Struktur statis tak tentu

1. STRUKTUR STATIS TAK TENTU
Metode Clapeyron-Continuous
Beam
JURUSAN TEKNIK SIPIL
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS TRIBHUANA TUNGGADEWI
HARVY IRVANI ST., MT.
3/8

2. Defleksi
• Sebuah struktur dapat mengalami defleksi diakibatkan dari beragam
simber, misalnya dari adanya beban, perubahan suhu, kesalahan
pabrikasi, atau penurunan.
• Pada desain struktur diharuskan defleksinya kecil untuk menjaga
integritas struktur dan untuk keamanan pengguna struktur tersebut.
• Defleksi dalam hal ini dianggap berlaku pada struktur yang memiliki
material elastis linear (linear elastic material response) sehingga
sebuah struktur yang dikenakan beban akan kembali ke kondisi asal
yang belum terdeformasi setelah beban dilepaskan.

3. Defleksi
• Defleksi pada struktur disebabkan oleh beban-beban internal seperti
gaya normal (N), gaya geser (V), dan bending momen (M).
• Untuk balok dan rangka kaku defleksi terbesar kebanyakan
disebabkan oleh momen internal, sedangkan pada rangka batang
kebanyakan disebabkan oleh gaya axial internal.

4. Defleksi

5. Defleksi – Kurva Elastisitas

6. Defleksi - Teori Balok Elastis
• Dua persamaan diferensial penting yang berhubungan dengan momen
internal pada balok terhadap perpindahan (displacement) dan
kemiringan (slope) di kurva elastisitas.
• Persamaan tersebut merupakan dasar dari metode defleksi yang
diberikan pada materi ini dan oleh karena itu asumsi dan batasan yang
diberikan pada penyelesaian persamaan ini harus dipahami.

7. Teori Balok Elastis (Elastic-Beam Theory)
• Diberikan sebuah balok lurus yang
terdeformasi secara elastis oleh beban tegak
lurus sumbu x balok yang terletak pada
bidang x-v dan simetris pada potongan
melintang balok.
• Dengan adanya beban, deformasi balok disebabkan oleh gaya geser dalam
dan bending momen.
• Jika panjang balok jauh lebih besar dari tinggi balok, deformasi terbesar
disebabkan oleh bending momen.

8. Teori Balok Elastis (Elastic-Beam Theory)
• Ketika momen internal M mendeformasi
elemen dari sebuah balok, setiap potongan
melintang tetap sebidang dan sudut yang
terbentuk diantaranya disebut d .
• Busur dx yang merepresentasikan bagian dari
kurva elastis berpotongan dengan sumbu
netral pada setiap potongan melintang.
• Jari-jari kelengkungan busur ini didefinisikan
sebagai jarak , yang diukur dari pusat
kelengkunga O’ ke dx.

9. Teori Balok Elastis (Elastic-Beam Theory)
• Setiap busur dari elemen selain dx terkena regangan
normal.
• Sebagai contoh pada busur ds, terletak pada jarak y
dari sumbu netral, maka regangan 𝜖:
• Sedangkan, ds-dx=d dan ds’=(-y)d, maka:
𝜖 =
𝑑𝑠′ − 𝑑𝑠
𝑑𝑠
𝜖 =
𝜌 − 𝑦 𝑑𝜃 − 𝜌𝑑𝜃
𝜌𝑑𝜃
atau 1
𝜌
= −
𝜖
𝑦

10. Teori Balok Elastis (Elastic-Beam Theory)
• Kemiringan kurva tegangan-regangan
• Persamaan Lentur
𝜎 = −
𝑀𝑦
𝐼
𝑆𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛 𝜖 =
𝛿
𝐿
Tegangan
𝜎 =
𝑃
𝐴
x
xx
x
x
x
Batas proporsional
Batas Elastik
Titik Mulur
Kekuatan Patah
Kekuatan tertinggi
Kekuatan patah sebenarnya
Hukum Hooke : Deformasi Aksial
𝐸 =
𝜎
𝜖

