Algebraic thinking

3,228 views

Published on

This is about how teachers can teach algebra in primary schools.

Published in: Education, Technology
1 Comment
8 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
3,228
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
0
Comments
1
Likes
8
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Algebraic thinking

  1. 1. • Bincangkan tentang konsep-konsep yang berikut dengan memberi fokus kepada pengertian serta peranannya dalam menjana idea dan pemikiran matematik.• – algebra,• – geometry and• – Statistics.
  2. 2. ALGEBRAUthaya Chandrikah Ramiah (M20111000094) Nurul Huda Mansor (M20111000088) Kunasundari Nallasamy (M20111000087)
  3. 3. • Algebra (bahasa arab): al-jabr yang membawa maksud "gabungan, sambungan, atau pelengkap") ialah cabang matematik yang berkaitan dengan kajian struktur, hubungan, dan kuantiti.• Abu Abdullah Mohammad Ibn Musa al- Khawarizmi(bahasa Arab): merupakan bapa algebra. kerana sumbangan dan penerokaan beliau yang besar dalam bidang algebra dan dunia matematik.
  4. 4. DEFINISI• Algebra boleh didefinisikan sebagai “bahasa untuk berkomunikasi dan meneroka perhubungan dalam matematik serta satu kaedah untuk membuat pembuktian terhadap sesuatu hubungan” (Anghileri, 1995, page 124).• Manakala menurut David R.Wetzel (2008) pula, Algebra digunakan setiap hari untuk menyelesaikan masalah matematik termasuklah masalah matematik yang mengandungi pembolehubah dan nombor rasional.
  5. 5. DEFINISI• Menurut Usiskin(1997), algebra adalah satu bahasa. Ianya terdiri daripada 5 aspek yang utama iaitu anu, rumus, corak nombor, nilai tempat dan hubungan.• Vance ( 1988) pula berpendapat, Algebra boleh dikatakan sebagai pengembangan arimetik atau satu bahasa untuk menghuraikan tentang aritmetik. Walau bagaimanapun algebra juga mempunyai berbagai cara untuk memanipulasi simbol dan ia juga merupakan satu cara berfikir.
  6. 6. ● Algebra asas - mencatat sifat-sifat operasi pada sistem nombor nyata sebagai "pemegang tempat" dengan simbol-simbol untuk mewakili pemalar serta pemboleh ubah, dan petua-petua untuk ungkapan matematik dan persamaan yang melibatkan simbol.● Algebra niskala - juga dipanggil sebagai "algebra moden", yang mengkaji struktur-struktur algebra seperti kumpulan, gelanggang, dan medan yang diberikan definisi aksioman.● Algebra linear - mengkaji sifat-sifat khusus untuk ruang vektor (termasuk matriks);● Algebra semesta - mengkaji sifat-sifat sepunya dalam semua struktur algebra.
  7. 7. • Anu ialah suatu kuantiti yang belum diketahui nilainya.• Sebutan dalam satu anu - hasil darab satu anu dengan satu nombor, cth : 4y.• Sebutan dalam dua anu - hasil darab dua anu dengan suatu nombor, cth : 4xy.• Pekali bagi suatu sebutan dalam satu anu – nombor yang mendarabkan anu itu.
  8. 8. Kandungan matematik dirangkumkan mengikut 4 bidang pembelajaran, iaitu : Nombor Sukatan dan dan Geometri Operasi Perkaitan dan Statistik dan Algebra Kebarangkalian
  9. 9. Isi Kandungan KSSR Matematik:NOMBOR DAN OPERASI SUKATAN DAN GEOMETRI• Nombor Bulat • Masa dan Waktu• Penambahan• Penolakan • Ukuran Panjang• Pendaraban • Timbangan• Pembahagian• Operasi Bergabung • Isipadu Cecair• Pecahan • Bentuk Tiga Dimensi• Perpuluhan• Wang • Bentuk Dua Dimensi
  10. 10. KANDUNGAN BAGI KSSR MATEMATIKSTATISTIK DANPERKAITAN DAN ALGEBRA KEBARANGKALIAN• Bagi peringkat KSSR • Perwakilan Data Matematik, tiada kandungan secara • Purata tajuk yang • Peratus disenaraikan, ianya lebih berupa unsur secara tidak langsung.
