Dokumen tersebut membahas tentang penerapan matematika diskrit melalui permainan Tower of Hanoi dan The Wheel of Theodorus di kelas 6-8 SD dan SMP. Permainan ini dimaksudkan agar siswa dapat memahami konsep iterasi dan rekursi serta membuat pola bilangan melalui kedua permainan tersebut. Metode yang digunakan adalah diskusi dan tanya jawab serta demonstrasi langsung permainan tersebut.

1. MATEMATIKA DISKRIT MELALUI PERMAINAN TOWER OF HANOI DAN THE
WHEEL OF THEODORUS DI KELAS 6-8
Nama Kelompok:
1. Novri Heriyani Pratami (06081181419007)
2. Lusi Kurnia (06081181419023)
3. Siti Sholekah (06081181419011)
4. One Agustin (06081181419016)
5. Vina Dwi Purnamasari (06081181419013)
6. Sutri Octaviana Sitorus (06081181419074)
Dosen Pembimbing: PROF.DR.ZULKARDI, MI.KOMP.,MSC.
Kelas : Indralaya
Mata Kuliah: Matematika Diskrit
Program Studi: Pendidikan Matematika

2. MATEMATIKA DISKRIT MELALUI PERMAINAN TOWER OF HANOI DAN THE
WHEEL OF THEODORUS DI KELAS 6-8
Novri Heriyani Pratami11
, Siti Sholekah2
, Vina Dwi Purnama Sari3
, One Agustin4
,
Lusi Kurnia5
, Sutri Octaviana Sitorus6
Zulkardi7
1,2,3,4,5,6
Mahasiswa Pendidikan Matematika, Universitas Sriwijaya
7
Dosen Pendidikan Matematika, Universitas Sriwijaya
1
novriheriyani@gmail.com, 2
sholekah.siti19@gmail.com,
3
vinadwipurnamasari28@gmail.com, 4
oneagustin7@gmail.com,
5
kurnialusi6@gmail.com, 6
sutrioctavianasitorus@yahoo.com
7
zulkardi@yahoo.com,
ABSTRAK
Tujuan Peer Teaching ini adalah agar siswa dapat membuat sebuah pola bilangan dan rumus dari
proses iterasi dan recursi melalui permainan Tower of Hanoi dan The Wheel of Theodorus. Subjek
dari Peer Teaching ini yaitu siswa kelas 6 SD sampai kelas 8 SMP. Tahap-tahap pembelajaran yang
dilaksanakan adalah tahap awal, tahap inti, tahap akhir. Pada tahap awal, penulis menyampaikan
tujuan dari pembelajaran dan aturan yang harus diikuti selama proses pembelajaran berlangsung.
Tahap inti, siswa mempraktekan langsung permainan Tower of Hanoi dan The Wheel of Theodorus
di depan kelas sesuai dengan peraturan yang sudah dibuat. Hasil dari permainan Tower of Hanoi
dan The Wheel of Theodorus dituliskan kedalam sebuah tabel yang sudah disediakan. Pada tahap
akhir, penulis menyampaikan kesimpulan dari materi pembelajaran yang sudah dipelajari. Hasil
akhir dari Peer Teaching ini adalah siswa dapat membuat sebuah pola bilangan dan rumus dari
proses iterasi dan rekursi melalui permainan Tower of Hanoi dan The Wheel of Theodorus.
Kata Kunci : Matematika Diskrit, Tower of Hanoi, The Wheel of Theodorus, iterasi dan
rekursi

3. ABSTRACT
Peer Teaching purpose is so that students can make a numeral pattern and formula od iteration
process and recursion with game Tower of Hanoi and The Wheel of Theodorus . The subject of peer
teaching is students in grade 6 to grade 8. Stages of learning in practice are the initial stage, the core
stage, the final stage. The initial stage, the author inform the goal of learning and rules to be
followed during the learning process. The core stage, student practice straight game Tower of Hanoi
and The Wheel of Theodorus in front of the class accordance with the rules that have been created.
The outcome of the game Tower of Hanoi and The Wheel of Theodorus written into a table that has
been provided. The final stage, the authors expressed the conclusion of the learning material already
learned. The final outcome of this peer teaching is students can make a numeral pattern and formula
of iteration process and recursion with game Tower of Hanoi and The Wheel of Theodorus.
Key words: Discrete Mathematic, Tower of Hanoi, The Wheel of Theodorus, Iteration and
Recursion

4. PENDAHULUAN
Matematika diskrit adalah sebuah
cabang dari matematika yang membahas
segala sesuatu yang bersifat diskrit. Diskrit itu
sendiri adalah sejumlah berhingga elemen
yang berbeda atau elemen-elemen yang tidak
bersambungan. Contoh data diskrit misalnya
manusia, pohon, bola dan lain-lain.
Matematika diskrit tidak termasuk kedalam
mata pelajaran dalam kurikulum yang ada di
Indonesia, namun sebenarnya matematika
diskrit itu sendiri sudah ada pada pelajaran
matematika di setiap tingkat kelas yaitu mulai
dari TK sampai kelas 12 SMA.
Dalam belajar matematika diperlukan
pemahaman dengan penguasaan materi
terutama dalam membaca symbol, tabel dan
diagram yang sering digunakan dalam
matematika serta struktur matematika yang
kompleks, dari yang konkret sampai abstrak
apalagi jika yang diberikan adalah soal dalam
bentuk cerita yang memerlukan kemampuan
penerjemahan soal kedalam kalimat
matematika dengan memperhatikan maksud
dari pertanyaan soal tersebut.
Zoltan P.Dienes mengemukakan
bahwa tiap-tiap konsep atau prinsip dalam
matematika yang disajikan dalam bentuk yang
konkret akan dapat dipahami dengan baik. Ini
mengandung arti bahwa benda-benda atau
obyek-obyek dalam bentuk permainan akan
sangat berperan bila dimanipulasi dengan baik
dalam mengajar matematika.
Obyek-obyek yang diskrit dapat
digunakan untuk membantu siswa dalam
memahami dan mengerti tentang matematika
diskrit materi iteration dan recursion dengan
menggunakan permainan menara Hanoi dan
Roda Theodorus. Dengan demikian siswa
dapat membuat sebuah pola bilngan melalui
relasi berulang. Berdasarkan pemaparan
diatas , penulis membuat paper ini berjudul
“Matematika Diskrit Melalui Permainan
The Tower of Hanoi dan The Wheel of
Theodorus Di Kelas 6-8”
RUMUSAN MASALAH
Berdasarkan latar belakang diatas,
rumusan masalahnya adalah “Bagaimana cara
menerapkan Matematika diskrit di kelas 6 SD
sampai kelas 8 SMP pada pembelajaran
Matematika?”
TUJUAN
Tujuan dari peer teaching penerapan
Matematika Diskrit pada pembelajaran
Matematika adalah agar siswa dapat membuat
sebuah pola dan rumus dari proses iterasi dan
rekursi melalui permainan Tower Of Hanoi
dan The Wheel of Theodorus.
MANFAAT
1. Bagi siswa :
a. Siswa dapat mengetahui apa itu
iteration dan recursion.
b. Siswa dapat membuat sebuah pola
bilangan dengan bantuan
permainan Menara Hanoi dan
Roda Theodorus
c. Terlatihnya kemampuan siswa
dalam memecahkan masalah
(problem solving)
2. Bagi Guru:
a. Guru dapat menggunakan
permainan Menara Hanoi dan
Roda Theodorus dalam
mengajarkan pola bilangan
dikelas.
TINJAUAN PUSTAKA
Matematika diskrit adalah salah satu
cabang ilmu matematika yang mengkaji
objek-objek yang bersifat diskrit. Sedangkan
diskrit itu sendiri artinya yaitu tidak saling
berhubungan (diskontinyu). Misalnya,
himpunan bilangan rill, barisan dan deret,
teori peluang diskrit, dan lain sebagainya.

