2. Integral
Jika F(x) adalah sebuah fungsi yg turunannya :
F′ (x) = f(x) pd interval tertentu dari sumbu-x,
maka F(x) disebut anti-turunan atau integral tak
tentu dari f(x) yg diberikan oleh :
F(x) + C
Dgn C sebarang konstanta, disebut Konstanta Integrasi.
Anti-diferensiasi adalah proses menemukan antiturunan dari suatu fungsi, simbol ∫ menyatakan
operasi anti-diferensiasi dan ditulis :
∫ f(x) dx = F(x) + C
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 2
3. Rumus-rumus Dasar Integral
Anti-diferensiasi adl. operasi invers dari diferensiasi,
a
a du =
+C ;
du
ln a
∫
∫ u = ln u + C
maka rumus-rumus anti-diferensiasi dpt diperoleh
a > 0, a ≠ 1
dari rumus-rumus diferensiasi.
Rumus-rumus dasar u/ integrasi dpt dibuktikan dari
du
∫ u = ln u + C bersangkutan.
rumus diferensiasi
du
1. ∫ 1 dx = x + C
5.∫ u = ln u + c
u
2. ∫ (u + v) dx = ∫ u dx + ∫ v dx
3. ∫ a u dx = a ∫ u dx
4.
um+1
∫ u du = m + 1 + C,m ≠ −1
m
Integral
6.
u
au
∫ a du = ln a + C ; a > 0, a ≠ 1
u
7. ∫ eudu = eu + C
FT – BUDI LUHUR
Slide - 3
4. 8. ∫ sin u du = −cos u + C
9.
14. ∫ sec 2u du = tan u + C
15. ∫ csc 2u du = −cot u + C
∫ cos u du = sin u + C
16. ∫ sec u tan u du = sec u + C
10. ∫ tan u du = sec u + c
11. ∫ cot u du = ln
12. ∫ sec u du = ln
13. ∫ csc u du = ln
Integral
17. ∫ csc u tan u du = −csc u + C
sin u + C
18. ∫
sec u + tan u + C
csc u − cot u + C
du
u
= arc sin + C
a
a 2 − u2
19. ∫ 2du 2 = 1 arc tan u + C
a +u
a
a
20. ∫ u
FT – BUDI LUHUR
du
u2 − a 2
=
1
u
arc sec + C
a
a
Slide - 4
5. 21.
22.
du
1 u−a
=
∫ u2 − a2 2a ln u + a + C
27. ∫
du
1 a+u
=
∫ a2 − u2 2a ln a − u + C
=
23. ∫
24. ∫
25.
∫
=
26. ∫
=
du
u +a
2
2
du
u −a
2
2
u2 − a 2 du
1
1
u u2 − a 2 − a 2 ln u + u2 − a 2 + C
2
2
)
(
= ln u + u2 + a 2 + C
(
)
= ln u + u2 − a 2 + C
a 2 − u2 du
1
1
u
u a 2 − u2 + a 2 arc sin + C
2
2
a
u2 + a 2 du
1
1
u u2 + a 2 + a 2 ln (u + u2 + a 2 ) + C
2
2
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 5
6. Selesaikan soal integrasi dibawah ini :
1. ∫ 5dx = 5 ∫ dx = 5x + C
6.
= 2∫ x 2 dx − 5 ∫ xdx + 3 ∫ dx
∫
x6
5
2. ∫ x dx = + C
6
dx
x −1
1
−2
= ∫ x dx =
+C = − +C
3. ∫ 2
x
−1
x
4.
∫
3
(2x 2 − 5x + 3)dx =
∫
2x 3 5x 2
=
−
+ 3x + C
3
2
7. ∫ (1− x) x dx = ∫ (x1/2 − x 3/2 )dx
zdz = ∫ z1/3 dz
z 4/3
3 4/3
=
+C = z +C
4/3
4
5. ∫ 3
dx
x
2
= ∫x
Integral
− 2/3
1/3
x
dx =
= 3x1/3 + C
1/3
FT – BUDI LUHUR
= ∫ x1/2 dx − ∫ x 3/2 dx
∫
2 3/2 2 5/2
= x − x +C
3
5
Slide - 6
7. x 3 + 5x 2 − 4
8. ∫
dx =
2
x
= ∫ (x + 5 − 4x −2 )dx
1 2
4x −1
= x + 5x −
+C
2
−1
1
4
= x 2 + 5x + + C
2
x
11.
