The document contains calculations to find the total area (∆(R)) of shaded regions bounded by curves over given intervals using integral calculus. Several examples are worked through step-by-step showing the setup and evaluation of definite integrals to obtain the shaded area values. The areas found include 8/3, 2, 4√2, π/2, 128/15, 1/12, and 4/3 units.

1. Nama: NurkhalifahAnwar
NIM : 1911041007
Kelas : A1 2019
Tugas Kalkulus Integral Tentu 5.6
Carilah luas total daerah berwarna kelabu pada latihan 25-40
25. Berdasarkan gambar yang ada maka luas daerah berwarna kelabu adalah:
𝐿 = 𝐴(𝑅1) + 𝐴(𝑅2)
Untuk 𝐴(𝑅1) = −∫ 𝑥√4 − 𝑥2 𝑑𝑥
0
−2
= |− ∫ 𝑥√4 − 𝑥2 𝑑𝑥
0
−2
|
= ∫ √4 − 𝑥2 𝑥 𝑑𝑥
0
−2
= ∫ √𝑢 −
1
2
0
−2
𝑑𝑢
= −
1
2
∫√𝑢 𝑑𝑢
0
−2
= −
1
2
[
2
3
𝑢
3
2]
−2
0
= −
1
3
𝑢
3
2 |
−2
0
= −
1
3
(4 − 𝑥2
)
3
2|
−2
0
= (−
1
3
(4−02
)
3
2)− (−
1
3
(4−(−2)2
)
3
2)
Misalkan𝑢 = 4 − 𝑥2
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= −2𝑥
−
1
2
𝑑𝑢 = 𝑥 𝑑

2. = −
1
3
(4)
3
2 − 0
= −
1
3
((2)2
)
3
2
= −
1
3
(2)3
= −
1
3
(8)
= −
8
3
= |−
8
3
|
=
8
3
Untuk 𝐴(𝑅2) = ∫ 𝑥√4 − 𝑥2 𝑑𝑥
2
0
= ∫ √4 − 𝑥2 𝑥 𝑑𝑥
2
0
= ∫ √𝑢 −
1
2
2
0
𝑑𝑢
= −
1
2
∫√𝑢 𝑑𝑢
2
0
= −
1
2
[
2
3
𝑢
3
2]
0
2
= −
1
3
𝑢
3
2 |
0
2
= −
1
3
(4 − 𝑥2
)
3
2|
0
2
= (−
1
3
(4−(2)2
)
3
2) − (−
1
3
(4−(0)2
)
3
2)
= 0 +
8
3

3. =
8
3
𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒ℎ
𝐿 = 𝐴(𝑅1) + 𝐴(𝑅2)
=
8
3
+
8
3
=
16
3
Jadi luas daerah berwana kelabu adalah
16
3
satuan luas
26. Berdasarkan gambar yang ada maka luas daerah berwana kelabu adalah :
𝐿 = ∫ (1 − cos𝑥) sin 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
0
Misalkan 𝑢 = 1 − cos𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= sin 𝑥
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
sin 𝑥
Untuk batasnya :
Subsitusikan 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 𝜋
Untuk 𝑥 = 0 untuk 𝑥 = 𝜋
𝑢 = 1 − cos0 𝑢 = 1 − cos𝜋
= 1 − 1 = 0 = 1 − cos 180
= 1 − (−1) = 2
Sehingga diperoleh :
𝐿 = ∫(1 − cos𝑥) sin𝑥 𝑑𝑥
2
0
= ∫ 𝑢 sin 𝑥
𝑑𝑢
sin 𝑥
2
0

4. = ∫ 𝑢 𝑑𝑢
2
0
=
𝑢2
2
|
0
2
= (
22
2
) − (
02
2
)
=
4
2
− 0
= 2
Jadi, luas daerah yang berwarna biru adalah 2 satuan luas
27. Berdasarkan gambar yang ada maka luas daerah berwana kelabu adalah :
𝐿 = −∫ 3(sin𝑥)√1 + cos𝑥 𝑑𝑥
0
−𝜋
Misalkan 𝑢 = 1 + cos𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= −sin 𝑥
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
− sin 𝑥
Untuk batasnya :
Subsitusikan 𝑥 = −𝜋 dan 𝑥 = 0
Untuk 𝑥 = −𝜋 untuk 𝑥 = 0
𝑢 = 1 + cos−𝜋 𝑢 = 1 + cos0
= 1 + (−1) = 0 = 1 + 1 = 2
Sehingga diperoleh :
𝐿 = −∫ 3(sin𝑥)√1 + cos𝑥
2
0