5. Iterasi dan Rekursi
Iterasi dapat diartikan sebagai suatu
proses atau metode yang digunakan secara
berulang-ulang (pengulangan) dalam
menyelesaikan suatu permasalahan
matematika.Misalnya barisan bilangan ganjil
1, 3, 5, 7,… ,bilangan yang selanjutnya dapat
diperoleh dari bilangan yang sekarang di
tambah dengan 2. Proses tersebut dinamakan
dengan proses iterasi. Diketahui bahwa S1 =
1, S2 = 3, dan seterusnya, dan jika Sn
mewakili suatu barisan bilangan ke n, maka
kita tahu bahwa Sn= Sn-1 + 2 dengan n ≥ 2
disebut sebagai rumus rekursi. Jadi, rekursi
adalah proses pengulangan sesuatu dengan
cara kesamaan diri, atau dengan kata lain
rekursi adalah rumus yang didapatkan dari
proses iterasi tersebut.
Tower of Hanoi
Tower of Hanoi (Menara Hanoi)
adalah sebuah permainan matematis atau
teka-teki. Permainan ini terdiri dari tiga tiang
dan sejumlah cakram dengan ukuran yang
berbeda-beda yang bisa dimasukkan ke tiang
mana saja.Diasumsikan bahwa tiang pertama
maerupakan tiang asal, tiang yang tengah
merupakan tiang bantu, dan tiang yang ketiga
merupakan tiang tujuan. Permainan dimulai
dengan cakram-cakram yang tertumpuk rapi
berdasarkan ukurannya dalam salah satu
tiang, cakram terkecil diletakkan teratas,
sehingga membentuk kerucut.Tujuan dari
teka-teki ini adalah untuk memindahkan
seluruh tumpukan cakram ketiang yang lain,
dengan aturan: hanya satu cakram yang boleh
dipindahkan dalam satu waktu; setiap
perpindahan berupa pengambilan cakram
teratas dari satu tiang dan memasukkannya
ketiang lain, di atas cakram lain yang
mungkin sudah ada di tiang tersebut; tidak
boleh meletakkan cakram diatas cakram lain
yang lebih kecil.
Dengan berbagai macam metode
perhitungan dan penelitiannya, permainan
Menara Hanoi ini akhirnya terpecahkan
dengan solusi: jika terdapat sejumlah n
cakram pada permainan Menara Hanoi, maka
banyaknya perpindahan yang terjadi
(mengikuti aturan permainan) hingga semua n
cakram sampai di tiang tujuan adalah 2n
– 1
perpindahan.
The Wheel of Ttheodhorus
The Wheel of Theodhorus, disebut
juga dengan Square Root Spiral, Einstein
Spiral, atau Pythagoras Spiral.The wheel of
theodhorus pertama kali ditemukan dan
dibuat oleh Theodorus of Cyrene (465-398
B.C).Ia adalah seorang ahli matematika
Yunani yang memiliki minat khusus dalam
bilangan irasional dan guru Plato .
Cara membuat atau menggambar The
wheel of theodhorus yaitu yang pertama
membuat segitiga siku-siku dengan panjang
alas 1 cm dan tinggi 1 cm, maka akan didapat
panjang sisi miringnya yaitu√2 , (1-1-√2)
.Kemudian lanjutkan dengan membuat
segitiga siku-siku yang kedua dengan
menggunakan segitiga yang sebelumnya, sisi
miring yang pertama (√2) sebagai tinggi dan
alasnya 1 cm, maka akan didapat panjang sisi

6. miringnya yaitu √3, (1-1-√3); begitu pula
seterusnya hingga sampai pada segitiga yang
terakhir ( syarat: segitiga yang terakhir tidak
menimpa segitiga yang pertama) dengan sisi
miringnya yaitu√17.
Dengan demikian didapat rumus rekursif , di
mana Hn adalah panjang sisi miring n:
H1 = √2danHn = √𝐻 2
𝑛−1
+ 1 , n ≥ 2.
METODE
Peer teaching ini menggunakan metode
diskusi dan tanya jawab. Dimana pada saat
awal proses belajar siswa terlebih dahulu
masalah. Subjek penelitian ini adalah siswa
kelas 6 SD sampai kelas 8 SMP. Teknik
pengumpulan data yang digunakan dalam
penelitian ini adalah hasil observasi aktivitas
siswa dan guru, dan hasil pekerjaan kelompok
siswa dalam LKS.
HASIL
A. Deskripsi Pelaksanaan Peer Teaching
Pembuatan Paper ini ditujukan untuk
memenuhi tugas mata kuliah Matematika
Diskrit. Sebelum pelaksanaan peer teaching,
Kami menyiapkan alat pembelajaran yang
akan digunakan pada saat peer teaching.
Materi yang akan kami bahas dalam kegiatan
peer teaching ini adalah mengenai Iterasi dan
Rekursi di kelas 6 SD sampai kelas 8 SMP.
Media pembelajaran yang Kami gunakan
berupa alat peraga dan penampilan
powerpoint. Alat peraga yang kami gunakan
adalah Menara Hanoi. Menara Hanoi terdiri
dari tiga buah tiang, yang terdiri dari tiang
awal, tiang singgah dan tiang tujuan. Tiang ini
berdiri diatas papan. Setelah pembuatan tiang
Menara Hanoi selesai, Kami membuat
lingkaran yang ditengahnya diberi lubang atau
agar bisa masuk ke dalam tiang awal, tiang
singgah dan tiang tujuan.Lingakaran ini
disebut Cakram. Cakram dibuat sebanyak 5
buah, dengan ukuran terkecil sampai terbesar
dengan dua warna secara selang-seli karena
peraturan permainan ini adalah tidak boleh
menumpukkan 2 buah cakram yang warnanya
sama.Bahan yang Kami gunakan adalah
Steroform. Setelah pembuatan tiang dan
cakram selesai, kami membuat tabel yang
nantinya akan diberikan pada siswa untuk
diisi berapa kali perpindahan cakram.
Untuk materi Roda Theodorus kami hanya
menyediakan tampilan powerpoint yang akan
kami jelaskan pada siswa bagaimana cara
menyelesaikan roda Theodorus sehingga
berbentuk seperti keong atau siput. Kami
menyediakan kertas kosong agar siswa bisa
menggambar roda Theodorus.
Setelah pembuatan media pembelajaran
sudah selesai kami membagi tugas untuk
menjadi moderator dan sebagai gurunya.
Selain itu juga Kami juga berdiskusi metode
apa yang akan kami gunakan untuk peer
teaching, menentukan norma atau aturan yang
akan kami tetapkan dalam proses
pembelajaran, serta menyiapkan bintang
untuk siswa sebagai bentuk penghargaan atau
pujian bagi siswa yang aktif dalam
pembelajaran.
B. Tahap Pelaksanaan
Pelaksanaan peer teaching pada hari Rabu,
28 Oktober 2016 pukul 08.00 sampai 09.30.
Tahap pertama moderator memperkenalkan
guru yang akan mengajar.

