Dokumen ini membahas penggunaan metode numerik biseksi untuk mencari nilai x yang meminimalkan fungsi f(x) = x² - 2x dalam interval -3 ≤ x ≤ 6 dengan toleransi kesalahan δ = 0,1. Solusi dari optimisasi tersebut menunjukkan bahwa nilai x yang meminimalkan fungsi adalah x = -1. Proses pencarian dilakukan melalui beberapa iterasi yang menunjukkan langkah-langkah sistematis dalam metode biseksi.

1. TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK
BISEKSI
Oleh : Rizka Apriyanti
March 7, 2016
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

2. Soal :
Carilah nilai x yang meminimalkan suatu fungsi f (x) = x2 − 2x
dengan δ = 0, 1 pada selang −3 ≤ x ≤ 6 dengan metode numerik
Biseksi
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

3. Soal :
Carilah nilai x yang meminimalkan suatu fungsi f (x) = x2 − 2x
dengan δ = 0, 1 pada selang −3 ≤ x ≤ 6 dengan metode numerik
Biseksi
Jawab:
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

4. Soal :
Carilah nilai x yang meminimalkan suatu fungsi f (x) = x2 − 2x
dengan δ = 0, 1 pada selang −3 ≤ x ≤ 6 dengan metode numerik
Biseksi
Jawab:
Solusi dari persoalan optimisasi ini adalah x = −1
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

5. Soal :
Carilah nilai x yang meminimalkan suatu fungsi f (x) = x2 − 2x
dengan δ = 0, 1 pada selang −3 ≤ x ≤ 6 dengan metode numerik
Biseksi
Jawab:
Solusi dari persoalan optimisasi ini adalah x = −1
fungsi : f (x) = 4x3 − 3x4
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

6. Soal :
Carilah nilai x yang meminimalkan suatu fungsi f (x) = x2 − 2x
dengan δ = 0, 1 pada selang −3 ≤ x ≤ 6 dengan metode numerik
Biseksi
Jawab:
Solusi dari persoalan optimisasi ini adalah x = −1
fungsi : f (x) = 4x3 − 3x4
δ : toleransi kesalahan
δ= 0.1 maka 2δ= 0.2
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

7. Soal :
Carilah nilai x yang meminimalkan suatu fungsi f (x) = x2 − 2x
dengan δ = 0, 1 pada selang −3 ≤ x ≤ 6 dengan metode numerik
Biseksi
Jawab:
Solusi dari persoalan optimisasi ini adalah x = −1
fungsi : f (x) = 4x3 − 3x4
δ : toleransi kesalahan
δ= 0.1 maka 2δ= 0.2
Selang (interval): −3 ≤ x ≤ 6
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

8. Soal :
Carilah nilai x yang meminimalkan suatu fungsi f (x) = x2 − 2x
dengan δ = 0, 1 pada selang −3 ≤ x ≤ 6 dengan metode numerik
Biseksi
Jawab:
Solusi dari persoalan optimisasi ini adalah x = −1
fungsi : f (x) = 4x3 − 3x4
δ : toleransi kesalahan
δ= 0.1 maka 2δ= 0.2
Selang (interval): −3 ≤ x ≤ 6
panjang selang : b − a = 6 − (−3) = 9
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

9. Soal :
Carilah nilai x yang meminimalkan suatu fungsi f (x) = x2 − 2x
dengan δ = 0, 1 pada selang −3 ≤ x ≤ 6 dengan metode numerik
Biseksi
Jawab:
Solusi dari persoalan optimisasi ini adalah x = −1
fungsi : f (x) = 4x3 − 3x4
δ : toleransi kesalahan
δ= 0.1 maka 2δ= 0.2
Selang (interval): −3 ≤ x ≤ 6
panjang selang : b − a = 6 − (−3) = 9
menentukan nilai n terkecil yang memenuhi
1
2
n
≤
2δ
L
1
2
x
1
9
=
1
45
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

10. Jawab :
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

11. Jawab :
Diambil n = 5 maka
1
2
5
≤
2δ
L
1
32
≤
1
45
=> pernyataan diatas salah
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

12. Jawab :
Diambil n = 5 maka
1
2
5
≤
2δ
L
1
32
≤
1
45
=> pernyataan diatas salah
Diambil n = 6 maka
1
2
6
≤
2δ
L
1
64
≤
1
45
=> pernyataan diatas benar
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

13. Jawab :
Diambil n = 5 maka
1
2
5
≤
2δ
L
1
32
≤
1
45
=> pernyataan diatas salah
Diambil n = 6 maka
1
2
6
≤
2δ
L
1
64
≤
1
45
=> pernyataan diatas benar
maka didapat n = 6
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