5. = − ∫ 3(sin𝑥)√𝑢
2
0
𝑑𝑢
− sin𝑥
= −(−3)∫ √𝑢 𝑑𝑢
2
0
= 3 (
2
3
𝑢
3
2)|
0
2
= 2 𝑢
3
2|
0
2
= (2(2)
2
3)− (2(0)
2
3 )
= 2√23 = 2√22. 2
= 4√2
Jadi, luas daerah yang berwarna biru adalah 4√2 satuan luas
28. 𝑦 =
𝜋
2
(cos𝑥)((sin(𝜋 + 𝜋 sin 𝑥))
Jawab :
𝑢 = 𝜋 + 𝜋 sin 𝑥 → 𝑑𝑢 = 𝜋 cos𝑥 𝑑𝑥 →
1
𝜋
𝑑𝑢 = cos𝑥 𝑑𝑥
𝑥 = −
𝜋
2
→ 𝑢 = 𝜋 + 𝜋 sin (−
𝜋
2
= 0)
𝑥 = 0 → 𝑢 = 𝜋
𝑥 = −
𝜋
2
𝐴 = 2∫
𝜋
2
0
−
𝜋
2
(cos𝑥)((sin(𝜋 + 𝜋 sin 𝑥))𝑑𝑥
= 2 ∫
𝜋
2
𝜋
0
(sin 𝑢) (
1
𝜋
𝑑𝑢)
= ∫ sin 𝑢 𝑑𝑢
𝜋
0
= [−cos𝑢]0
𝜋

6. = (−cos𝜋 − (−cos 𝑢)
= 2
29. Berdasarkan gambar yang ada maka luas daerah berwana kelabu adalah :
𝐿 = ∫ (𝑓(𝑥)2 − 𝑓(𝑥)2𝑑𝑥
𝜋
0
= ∫(1 − cos2
𝑥)𝑑𝑥
𝜋
0
= ∫ 1 −
𝜋
0
(
1 + cos2𝑥
2
)
= ∫ 𝑑𝑥 − (
1
2
∫ 1 + cos2𝑥 𝑑𝑥
𝜋
0
)
𝜋
0
Misalkan 𝑢 = 2𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
2
Sehingga diperoleh :
𝐿 = ∫ 𝑑𝑥 − (
1
2
∫ 1 + cos𝑢
𝑑𝑢
2
𝜋
0
)
𝜋
0
= ∫ 𝑑𝑥 − (
1
2
.
1
2
∫ 1 + cos𝑢 𝑑𝑢
𝜋
0
)
𝜋
0
= 𝑥|0
𝜋
− (
1
4
(𝑢 + sin 𝑢))|
0
𝜋
= 𝑥|0
𝜋
− (
1
4
. 2𝑥 +
1
4
sin 2𝑥))|
0
𝜋
= 𝜋 − 0 − ((
𝜋
2
+
1
4
sin 2𝜋) − (
0
4
+
1
4
sin 2(0)))

7. = 𝜋 − ((
𝜋
2
+
1
4
sin 360) − (
1
4
sin 0))
= 𝜋 − ((
𝜋
2
+ 0) − (0))
= 𝜋 −
𝜋
2
=
𝜋
2
Jadi, luas daerah yang berwarna biru adalah
𝜋
2
satuan luas
30. Misalkan 𝑦1 =
1
2
𝑠𝑒𝑐2
𝑡 dan 𝑦2 = −4 𝑠𝑖𝑛2
𝑡 dengan selang antara 𝑡 = −
𝜋
3
dan 𝑡 =
𝜋
3
Maka
∫ (𝑦1 − 𝑦2) 𝑑𝑡
𝜋
3
−
𝜋
3
= ∫ (
1
2
𝑠𝑒𝑐2
𝑡 − (−4 𝑠𝑖𝑛2
𝑡)) 𝑑𝑡
𝜋
3
−
𝜋
3
= 2 ∫ (
1
2
𝑠𝑒𝑐2
𝑡 + 4 𝑠𝑖𝑛2
𝑡) 𝑑𝑡
𝜋
3
0
= 2 (
1
2
tan𝑡 + (−
4 sin(2𝑡) − 8𝑡
4
)]0
𝜋
3
)
= [(tan𝑡 − 2sin 2𝑡 + 4𝑡)]0
𝜋
3
= tan
𝜋
3
−4 sin
𝜋
3
cos
𝜋
3
+ 4(
𝜋
3
)
= √3 − 4
1
2
√3
1
2
+
4𝜋
3
= √3 − √3 +
4𝜋
3
=
4𝜋
3
31. Misalkan 𝑦1 = 2𝑥2
dan 𝑦2 = 𝑥4
− 2𝑥2
Maka

8. ∫ (2𝑥2
− (𝑥4
− 2𝑥2))𝑑𝑥 +
0
−2
∫ (2𝑥2
− (𝑥4
− 2𝑥2))𝑑𝑥
2
0
= ∫ (4𝑥2
− 𝑥4)𝑑𝑥 + ∫ (4𝑥2
− 𝑥4
)
2
0
0
−2
𝑑𝑥
= ∫ (4𝑥2
− 𝑥4
)
2
−2
𝑑𝑥
= 2 ∫ (4𝑥2
− 𝑥4
)
2
0
𝑑𝑥
= 2[(
4𝑥3
3
−
𝑥5
5
)]0
2
= 2 (
4(2)3
3
−
(2)5
5
)
= 2 (
32
3
−
32
5
)
= 2 (
160 − 96
15
)
= 2 (
64
15
)
=
128
15
≈ 8,53
32. Misalkan daerah berabu adalah R yang dibatasi oleh dua kurva 𝑥 = 𝑦3
𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 𝑦2
dengan selang y=0 dan y=1
Dimana f(x) = 𝑦3
dan g(x)= 𝑦2
sehingga dapat dituliskan
Maka,
𝑦3
= 𝑦2
samakan f(x) dan g(x)
𝑦2
− 𝑦3
= 0
∆(𝑅) = ∫ (𝑦2
−
1
0
𝑦3
)𝑑𝑥
= [
𝑦3
3
−
𝑦4
4
]
0
1
=
1
3
−
1
4
=
𝟏
𝟏𝟐
≈ 𝟎,𝟎𝟖𝟑𝟑 𝒔𝒂𝒕𝒖𝒂𝒏 𝒍𝒖𝒂𝒔

