Makalah ini membahas tentang teori ukuran dan peluang, fungsi sederhana, dan integrasi. Terdapat penjelasan mengenai aljabar ruang terukur, ruang ukuran, ruang probabilitas, fungsi sederhana, dan teorema-teorema terkait."

1. 1
MAKALAH TEORI UKURAN DAN PELUANG
FUNGSI SEDERHANA DAN INTEGRASI
Pengampu : Drs. YD. Sumanto, M.si.
Oleh :
1. RUKMONO BUDI UTOMO (J2A 009 004)
2. ENDAH DWI NUR R (J2A 009 026)
3. MELIA R (J2A 009 030)
4. ANASTASYA T (J2A 009 032)
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS DIPONEGORO
SEMARANG
2013

2. 2
PENDAHULUAN
I. Aljabar Ruang Terukur , Ruang Ukuran dan Ruang Probabilitas
1.1. Aljabar
F disebut aljabar atas X jika dan hanya jika memenuhi 3 aksioma dibawah ini
i. X  F
ii. A  F  AC
 F
iii. A, B  F  A B  F
Lemma
Jika A, B  F dimana F merupakan aljabar atas X maka A B  F
Bukti
Karena A, B  F , maka menurut aksioma (ii), A ,BC C
 F . Dan menurut
aksioma (iii) A BC C
  F
 A B
C
  F
Dengan menggunakan aksioma (ii) kembali  A B
CC
  
 
F
A B  F (Terbukti)
Contoh 1
Diberikan himpunan X dibawah ini
 X , , ,a b c d F 1   X, , a  , F 2     X, , , , ,a b c d 
Akan dibuktikan F 1 bukan aljabar atas X ( bukan aljabar  ), namun F 2 adalah
aljabar 

3. 3
Bukti
i. Membuktikan F 1 bukan aljabar 
Untuk  a  F 1 ,    , ,
C
a b c d  F 1 (aksioma ii tidak terpenuhi)
 F 1 bukan aljabar  (bukti selesai )
ii. Membuktikan F 2 adalah aljabar 
Diketahui F 2     X, , , , ,a b c d 
o X  F 2 ( aksioma1 terpenuhi)
o XC
  , XC
  ,    , ,
C
a b c d ,    , ,
C
b c d a semuanya  F 2
(aksioma ii terpenuhi )
o Untuk mengecek terpenuhinya aksioma iii, pengecekan akan melibatkan
kombinasi elemen-elemen dalam F 2 , yakni C = (4,2) sebanyak 6 buah
pasangan.
X X  ,  X Xa  ,  X , , Xb c d  ,    a a  ,
   , , , ,b c d b c d  ,    , , Xa b c d  semuanya  F 2
(Jelas, aksioma ii terpenuhi )
 F 2 adalah aljabar  (bukti selesai )
Teorema
Jika F 1 dan F 2 adalah aljabar  , maka belum dapat dipastikan F 1  F 2
juga merupakan aljabar 
Bukti
Misalkan X merupakan sembarang himpunan tak kosong dan F 1, F 2
merupakan dua buah ajabar  dengan segala kemungkinan masing-masing
dimana F 1  F 2. Minimal pasti akan dapat ditemukan gabungan antar elemen
di F 1 dan F 2 yang tidak terdefinisi di F 1  F 2 sedemikian sehingga
aksioma (iii) tidak terpenuhi. Bukti selesai.

4. 4
Definisi
F merupakan aljabar atas X dan disebut dengan aljabar  jika F merupakan
aljabar dan jika An  F 1,2,3,n   maka
1
An
n


 F
Contoh 2
Misalkan ( X, F 1 ) dan ( X, F 2 ) merupakan dua ruang terukur dengan
F = F 1  F 2. Buktikan bahwa F merupakan aljabar  .
Bukti
X  F 1
X  F 2
Dengan menggunakan lemma yang telah didfinisikan diatas, X  F 1 F 2
(aksioma i terpenuhi )
Kemudian, misalkan A  F 1, A  F 2, maka menurut aksioma ii, AC
 F 1
dan AC
 F 2. Kita tahu bahwa A  F 1 F 2, maka AC
 F 1 F 2. (aksioma
ii terpenuhi )
Untuk A , 1,2,3,n n    F 1 F 2.
A F 1, A  F 2
A An  F 1 F 2 ( aksioma iii terpenuhi )
 F adalah aljabar  (bukti selesai )
1.2. Ruang Terukur, Ruang Ukuran dan Probabilitas
Definisi
Diberikan ruang terukur ( X, F )
  F  0,  disebut ukuran apabila   0   dan jika A , 1,2,3,n n   F
dengan A An m   , m n berlaku
11
A An n
nn
 