14. Jawab :
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

15. Jawab :
menentukan nilai
akdanbk
Kondisi 1: Jika f (λk) > 0, λk = bk+1dan ak = ak+1
Kondisi 2: Jika f (λk) < 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

16. Iterasi 1 :
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

17. Iterasi 1 :
a1 = −3
b1 = 6
λ1 =
a1 + b1
2
=
−3 + 6
2
=
3
2
= 1, 5
f λ1 = 2λ1 + 2 = 2(1, 5) + 2 = 3 + 2 = 5
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

18. Iterasi 1 :
a1 = −3
b1 = 6
λ1 =
a1 + b1
2
=
−3 + 6
2
=
3
2
= 1, 5
f λ1 = 2λ1 + 2 = 2(1, 5) + 2 = 3 + 2 = 5
karena
f λ1 > 0
maka diambil kondisi 1 dimana λ1 = b2 = 1, 5 dan
a1 = a2 = −3
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

19. Iterasi 1 :
a1 = −3
b1 = 6
λ1 =
a1 + b1
2
=
−3 + 6
2
=
3
2
= 1, 5
f λ1 = 2λ1 + 2 = 2(1, 5) + 2 = 3 + 2 = 5
karena
f λ1 > 0
maka diambil kondisi 1 dimana λ1 = b2 = 1, 5 dan
a1 = a2 = −3
dan karena
b1 − a1 = 9 > 2δ
maka iterasi dilanjutkan
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

20. Iterasi 2 :
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

21. Iterasi 2 :
a2 = −3
b2 = 1, 5
λ2 =
a2 + b2
2
=
−3 + 1, 5
2
=
−1, 5
2
= −0, 75
f λ2 = 2λ2 + 2 = 2(−0.75) + 2 = −1, 5 + 2 = 0, 5
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

22. Iterasi 2 :
a2 = −3
b2 = 1, 5
λ2 =
a2 + b2
2
=
−3 + 1, 5
2
=
−1, 5
2
= −0, 75
f λ2 = 2λ2 + 2 = 2(−0.75) + 2 = −1, 5 + 2 = 0, 5
karena
f λ2 > 0
maka diambil kondisi 1 dimana λ2 = b3 = −0, 75 dan
a2 = a3 = −3
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

23. Iterasi 2 :
a2 = −3
b2 = 1, 5
λ2 =
a2 + b2
2
=
−3 + 1, 5
2
=
−1, 5
2
= −0, 75
f λ2 = 2λ2 + 2 = 2(−0.75) + 2 = −1, 5 + 2 = 0, 5
karena
f λ2 > 0
maka diambil kondisi 1 dimana λ2 = b3 = −0, 75 dan
a2 = a3 = −3
dan karena
b2 − a2 = 4, 5 > 2δ
maka iterasi dilanjutkan
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

24. Iterasi 3 :
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

25. Iterasi 3 :
a3 = −3
b3 = −0.75
λ3 =
a3 + b3
2
=
−3 + −0.75
2
=
−3.75
2
= −1, 875
f λ3 = 2λ3 + 2 = 2(−1, 875) + 2 = −3, 75 + 2 = −1, 75
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

26. Iterasi 3 :
a3 = −3
b3 = −0.75
λ3 =
a3 + b3
2
=
−3 + −0.75
2
=
−3.75
2
= −1, 875
f λ3 = 2λ3 + 2 = 2(−1, 875) + 2 = −3, 75 + 2 = −1, 75
karena
f λ3 < 0
maka diambil kondisi 2 dimana λ3 = a4 = −1, 875 dan
b3 = b4 = −0, 75
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

27. Iterasi 3 :
a3 = −3
b3 = −0.75
λ3 =
a3 + b3
2
=
−3 + −0.75
2
=
−3.75
2
= −1, 875
f λ3 = 2λ3 + 2 = 2(−1, 875) + 2 = −3, 75 + 2 = −1, 75
karena
f λ3 < 0
maka diambil kondisi 2 dimana λ3 = a4 = −1, 875 dan
b3 = b4 = −0, 75
dan karena
b3 − a3 = 2, 25 > 2δ
maka iterasi dilanjutkan
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

28. Iterasi 4 :
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

29. Iterasi 4 :
a4 = −1, 875
b4 = −0, 75
λ4 =
a4 + b4
2
=
−1, 875 + −0, 75
2
=
−2, 625
2
= −1, 3125
f λ4 = 2λ4 + 2 = 2(−1, 3125) + 2 = −2, 625 + 2 = −0, 625
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