9. 33. Misalkan daerah berabu adalah R yang dibatasi oleh dua kurva 𝑥 = 12𝑦2
−
12𝑦3
𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 2𝑦2
− 2𝑦 dengan selang y=0 dan y=1
Dimana 𝑓(𝑥) = 12𝑦2
− 12𝑦3
𝑑𝑎𝑛 𝑔(𝑥) = 2𝑦2
− 2𝑦 sehingga dapat dituliskan
Sehingga,
12𝑦2
− 12𝑦3
= 2𝑦2
− 2𝑦 samakan f(x) dan g(x)
2𝑦2
− 2𝑦 − 12𝑦2
+ 12𝑦3
= 0
12𝑦3
− 10𝑦2
− 2𝑦 = 0
∆(𝑅) = ∫ (
1
0
12𝑦3
− 10𝑦2
− 2𝑦)𝑑𝑥
= [
12
4
𝑥4
−
10
3
𝑥3
−
2
2
𝑦2
]
0
1
= (
12
4
(1)3
−
10
3
(1)4
−
2
2
(1)2
= 3 −
10
3
− 1 = −
4
3
karena pada luas tidak ada nilai negatif maka |−
4
3
| =
4
3
≈
𝟏, 𝟑𝟑 𝒔𝒂𝒕𝒖𝒂𝒏 𝒍𝒖𝒂𝒔
34. 𝑎 = −1,𝑏 = 1
𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 𝑥2
− (−2𝑥4) = 𝑥2
+ 2𝑥4
𝐴 = ∫ (𝑥2
+ 2𝑥4)𝑑𝑥 = [
𝑥3
3
+
2𝑥5
5
]
1
−1
= (
1
3
+
2
5
) − [−
1
3
+ (−
2
5
)]
=
2
3
+
4
5
=
10+12
15
=
22
15
35. daerah antara garis y = 1, 0≤ 𝑥 ≤ 2,dan kurva y =
𝑥2
4
,daerah minus luas segitiga
(dibentuk oleh y = x dan y=1) dengan alas 1 dan tinggi 1.
Dengan demikian, A = ∫ (1 −
𝑥2
4
) 𝑑𝑥 −
1
2
2
0
(1)(1) = [𝑥 −
𝑥3
12
]
0
2
−
1
2
= (2 −
8
12
) −
1
2
= 2 −
2
3
−
1
2
=
5
6
36. daerah antara sumbu x dan kura y = 𝑥2
,0 ≤ 𝑥 ≤ 1, daerah positif luas segitiga
(dibentuk oleh x = 1, x + y = 2, dan di sumbu x) dengan alas 1 dan tinggi 1.

10. Dengan demikian, A = ∫ 𝑥2
1
0
𝑑𝑥 +
1
2
(1)(1) = [
𝑥3
3
]
0
1
+
1
2
=
1
3
+
1
2
=
5
6
37. Misalkan 𝑦1 = 𝑥2
− 4 dan 𝑦2 = −𝑥2
− 2𝑥
Titik potong kedua kurva : 𝑥2
− 4 = −𝑥2
− 2𝑥
𝑥2
− 4 + 𝑥2
+ 2𝑥 = 0
2𝑥2
+ 2𝑥 − 4 = 0
(2𝑥 + 4) (𝑥 − 1) = 0
𝑥 = −2 ∨ 𝑥 = 1
Mencari luas daerah berdasarkan gambar batasnya -3 sampai 1 namun luas daerah
dibagi dua sehingga
𝐿 = 𝐴(𝑅1) + 𝐴(𝑅2)
= ∫ (𝑦1 − 𝑦2) 𝑑𝑥 +
−2
−3
∫ (𝑦2 − 𝑦1)
1
−2
𝑑𝑥
= ∫ (2𝑥2
+ 2𝑥 − 4) 𝑑𝑥 +
−2
−3
∫ (−2𝑥2
− 2𝑥 + 4)
1
−2
𝑑𝑥
=
2
3
𝑥3
+ 𝑥2
− 4𝑥]
−3
−2
+ −
2
3
𝑥3
− 𝑥2
+ 4𝑥]
−2
−1
= [(
2
3
(−2)3
+ (−2)2
− 4(−2)) − (
2
3
(−3)3
+ (−3)2
− 4(−3))]+ [(−
2
3
13
− 12
+ 4.1) −
(−
2
3
(−2)3
− (−2)2
+ 4(−2))]
= [(−
16
3
+ 4 + 8) − (−18 + 9 + 12)] + [(−
2
3
− 1 + 4) − (
16
3
− 4 − 8)]
= [−
16
3
+ 12 − 3] + [−7 + 16]
= −
16
3
+ 12 − 3 + 9 = −
16
3
+ 18 =
−16+54
3
=
38
3
38. Misalkan 𝑦1 = 2𝑥3
−𝑥2
− 5𝑥 dan 𝑦2 = −𝑥2
+ 3𝑥
Mencari luas daerah berdasarkan gambar batasnya -2 sampai 2 namun luas daerah
dibagi dua sehingga
𝐿 = 𝐴(𝑅1) + 𝐴(𝑅2)

