Dokumen ini menjelaskan metode biseksi untuk menemukan akar fungsi dengan contoh penerapan pada berbagai fungsi matematika. Setiap contoh memaparkan langkah-langkah penggunaan metode ini, termasuk penghitungan nilai fungsi, iterasi untuk menemukan akar, dan kondisi penghentian berdasarkan toleransi kesalahan. Hasil akhir dari tiap contoh menunjukkan nilai akar yang ditemukan melalui proses iterasi.

1. Nama : Setia Ningrum
NPM : 1610501048
JURUSAN TEKNIK ELEKTRO
UNIVERSITAS TIDAR
2018
CONTOH SOAL DAN
PENYELESAIAN METODE BISEKSI
DENGAN EXCEL

2. CONTOH 1
Algoritma :
1. Diketahui fungsi f(x)= x^3+3x-5
2. Nilai batas bawah a=1 dan batas atas b = 2
3. Nilai toleransi e = 0,01
4. Hitung nilai f(a) = (1^3)+(3*1) - 5 = -1
5. Hitung nilai x = (a+b)/2 = (1+2)/2 = 1,5
6. Hitung nilai f(x) = (1,5^3)+(3*1,5)-5 = 2,875
7. Jika f(a)*f(x)<0, maka artinya berlawanan tanda sehingga pada iterasi selanjutnya nilai b=x dan
nilai a tetap, jika tidak maka tanda sama, nilai a=x dan b tetap.
Pada contoh soal ini, f(a)*f(x) = -1*2,875 = -2,875 . Hasil lebih kecil dari 0 maka artinya
berlawanan tanda dan pada iterasi selanjutnya b=1,5 dan a tetap =1.
8. Hitung nilai error dengan rumus |b-a|, misal |2-1|= 1
9. Jika nilai error sudah lebih kecil dari toleransi maka proses iterasi dihentikan dan didapatkan akar
= x, jika tidak maka ulangi dari langkah 2.
f(x)=x^3+3x-5 dengan a = 1; b= 2 dan e = 0,01

3. Iterasi a b x f(a) f(x) Keterangan Error
1 1 2 1.5 -1 2.875 berlawanan tanda 1
2 1 1.5 1.25 -1 0.70313 berlawanan tanda 0.5
3 1 1.25 1.125 -1 -0.2012 tanda sama 0.25
4 1.125 1.25 1.1875 -0.2012 0.23706 berlawanan tanda 0.125
5 1.125 1.1875 1.15625 -0.2012 0.01456 berlawanan tanda 0.0625
6 1.125 1.15625 1.14063 -0.2012 -0.0941 tanda sama 0.03125
7 1.14063 1.15625 1.14844 -0.0941 -0.04 tanda sama 0.01563
8 1.14844 1.15625 1.15234 -0.04 -0.0128 tanda sama 0.00781
CONTOH 1
f(x)=x^3+3x-5 dengan a = 1; b= 2 dan e = 0,01
Pada iterasi ke-8 proses dihentikan karena nilai error pada iterasi ke-8 yaitu 0,00781
sudah lebih kecil dari toleransi atau e yang bernilai 0,01.
Didapatkan akar = x = 1,15234.

4. CONTOH 2
Algoritma :
1. Diketahui fungsi f(x)= 2x^3+2x^2-x+2
2. Nilai batas bawah a=1 dan batas atas b = 6
3. Nilai toleransi e = 0,01
4. Hitung nilai f(a) = (2*(1^3))+((2*(1^2))–1+2 = 5
5. Hitung nilai x = (a+b)/2 = (1+6)/2 = 3,5
6. Hitung nilai f(x) = (2*(3,5^3))+((2*(3,5^2))–3,5+2 = 108,75
7. Jika f(a)*f(x)<0, maka artinya berlawanan tanda sehingga pada iterasi selanjutnya nilai b=x dan
nilai a tetap, jika tidak maka tanda sama, nilai a=x dan b tetap.
Pada contoh soal ini, f(a)*f(x) = 5*108,75 = 543,75. Hasil tidak lebih kecil dari 0 maka artinya
tanda sama dan pada iterasi selanjutnya a=3,5 dan b=6.
8. Hitung nilai error dengan rumus |b-a|, misal |6-1|= 5
9. Jika nilai error sudah lebih kecil dari toleransi maka proses iterasi dihentikan dan didapatkan akar
= x, jika tidak maka ulangi dari langkah 2.
f(x)= 2x^3+2x^2-x+2 dengan a = 1; b= 6 dan e = 0,01