  11. 11. PERKEMBANGAN DI SEKOLAH RENDAH• Algebra tidak diajar secara langsung di dalam kelas, tetapi penekanan kepada pemikiran algebra mula dimasukkan ke dalam Kurikulum Sekolah Rendah .• Elemen –elemen algebra telah diterapkan didalam pengajaran dan pembelajaran matematik didalam kelas .
  12. 12. Sambungan Contohnya, dengan penggunaan beberapa perkataaan yang berkaitan dengan pemikiran algebra seperti: “find the missing number”, “what number must be added or subtract ” and “what number multiply by ” yang digunakan di dalam persamaan aritmetik telah mula diajar kepada pelajar sekolah rendah.
  13. 13. Pra-Algebra Penyelesaian masalah lebih kepada membina pemikiran aritmetik, dalam proses menghubungkannya dengan konsep algebra. Menurut Boero (2001), ini dikenali sebagai pra-algebra. Yang mana ia menggunakan patern, manipulasi arimetik, jadual dan graf, hubungan songsang ( inverse relationship) dan lain-lain Selain dapat memberi pengalaman awal kepada pelajar sekolah rendah tentang pengenalan kepada pemikiran algebra, mereka juga dapat membina asas pemikiran algebra mereka sendiri.
  14. 14. Sambungan (Pra-Algebra)• Dalam proses memperkenalkan algebra kepada pelajar sekolah rendah, iannya, dimulakan dengan menghubungkaitkan proses arimetik yang mereka pelajari didalam kelas di dalam bentuk algebra.• Sebagai contoh, dalam operasi ,tambah, tolak, darab dan bahagi, pelajar boleh dilatih untuk menjawab soalan yang berbentuk proses songsangan.
  15. 15. • Menurut Blanton dan Kaput(2003), guru yang mengajar di sekolah rendah perlu menggunakan segala pengalaman algebra yang pernah mereka pelajari diperingkat tinggi untuk menghubungkaitkan konsep algebra kepada pelajarnya• langkah-langkah yang perlu dilakukan oleh guru dalam proses menerapkan pemikiran algebra kepada pelajar di peringkat sekolah rendah adalah seperti berikut :-
  16. 16. • Memperkenalkan corak objek-objek yang ada di sekeliling pelajar.• Memperkenalkan corak yang berulang secara seragam.• Menyusun nombor dalam turutan menaik atau menurun.• Mengenal pasti hubungan.• Merekod berbagai cara pengulangan nombor yang seragam.• Membina hubungan antara operasi dua nombor dan antara dua operasi• Mencari nilai nombor yang tidak diketahui.
  17. 17. TAHAP PERKEMBANGAN ALGEBRA (MASON, 1990)• Tahap 1 - Beritahu apa yang kamu lihat ( Say what you see ) Early Stage 1 create, represent and continue a variety of ● recognise, describe, create number patterns and supply missing and continue elements repeating patterns
  18. 18. • Tahap 2 - Pelbagai jenis persamaan dan tanda kurung ( multiple expressions and brackets) completing number sentences: 5+ = 12 – 4• Tahap 3 dan 4 – Generalisasi arithmetik ( Generalised arithmetic ) constructing number sentences to match a word problem, checking solutions and describing strategies
  19. 19. PEMIKIRAN ALGEBRA• Pemikiran algebra adalah satu tabiat minda yang diperolehi oleh pelajar melalui arahan yang jelas dan membina, peluang berterusan untuk berfikir , menerang dan mewajarkan hubungan umum dalam aritmetik, geometri dan statistik.
  20. 20. NCTMPrinciples and Standards for SchoolMathematics (NCTM 2000) menyatakanbahawa, “tanggungjawab utama guru adalahuntuk mewujudkan persekitaranpembelajaran di mana pelajar digalakkanmempelbagaikan penggunaan perwakilan”(139).
  21. 21. Mengamalkan Pengajaran yang membentuk Pemikiran Algebra kanak-kanak• Terdapat empat langkah penting yang harus diamalkan oleh guru dalam membina dan menjana fikiran untuk membantu kanak-kanak berfikir secara algebra:• Represent: Provide multiple ways for children to systematically represent algebraic situations.• Question: Ask questions that encourage children to think algebraically.• Listen: Listen to and build on children’s thinking.• Generalize: Help children develop and justify their own generalizations.
  22. 22. • Terma representation merujuk kepada proses penyampaian idea dan hasilnya (NCTM 2000).• Contohnya :• Untuk menentukan hasil tambah satu nombor genap dan satu nombor ganjil, adalah nombor genap• Atau, menyampaikan idea pemikiran mereka menggunakan ayat matematik yang terdiri daripada nombor-nombor genap dan ganjil (yang tertentu sahaja), atau menyampaikan idea pemikiran menggunakan bentuk segiempat sama,
  23. 23. Question: Ask Questions That Encourage Children to Think Algebraically• Question• Soalan: Tanya soalan yang menggalakkan kanak-kanak untuk berfikir secara algebra• Bertanya soalan yang baik merupakan perkara paling penting untuk mengalakkan perkembangan daya pemikiran algebra, iaitu. Soalan-soalan yang merangsangkan pemikiran• Menjana pemikiran algebra dalam kanak-kanak selalunya digalakkan melalui sesi bersoal jawab dan bukannya memberikan jawapan sahaja.
  24. 24. • Bertanyakan soalan yang baik membantu kanak-kanak untuk menyusun pemikiran merekadan membina idea- idea matematik.• Apabila seorang guru memberitahu kanak-kanak jenis perwakilan untuk menggunakan atau bagaimana untuk melambangkan hubungan yang berfungsi atau bagaimana untuk menjustifikasikan tekaan tertentu, ia mengurangkan peluang kanak-kanak untuk membina pemikiran mereka sendiri
  25. 25. EXAMPLES• Adakah sesiapa mempunyai sebarang andaian untuk dikongsi?• Bagaimana anda memodelkan masalah ini?• Bagaimana anda mewakili pemikiran anda?• Mengapa anda menggunakan ini perwakilan tertentu?• Bagaimana ia membantu anda mencari penyelesaian?• Apakah strategi yang anda gunakan?• Bagaimana anda mendapatkan penyelesaian anda?
  26. 26. Listen: Listen to and Build on Children’s Thinking• Listen Dengar: Dengar dan membina pemikiran kanak-kanak.• mendengar adalah penting kerana ia membantu anda memahami pemikiran kanak-kanak, dan anda boleh menggunakan pengetahuan ini untuk membimbing arahan anda.• Sama ada pelajar menyelesaikan satu tugasan yang panjang atau hanya mengkaji penyelesaian kepada masalah kerja rumah, ambil peluang untuk mendengar idea, strategi, dan hujah serta fikirkan tentang bagaimana anda boleh melanjutkan pemikiran algebra mereka
  27. 27. • June asked if the sum 5 and 7 was even or odd.• When Tony used arithmetic to answer the question, she challenged his thinking: “How did you get that?” She asked.• “I added 5 and 7 and then I looked over there and saw that it was even,” Tony explained. (Tony pointed to a list of evens and odds recorded on a chart on the wall. Twelve was on the list of evens.) “What about 45,678 85,631?• Odd or even?” June asked. “It’s odd,” Jenna explained. “Why?” June asked.• “Because 8 and 1 is even and odd, and even and odd is odd.”• June was not only listening, we could say she was listening algebraically
  28. 28. Generalize: Help Children Build Generalizations• Umum: Bantuan kanak-kanak bangkit dan mewajarkan generalisasi sendiri mereka• The central goal of algebraic thinking is to get children to think about,describe, and justify what is going on in general with regard to some mathematical situation• The three instructional goals described so far—represent, question, and listen—are all critical components in helping children build their own generalizations.• The level of generalization that children reach within an activity or task will differ depending on the particular lesson being taught and the grade level.
  29. 29. • Matlamat utama pemikiran algebra adalah untuk membantu kanak-kanak untuk berfikir, menerangkan, dan menghalalkan apa yang sedang berlaku di persekitaran dengan mengambil kira beberapa situasi matematik• Ketiga-tiga matlamat pengajaran yang diterangkan (representation, question, listen) akan membantu kanak- kanak membina umum mereka sendiri.• Tahap generalisasi yang dicapai oleh kanak-kanak dalam aktiviti atau tugas akan berbeza bergantung kepada pelajaran tertentu yang diajar dan tahap gred.
  30. 30. Dalam membuat generalisasi, kanak-kanak perlu diberi peluang untuk meneroka idea-idea matematikMeneroka membantu kanak-kanak menyusunpemikiran mereka dan memutuskan bagaimanauntuk mewakili atau model pemikiran mereka
  31. 31. GENERATING ALGEBRAIC THINKING
  32. 32. What is Algebra? Love is…. 2 + 2 = 3 + 1.“The language of arithmetic is focussed on answers.The language of algebra is focussed on relationships.” MacGregor, M & Stacey, K. (1999) “A flying start to algebra. Teaching Children Mathematics, 6/2, 78-86. Retrieved 19 March 2012 from http://staff.edfac.unimelf.edu.au/~Kayecs/publications/1999/MacGregorStacey-AFlying.pdf
  33. 33. Algebraic Thinking (retrieved from http://arb.nzcer.org.nz/supportmaterials/maths/concept_map_algebraic.php• Algebraic thinking is about generalising arithmetic operations and operating on unknown quantities.• It involves recognising and analysing patterns and developing generalisations about these patterns.• In algebra, symbols can be used to represent generalisations.
  34. 34. Algebraic Thinking (retrieved from http://arb.nzcer.org.nz/supportmaterials/maths/concept_map_algebraic.php• What do students need to know and need to be able to do in order to think algebraically? Exploring Commutability Additive number and Equality Identity properties Associability
  35. 35. Equality =• What does the equals sign means? Must put answer The total of Misconception! after the sign
  36. 36. Algebraic understanding of equality• The equals sign means "is the same as".• Without this understanding students will find it very difficult in the future to work with equations where, for example, there are unknowns on both sides of the equals sign,• e.g., 2x + 5 = x + 10.
  37. 37. Number sentences• To encourage students to develop a more algebraic view of equality, they can be challenged by having alternative forms of number sentences presented to them, such as:• 2 + 3 = = 2+ 3• 2 + = 5 + 3 = 5
  38. 38. Balance• The concept of balance can be used to reinforce the idea of equality – both sides of the number sentence need to be the same, the equation needs to balance.
  39. 39. Avoid misuse of =• Question : 2 + 6 x 3 =• Possible answer by pupils : – 2 + 6 = 8 x 3 = 24 – It’s indicate that 2 + 6 = 24• Encourage students to rewrite their steps underneath each other. – 2+6 = 8 – 8 x 3 = 24
  40. 40. Exploring Number Properties• Pupils must understand how the basic arithmetic operations are related to one another.• ‘one of the biggest obstacles to algebra learning in the middle years is a limited understanding of multiplication and divison.’ • MacGregor, M & Stacey, K. (1999) “A flying start to algebra.
  41. 41. Additive Identity Who am I? What am I? What happens when I’m added to a number?
  42. 42. Conjectures about zeroWhen you add zero with another number it doesn’t change the number you started with. a +0=aWhen you take away zero from a number it doesn’t change the number you started with. a–0=a If you take away the same number from the one you started with you get zero. a–a=0
  43. 43. Finding the zero?6+5–5=12 + 7 – 7 =
  44. 44. Commutability and Associability• Two properties that are frequently used to solve problems are the commutative and associative properties of addition.• The commutative property states that : a+b=b+a (a + b) + c = a + (b + c)
  45. 45. Commutability and Associability• Is the mathematic sentence correct? 3+8 = 8+3• Pupils make a general rule. 2 + 5 = 5 +• Teach meaning of ‘=‘ first, and commutability and associability fall into place easily.
  46. 46. Relational thinking• Using the relationships between the numbers to solve the problem – without calculating – called relational thinking. 32 + 76 = + 74
  47. 47. Patterns• The study of patterns is a key part of algebraic thinking. They involve relationships and generalisations.• The power of patterns is that they allow us to predict what will come next, express a relationship and come out with generalization.
  48. 48. Why Pattern?• Patterning is critical to the abstraction of mathematical ideas and relationships, and the development of mathematical reasoning in young children (English, 2004; Mulligan, Prescott & Mitchelmore, 2004; Waters, 2004)• The integration of patterning in early mathematics learning can promote the development of mathematical modelling, representation and abstraction of mathematical ideas. (Papic & Mulligan, Preschoolers’ Mathematical Patterning)
  49. 49. Example of Patterns• Spatial repeating patterns• Spatial and number patterns
  50. 50. Pengenalan Kepada Algebra• Algebra – murid tidak tahu• Apa itu algebra? Contoh : 2 + =5• Sudah belajar dalam tahun 1• Contoh : 10 20 S Perwakilan dalam bentuk simbol / pola
  51. 51. Bagi Tahun Satu• Perkenalkan pola & perkaitan yang mudah• Contohnya : i) Menyusun nombor ii) Menyusun bentuk –menaik/ menurun iii) Mengisi ruangan kosong• Contoh Latihan• Latihan Secara practikal
  52. 52. Tahun 5• Pola nombor 2456, 1253, , 654• Perkaitan 5+8=3+
  53. 53. • Cari bilangan mancis bagi nombor 2 dan 5. 1 2 5
  54. 54. Contoh soalan:Cari bilangan segiempat di bawah.
  55. 55. Samb.• Penyelesaian Masalah Contoh : 1. Salmah has some fruits. ( n ) 2. Siti has 2 more than Salmah. (n+2) 3. Milah has 2 times more than Salmah. (2n) 4. Tina has 2 less than Salmah (n-2)
  56. 56. Penyelesaian menggunakan simbol• Contoh : 1. Tina ada 85 buku. Tina = T T = 85 2. Tina ada 85 buku dan Kenny mempunyai 112 buku. Berapakah jumlah buku yang mereka ada? a) T = 85 c) 85 + 112 = 197 K = 112 b) J = T + K d) Semak semula
  57. 57. Samb.• Penjanaan idea algebra akan mengambil masa yang lama untuk diterapkan dalam minda murid.• Kecuali dilatih dari awal / secara berterusan• Tidak akan berlaku dalam semalaman bagi tahap yang lebih tinggi.
  58. 58. BETUL/SALAH• + 7 = 10• Cara penyelesaian : 10 – 7 = 3 /X + 7 - 7 = 10 – 7 +0=3 =3
  59. 59. Peranan Guru1. Mendedahkan murid dengan pelbagai kaedah secara berterusan.2. Guru perlu faham dahulu konsep algebra.3. Galakkan murid menggunakan simbol untuk perwakilan.4. Beri kerjarumah bukan sekadar latihan- cari perkaitan Contoh : apa yang dimaksudkan dengan =
  60. 60. Contoh Kerjarumah 1:
  61. 61. Contoh 2:
  62. 62. • Sekian, terima kasih Sesi soal jawab

×