11. Teori Balok Elastis (Elastic-Beam Theory)
• Kombinasi dan substitusi tiga persamaan
tersebut menghasilkan:
1
𝜌
=
𝑀
𝐸𝐼
Dengan:
 = jari-jari kelengkungan dari titik spesifik
kurva elastis. (1/ dirujuk sebagai
kelengkungan/ curvature
M = momen internal balok
E = modulus elastisitas
I = momen inersia
1
𝜌
= −
𝜖
𝑦
• Kemiringan kurva
tegangan-regangan
• Persamaan Lentur
𝜎 = −
𝑀𝑦
𝐼
𝐸 =
𝜎
𝜖

12. Teori Balok Elastis (Elastic-Beam Theory)
• Produk EI dari persamaan merujuk pada kekakuan lentur (flexural
rigidity) dan nilainya selalu positif. Dengan dx = d, maka
𝑑𝜃 =
𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥
• Jika kita memilih sumbu  mengarah positif ke atas dan kita dapat
mengekspresikan kelengkungan (1/) sebagai  dan , dapat ditentukan
kuva elastisitas balok. Pada kebanyakan buku kalkulus ditunjukkan
bahwa hubunga kelengkungan adalah:
1
𝜌
=
𝑑2 𝑣/𝑑𝑥2
1 + 𝑑𝑣/𝑑𝑥 2 3/2
-- dilanjutkan ke slide berikutnya

13. Teori Balok Elastis (Elastic-Beam Theory)
• Maka didapatkan
𝑀
𝐸𝐼
=
𝑑2 𝑣/𝑑𝑥2
1 + 𝑑𝑣/𝑑𝑥 2 3/2
• Persamaan di atas adalah termasuk persamaan diferensial nonlinier orde
kedua.
• Solusi berikut 𝑣 = 𝑓(𝑥), memberikan bentuk eksak dari kurva elastis yang
tentunya dengan asumsi defleksi karena beding momen.
-- dilanjutkan ke slide berikutnya

14. Teori Balok Elastis (Elastic-Beam Theory)
• Untuk menyelesaikan masalah bilangan yang lebih besar maka dilakukan
modifikasi dengan membuat simplifikasi.
• Karena slope kurva elastis dari kebanyakan struktur adalah sangat kecil,
maka digunakan teori defleksi kecil (small deflection theory) dan
mengasumsikan 𝑑𝑣/𝑑𝑥 ≈ 0 . Sehingga persamaan tersebut
disederhanakan menjadi:
𝑀
𝐸𝐼
=
𝑑2
𝑣
𝑑𝑥2

15. Teori Balok Elastis (Elastic-Beam Theory)
• Bisa juga dinyatakan bahwa dengan mengasumsikan 𝑑𝑣/𝑑𝑥 ≈ 0, panjang
asli balok sumbu x dan busur dari kurva elastis akan mendekati sama.
• Dengan kata lain ds = dx, sehingga:
𝑑𝑠 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑣2= 1 + 𝑑𝑣/𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 ≈ 𝑑𝑥
• Hasil ini menunjukkan bahwa kurva elastis akan hanya dipindahkan
secara vertical dan bukan horizontal.

16. Contoh
• RA=ql/2
• Mx = Rax - ½qx2 = ½(qlx  qx2)
• Persamaan differensial :
• Diintegralkan menjadi
• Jika dimasukkan syarat batas x=0 y=0 akan didapat C2=0
A B
2
2
2
2
qxqlx
dx
yd
EI


1
32
64
C
qxqlx
dx
dy
EI 
21
43
2412
CxC
qxqlx
EIy 

17. Contoh
• Jika dimasukkan syarat batas x=1 dan y=0, akan didapat:
• Didapat persamaan lenturan yang memenuhi syarat batas:
• Persamaan defleksi rotasi atau turunan pertama lenturan:
• Rotasi ujung pada x=0 dan x=1 adalah:
241224
333
1
qlqlql
C 
242412
343
xqlqxqlx
EIy 
2464
332
qlqxqlx
dx
dy
EIEI 
EI
ql
A
24
3