5. CONTOH 2
f(x)= 2x^3+2x^2-x+2 dengan a = 1; b= 6 dan e = 0,01
Pada iterasi ke-10 proses dihentikan karena nilai error pada iterasi ke-8 yaitu 0,00977
sudah lebih kecil dari toleransi atau e yang bernilai 0,01.
Didapatkan akar = x = 5,99512.
Iterasi a b x f(a) f(x) Keterangan Error
1 1 6 3.5 5 108.75 tanda sama 5
2 3.5 6 4.75 108.75 256.719 tanda sama 2.5
3 4.75 6 5.375 256.719 364.98 tanda sama 1.25
4 5.375 6 5.6875 364.98 428.962 tanda sama 0.625
5 5.6875 6 5.84375 428.962 463.576 tanda sama 0.3125
6 5.84375 6 5.92188 463.576 481.559 tanda sama 0.15625
7 5.92188 6 5.96094 481.559 490.722 tanda sama 0.07813
8 5.96094 6 5.98047 490.722 495.347 tanda sama 0.03906
9 5.98047 6 5.99023 495.347 497.67 tanda sama 0.01953
10 5.99023 6 5.99512 497.67 498.834 tanda sama 0.00977

6. CONTOH 3
Algoritma :
1. Diketahui fungsi f(x)= 3x^3+2x^2+3
2. Nilai batas bawah a=1 dan batas atas b = 2
3. Nilai toleransi e = 0,01
4. Hitung nilai f(a) = (3*(1^3))+((2*(1^2))+3 = 8
5. Hitung nilai x = (a+b)/2 = (1+2)/2 = 1,5
6. Hitung nilai f(x) = (3*(1,5^3))+((2*(1,5^2))+3 = 17,625
7. Jika f(a)*f(x)<0, maka artinya berlawanan tanda sehingga pada iterasi selanjutnya nilai b=x dan
nilai a tetap, jika tidak maka tanda sama, nilai a=x dan b tetap.
Pada contoh soal ini, f(a)*f(x) = 8*17,625 = 141. Hasil tidak lebih kecil dari 0 maka artinya tanda
sama dan pada iterasi selanjutnya a=1,5 dan b=2.
8. Hitung nilai error dengan rumus |b-a|, misal |2-1|= 1
9. Jika nilai error sudah lebih kecil dari toleransi maka proses iterasi dihentikan dan didapatkan akar
= x, jika tidak maka ulangi dari langkah 2.
f(x)= 3x^3+2x^2+3 dengan a = 1; b= 2 dan e = 0,01

7. CONTOH 3
f(x)= 3x^3+2x^2+3 dengan a = 1; b= 2 dan e = 0,01
Pada iterasi ke-8 proses dihentikan karena nilai error pada iterasi ke-8 yaitu 0,00781
sudah lebih kecil dari toleransi atau e yang bernilai 0,01.
Didapatkan akar = x = 1,99609.
Iterasi a b x f(a) f(x) Keterangan Error
1 1 2 1.5 8 17.625 tanda sama 1
2 1.5 2 1.75 17.625 25.2031 tanda sama 0.5
3 1.75 2 1.875 25.2031 29.8066 tanda sama 0.25
4 1.875 2 1.9375 29.8066 32.3274 tanda sama 0.125
5 1.9375 2 1.96875 32.3274 33.6444 tanda sama 0.0625
6 1.96875 2 1.98438 33.6444 34.3174 tanda sama 0.03125
7 1.98438 2 1.99219 34.3174 34.6575 tanda sama 0.01563
8 1.99219 2 1.99609 34.6575 34.8284 tanda sama 0.00781

8. CONTOH 4
Algoritma :
1. Diketahui fungsi f(x)= x^2-e^-1
2. Nilai batas bawah a=1 dan batas atas b = -3
3. Nilai toleransi e = 0,001
4. Hitung nilai f(a) = (1^2)-(2,71828^-1) = 0,63212
5. Hitung nilai x = (a+b)/2 = (1+(-3))/2 = -1
6. Hitung nilai f(x) = (-1^2)-(2,71828^-1) = 0,63212
7. Jika f(a)*f(x)<0, maka artinya berlawanan tanda sehingga pada iterasi selanjutnya nilai b=x dan
nilai a tetap, jika tidak maka tanda sama, nilai a=x dan b tetap.
Pada contoh soal ini, f(a)*f(x) = 0,63212*0,63212 = 0,3995. Hasil tidak lebih kecil dari 0 maka
artinya tanda sama dan pada iterasi selanjutnya a= -1 dan b= -3.
8. Hitung nilai error dengan rumus |b-a|, misal |-3-1|= 4
9. Jika nilai error sudah lebih kecil dari toleransi maka proses iterasi dihentikan dan didapatkan akar
= x, jika tidak maka ulangi dari langkah 2.
f(x)= x^2-e^-1 dengan a = 1; b= -3 dan e = 0,001

9. CONTOH 4
f(x)= x^2-e^-1dengan a = 1; b= -3 dan e = 0,001
Pada iterasi ke-8 proses dihentikan karena nilai error pada iterasi ke-13 yaitu 0,000977
sudah lebih kecil dari toleransi atau e yang bernilai 0,001.
Didapatkan akar = x = -2,99951
Iterasi a b x f(a) f(x) Keterangan Error
1 1 -3 -1 0.63212 0.63212 tanda sama 4
2 -1 -3 -2 0.63212 3.63212 tanda sama 2
3 -2 -3 -2.5 3.63212 5.88212 tanda sama 1
4 -2.5 -3 -2.75 5.88212 7.19462 tanda sama 0.5
5 -2.75 -3 -2.875 7.19462 7.89775 tanda sama 0.25
6 -2.875 -3 -2.9375 7.89775 8.26103 tanda sama 0.125
7 -2.9375 -3 -2.96875 8.26103 8.4456 tanda sama 0.0625
8 -2.96875 -3 -2.98438 8.4456 8.53861 tanda sama 0.03125
9 -2.98438 -3 -2.99219 8.53861 8.58531 tanda sama 0.015625
10 -2.99219 -3 -2.99609 8.58531 8.6087 tanda sama 0.007813
11 -2.99609 -3 -2.99805 8.6087 8.62041 tanda sama 0.003906
12 -2.99805 -3 -2.99902 8.62041 8.62626 tanda sama 0.001953
13 -2.99902 -3 -2.99951 8.62626 8.62919 tanda sama 0.000977

10. CONTOH 5
Algoritma :
1. Diketahui fungsi f(x)= - x^3+x^2-x-1
2. Nilai batas bawah a=-1 dan batas atas b = 2
3. Nilai toleransi e = 0,01
4. Hitung nilai f(a) = -(-1^3)+(-1^2)-(-1)-1 = 2
5. Hitung nilai x = (a+b)/2 = (-1+2)/2 = 0,5
6. Hitung nilai f(x) = -(0,5^3)+(0,5^2)-(0,5)-1 = -1,375
7. Jika f(a)*f(x)<0, maka artinya berlawanan tanda sehingga pada iterasi selanjutnya nilai b=x dan
nilai a tetap, jika tidak maka tanda sama, nilai a=x dan b tetap.
Pada contoh soal ini, f(a)*f(x) = 2*(-1,375) = -2,75. Hasil lebih kecil dari 0 maka artinya
berlawanan tanda dan pada iterasi selanjutnya b= 0,5 dan a= -1.
8. Hitung nilai error dengan rumus |b-a|, misal |2-(-1)|= 3
9. Jika nilai error sudah lebih kecil dari toleransi maka proses iterasi dihentikan dan didapatkan akar
= x, jika tidak maka ulangi dari langkah 2.
f(x)= - x^3+x^2-x-1 dengan a = -1; b= 2 dan e = 0,01

11. CONTOH 5
f(x)= - x^3+x^2-x-1 dengan a = -1; b= 2 dan e = 0,01
Pada iterasi ke-10 proses dihentikan karena nilai error pada iterasi ke-10 yaitu 0,005859
sudah lebih kecil dari toleransi atau e yang bernilai 0,01.
Didapatkan akar = x = 0,49707
Iterasi a b x f(a) f(x) Keterangan Error
1 -1 2 0.5 2 -1.375 berlawanan tanda 3
2 -1 0.5 -0.25 4 1.328125 tanda sama 1.5
3 -0.25 0.5 0.125 1.328125 0.888672 tanda sama 0.75
4 0.125 0.5 0.3125 0.888672 0.754639 tanda sama 0.375
5 0.3125 0.5 0.40625 0.754639 0.691742 tanda sama 0.1875
6 0.40625 0.5 0.453125 0.691742 0.659161 tanda sama 0.09375
7 0.453125 0.5 0.476563 0.659161 0.642316 tanda sama 0.046875
8 0.476563 0.5 0.488281 0.642316 0.633722 tanda sama 0.023438
9 0.488281 0.5 0.494141 0.633722 0.629378 tanda sama 0.011719
10 0.494141 0.5 0.49707 0.629378 0.627193 tanda sama 0.005859

12. CONTOH 6
Algoritma :
1. Diketahui fungsi f(x) = x^3-7x^2+10
2. Nilai batas bawah a= -1 dan batas atas b = 2
3. Nilai toleransi e = 0,01
4. Hitung nilai f(a) = (-1^3)-(7*(-1^2))+10 = 2
5. Hitung nilai x = (a+b)/2 = (-1+2)/2 = 0,5
6. Hitung nilai f(x) = (0,5^3)-(7*(0,5^2))+10 = 8,375
7. Jika f(a)*f(x)<0, maka artinya berlawanan tanda sehingga pada iterasi selanjutnya nilai b=x dan
nilai a tetap, jika tidak maka tanda sama, nilai a=x dan b tetap.
Pada contoh soal ini, f(a)*f(x) = 2*8,375 = 16,75. Hasil tidak lebih kecil dari 0 maka artinya tanda
sama dan pada iterasi selanjutnya a= 0,5 dan b= 2.
8. Hitung nilai error dengan rumus |b-a|, misal |2-(-1)|= 3
9. Jika nilai error sudah lebih kecil dari toleransi maka proses iterasi dihentikan dan didapatkan akar
= x, jika tidak maka ulangi dari langkah 2.
f(x)= x^3-7x^2+10 dengan a = -1; b= 2 dan e = 0,01

13. CONTOH 6
f(x) = x^3-7x^2+10 dengan a = -1; b= 2 dan e = 0,01
Pada iterasi ke-10 proses dihentikan karena nilai error pada iterasi ke-10 yaitu 0,00586
sudah lebih kecil dari toleransi atau e yang bernilai 0,01.
Didapatkan akar = x = 1,3291
Iterasi a b x f(a) f(x) Keterangan Error
1 -1 2 0.5 2 8.375 tanda sama 3
2 0.5 2 1.25 8.375 1.01563 tanda sama 1.5
3 1.25 2 1.625 1.01563 -4.1934 berlawanan tanda 0.75
4 1.25 1.625 1.4375 1.01563 -1.4944 berlawanan tanda 0.375
5 1.25 1.4375 1.34375 1.01563 -0.2133 berlawanan tanda 0.1875
6 1.25 1.34375 1.29688 1.01563 0.408 tanda sama 0.09375
7 1.29688 1.34375 1.32031 0.408 0.09903 tanda sama 0.04688
8 1.32031 1.34375 1.33203 0.09903 -0.0567 berlawanan tanda 0.02344
9 1.32031 1.33203 1.32617 0.09903 0.02126 tanda sama 0.01172
10 1.32617 1.33203 1.3291 0.02126 -0.0177 berlawanan tanda 0.00586

14. TERIMAKASIH