
2
(
)
2
sin(
lim
).
2
cos(
lim
0
2
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
2
sin
2
cos
2
lim
.
cos
1
.
cos x
x
19. 19
b. Misal f(x) = cos x maka
h
x
h
x
x
f
h
cos
)
cos(
lim
)
(
'
0
h
x
x
x
h
cos
sinh
sin
cosh
cos
lim
0
h
x
x
h
sinh
sin
)
1
(cosh
cos
lim
0
h
x
h
h
x
h
sinh
sin
)
2
sin
(
cos
lim
2
0
)
sinh
sin
4
)
2
/
(
)
2
sin
(
cos
(
lim 2
2
0 h
x
h
h
h
x
h
h
x
h
h
h
x
h
h
sinh
lim
sin
4
2
/
)
2
/
sin(
lim
cos
0
2
0
)
2
/
(
x
x
x sin
sin
0
.
cos
20. 20
Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan
menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnya turunan bentuk u/v
dx
d
dx
x
d
c
x
x
cos
sin
tan
. x
x
x
2
2
2
cos
sin
cos
x
2
cos
1
x
2
sec
dx
d
dx
x
d
d
x
x
sin
cos
cot
.
x
x
x
2
2
2
sin
cos
sin
x
2
sin
1
x
2
csc
dx
d
dx
x
d
e
x
cos
1
sec
.
x
x
2
cos
sin
x
x
x
cos
1
cos
sin
x
x sec
tan
dx
d
dx
x
d
f
x
sin
1
csc
. x
x
2
sin
cos
x
x
x
sin
1
sin
cos
x
xcot
csc
21. 21
4.4 Aturan Rantai
Andaikan y = f(u) dan u = g(x). Jika dan ada , maka
Contoh : Tentukan dari
Jawab :
Misal sehingga bentuk diatas menjadi
Karena
dan
maka
dx
du
du
dy
dx
dy
du
dy
dx
du
dx
dy
)
1
sin( 2
x
y
1
2
x
u
x
dx
du
2
u
y sin
u
du
dy
cos
)
1
cos(
2 2
x
x
x
x
dx
dy
2
)
1
cos( 2
22. 22
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
Jika y = f(u), u = g(v), v = h(x), dan
dx
dv
dv
du
du
dy
,
, Ada, maka
Contoh : Tentukan
dx
dy )
5
( 3
4
x
Sin
y
dari
5
3
x
v
2
3x
dx
dv
Jawab :
Misal
u = Sin v )
5
cos(
cos 3
x
v
dv
du
4
u
y )
5
(
4
4 3
3
3
x
Sin
u
du
dy
sehingga
)
5
(
)
5
(
12
.
. 3
3
3
2
x
Cos
x
Sin
x
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
23. 23
Contoh : Tentukan
jawab :
1
))
(
(
)
(
' 2
2
2
x
x
f
dx
d
jika
x
f
1
2
2
x
))
x
(
f
(
dx
d
x
x
x
f
2
1
)
(
'
2
2
1
2 2
2
x
x
).
x
(
'
f
24. 24
4.5 Turunan Tingkat Tinggi
Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1).
Turunan pertama
Turunan kedua
Turunan ketiga
Turunan ke-n
Contoh : Tentukan dari
Jawab :
f x
df x
dx
'( )
2
2
)
(
"
dx
x
f
d
x
f
3
3
)
(
'
"
dx
x
f
d
x
f
n
n
n
dx
x
f
d
x
f
)
(
)
(
)
( )
1
(
)
(
x
f
dx
d
x
f n
n
x
x
y sin
4 3
x
x
y cos
12
' 2
x
sin
x
'
'
y
maka
24
'
'
y
25. 25
4.6 Turunan Fungsi Implisit
Jika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dalam
bentuk y = f(x) maka y disebut fungsi eksplisit dari x, yaitu
antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam
ruas yang berbeda. Bila tidak demikian maka dikatakan y
fungsi implisit dari x.
Contoh :
Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan
aturan rantai dan anggap y fungsi dari x.
10
.
1 2
2
3
y
x
y
x
1
)
sin(
.
2 2
2
y
x
xy
26. 26
Jawab
)
10
(
)
(
)
(
)
( 2
2
3
x
x
x
x D
y
D
x
D
y
x
D
0
'
2
)
'
2
3
( 3
2
2
y
x
y
y
x
y
x
2
2
3
3
2
'
)
1
2
( y
x
x
y
y
x
1
2
3
2
' 3
2
2
y
x
y
x
x
y
)
10
(
)
(
.
1 2
2
3
x
x D
y
x
y
x
D
0
'
2
2
)
'
(
)
cos(
yy
x
xy
y
xy
)
cos(
2
'
)
2
)
cos(
( xy
y
x
y
y
xy
x
y
xy
x
xy
y
x
y
2
)
cos(
)
cos(
2
'
)
1
(
)
)
sin(
(
.
2 2
2
y
D
x
xy
D x
x
10
.
1 2
2
3
y
x
y
x 1
)
sin(
.
2 2
2
y
x
xy
Tentukan dy/dx dari bentuk implisit berikut
27. 27
4.7 Garis singgung dan garis normal
Persamaan garis singgung fungsi y = f(x) di titik (x0,y0)
dengan kemiringan m adalah
y – y0 = m( x – x0 ).
Garis yang tegak lurus dengan garis singgung disebut
dengan garis normal.
Persamaan garis normal di titik (x0,y0) adalah
).
(
1
0
0 x
x
m
y
y
28. 28
4
2
.
4
2
.
3
)
6
,
2
(
'
4
3
' 2
2
y
x
x
y
2
4
x
y
)
2
(
4
6
x
y
2
1
4
1
6
)
2
(
4
1
6
x
y
x
y
.
2
13
4
1
x
y
Jawab :
Sehingga persamaan garis singgung di titik (2,6) :
Persamaan garis normal dititik (2,6) :
Contoh: Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal
fungsi di (2,6).
6
2 2
3
x
x
y
29. 29
Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva
0
6
2
2
xy
y
x di titik dengan absis( x) = 1
Jawab :
Jika disubstitusikan nilai x = 1 pada persamaan kurva diperoleh
0
6
2
y
y 0
)
2
)(
3
(
y
y
)
0
(
)
6
( 2
2
x
x D
xy
y
x
D
y = 3 dan y = -2
Sehingga diperoleh titik dimana akan ditentukan persamaan garis
singgung dan garis normalnya adalah (1,3) dan (1,-2)
Hitung terlebih dahulu '
y dengan menggunakan turunan fungsi implisit
0
0
)
'
(
'
2
2 2
2
xy
y
yy
x
xy
30. 30
0
'
'
2
2 2
2
xy
y
yy
x
xy
2
2
2
'
)
2
( xy
y
y
x
y
x
x
y
x
xy
y
y
2
2
2
2
'
Di titik (1,3)
3
5
15
1
3
.
1
.
2
9
.
1
.
2
3
|
' )
3
,
1
(
y
Persamaan garis singgung
3
3
)
1
(
3
3
x
x
y
6
3
y
x
Persamaan garis normal
3
5
3
5
)
1
(
3
5
3
x
x
y
8
3
y
x
31. 31
Di titik (1,-2)
2
5
10
1
)
2
.(
1
.
2
4
.
1
.
2
2
|
' )
2
,
1
(
y
Persamaan garis singgung
2
2
)
1
(
2
2
x
x
y
4
2
y
x
Persamaan garis normal
2
1
2
1
)
1
(
2
1
2
x
x
y
3
2
y
x
32. 32
4.8 Diferensial dan Hampiran
4.8.1 Diferensial
Jika ada, maka
Untuk sangat kecil , maka mPQ = mPT yakni ,
Definisi 4.4 Jika y = f (x) diferensiabel di x, maka
Diferensial dari x , dinyatakan dengan dx, adalah
Diferensial dari y , dinyatakan dengan dy, adalah
x
y
x
x
f
x
x
f
x
f
x
x
0
0
lim
)
(
)
(
lim
)
(
'
P
Q
x x
x
x
x
x
x
f
y
x
f
x
y
)
(
'
,
)
(
'
.
x
dx
dx
x
f
dy )
(
'
)
(
' x
f
T
33. 33
4.8.2 Hampiran
Perhatikan kembali gambar sebelumnya,
Misalkan y= f (x) diferensiabel di interval I yang memuat x dan x + ∆x. Jika x
ditambah ∆x, maka y bertambah sepadan dengan ∆y yang dapat dihampiri
oleh dy .
Jadi , (*)
Contoh : Hampiri
Jawab : Pandang,
Dengan pers (*)
x
x
f
x
f
dy
x
f
x
x
f
)
(
'
)
(
)
(
)
(
3
28
3
27
27
)
27
(
)
( 3
3
1
3
1
f
x
x
f
27
1
)
3
(
3
1
)
27
(
3
1
)
27
(
'
3
1
)
(
' 3
2
3
3
2
3
2
f
x
x
f
)
27
28
)(
27
(
'
)
27
(
)
28
(
f
f
f .
27
1
3
34. 34
Soal Latihan
y xy
sin 1
1. Diketahui kurva yang dinyatakan secara implisit
Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di )
1
,
(
2
,
8
1
,
36
2. Gunakan diferensial untuk menghampiri
a.
b.
3
)
0
(
'
,
0
)
0
(
,
2
)
0
(
'
g
g
f ).
0
(
)'
( g
f
3. Jika diketahui tentukan
Editor's Notes
Pelajari semuanya
Yang ini belum paham. Kenapa hingga sekarang aku belum paham trigonometri???