EI
ql
B
24
3


21. Metode CLAPEYRON
Pada 1857 Benoit Paul Emile Clapeyron, mempresentasikan makalahnya
Comptes Rendus di hadapan French Academy untuk analisis pada balok
menerus.
Sehingga dikenal dengan Metode Clapeyron
Method of Structural Analysis for Statically Indeterminate Rigid Frames. Arnulfo
Luevanos Rojas. International Journal of Innovative Computing, Information and Control
Volume 9, Number 5, May 2013

22. Metode CLAPEYRON
Pada balok menerus pada gambar di atas diketahui bahwa tumpuan A
dan B tidak mendukung momen, sehingga ditinjau poin B.
Clapeyron mendekati dengan persamaan sebagai berikut:
𝑀 𝐵 𝐿1
3𝛼𝐸𝐼
+
𝑀𝐴 𝐿1
6𝛼𝐸𝐼
+
𝑀 𝐵 𝐿2
3𝛽𝐸𝐼
+
𝑀 𝐶 𝐿2
6𝛽𝐸𝐼
= 𝜙 𝐵𝐴 + 𝜙 𝐵𝐶
𝛼 𝐵𝐴 + 𝛼 𝐵𝐶 = 𝜙 𝐵𝐴 + 𝜙 𝐵𝐶

23. Metode CLAPEYRON
Penggambaran bidang momen diperoleh dari superposisi:
• Akibat muatan luar/ defleksi rotasi 
• Akibat momen peralihan 
Penggambaran Bidang Momen
Tanda pada penggambaran selalu berlawanan dengan tanda pada hasil
yang diperoleh dari perhitungan.
Bila tanda pada hasil perhitungan (+) maka tanda pada penggambaran
bertanda (-)
Tanda-Tanda Penggambaran (Khusus Momen Peralihan)

24. Metode CLAPEYRON – Soal dan Penyelesaian
Dilihat pada tumpuan B.
• Akibat muatan luar :
𝜙 𝐵𝐴 + 𝜙 𝐵𝐶 =
𝑞𝑙3
24(12
1 𝐸𝐼)
+
𝑞𝑙3
24(𝐸𝐼)
……. (1)
𝜙 𝐵𝐴 + 𝜙 𝐵𝐶 =
2000. 43
36𝐸𝐼
+
2000.33
24𝐸𝐼
Gambar Bidang M dan D

25. Metode CLAPEYRON – Soal dan Penyelesaian
• Akibat momen peralihan
𝛼 𝐵𝐴 + 𝛼 𝐵𝐶 =
𝑀 𝐵 𝐿 𝐵𝐴
3(12
1 𝐸𝐼)
+
𝑀 𝐵 𝐿 𝐵𝐶
3(𝐸𝐼)
……. (2)
(MA dan MC = 0, sehingga tidak menginduksi momen)
Persamaan (1) dan (2) dipersamakan:
𝑀 𝐵
4
4,5𝐸𝐼
+
3
3𝐸𝐼
=
128.000
36𝐸𝐼
+
54.000
24𝐸𝐼
Didapat MB = 3.760 kg.m

26. Metode CLAPEYRON – Soal dan Penyelesaian
• Batang dipisahkan secara free body
Untuk bentangan AB
𝑀𝑚𝑎𝑥′1 =
1
8
2000. 42=4000 kg.m
Untuk bentangan BC
𝑀𝑚𝑎𝑥′2 =
1
8
2000. 32
=2250 kg.m
𝑀 𝐵 =3760 kg.m
Momen tersebut kemudian di superposisi
Penggambaran Bidang Momen (M) dan
Lintang (D)

