materi pembelajaran

1. TURUNAN FUNGSI
TRIGONOMETRI
Dani Suandi, M.Si

2. 1. Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus
Bukti:
a. Misal f(x) = sin x maka
2
x
x
f
x
x
f
a cos
)
(
'
sin
)
(
. 


x
x
f
x
x
f
b sin
)
(
'
cos
)
(
. 



0
sin ( ) sin
'( ) lim
h
x h x
f x
h

 

0
sin cos cos sinh sin
lim
h
x h x x
h

 

0
1 cosh sinh
lim sin cos
h
x x
h h


 
  
 
 
 
cos 1
x
 
   
0 0
1 cosh sinh
sin lim cos lim
h h
x x
h h
 

   
  
   
   

3. 3
b. Misal f(x) = cos x maka
h
x
h
x
x
f
h
cos
)
cos(
lim
)
(
'
0




h
x
x
x
h
cos
sinh
sin
cosh
cos
lim
0




0
1 cosh sinh
lim cos sin
h
x x
h h


 
  
 
 
sin 1
x
  
   
0 0
1 cosh sinh
cos lim sin lim
h h
x x
h h
 

   
  
   
   

4. 4
Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh
dengan
menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnya turunan
bentuk u/v
   
dx
d
dx
x
d
c
x
x
cos
sin
tan
.  x
x
x
2
2
2
cos
sin
cos 

x
2
cos
1
 x
2
sec

   
dx
d
dx
x
d
d
x
x
sin
cos
cot
. 
x
x
x
2
2
2
sin
cos
sin 


x
2
sin
1

 x
2
csc


   
dx
d
dx
x
d
e
x
cos
1
sec
. 
x
x
2
cos
sin

x
x
x
cos
1
cos
sin
 x
x sec
tan

   
dx
d
dx
x
d
f
x
sin
1
csc
.  x
x
2
sin
cos


x
x
x
sin
1
sin
cos

 x
xcot
csc



5. 5
'
y
Tentukan turunan ( ) dari bentuk fungsi trigonometri berikut:
Soal Latihan
1. 4sin 2cos
y x x
 
sin cos 2sin
y x x x
 
2.

6. 2. ATURAN RANTAI
 Andaikan y = f(u) dan u = g(x). Jika dan ada ,
maka
Contoh : Tentukan dari
Jawab :
Misal sehingga bentuk diatas menjadi
Karena
dan
maka
6
dx
du
du
dy
dx
dy

du
dy
dx
du
dx
dy
)
1
sin( 2

 x
y
1
2

 x
u
x
dx
du
2

u
y sin

u
du
dy
cos

)
1
cos(
2 2

 x
x
x
x
dx
dy
2
)
1
cos( 2



7. dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy



7
Jika y = f(u), u = g(v), v = h(x), dan
dx
dv
dv
du
du
dy
,
, Ada, maka
Contoh : Tentukan
dx
dy )
5
( 3
4

 x
Sin
y
dari
5
3

 x
v
2
3x
dx
dv

Jawab :
Misal

u = Sin v )
5
cos(
cos 3


 x
v
dv
du
4
u
y  )
5
(
4
4 3
3
3


 x
Sin
u
du
dy
sehingga
)
5
(
)
5
(
12
.
. 3
3
3
2



 x
Cos
x
Sin
x
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy

8. 8
'
y
Tentukan turunan ( ) dari bentuk fungsi berikut:
Soal Latihan
1.  
10
2
4 5 3
y x x
  
2
sin( 3 )
y x x
 
2.
2
7 4
y x x
 
3.
  
5
2
5 2 2 3
y x x
  
4.

9. 3. TURUNAN TINGKAT TINGGI
 Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-
1).
 Turunan pertama
 Turunan kedua
 Turunan ketiga
 Turunan ke-n
 Contoh : Tentukan dari
 Jawab : 9
 
f x
df x
dx
'( ) 
 
2
2
)
(
"
dx
x
f
d
x
f 
 
3
3
)
(
'
"
dx
x
f
d
x
f 
   
n
n
n
dx
x
f
d
x
f 
)
(
 
)
(
)
( )
1
(
)
(
x
f
dx
d
x
f n
n 

x
x
y sin
4 3


x
x
y cos
12
' 2

 x
sin
x
'
'
y
maka 
 24
'
'
y

10. 10
 
y x
 
sin 2 1
 
y x
 
2 3 4
f c
"( )  0 f x x x x
( )    
3 2
3 45 6
g x ax bx c
( )   
2
3
)
1
(
' 
g 4
)
1
(
'
' 

g
A. Tentukan turunan kedua
dari
B. Tentukan nilai c sehingga bila
C. Tentukan nilai a, b dan c dari bila g (1) = 5,
dan
Soal Latihan
1.
2.

11. 4.TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
 Jika hubungan antara y dan x dapat dituliskan
dalam bentuk y = f(x) maka y disebut fungsi
eksplisit dari x, yaitu antara peubah bebas dan tak
bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila
tidak demikian maka dikatakan y fungsi implisit
dari x.
Contoh :
 Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit
digunakan aturan rantai dan anggap y fungsi dari x.
11
10
.
1 2
2
3


 y
x
y
x
1
)
sin(
.
2 2
2


 y
x
xy

12. )
1
(
)
)
sin(
(
.
2 2
2


 y
D
x
xy
D x
x
12
Jawab
)
10
(
)
(
)
(
)
( 2
2
3
x
x
x
x D
y
D
x
D
y
x
D 


0
'
2
)
'
2
3
( 3
2
2



 y
x
y
y
x
y
x
2
2
3
3
2
'
)
1
2
( y
x
x
y
y
x 



1
2
3
2
' 3
2
2




y
x
y
x
x
y
)
10
(
)
(
.
1 2
2
3
x
x D
y
x
y
x
D 


0
'
2
2
)
'
(
)
cos( 


 yy
x
xy
y
xy
)
cos(
2
'
)
2
)
cos(
( xy
y
x
y
y
xy
x 



y
xy
x
xy
y
x
y
2
)
cos(
)
cos(
2
'




10
.
1 2
2
3


 y
x
y
x 1
)
sin(
.
2 2
2


 y
x
xy
Tentukan dy/dx dari bentuk implisit berikut

13. 13
'
y
 
y xy
 
sin 1
x x y y
3 2 2
3 0
  
Tentukan turunan pertama ( ) dari bentuk implisit
Soal Latihan
1.
2.