7. 1. Permainan Menara Hanoi
Materi pertama yaitu tentang Menara
Hanoi yang dibimbing oleh Sutri Octaviana
Sitorus dan Novri Heriyani Pratami. Sebelum
menjelaskan materi, Kami menjelaskan aturan
atau norma yang ditetapkan dalam proses
pembelajaran, yang pertama ketika siswa
ingin berbicara, mengungkapkan pendapat
dan menjelaskan harus mengangkat tangan,
yang kedua ketika guru atau siswa yang
sedang berbicara diharapkan siswa yang lain
diam dan mendengarkan, yang ketiga siswa
diminta aktif dalam diskusi dan proses
pembelajaran karena siswa yang aktif akan
mendapatkan bintang yang akan menjadi nilai
keaktifan siswa dalam kelas. Setelah itu Kami
membagi siswa kedalam 6 kelompok yang
duduknya berdekatan. Kami menjelaskan cara
permainan Menara Hanoi.
Cara permainannya adalah sebagai berikut:
1. Pada saat memindahkan cakram dari
tiang awal ke tiang tujuan maka posisi
cakram pada saat di tiang awal harus
sama ketika berada di tiang tujuan.
2. pada saat memindahkan cakram,
cakram yang lebih besar harus selalu
dibawah cakram yang lebih kecil.
3. Pada saat memindahkan cakram,
dalam 1 buah tiang tidak boleh
terdapat 2 cakram dengan urutan yang
sama.
Gambar 1 menjelaskan cara permaianan
Menara Hanoi
Setelah menjelaskan cara permainan
Menara Hanoi. Kami meminta siswa yang
bersedia untuk bermain Menara Hanoi.
Gambar 2 siswa bermain menara Hanoi
Gambar 3 siswa bermain Menara Hanoi
Kemudian Kami meminta siswa untuk
mengisi tabel permainan yang telah
disediakan
Gambar 4 kelompok lain mengisi tabel
permainan Menara Hanoi

8. Berikut hasil diskusi beberapa kelompok:
Gambar 5 hasil diskusi siswa kelompok 5
Gambar 6 hasil diskusi siswa kelompok 3
2. The Wheel Theodorus ( Roda
Theodorus)
Materi kedua tentang Wheel
Theodorus (Roda Theodorus) yang diajarkan
oleh Siti Sholekha dan Lusi Kurnia. Guru
membagi siswa menjadi 6 kelompok dan guru
membagikan kertas kosong yang akan
digunakan nantinya untuk menggambar Roda
Theodorus.Awalnya siswa diminta membuat
segitiga siku-siku sama kaki dengan ukuran 1
cm dan sisi miringnya siswa diminta
mencarinya dengan menggunakan Theorema
Phytagoras. Kemudian siswa diminta
meneruskan roda Theodorus sampai
berbentuk sebuah roda atau seperti keong.
Gambar 7 Roda Theodorus yang akan
diteruskan oleh siswa
Setelah siswa selesai mennggambar
dikelompok masing-masing Guru meminta
siswa untuk menggambarkan hasil gambar
Roda Theodorus dan hasil perhitungan
mereka dipapan tulis.
Gambar 8 siswa sedang menggambar dan
menuliskan hasil perhitungannya mencari
sisi-sisi setiap Segitiga
Meri mendapatkan hasil sisis miring
terakhir segitiga siku-siku tersebut adalah
√17.Namun, ketika guru bertanya apakah ada
hasil yang berbeda dengan teman mereka,
ternyata ada beberapa siswa yang memilki
hasil yang berbeda,

9. Gambar 9 Roda Theodorus yang berbeda
yaitu √𝟏𝟔
Ada juga siswa yang mendapatkan
hasil akhir √18, karena hasil akhir bisa sangat
bervariasi , tergantung pada kemampuan
siswa untuk menciptakan sudut kanan akurat
dan tetap tegak lurus kaki satu unit panjang.
Kemudian siswa diminta mencari rumus
dari Roda Theodorus.
Gambar 10 siswa mencari rumus dari
Roda Theodorus
Didapatlah rumus mencari roda
Theodorus
Gambar 11 Rumus roda Theodorus
PEMBAHASAN
Dari penjabaran deskripsi pelaksanaan
kegiatan peer teaching dan tahap
pelaksanaannya, jika dalam permainan
Menara Hanoi dapat diartikan proses Iterasi
adalah proses pemindahan cakram ke tiang
singgah dan tiang tujuan, sedangkan Rekursi
adalah pembuatan pola serta rumus untuk
menentukan banyak pengulangan pemindahan
cakram. Jika dalam Roda Theodorus proses
iterasi adalah proses berulang melibatkan
membangun segitiga siku-siku baru
berbatasan sebelumnya segitiga siku-siku
dengan menggunakan miring sebelumnya
sebagai salah satu kaki dan menjaga tegak
lurus kaki satu unit panjang hingga akhirnya
membentuk sebuah roda atau seperti keong,
Sedangkan rekursi adalah memakili proses
iterasi dengan sebuah rumus.
Dalam hal ini kita sebagai calon guru
dapat menggunakan permainan Menara Hanoi
dan Roda Theodorus untuk mengajarkan
Matematika Diskrit di kelas 6 SD sampai
kelas 8 SMP dengan cara yang m
KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan maka
dapat disimpulkan bahwa pembelajaran
dengan menggunakan media permainan
menara Hanoi dan roda Theodhorus dapat
membangkitkan semangat siswa dalam
mengikuti proses belajar di kelas. Siswa
dengan antusias memindahkan cakram dari
satu tiang ketiang yang lainnya dengan
mengikuti peraturan yang berlaku pada
permaianan Menara Hanoi, siswa juga sangat
hati-hati dan teliti dalam menggambar dan
menghitung panjang sisi miring dari segitiga
yang terbuat pada roda Theodhorus, untuk

10. menentukan rumus rekursif pada proses
iterasi tersebut.
SARAN
Berdasarkan kesimpulan diatas maka
disarankan, guru diharapkan mampu
menciptakan suasana belajar yang
menyenangkan dengan menggunakan metode
dan teknik mengajar yang disukai serta
membangkitkan semangat belajar siswa
selama mengikuti proses pembelajaran.

11. DAFTAR PUSTAKA
Hart, Eric W.2008.Navigating through Discrate Mathematics in Grades 6-12.Amerika:National
Council of Mathematics (NCTM).

12. LAMPIRAN
1. Gambar 1 menjelaskan cara permaianan Menara Hanoi
2. Gambar 2 siswa bermain menara Hanoi
3. Gambar 3 siswa bermain Menara Hanoi

13. 4. Gambar 4 kelompok lain mengisi tabel permainan Menara Hanoi
5. Gambar 5 hasil diskusi siswa kelompok 5
6. Gambar 6 hasil diskusi siswa kelompok 3

14. 7. Gambar 7 Roda Theodorus yang akan diteruskan oleh siswa
8. Gambar 8 siswa sedang menggambar dan menuliskan hasil perhitungannya
mencari sisi-sisi setiap Segitiga
9. Gambar 9 roda Theodorus yang berbeda yaitu √𝟏𝟔

15. 10. Gambar siswa mencari rumus dari Roda Theodorus
11. Gambar Rumus Roda Theodorus