27. Metode CLAPEYRON – Soal dan Penyelesaian
𝑅 𝐴 =
1
2
2000.4 −
3760
4
= 3060 𝑘𝑔
𝑅 𝐵 =
1
2
2000.4 +
1
2
2000.3 +
3760
4
+
3760
3
= 4000 + 3000 + 940 + 1253
= 9193𝑘𝑔
𝑅 𝐶 =
1
2
2000.3 − 1253 = 1747 𝑘𝑔
Bidang D

28. Metode CLAPEYRON – Soal dan Penyelesaian
Bidang M
4.000 kg.m 4.000 kg.m
3.760 kg.m
(-)
(+)
(+)

29. Metode CLAPEYRON – Soal dan Penyelesaian
Freebody Diagram
Kontrol: 3060 + 4940 + 4253 + 1747 = 14.000 kg = 2000.7 = 14.000 kg (OK)
B
4940 kg 4253 kg
MB
3060 kg 1747 kg
MB
4 4 3 3
M M
RA RB1 RB2 RC
MB M

30. Metode CLAPEYRON – Soal dan Penyelesaian 2
Dilihat pada tumpuan B, tumpuan A tidak perlu ditinjau karena MA = 0
• Akibat muatan luar :
𝜙 𝐵𝐴 + 𝜙 𝐵𝐶 =
𝑞
6 3𝐸𝐼 𝑙1
1
2
𝑙1 𝑥2 −
1
4
𝑥4 +
𝑃1.7. 𝑙1
2−72
6(3𝐸𝐼)𝑙1
+
𝑃2.9. 𝑙1
2−92
6(3𝐸𝐼)𝑙1
𝜙 𝐵𝐴 + 𝜙 𝐵𝐶 =
2
216𝐸𝐼
7𝑥2 −
1
4
𝑥4 +
1.7. 144 − 49
216𝐸𝐼
+
2.9. 144 − 81
216𝐸𝐼
𝜙 𝐵𝐴 + 𝜙 𝐵𝐶 = 18,4
Gambar Bidang M dan D

31. Metode CLAPEYRON – Soal dan Penyelesaian 2
• Akibat momen peralihan
𝛼 𝐵𝐴 + 𝛼 𝐵𝐶 =
𝑀 𝐵 𝐿 𝐵𝐴
3(3𝐸𝐼)
+
𝑀 𝐵 𝐿 𝐵𝐶
3𝐸𝐼
+
𝑀 𝐶 𝐿 𝐵𝐶
6𝐸𝐼
𝛼 𝐵𝐴 + 𝛼 𝐵𝐶 =
12𝑀 𝐵
9𝐸𝐼
+
8𝑀 𝐵
3𝐸𝐼
+
8𝑀 𝐶
6𝐸𝐼
𝛼 𝐵𝐴 + 𝛼 𝐵𝐶 =
4𝑀 𝐵
𝐸𝐼
+
1,33𝑀 𝐶
𝐸𝐼

32. Metode CLAPEYRON – Soal dan Penyelesaian 2
Dilihat pada tumpuan C
• Akibat muatan luar :
𝜙 𝐶𝐵 + 𝜙 𝐶𝐷 = 0 −→ tidak ada gaya-gaya luar
• Akibat momen peralihan
𝛼 𝐶𝐵 + 𝛼 𝐶𝐷 =
𝑀 𝐵 𝐿 𝐶𝐵
6𝐸𝐼
+
𝑀 𝐶 𝐿 𝐶𝐵
3𝐸𝐼
+
𝑀 𝐶 𝐿 𝐶𝐷
3𝐸𝐼
𝛼 𝐶𝐵 + 𝛼 𝐶𝐷 =
8𝑀 𝐵
6𝐸𝐼
+
8𝑀 𝐶
3𝐸𝐼
+
6𝑀 𝐶
3𝐸𝐼
𝛼 𝐶𝐵 + 𝛼 𝐶𝐷 =
1,33𝑀 𝐵
𝐸𝐼
+
4,67𝑀 𝐶
𝐸𝐼