dx
∫ 2x − 3
Mis. : u = 2x – 3 ⇒ du = 2 dx
Sehingga : = ln x + 2 + C
dx
1 du 1
= ∫
∫ 2x − 3 2 u = 2 ln u + C
=
x
9. ∫ = ln x + C
dx
dx
d(x + 2)
=∫
10. ∫
x+2
x+2
atau :
dx
1 d(2x + 3)
= ∫
∫ 2x − 3 2 2x − 3
=
Integral
1
ln 2x − 3 + C
2
FT – BUDI LUHUR
1
ln 2x − 3 + C
2
Slide - 7
8. Integral Trigonometri
Persamaan-persamaan dibawah ini diperlukan untuk
menemukan integral-integral Trigonometri :
1)
2)
3)
sin2x + cos2x = 1
1 + tan2x = sec2x
1 + cot2x = csc2x
4) sin2x =
1
(1− cos 2x )
2
5) cos2x =
1
(1+ cos 2x )
2
6) sin 2x = 2 sin x cos x
Integral
7)
2 sin x cos y
= cos (x - y) – cos (x + y)
8) 2 sin x sin y
= cos (x – y) – cos (x + y)
9) 2 cos x cos y
= cos (x – y) + cos (x + y)
10) sin (x + y)
= sin x cos y – cos x sin y
11) cos (x + y)
= cos x cos y – sin x sin y
FT – BUDI LUHUR
Slide - 8
9. 12) tg (x + y) =
tan x + tan y
1− tan x tan y
x+y
x−y
cos
13) sin x + sin y = 2 sin
2
2
x+y x−y
sin
2 2
14) sin x - sin y = 2 cos
x+y x−y
sin
2 2
15) cos x – cos y = - 2 sin
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 9
10. Contoh :
1
1) ∫ sin 2 x dx = 2∫ sin
2) ∫ cos( 3x ) dx =
3)
1
1 1
x .d x = − 2 cos x + C
2
2 2
1
1
cos( 3 x ) .d ( 3 x ) = sin ( 3 x ) + C
3∫
3
sin 2 x cos x dx = ∫ sin 2 x.(cos x dx)
∫
sin3 x
= ∫ sin x d(sinx) =
+C
3
1
1
tan ( 2x )dx = ∫ tan( 2x ) .d( 2x ) = ln sec2x + C
4) ∫
2
2
2
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 10
11. 7)
sin10 x cos x dx
∫
Misal :
u = sin x ⇒ du = cos x dx
Sehingga :
u 11
sin 11 x
sin 10 x cos xdx = ∫ u 10 du =
+C =
+C
∫
11
11
8)
9)
10)
∫
∫
dx
x
= arc sin + C
2
4 − x2
9)
dx
1
x
∫ 9 + x 2 = 3 arc tan 3 + C
dx
1
4dx
1
4x
= ∫
= arc sin
+C
2
2
2
4
4
5
25 − 16 x
5 − (4 x)
dx
1
2dx
1
2x
= ∫
= arc tan
+C
∫ 4 x 2 + 9 2 (2 x) 2 + 3 2 6
3
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 11
12. Integral Parsial
Bentuk integral yg sering timbul, adl. suatu integral yg
integrannya merupakan hasil ganda dari suatu fungsi x,
dgn differensial dari fungsi x yg lain.
Andaikan U & V fungsi dari x, maka dicari hasil
dari bentuk :
U.dV
∫
Dalam hitung differensial diketahui, bahwa :
d(U.V) = U dV + V dU
atau
U dV = d (U.V) – V dU
maka :
Integral dgn bentuk ini
U dV = U.V − ∫ V dU
∫
disebut integral parsial.
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 12
13. Contoh :
1. Cari :
∫x e
3
x2
dx ?
Penyelesaian :
Mis. : U = x 2
1 x2
x dx → V = e
2
1 2 x2
3 x2
x2
∫ x e dx = 2 x e − ∫ xe dx
dan : dV = e
Maka :
→ dU = 2x dx
x2
1 2 x2 1 x2
= x e − e +C
2
2
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 13
14. 2. Hitung :
∫x
sin x dx
Penyelesaian :
Misal : U = x → dx = du
dV = sin x dx → v = ∫ sinx dx = - cos x
Maka :
∫ x sinx dx = −xcosx − ∫ (−cosx)dx
= − x cos x + sin x + C
Atau :
Integral
∫ x sinx dx = ∫ x d [cosx]dx
FT – BUDI LUHUR
Slide - 14
15. 3. Hitung :
∫ x lnx dx
Penyelesaian :
Misal : U = ln x → dU = 1/x dx
x2
dan dV = x dx → V =
2
∴
1
x ln x dx = ∫ ln xd ( x 2 )
∫
2
=
1 2
1
x ln x − ∫ x 2 d (ln x )
2
2
1 2
1 1
1
1
x ln x − ∫ x 2 dx = x 2 ln x − ∫ xdx
2
2 x
2
2
1 2
1 2
= x ln x − x + C
2
4
=
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 15
16. Integral Fungsi Rasional
Suatu fungsi F (x)
f(x)
= g(x)
, dimana f(x) & g(x) adl.
polinomial, disebut : Fungsi Pecah Rasional.
Jika pangkat f(x) lebih rendah daripada pangkat g(x),
F(x) disebut Proper, sebaliknya F(x) disebut Improper.
Sebagai contoh :
x 4 − x3 − x − 1
x +1
= x− 3
3
2
x −x
x − x2
Setiap pecahan rasional yg proper dpt dinyatakan
sebagai suatu jumlahan dari pecahan-pecahan yg
sederhana yg penyebutnya berbentuk :
(ax + b)n atau/dan (ax2 + bx + c)n, dimana n bulat positif.
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 16
17. 4 Kemungkinan yg timbul dalam
pecahan rasional proper :
(a) Semua faktor dari penyebut linier dan berlainan
Pecahan rasional yg proper F(x), penyebut g(x)
dapat dinyatakan sbg perkalian faktor-faktor linier
yg berlainan, misalnya :
g(x) = (x – a1)(x – a2) ............. (x – an)
dimana : a1 ≠ a 2 ≠ a 3 ...... ≠ an , maka :
A3
f(x)
A1
A2
An
=
+
+
+ .......... .......... .. +
F (x) =
g(x) x − a1 x − a 2 x − a3
x − an
U/ menghitung A1, A2, ... An (koefisien-koefisien
tak tentu) kedua bagian diatas disamakan, a/ mengambil
harga-harga x tertentu.
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 17
18. Contoh :
1) Tentukan :
3x − 1
∫ x 2 − x − 6 dx
Penyelesaian :
Penyebut : x 2 − x − 6 = (x + 1)(x − 3)
Pecahan rasional dapat ditulis :
3x − 1
A
B
A(x − 3) + B(x + 2)
=
+
=
(x + 2)(x − 3) x + 2 x − 3
(x + 2)(x − 3)
Maka dipenuhi bentuk :
3x – 1 = A(x - 3) + B(x + 2)
setara/ekivalen dgn : 3x – 1 = (A + B)x + (-3A + 2B)
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 18
19. U/ menentukan nilai A & B :
Bagian kiri identik dgn bagian kanan, berarti koefisien-koefisien
dari x yg berpangkat sama dari kedua bagian tsb harus sama.
Jadi :
Koefisien
x → 3=A+B
Koefisien
xo → -1 = -3A + 2B
Dari 2 persamaan tsb diperoleh A = 7/5 dan B = 8/5. Shg :
8
7
3x − 1
3x − 1
=
= 5 + 5
x 2 − x − 6 (x + 2)(x − 3) x + 2 x − 3
dan
3x − 1
7
1
8
1
dx = ∫
dx + ∫
dx
∫ x2 − x − 6
5 x+2
5 x −3
=
Integral
7
8
ln x + 2 + ln x − 3 + C
5
5
FT – BUDI LUHUR
Slide - 19
20. (b) Semua faktor dari penyebut linier,
tetapi ada beberapa yg sama
(berulang)
Untuk tiap faktor linier (ax + b) yg timbul n kali dalam
penyebut dari pecahan rasional, ditulis sbg penjumlahan
dari n pecahan parsial dalam bentuk :
A3
A1
A2
An
+
+
+ ................ +
2
3
ax + b (ax + b) (ax + b)
(ax + b)n
dimana Ai ( i = 1, 2, …………., n) konstanta yg harus dicari.
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 20
21. Contoh :
1) Tentukan :
∫
(3x 2 − 22x + 19)
dx
2
(x + 2)(x − 3)
Penyelesaian :
Perhatikan : 3x 2 − 22x + 19
(x + 2)(x − 3)2
=
A
B
C
+
+
x + 2 x − 3 (x − 3)2
3x 2 − 22x + 19 = A(x − 3)2 + B(x + 2)(x − 3) + C(x + 2)
Dgn menyelesaikan persamaan ini didapatkan hargaharga A=3, B=0 dan C = -4.
Maka :
(3x 2 − 22x + 19)
dx
dx
dx = 3 ∫
− 4∫
∫ (x + 2)(X − 3)2
x+2
(x − 3)2
= 3 ln(x + 2) +
Integral
FT – BUDI LUHUR
4
+C
x −3
Slide - 21
22. (c) Beberapa faktor penyebut adl. kuadratis & tak
berulang
Untuk tiap-tiap faktor yg memiliki bentuk : ax + bx + c ,
dinyatakan sbg pecahan parsial dari bentuk :
Ax + B
Ax 2 + bx + c
2
Contoh :
1) Tentukan :
1 = A(x 2 + 1) + (Bx + C)x
1 = (A + B)x 2 + Cx + A
dx
∫ x3 + x
Penyelesaian :
Penjabaran :
Dgn menyelesaikan persamaan
didapatkan harga-harga A = 1,
B = -1 dan C = 0
Jadi :
1
1
=
x 3 + x x(x 2 + 1)
dx
dx
x
=∫
−∫ 2
∫ x 3 + x x x + 1 dx
A Bx + C A(x 2 + 1) + (Bx + C)x
= + 2
=
x x +1
x(x 2 + 1)
Integral
= ln x − 1 / 2 ln( x 2 + 1) + C
=
1
x
ln 2
+C
2 x +1
FT – BUDI LUHUR
Slide - 22
23. (d) Beberapa Faktor Penyebut adl.
kuadratis
dan berulang
2
Untuk faktor kuadratis dgn bentuk ax + bx + c yg
berulang n kali dlm penyebut pada pecahan rasional
yg proper, ditulis sbg jumlahan dari n pecahan parsial dlm
bentuk :
A 1x + B1
A 2 x + B2
A n x + Bn
+
+ .......... ........ +
ax 2 + bx + c (ax 2bx + c)2
(ax 2bx + c)n
di mana A1 dan B1 konstanta yang harus dicari.
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 23
24. Contoh :
2x 3 + x + 3
1) Tentukan : ∫
dx
2
2
(x + 2)
Penyelesaian :
Penjabaran :
2x 3 + x + 3 Ax + B Cx + D
= 2
+
(x 2 + 2)2
X + 2 (x 2 + 2)2
(Ax + B)(x 2 + 2) + (Cx + D)
=
(x 2 + 2)2
Maka :
Dgn menyelesaikan pers.
Didapat :
Koefisien :
x3 → 2 = A
x2 → 0 = B
x1 → 1 = 2A + C ; C = -3
x0 → 3 = 2B + D ; D = 2
2x 3 + x + 3 = (Ax + B)(x 2 + 2) + (Cx + D)
2x 3 + x + 3 = Ax 3 + Bx 2 + (2A + C)x + (2B + D)
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 24
25. Lanjutan :
Jadi bentuk integral :
2x 3 + x + 3
2x
3x − 2
∫ (x 2 + 2)2 dx = ∫ x 2 + 2 dx − ∫ (x 2 + 2)2 dx
= ln(x 2 + 2) − 3 ∫
xdx
dx
+ 2∫ 2
(x 2 + 2)2
(x + 2)2
Diselesaikan dulu integral :
Misalkan :
x = 2 tg q → dx = 2 sec 2 q dq
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 25
26. Lanjutan :
2 sec 2 q
dx
=∫
dq = 1 2 ∫ cos 2 q dq
∫ ( x 2 + 2) 2
4
4 sec 4 q
=1
=1
2 ∫ 1 (1 + cos 2q) dq
4
2
8
2 (q+ 1
2
sin 2q ) + C = 1
8
2 arc tg
x
x
+
+C
4( x 2 + 2 )
2
Hasil integral seluruhnya :
2 x3 + x + 3
x
x+3
dx = ln ( x 2 + 2) + 1 2 arc tg
+
+C
2
∫ ( x 2 + 2)2
4
2 2( x + 2)
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 26
27. Integral Tertentu
Notasi untuk integral tertentu
b
∫ f(x)
dx
, maka f(x) disebut
a
integran a disebut batas bawah dan b disebut batas atas.
Untuk menyelesaikan integral tertentu gunakan teorema dasar kalkulus
integral, yaitu :
jika f(x) kontinu dalam selang [a,b] dan jika F(x) adalah integral
tertentu dari f(x), maka :
b
∫ f(x) dx = F(x)
b
a
= F(b) − F(a)
a
Integral
FT – BUDI LUHUR
Slide - 27
31. Soal-soal tambahan :
A. Kerjakan soal integrasi berikut ini :
1.
∫ (2x
3
− 4x + 5x + 4)dx
2
2
6.
(4 − x ) x 2dx
∫
x cot x 2dx
∫
2
2.
1
2
x − x+
dx
∫
2
x
7.
3.
dx
∫ (x − 1)3
8.
∫ sec 3 x
4.
∫
9.
∫ (sin x + cos x) dx
10.
x 2
∫ e − x dx
1− y y dy
4
3xdx
5. ∫ 2
x +2
Integral
3
FT – BUDI LUHUR
tan 3 x dx
Slide - 31
32. Lanjutan :
11)
12.
2 xdx
∫ 1 + x2
∫ (e
x
17.
+ 1) e dx
3
3
18.
tan 2 x dx
∫
∫a
4x
dx
19.
∫e
4x
20.
∫x
2
e 2 x dx
15.
∫ e2x + 1
21.
x sec x 3 dx
∫
16. cos 1 x dx
∫
22.
e ( 2 x +3) dx
∫
13.
∫ sin 2 xdx
14.
6 e 3 x dx
∫
2
Integral
2
FT – BUDI LUHUR
dx
x3
e dx
2
Slide - 32