 

 
 
 
 . Untuk ( X, F ,  ) disebut
sebagai ruang ukuran dan ( X, F ,  ),  X 1  disebut sebagai ruang probabilitas.

5. 5
Definisi
Diketahui ( X, F 1 ) , ( X, F 2 ) adalah dua buah ruang terukur dan didefinisikan
suatu f : ( X, F 1 )  ( X, F 2 ) dikatakan terukur jika dan hanya jika A  F 2
berlaku f ‘ ( A)  F 1
f ‘ ( A) = { x X | f (x) A }  F 1
Contoh 3
Diketahui X = , , ,a b c d
F 1=     X, , , , ,a b c d , F 2 = 2X
Diketahui pula (X , F 1 ) , (X , F 2 ) adalah dua buah ruang terukur
f : x  X dengan f ( x) = a ,  x  X.
Apakah f ( x) terukur ?
Jawab
Diketahui (X, F 1), (X, F 2 ) merupakan dua buah ruang terukur.
Ambil sembarang A  F 2 = 2X
f ‘ ( A) = { x X | f (x) A }
= { x X | f (x) = aA }
= X kemudian
f ‘ ( A) = { x X | f (x) A }
= { x X | f (x) = aA }
 
f ‘ ( A)  F 1
 f ‘ ( A) terukur.
II. Fungsi Sederhana dan Integrasi
2.1. Fungsi Sederhana

6. 6
Definisi
Suatu fungsi f : R R dikatakan sebagai fungsi sederhana jika terdapat
himpunan berhingga  1 2 3, , , , nC C C C R dan kelompok himpunan
 1 2 3, , , , nA A A A .  
1
( )
n
i i
i
f x C IA x

 
Teorema
Ruang ukuran (R, B , (R) ) ,  ( )x R f x a  dimana B merupakan borel yakni
merupakan aljabar  terkecil yang masih memuat interval terbuka dikatakan
terukur jika dan hanya jika a R  berlaku  ( ) ( )x R f x a B R   .
Point-point penting :
i. Jika f terukur, maka terdapat barisan fungsi sederana fn sedemikian
Sehingga 1 2 3f f f fn      dan limf fn
n

ii.Jika  f : ,a b R kontinu pada  ,a b , maka terdapat barisan fungsi
sederhana fn sedemikian sehingga 1 2 3f f f fn      dan limf fn
n

1
n
n i i
i
f C IA

  , i
b a
A
n

 untuk setiap a dan b merupkan batas bawah dan
atas dari partisi dalam integral Riemann, dan n menunjukkan banyaknya
partisi tersebut
Definisi
Deberikan ruang terukur  , ,f  . Fungsi  : ,f R    disebut fungsi
sederhana ( simple function ) jika f memiliki daerah hasil atau range berhingga.
Diberikan fungsi karakteristik  
1,
0,
A
x A
I x
x A

 

dimana A   .
Jika :f R  fungsi sederhana ,    1 2 3, , , , nf C C C C   dan iA   dimana
  , 1,2,3, ,i iA x f x C i n      , maka  
1
n
i i
i
f C IA x

  .

7. 7
Contoh 4
Diberikan ( )f x x    yakni fungsi bilangan bulat terbesar x
dengan selang 2,5 R   
Tentukan nilai iA dan hitunglah f nya.
Jawab
  1 2,5 2A x f x         2 2,5 1A x f x      
 2,5 2 1x x          2,5 1 0x x       
 2, 1    1,0 
Selanjutnya analog dengan 1A dan 2A diperoleh
 3 0,1A   5 2,3A   7 4,5A 
 4 1,2A   6 3,4A   8 5A 
Kemudian untuk mencari nilai f , gunakan  
1
n
i i
i
f C IA x