33. Metode CLAPEYRON – Soal dan Penyelesaian 2
Persamaan-Persamaan di Tumpuan B dipersamakan
𝜙 𝐵𝐴 + 𝜙 𝐵𝐶 = 𝛼 𝐵𝐴 + 𝛼 𝐵𝐶
18,4
𝐸𝐼
=
4𝑀 𝐵
𝐸𝐼
+
1,33𝑀 𝐶
𝐸𝐼
4MB +1,33 MC = 18,4 …. (1)
Persamaan-Persamaan di Tumpuan C dipersamakan
𝜙 𝐶𝐵 + 𝜙 𝐶𝐷 = 𝛼 𝐶𝐵 + 𝛼 𝐶𝐷
0 =
1,33𝑀 𝐵
𝐸𝐼
+
4,67𝑀 𝐶
𝐸𝐼
1,33MB +4,67 MC = 0 …. (2)

34. Metode CLAPEYRON – Soal dan Penyelesaian 2
Dari persamaan (1) : 14MB +4,67 MC = 64,6
Dari persamaan (2) : 1,33MB +4,67 MC = 0
12,67MB = 64,6  MB = 5,08 tm
Dimasukkan ke pers (2) = 1,33 (5,08) + 4,67 MC = 0  MC = -1,45 tm

35. Metode CLAPEYRON – Soal dan Penyelesaian 2
Diperhatikan free body AB
RA’ =
8.10+1.5+2.3
12
= 7,58 𝑡𝑜𝑛
(RB)1 =
8.2+1.7+2.9
12
= 3,42 𝑡𝑜𝑛
MI’ = RA(4) – 8.2 = 7,58(4) – 16 = 14,32 tm
MII’ = RA(7) – 8.5 = 7,58(7) – 40 = 13,06 tm
MIII’ = (RB)1 .(3) = 3,42(3) = 10,26 tm
Untuk momen peralihan langsung dapat digambar sehingga hasil akhir dapat
disuperposisi
Bidang M

36. Metode CLAPEYRON – Soal dan Penyelesaian 2
Diperhatikan free body AB
RA = RA’ -
𝑀 𝐵
𝑙1
= 7,58 -
5,08
12
= 7,156 t
RB = (RB)1 +
𝑀 𝐵
𝑙1
+
𝑀 𝐵
𝑙2
+
𝑀 𝐶
𝑙2
= 3,42+
5,08
12
+
5,08
8
+
−1,45
8
= 4,66t
RC =−
𝑀 𝐵
𝑙2
+
𝑀 𝐶
𝑙2
+
𝑀 𝐶
𝑙3
= −
5,08
8
+
−1,45
8
+
−1,45
6
= -1,058 ton
RD =−
− 1,45
𝑙3
=
1,45
6
= 0,242 ton
Dari bidang D yang tergambar, tampak bahwa Mmax terletak n di sebelah
kanan A. Nilai n dapat dicari dengan perbandingan, sehingga nilai Mmax
dapat ditentukan pula.
Bidang D

37. Metode CLAPEYRON – Soal dan Penyelesaian 2
RA
MB
7,16 t
12
RB1
MB
3,84 t
12
MB
0.816
8
MB
0.816 t
8
MC
0,242 t
6
MC
0,242 t
6
MC
8
MC
8
7,58 t
5,08 / 12 = 0,42
3,42 t
5,08 / 8 = 0,635
1,45 / 8 = 0,181t
1,45 / 6 = 0,242t0,42 t
0,181 t
0,635 t 0,242 t
M M M M
Kontrol: 7,16t+3,84t+0,816t-0,816t-0,242t+0,242t = 11t (OK)

39. Tugas
Selesaikan :
• Perhitungan Bidang Momen Akibat Perletakan
• Gambar Bidang Momen Akibat Perletakan
• Perhitungan Bidang Momen Akibat Pembanan
• Gambar Overlay Bidang Momen Karena Pereletakan dan Pembebanan
• Gambar Diagram Free Body
• Gambar Bidang Lintang
Keterangan :
• Folio Bergaris
• Gambar Dalam Kertas Milimeter