30. Iterasi 4 :
a4 = −1, 875
b4 = −0, 75
λ4 =
a4 + b4
2
=
−1, 875 + −0, 75
2
=
−2, 625
2
= −1, 3125
f λ4 = 2λ4 + 2 = 2(−1, 3125) + 2 = −2, 625 + 2 = −0, 625
karena
f λ4 < 0
maka diambil kondisi 2 dimana λ4 = a5 = −1, 3125 dan
b4 = b5 = −0, 75
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

31. Iterasi 4 :
a4 = −1, 875
b4 = −0, 75
λ4 =
a4 + b4
2
=
−1, 875 + −0, 75
2
=
−2, 625
2
= −1, 3125
f λ4 = 2λ4 + 2 = 2(−1, 3125) + 2 = −2, 625 + 2 = −0, 625
karena
f λ4 < 0
maka diambil kondisi 2 dimana λ4 = a5 = −1, 3125 dan
b4 = b5 = −0, 75
dan karena
b4 − a4 = 1, 125 > 2δ
maka iterasi dilanjutkan
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

32. Iterasi 5 :
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

33. Iterasi 5 :
a5 = −1, 3125
b5 = −0, 75
λ5 =
a5 + b5
2
=
−1, 3125 + −0, 75
2
=
−2, 0625
2
= −1, 0312
f λ5 = 2λ5 + 2 = 2(−1, 0312) + 2 = −2, 0624 + 2 = −0, 0624
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

34. Iterasi 5 :
a5 = −1, 3125
b5 = −0, 75
λ5 =
a5 + b5
2
=
−1, 3125 + −0, 75
2
=
−2, 0625
2
= −1, 0312
f λ5 = 2λ5 + 2 = 2(−1, 0312) + 2 = −2, 0624 + 2 = −0, 0624
karena
f λ5 < 0
maka diambil kondisi 2 dimana λ5 = a6 = −1, 0312 dan
b5 = b6 = −0, 75
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

35. Iterasi 5 :
a5 = −1, 3125
b5 = −0, 75
λ5 =
a5 + b5
2
=
−1, 3125 + −0, 75
2
=
−2, 0625
2
= −1, 0312
f λ5 = 2λ5 + 2 = 2(−1, 0312) + 2 = −2, 0624 + 2 = −0, 0624
karena
f λ5 < 0
maka diambil kondisi 2 dimana λ5 = a6 = −1, 0312 dan
b5 = b6 = −0, 75
dan karena
b5 − a5 = 0, 5625 > 2δ
maka iterasi dilanjutkan
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

36. Iterasi 6 :
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

37. Iterasi 6 :
a6 = −1, 0312
b6 = −0, 75
λ6 =
a6 + b6
2
=
−1, 0312 + −0, 75
2
=
−1, 7812
2
= −0, 8906
f λ6 = 2λ6 + 2 = 2(−0, 8906) + 2 = −1, 7812 + 2 = 0, 2188
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

38. Iterasi 6 :
a6 = −1, 0312
b6 = −0, 75
λ6 =
a6 + b6
2
=
−1, 0312 + −0, 75
2
=
−1, 7812
2
= −0, 8906
f λ6 = 2λ6 + 2 = 2(−0, 8906) + 2 = −1, 7812 + 2 = 0, 2188
karena
f λ6 > 0
maka diambil kondisi 1 dimana λ6 = b7 = −0, 8906 dan
a6 = a7 = −1, 0312
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

39. Iterasi 6 :
a6 = −1, 0312
b6 = −0, 75
λ6 =
a6 + b6
2
=
−1, 0312 + −0, 75
2
=
−1, 7812
2
= −0, 8906
f λ6 = 2λ6 + 2 = 2(−0, 8906) + 2 = −1, 7812 + 2 = 0, 2188
karena
f λ6 > 0
maka diambil kondisi 1 dimana λ6 = b7 = −0, 8906 dan
a6 = a7 = −1, 0312
dan karena
b6 − a6 = 0, 2812 > 2δ
maka iterasi dilanjutkan
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

40. Iterasi 7 :
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

41. Iterasi 7 :
a7 = −1, 0312
b7 = −0, 8906
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

42. Iterasi 7 :
a7 = −1, 0312
b7 = −0, 8906
karena
b7 − a7 = 0, 1406 < 2δ
maka iterasi berhenti
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

43. Tabel:
Dengan demikian diperoleh :
x∗
= ak +
bk − ak
2
= −1, 0312 +
−0, 8906 − (−1, 0312)
2
= −1, 0312 + 0, 0703 = −0, 9609
x∗
≈ −1
Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI