Pengenalan Metode Elemen Hingga, Finite Element Method, Computation, Numerical Method

1. Pengenalan Metode Elemen Hingga
(Finite Element Method)
Sparisoma Viridi* dan Suprijadi
Physics Department,
Institut Teknologi Bandung, Jalan Ganesha 10, Bandung 40132, Indonesia
*dudung@gmail.com
FI4148
22 Oktober 2013
1

2. Outline
•
•
•
•
•
•
•
Finite Element Method
Syarat batas
Formulasi untuk LDE
Jenis FEM
Kasus 1-d pegas
Kasus 1-d batang
Piranti lunak
FI4148
22 Oktober 2013
2

3. Finite Element Method
• FEM adalah suatu metode numerik untuk
menyelesaikan sebuah persamaan diferensial
atau integral (Dixit, ?).
• FEM didasari pada ide dalam membangun
obyek kompleks atas satuan sederhana atau
membagi obyek kompleks atas satuan-satuan
kecil yang mudah ditangani (Liu, 2003).
URI http://www.iitg.ernet.in/engfac/rtiwari/resume/usdixit.pdf [20131018.1403].
URI http://faculty.ksu.edu.sa/rizwanbutt/Documents/FEM_Lecture_Notes.pdf [20131018.1404].
FI4148
22 Oktober 2013
3

4. Finite Element Method (cont.)
• Analisis FE pada suatu permasalahan bersifat
sangat skematis sehingga dapat dibagi-bagi
menjadi kumpulan langkah logis yang dapat
diimplementasikan pada suatu komputer
digital dan dapat digunakan pada berbagai
permasalahan hanya dengan mengganti data
masukannya untuk program komputer
(Reddy, 1988).
URI http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lim/albores_b_mi/capitulo7.pdf [20131018.1356].
FI4148
22 Oktober 2013
4

5. Finite Element Method (cont.)
• FEM dapat diterapkan pada permasalahanpermasalahan, seperti struktur, transfer
panas, dan aliran fluida (?, ?).
URI http://homepages.cae.wisc.edu/~me232/lecture_notes/fea.pdf [20131018.1358].
FI4148
22 Oktober 2013
5

6. Syarat batas
• Terdapat dua jenis syarat batas: syarat batas
esensial (SBE) dan syarat batas natural (SBN).
• SBE adalah mencukupi untuk menyelesaikan
persamaan diferensial secara lengkap.
• SBN berupa turunan waktu lebih tinggi sukusuku dan tidak mencukupi untuk menyelesaikan persamaan diferensial, masih membutuhkan setidaknya satu SBE.
URI http://www.iitg.ernet.in/engfac/rtiwari/resume/usdixit.pdf [20131018.1403].
FI4148
22 Oktober 2013
6

7. Syarat batas (cont.)
• Bila terdapat persamaan diferensial 0 < x < L
d  du 
A + B = 0
dx  dx 
yang dapat dipecahkan secara lengkap bila
– u(0) dan u(L) diketahui atau
– u(0) dan du/dx |x = L diketahui
URI http://www.iitg.ernet.in/engfac/rtiwari/resume/usdixit.pdf [20131018.1403].
FI4148
22 Oktober 2013
7

8. Syarat batas (cont.)
• Manakah yang merupakan syarat batas
esensial?
• Manapula yang merupakan syarat batas
natural?
FI4148
22 Oktober 2013
8

9. Formulasi untuk LDE
• Linear differential equation (LDE) dapat
memiliki bentuk
Lu + q = 0
di mana u adalah vektor variabel utama permasalahan (fungsi koordinat) yang didekati
dengan fungsi aproksimasi, L operator diferensial, dan q vektor fungsi yang diketahui.
FI4148
22 Oktober 2013
9

10. Formulasi untuk LDE (cont.)
• Terdapat dua formulasi populer FEM, yaitu
Galerkin dan Ritz.
• Dalam formulasi Galerkin, variabel utama
diaproksimasi dengan suatu fungsi kontinu
dalam elemen yang ditinjau.
• Saat ue atau nilai hasil fungsi aproksimasi disubstitusikan, akan diperoleh residu R
Lu + q = R
e
FI4148
22 Oktober 2013
10

11. Formulasi untuk LDE (cont.)
• Idealnya R = 0 di manapun, yang berarti nilai
hasil aproksimasi menjadi nilai sebenarnya.
• Dikarenakan sulit untuk memperoleh residu
sama dengan nol pada semua titik, maka yang
dibuat nol adalah residual yang diberi bobot
∫ wRdA = 0
D
dengan w adalah fungsi bobot.
FI4148
22 Oktober 2013
11

12. Formulasi untuk LDE (cont.)
• Untuk mengurangi kebutuhan pada diferensiabilitas fungsi aproksimasi, persamaan sebelumnya dintegralkan per bagian untuk mendistribusikan kembali order turunan dalam w
dan R.
• Dalam formulasi Galerkin, fungsi bobot dipilih
memiliki bentuk yang sama dengan fungsi
aproksimasi untuk ue.
FI4148
22 Oktober 2013
12

13. Formulasi untuk LDE (cont.)
• Fungsi aproksimasi ada suatu fungsi aljabar.
• Dengan demikian, biasanya
{ }
u = [N] u
e
ne
dengan [N] adalah matriks fungsi bentuk
(shape functions) dan {une} adalah derajat
kebebasan dari nodal.
FI4148
22 Oktober 2013
13

14. Jenis FEM
• Elemen (garis) 1-d
• Kasus: pegas, batang, pipa,
URI http://faculty.ksu.edu.sa/rizwanbutt/Documents/FEM_Lecture_Notes.pdf [20131018.1404].
FI4148
22 Oktober 2013
14

15. Jenis FEM (cont.)
• Elemen (bidang) 2-d
• Kasus: membran, pelat, kulit, ..
FI4148
22 Oktober 2013
15

16. Jenis FEM (cont.)
• Elemen (ruang) 3-d
• Kasus: medan 3d, seperti temperatur,
perpindahan, tegangan, aliran, kecepatan
aliran, ..
FI4148
22 Oktober 2013
16

17. Kasus 1-d pegas
“Everything important is simple”
• Satu elemen pegas:
– Dua noda
– Dua nodal perpindahan
– Dua noal gaya
– Satu konstanta pegas (stiffness)
URI http://faculty.ksu.edu.sa/rizwanbutt/Documents/FEM_Lecture_Notes.pdf [20131018.1404].
FI4148
22 Oktober 2013
17

18. Kasus 1-d pegas (cont.)
• Hukum Hooke
Fij = −k ( xi − x j ) + sign ( xi − x j ) klij
dengan lij adalah panjang normal pegas.
FI4148
22 Oktober 2013
18

19. Kasus 1-d pegas (cont.)
• Kasus pada i dengan pegas teregang
Fij = −k ( xi − x j ) − klij > 0
• Kasus pada i dengan pegas tertekan
Fij = −k ( xi − x j ) − klij < 0
FI4148
22 Oktober 2013
19

20. Kasus 1-d pegas (cont.)
• Kasus pada j dengan pegas teregang
F ji = −k ( x j − xi ) + kl ji < 0
• Kasus pada j dengan pegas tertekan
F ji = −k ( x j − xi ) + kl ji > 0
FI4148
22 Oktober 2013
20

21. Kasus 1-d pegas (cont.)
• Umumnya suku sign(xi – xj) k lij menjadi ‘hilang’ dalam penyusunan persamaan diferensial karena hanya merupakan konstanta.
• Transformasi koordinat, misalnya pada
Fij = −k ( xi − x j ) − klij
⇒ Fij = −k ( xi + lij ) + kx j
⇒ Fij = −kui + ku j
FI4148
22 Oktober 2013
21

22. Kasus 1-d pegas (cont.)
• Atau dapat pula ui dan uj dihitung relatif dari
posisinya kesetimbangannya, yaitu xi0 dan xj0.
• Arti dari ui dan uj terhadap posisi kesetimbangan ini lebih sering digunakan.
• Hubungannya adalah
ui(t) = xi(t) – xi0
uj(t) = xj(t) – xj0
FI4148
22 Oktober 2013
22

23. Kasus 1-d pegas (cont.)
f i = − k ( ui − u j )
f j = − k ( u j − ui )
FI4148
22 Oktober 2013
23

24. Kasus 1-d pegas (cont.)
• Kedua persamaan sebelumnya menjadi
− k
k

k   ui   f i 
 u  =  f 
− k  j   j 
k
− k

− k   ui   f i 
 u  +  f  = 0
k  j   j 
Ku + f = 0
FI4148
22 Oktober 2013
24

25. Kasus 1-d pegas (cont.)
f1 = −k ( u1 − u2 )
f 2 = −k ( u2 − u1 ) − k ( u2 − u3 )
f 3 = − k ( u3 − u 2 )
FI4148
22 Oktober 2013
25

26. Kasus 1-d pegas (cont.)
− k1
k
 1
 0

k1
− k1 − k 2
k2
Ku + f = 0
FI4148
0   u1   f1 
 u  =  f 
k2   2   2 
 u3   f 3 
− k2    
 k1
− k
K = 1
 0

22 Oktober 2013
− k1
k1 + k 2
− k2
26
0 

− k2 
k2 


27. Kasus 1-d pegas (cont.)
 k1
− k
 1
K=



− k1
k1 + k 2
− k2
− k2
k 2 + k3
− k3



− k3 

k3 
URI http://faculty.ksu.edu.sa/rizwanbutt/Documents/FEM_Lecture_Notes.pdf [20131018.1404].
FI4148
22 Oktober 2013
27

28. Kasus 1-d pegas (cont.)
FI4148
22 Oktober 2013
28

29. Kasus 1-d pegas (cont.)
f 4 = −k1 ( u4 − u2 )
f 2 = − k1 ( u 2 − u 4 ) − k 4 ( u 2 − u1 ) − k 2 ( u2 − u3 )
f1 = − k 4 ( u1 − u2 )
f 3 = − k 2 ( u3 − u 2 ) − k 3 ( u3 − u5 )
f 5 = − k 3 ( u5 − u3 )
FI4148
22 Oktober 2013
29

30. Kasus 1-d pegas (cont.)
• Matriks kekakuan (stiffness matrix)
 k4
− k
 4
K = 0

0

 0

FI4148
− k4
k1 + k 2 + k 4
− k2
− k1
0
22 Oktober 2013
0
− k2
k 2 + k3
0
− k3
0
k1
0
k1
0
30
0 

0 
− k3 

0 
k3 


31. Kasus 1-d batang
• Perpindahan u(x)
• Regangan ε(x)
• Tegangan σ(x)
FI4148
22 Oktober 2013
31

32. Kasus 1-d batang (cont.)
• Hubungan regangan-perpindahan
du
ε=
dx
• Hubungan tegangan-regangan
σ = Eε
FI4148
22 Oktober 2013
32

33. Kasus 1-d batang (cont.)
• Fungsi bentuk linier (linear shape functions)
x
ξ=
L
0 ≤ ξ ≤1
Ni (ξ ) = 1 − ξ
N j (ξ ) = ξ
• Dengan demikian
u ( x ) = u ( ξ ) = N i ( ξ ) ui + N j ( ξ ) u j
FI4148
22 Oktober 2013
33

34. Kasus 1-d batang (cont.)
 ui 
• Atau u = N i N j   = Nu
u j 
[
]
• Hubungan sebelumnya akan memberikan
du  d 
ε=
=  N u = Bu
dx  dx 
di mana B adalah elemen matriks reganganperpindahan.
FI4148
22 Oktober 2013
34

35. Kasus 1-d batang (cont.)
dN d
dξ d
B=
=
Ni N j =
Ni N j
dx dx
dx dξ
1
= [ − 1 1] = [ − 1 / L 1 / L ]
L
[
]
[
• Selanjutnya
σ = Eε = EBu
FI4148
22 Oktober 2013
35
]

36. Kasus 1-d batang (cont.)
1
1
2
U = Vσε = VEε
2
2
• Energi strain
• Energi yang tersimpan dalam batang
(
)
1
1
T
T T
U = ∫ σ εdV = ∫ u B εBu dV
2V
2V

1 T
T
= u  ∫ B εB dV u
2 V

(
FI4148
)
22 Oktober 2013
36

37. Kasus 1-d batang (cont.)
• Kerja oleh dua gaya nodal adalah
1
1
1 T
W = f i ui + f j u j = u f
2
2
2
• Sistem konservatif
U =W
FI4148
22 Oktober 2013
37

38. Kasus 1-d batang (cont.)


T
f =  ∫ B εB dV u
V

(
)
• Kembali ke Ku + f = 0, dapat diperoleh
(
)
K = ∫ B εB dV
T
V
yang merupakan matriks kekakuan.
FI4148
22 Oktober 2013
38

39. Kasus 1-d batang (cont.)
• Untuk kasus ini
(
)
K = ∫ B εB dV
T
V
− 1 / L 
= ∫
 E{ − 1 / L 1 / L} Adx
1/ L 
0
EA  1 − 1
=
− 1 1 
L 

L
FI4148
22 Oktober 2013
39

40. Kasus 1-d batang (cont.)
 2 −2 0 
EA 

K=
− 2 3 − 1
L 
 0 −1 1 


URI http://faculty.ksu.edu.sa/rizwanbutt/Documents/FEM_Lecture_Notes.pdf [20131018.1404].
FI4148
22 Oktober 2013
40

41. Kasus lain: 2-d dan 3-d
• Lebih kompleks untuk dibahas dalam satu kali
perkuliahan.
• Dapat dipelajari dengan menggunakan
sumber-sumber yang ada di internet.
• Untuk kasus 1-d pun terdapat permasalahan
lain yang dapat dibahas.
FI4148
22 Oktober 2013
41

42. Piranti lunak
• ABAQUS
• FEM
• COMSOL
FI4148
22 Oktober 2013
42

43. Piranti lunak (cont.)
URI http://www.math.chalmers.se/~torbjrn/M3/IntroductionToCOMSOLMultiphysics.pdf [20131021.1038].
FI4148
22 Oktober 2013
43

44. Terima kasih
FI4148
22 Oktober 2013
44