 
1 2 4 5 6 7 82 2 3 4 5f IA IA IA IA IA IA IA       
Point-point penting
i. Setiap fungsi sederhana merupakan kombinasi linear fungsi-sungsi
karakteristik
ii. Fungsi sederhana  
1
n
i i
i
f C IA x

  merupakan fungsi terukur jika iA
adalah himpunan terukur 1,2,3, ,i N  
Teorema
Setiap fungsi terukur :f R  terdapat barisan fungsi sederhana nf sedemikian
sehingga 0
lim n
n
f f

 pada 

8. 8
Bukti
Untuk ( ) 0,f x x   didefinisikan
1
( )
2 2
nk n n
k k
A x f x
 
    
 
 ( )nA x f x n   , 1,2,3, ,n N   , 1,2, , 2n
k n  
1
1
2
n
n nk nn
k
k
f IA nIA


 
f (x) , f (x) ≥ 0
𝑓+
(x) =
0, f (x) < 0
0, f (x) ≥ 0
𝑓−
(x) =
- f(x), f (x) < 0
𝑓 = 𝑓+
- 𝑓−
| 𝑓 |= 𝑓+
+ 𝑓−
Sehingga jika f sebarang fungsi terukur
𝑓 = 𝑓+
- 𝑓−
(𝑓𝑛 ) barisan fungsi sederhana
Lim 𝑓𝑛 = 𝑓+
Dan (𝑞 𝑛) barisan fungsi sederhana
Lim 𝑞 𝑛 = 𝑓−
maka
ℎ 𝑛 = 𝑓𝑛 - 𝑞 𝑛
Lim ℎ 𝑛 = Lim ( 𝑓𝑛 − 𝑞 𝑛 ) = Lim 𝑓𝑛 - Lim 𝑞 𝑛
= 𝑓+
- 𝑓−
= 𝑓
Jika terukur, terbatas dan (𝑓𝑛 ) barisan fungsi sederhana konvergen ke 𝑓, maka
𝑓𝑛 → 𝑓 (seragam).

9. 9
Contoh 5
Diberikan sebuah fungsi 2
( )f x x ,  0,x    dan ditentukan n =2 .
Tentukan nkA
Jawab
Karena n =2 , k =1,2,3,4,5,6,7,8
 21
1
0, 0 ( )
4
A x f x
 
     
 
1
0,
2
 
 
 
 22
1
0, 0 ( )
4
A x f x
 
     
 
𝐴23 = 𝑥 ∈ [0, ∞)
1
2
≤ 𝑓 𝑥 <
3
4
= [
1
2
,
1
2
3 )
𝐴24 = 𝑥 ∈ [0, ∞)
3
4
≤ 𝑓 𝑥 < 1
= [
1
2
3, 1 )
𝐴25 = 𝑥 ∈ 0, ∞ 1 ≤ 𝑓 𝑥 <
5
4
= [ 1,
1
2
5 )
𝐴26 = 𝑥 ∈ 0, ∞
5
4
≤ 𝑓 𝑥 <
3
2
= [
1
2
5,
3
2
)
𝐴27 = 𝑥 ∈ [0, ∞)
3
2
≤ 𝑓 𝑥 <
7
4
= [
3
2
,
1
2
7 )

10. 10
𝐴28 = 𝑥 ∈ [0, ∞)
7
4
≤ 𝑓 𝑥 < 2
= [
1
2
7, 2 )
2.2. Integasi / Integration
Definisi :
Misalkan  : ,f R    , fungsi sederhana pada  , ,f  ditulis dengan
 
1
n
i i
i
f C IA x

  . intregral fungsi f terhadap  ditulis dengan 𝑓 𝑑𝜇 dan
didefinisikan dengan  
1
n
k k
k
fd C A

 

  .
Contoh 6
Pandang kembali contoh 5.
Diberikan fungsi f terhadap x yakni 2
( )f x x
Hitunglah integral nf terhadap  untuk 2n  pada selang  0,4
Jawab
4
0
nf d =
1 1 1 1 1 1 3 1
0 , 2 2, 3 3,1 2 2,4
4 2 2 2 2 2 4 2
   
                       

=
1 2 1 3 2 6 3 3
0 2 4 2
4 2 4 8
                     
     

61 31 2 3 5 6 13 7
8 8 8 8 8 8
     
***