2. 2
Integral
• Integral adalah sebuah konsep penjumlahan yang
berkesinambungan
• Integral biasa juga disebut anti turunan, artinya suatu
konsep yang berhubungan dengan proses penemuan
fungsi asal apabila turunannya diketahui
3. 3
Tujuan PEMBELAJARAN
1. Menentukan anti turunan dari suatu fungsi
2. Menentukan integral fungsi pada selang [a,b]
dengan limit jumlah reiman
3. Menghitung integral tentu dengan TDK 1
4. Menghitung turunan integral tentu
4. 4
4
Integral Tak Tentu
F(x) disebut suatu anti turunan dari 𝑓(𝑥) pada interval I bila
Contoh
dan adalah anti turunan dari
karena F’(x) = f(x).
Anti turunan dari suatu fungsi tidak tunggal, tapi perbedaannya
berupa suatu bilangan konstan.
Anti turunan disebut juga Integral Tak tentu.
Notasi :
I
x
x
f
x
F
)
(
)
(
'
3
3
1
)
( x
x
F
2
)
( x
x
f
C
x
x
F
3
3
1
)
(
f x dx F x C
( ) ( )
5. 5
Sifat-sifat integral tak tentu
A. Sifat yang diperoleh langsung dari turunan
C
r
x
dx
x
r
r
1
.
1
1
C
x
dx
x cos
sin
.
2
, r -1
C
x
dx
x sin
cos
.
3
C
x
dx
x tan
sec
.
4 2
C
x
dx
x cot
csc
.
5 2
6. 6
6
B. Sifat Kelinieran
C. Integral dengan substitusi
Misal u = g(x) , , dan F suatu anti turunan dari f,
maka
Contoh : Hitung
Misal u = 2x + 1 sehingga
a f x bg x dx a f x dx b g x dx
( ) ( ) ( ) ( )
c
x
g
F
c
u
F
du
u
f
dx
x
g
x
g
f ))
(
(
)
(
)
(
)
(
'
))
(
(
sin 2 1
x dx
dx
x
g
du )
(
'
2
du dx
du
dx 2
1
du
u
dx
x sin
2
1
1
2
sin
C
x
C
u
1
2
cos
2
1
cos
2
1
7. 7
Notasi Sigma ( )
Notasi sigma ( jumlah ) :
Sifat dan rumus sigma
dan
...
2
1
1
n
n
i
i a
a
a
a
k k k k nk
n suku
i
n
...
1
n
i
n
i
n
i
i
i
i
i b
l
a
k
lb
a
k
1 1 1
.
1
n
i
n
n
i
1 2
)
1
(
.
2
n
i
n
n
n
i
1
2
6
)
1
2
)(
1
(
.
3
n
i
n
n
i
1
2
3
2
)
1
(
.
4
Sifat nomor 2 sampai nomor 4 dapat dibuktikan dengan
induksi matematika
8. 8
Integral Tentu
Integral tentu dikonstruksi dengan jumlah Rieman yang
menggambarkan luas daerah. Misal fungsi f(x) terdefinisi pada
selang tutup [ a,b ].
b
x
x
x
a n
...
1
0
a b
Langkah :
1. Partisi selang [a,b] menjadi n
selang
dengan titik pembagian
}
,...,
,
,
{ 2
1
0 n
x
b
x
x
x
a
P
disebut partisi dari [a,b].
2. Definisikan panjang partisi P, sebagai
1
1
|,
|
||
||
k
k
k
k
n
k
x
x
x
x
Maks
P
]
,
[ 1 k
k
k x
x
c
3. Pilih k = 1, 2, ..., n
1
x 1
k
x k
x
k
x
k
c
9. 9
a b
2
x 1
k
x k
x
k
x
k
c
4. Bentuk jumlah Riemann
n
k
k
k x
c
f
1
)
(
0
||
||
P
n
P
k
k
k x
c
f
1
0
||
||
)
(
lim
Jika , maka diperoleh limit jumlah Riemann
n
k k
x
k
c
f
n
b
a
n
k k
x
k
c
f
P
dx
x
f
1
)
(
lim
1
)
(
0
||
|
lim
)
(
Jika limit ini ada, maka dikatakan f
terintegralkan Riemann pada selang [a,b], dan
ditulis sbg
)
( k
c
f
10. 10
Contoh Hitung
2
0
2dx
x
Jawab : Langkah
(i) Partisi selang [0,2] menjadi n bagian yang sama panjang
n
x 2
0 2
x
x
x
x
1
x 2
x 1
i
x i
x 1
n
x
sehingga
0
0
x
n
x
x 2
1 0
n
.
x
x 2
2
2 2
0
n
i
i x
i
x 2
0
………………………
………………………
11. 11
(ii) Pilih i
i x
c
(iii) Bentuk jumlah reiman
n
i
n
i
n
n
i
i
i x
c
f
1 1
2
2
2
n
i
n
n
i
1
4
4
2
n
i
n
i n
i
n 1
1
2
1
4
4
n
n
n
)
n
(
n
n
2
2
4
2
1
4
2
(iv) Jika
n
2
0
2 2
2
2 n
n
lim
dx
x
12. 12
Ctt: Jika fungsi y=f(x) positif pada selang [a,b]
maka integral tentu diatas menyatakan luas daerah
yang terletak dibawah grafik y=f(x) dan diatas sumbu x
antara garis x = a dan x = b
Sifat integral tentu
p f x qg x dx p f x dx q g x dx
a
b
a
b
a
b
( ) ( ) ( ) ( )
1. Sifat linear
2. Jika a < b < c, maka
f x dx f x dx f x dx
a
c
a
b
b
c
( ) ( ) ( )
13. 13
f x dx
a
a
( )
0
f x dx f x dx
a
b
b
a
( )
3. dan
4. Bila f(x) ganjil , maka
a
a
dx
x
f 0
)
(
5. Bila f(x) genap, maka f x dx f x dx
a
a
a
( ) ( )
2
0
Contoh Hitung
3
3
2
4
7 dx
x
x
x
Jawab
7
)
(
)
(
)
( 2
4
x
x
x
x
f )
(
7
2
4
x
f
x
x
x
f(x) ganjil
0
7
3
3
2
4
dx
x
x
x
14. 14
Teorema Dasar Kalkulus (TDK)
TDK I
Misal f(x) kontinu pada [ a,b ] dan F(x) suatu anti turunan dari f(x).
Maka
Contoh Selesaikan integral tentu
Jawab : Misal u = 2x du = 2 dx. Maka
Sehingga
f x dx F b F a
a
b
( ) ( ) ( )
sin 2
2
x dx
1
cos
2
cos
2
1
2
cos
2
1
2
sin
2
/
2
x
dx
x
x
dx
x 2
cos
2
1
2
sin
15. 15
Contoh hitung
5
1
|
2
| dx
x
Jawab :
2
2
2
2
2
x
,
)
x
(
x
,
x
|
x
|
)
x
(
f
5
1
2
1
5
2
2
2
2 dx
x
dx
x
dx
|
x
|
5
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2 x
x
x
x
= ( (-2 + 4) – (-1/2+ 2 ) ) + ( (25/2 - 10 ) – ( 2 – 4 ) )
= ½+9/2 = 5
16. 16
TDK II (Pendiferensialan Integral Tentu)
• Jika fungsi f kontinu pada [a,b], dan x sebuah (variabel) titik dalam [a,b],
maka
Secara umum
)
(
'
))
(
(
)
(
)
(
x
u
x
u
f
dt
t
f
D
x
u
a
x
)
(
)
( x
f
dt
t
f
D
x
a
x
)
(
'
))
(
(
)
(
'
))
(
(
)
(
)
(
)
(
x
u
x
u
f
x
v
x
v
f
dt
t
f
D
x
v
x
u
x
18. 18
Soal Latihan
A. Untuk soal 1-5 carilah anti turunan F(x) + C bila
5
10
3
)
( 2
x
x
x
f
)
6
7
20
(
)
( 5
7
2
x
x
x
x
f
f x
x x
( )
1 6
3 7
f x
x x
x
( )
2 3 1
3 2
2
f x x
( )
3
4
1.
2.
3.
4.
5.
19. 19
x x dx
2 3
4 2
x x x dx
2 2
3 2 2 3
3 3 7
2
x x dx
5 1 5 3 2
2 3
x x x dx
3
2 5
2
y
y
dy
cos sin
4
2 2 2
x x dx
Selesaikan integral tak tentu berikut
6.
7.
8.
9.
10.
11.
20. 20
B. Untuk soal 1 s/d 4 hitung f x dx
( )
0
5
f x
x x
x x
( )
,
,
2 0 2
6 2 5
f x
x x
x
x x
( )
,
,
,
0 1
1 1 3
4 3 5
1.
2.
3. f(x) = |x -1|
3
1
3
4
2
)
( x
x
x
f
4.
21. 21
Untuk soal 5 s/d 10 hitung integral tentu berikut
3 1
2 3
1
0
x x dx
8 7 2 2
3
3
t t dt
x
x x
dx
2
3
1
3 1
3
sin cos
/
2
0
2
3 3
x x dx
2
0
sin dx
x
dx
x
x
8
0
8
6
2
5.
6.
7.
8.
9.
10.
22. 22
Untuk soal 11 s/d 15 tentukan dari
)
(
' x
G
G x
t
dt
x
( )
1
1
2
1
G x
t
dt
x
x
( )
1
1
2
2
G x t dt
x
( ) sin
2
2
1
2
x
ds
s
x
G
)
2
tan(
)
(
dt
t
x
G
x
3
0
3
1
1
)
(
11.
12.
13.
14.
15.
23. 23
16. Tentukan dimana f cekung ke atas, jika dt
t
t
x
f
x
0
2
1
1
)
(
Jika f kontinu pada tentukan f(4).
2
0
)
1
(cos
)
(
dan
]
,
0
[
x
x
x
dt
t
f
17.
dt
t
x
x
2
4
2
2
3
1
f(x)
dan
]
,
4
[ )
2
(
'
f
Jika f kontinu pada , tentukan
.
18.
Hitung
x
x
dt
t
t
x 0
4
2
3
0 1
6
1
lim
19.
Selamat datang, berjumpa lagi dengan saya Cahyantari Ekaputri pada mata kuliah Sistem Kendali Dasar.
Video ini merupakan video ketiga/lanjutan dari pokok bahasan Respon Sistem & Galat Keadaan Tunak dengan sub pokok bahasan tentang Definisi Respon & Galat Keadaan Tunak.