11. = ∫ (𝑦1 − 𝑦2) 𝑑𝑥 +
0
−2
∫ (𝑦2 − 𝑦1)
2
0
𝑑𝑥
= ∫ (2𝑥3
− 8𝑥) 𝑑𝑥 +
0
−2
∫ (−2𝑥3
+ 8𝑥)
2
0
𝑑𝑥
=
1
2
𝑥4
− 4𝑥2
]
−2
0
+ −
1
2
𝑥4
+ 4𝑥2
]
0
2
= [(
1
2
04
− 4.02
) − (
1
2
(−2)4
− 4(−2)2
)] + [(−
1
2
(2)4
+ 4(2)2
])− (−
1
2
04
+ 4.02
])]
=[−8 + 16] + [−8 + 16] = 16
Jawab:
Diperoleh luas daerah 𝐴, 𝐵 dan 𝐶
𝐴 = ∫ (−𝑥 + 2) − (4 − 𝑥2)
−1
−2
𝑑𝑥
= ∫ (𝑥2
− 𝑥 − 2)
−1
−2
𝑑𝑥
= [
1
3
𝑥3
−
1
2
𝑥2
− 2𝑥]
−2
−1
= (
1
3
(−1)3
−
1
2
(−1)2
− 2(−1)) − (
1
3
(−2)3
−
1
2
(−2)2
− 2(−2))
= (−
1
3
−
1
2
+ 2) − (−
8
3
−
4
2
+ 4)
= (
−2 − 3 + 12
6
) − (
−16 − 12 + 24
6
)
=
7
6
− (−
4
6
)

12. =
11
6
𝐵 = ∫ (4 − 𝑥2)− (−𝑥 + 2)
2
−1
𝑑𝑥
= ∫ (−𝑥2
+ 𝑥 + 2)
2
−1
𝑑𝑥
= [−
1
3
𝑥3
+
1
2
𝑥2
+ 2𝑥]
−1
2
= (−
1
3
(2)3
+
1
2
(2)2
+ 2(2)) − (−
1
3
(−1)3
+
1
2
(−1)2
+ 2(−1))
= (−
8
3
+
4
2
+ 4) − (
1
3
+
1
2
− 2)
= (
−16 + 12 + 24
6
) − (
2 + 3 − 12
6
)
=
20
6
− (−
7
6
)
=
27
6
𝐶 = ∫ (−𝑥 + 2) − (4 − 𝑥2)
3
2
𝑑𝑥
= ∫ (𝑥2
− 𝑥 − 2)
3
2
𝑑𝑥
= [
1
3
𝑥3
−
1
2
𝑥2
− 2𝑥]
2
3
= (
1
3
(3)3
−
1
2
(3)2
− 2(3)) − (
1
3
(2)3
−
1
2
(2)2
− 2(2))
= (
27
3
−
9
2
− 6) − (
8
3
−
4
2
− 4)
= (
54 − 27 − 36
6
) − (
16 − 12 − 24
6
)
= −
9
6
− (−
20
6
)
=
11
6
Sehingga, luas total daerah yang berwarna kelabu adalah

13. Luas total = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶
= ∫ (𝑥2
− 𝑥 − 2)
−1
−2
𝑑𝑥 + ∫ (−𝑥2
+ 𝑥 + 2)
2
−1
𝑑𝑥 + ∫ (𝑥2
− 𝑥 − 2)
3
2
𝑑𝑥
=
11
6
+
27
6
+
11
6
=
49
6
40.
Diketahui batas-batas dari soal, (di mulai dari kiri) yaitu, (−2,−
2
3
); (0,0) ;(3,6) ;(3, 1).
Yang belum diketahui adalah perpotongan antara garis dengan kurva tersebut di daerah 2.
Kita mendapatkannya dengan cara :
𝑥3
− 𝑥 =
𝑥
3
𝑥3
3
−
4
3
𝑥 = 0
𝑥
3
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 0

14. 𝑥 = −2, 𝑥 = 0, atau 𝑥 = 2. Sehingga kita mendapatkan 𝑥 nya, yaitu 2.
Daerah pada grafik di atas terdapat tiga daerah, yaitu dari 𝑥 = −2 sampai 𝑥 = 0 (Luas 1),
dari 𝑥 = 0 sampai 𝑥 = 2 (Luas 2), dan dari 𝑥 = 2 sampai 𝑥 = 3 (Luas 3) sebagai batas atas
dan bawahnya.
Sehingga diperoleh masing-masing luas pada daerah :
𝑨(𝑹)𝟏 = ∫ (𝑥3
− 𝑥) −
𝑥
3
0
−2
𝑑𝑥
= ∫ (
𝑥3
3
−
4
3
𝑥)
0
−2
𝑑𝑥
=
1
3
∫ (𝑥3
− 4𝑥)
0
−2
𝑑𝑥
=
1
3
[
𝑥4
4
− 2𝑥2
]
−2
0
= 0 −
1
3
(4 − 8)
=
4
3
≈ 𝟏.𝟑̇ satuan luas.
𝑨(𝑹)𝟐 = ∫
𝑥
3
2
0
− (𝑥3
− 𝑥)𝑑𝑥
= ∫ (−
𝑥3
3
+
4
3
𝑥)
2
0
𝑑𝑥
= −
1
3
∫ (𝑥3
− 4𝑥)
2
0
𝑑𝑥
= −
1
3
∫ (4𝑥 − 𝑥3)
2
0
𝑑𝑥
=
1
3
[2𝑥2
−
𝑥4
4
]
0
2

15. =
1
3
(8 − 4)
=
4
3
≈ 𝟏.𝟑̇ satuan luas.
𝑨(𝑹)𝟏 = ∫ (𝑥3
− 𝑥) −
𝑥
3
3
2
𝑑𝑥
= ∫ (
𝑥3
3
−
4
3
𝑥)
3
2
𝑑𝑥
=
1
3
∫ (𝑥3
− 4𝑥)
3
2
𝑑𝑥
=
1
3
[
𝑥4
4
− 2𝑥2
]
2
3
=
1
3
[(
34
4
− 2(3)2
) − (
24
4
− 2(2)2
)]
=
1
3
[(
81
4
− 2.9) − (
16
4
− 8)]
=
1
3
(
81
4
− 14)
=
25
12
≈ 𝟐.𝟎𝟖𝟑̇ satuan luas.
Diperoleh :
Luas = 𝐴(𝑅)1 + 𝐴(𝑅)2 + 𝐴(𝑅)3
4
3
+
4
3
+
25
12
=
𝟏𝟗
𝟒
≈ 𝟒. 𝟕𝟓 satuan luas.
Carilah luas daerah yang dibatasi oleh garis dan kurva pada Latihan 41-50.
41. 𝑦 = 𝑥2
− 2 dan 𝑦 = 2

16. Jawab :
Titik Potong:
𝑦1 = 𝑦2
2 = 𝑥2
− 2
2 − (𝑥2
− 2) = 0
−𝑥2
+ 4 = 0
(2 − 𝑥)(𝑥 + 2)
𝑥 = −2 ∨ 𝑥 = 2
Sehingga diperoleh:
∆𝐴 ≈ [ 2 − (𝑥2
− 2)]∆𝑥
= (−𝑥2
+ 4)∆𝑥
𝐴(𝑅) = ∫ [−𝑥2
+ 4]
2
−2
𝑑𝑥
= −
𝑥3
3
+ 4𝑥|
−2
2
= [−
23
3
+ 4(2)]—[
(−2)3
3
+ 4(−2)]
= −
8
3
+ 8 − (−
−8
3
− 8)
=
16
3
− (−
16
3
)
=
32
3
≈ 10,666 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑢𝑎𝑠
42. 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2
𝑑𝑎𝑛 𝑦 = −3
Jawab:

17. Menentukan titik potong;
2𝑥 − 𝑥2
= −3
2𝑥 − 𝑥2
+ 3 = 0
−𝑥2
+ 2𝑥 + 3 = 0
𝑥2
− 2𝑥 − 3 = 0
(𝑥 − 3)(𝑥 + 1) = 0
𝑥 = 3 V 𝑥 = −1
Diperoleh;
𝑎 = −1 dan 𝑏 = 3
Sehingga diperoleh;
𝐴(𝑅) = ∫ 2𝑥 − 𝑥2
+ 3
3
−1
𝑑𝑥
= [𝑥2
−
1
3
𝑥3
+ 3𝑥]
−1
3
= [(32
−
1
3
(3)3
+ 3(3)) − ((−1)2
−
1
3
(−1)3
+ 3(−1))]
= [(9 − 9 + 9) − (1 +
1
3
− 3)]
= 11 −
1
3
=
32
3
≈ 10,33 satuan luas.
43. 𝑦 = 𝑥4
dan 𝑦 = 8𝑥

18. 𝐉𝐚𝐰𝐚𝐛 ∶
Titik Perpotongan ∶
𝑦1 = 𝑦2
𝑥4
= 8𝑥
𝑥4
− 8𝑥 = 0
𝑥(𝑥 − 2)(𝑥2
+ 2𝑥 + 4) = 0
𝑥 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 2
Jadi, batasnya adalah 0 sampai 2
Sehingga diperoleh ∶
𝐴(𝑅) = ∫ 8𝑥 − 𝑥4
𝑑𝑥
2
0
= 4𝑥2
−
𝑥5
5
]
0
2
= (4(2)2
−
(2)5
5
) − (4(0)2
−
(0)5
5
)
𝑦1 = 𝑥4
𝑦2 = 8𝑥

19. = (16 −
32
5
) − 0
=
48
5
≈ 9,6 satuan luas.
44.
Titik Perpotongan ∶
𝑦1 = 𝑦2
𝑥2
− 2𝑥 = 𝑥
𝑥2
− 3𝑥 = 0
𝑥(𝑥 − 3) = 0
𝑥 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 3
Jadi, batasnya adalah 0 sampai 3
Sehingga diperoleh :
𝐴(𝑅) = ∫ 𝑥 − (𝑥2
− 2𝑥) 𝑑𝑥
3
0
= ∫ (−𝑥2
+ 3𝑥) 𝑑𝑥
3
0

20. = −
𝑥3
3
+
3𝑥2
2
]
0
3
= (−
33
3
+
3(3)2
2
) − (−
(0)3
3
+
3(0)2
2
)
= (−9 +
27
2
) − 0
=
9
2
≈ 4.5 satuan luas.
45. 𝑦 = 𝑥2
dan 𝑦 = −𝑥2
+ 4𝑥
𝐉𝐚𝐰𝐚𝐛 ∶
Titik Perpotongan ∶
𝑦1 = 𝑥2
𝑦2 = −𝑥2 + 4𝑥

21. 𝑦1 = 𝑦2
𝑥2
= −𝑥2
+ 4𝑥
2𝑥2
− 4𝑥 = 0
𝑥(2𝑥 − 4) = 0
𝑥 = 0 atau 𝑥 = 2
Jadi, batasnya adalah 0 sampai 2
Sehingga diperoleh ∶
𝐴(𝑅) = ∫ −𝑥2
+ 4𝑥 − 𝑥2
𝑑𝑥
2
0
= ∫ −2𝑥2
+ 4𝑥 𝑑𝑥
2
0
= −
2𝑥3
3
+ 2𝑥2
]
0
2
= (−
2(2)3
3
+ 2(2)2
)− (−
2(0)3
3
+ 2(0)2
)
= (−
16
3
+ 8) + 0
=
8
3
≈ 𝟐, 𝟔𝟔 satuan luas.
46. 𝑦 = 7 − 2𝑥2
dan 𝑦 = 𝑥2
+ 4
Jawab:

22. Mencari titik perpotongan dari persamaan tersebut
Misalkan :
𝑦1 = 7 − 2𝑥2
𝑦2 = 𝑥2
+ 4
𝑦1 = 𝑦2
7 − 2𝑥2
= 𝑥2
+ 4
7 − 2𝑥2
− 𝑥2
− 4 = 0
3 − 3𝑥2
= 0
(−3𝑥 − 3)(𝑥 − 1) = 0
𝑥 = −1 atau 𝑥 = 1
Sehingga,
𝐴(𝑅) = ∫ 3 − 3𝑥2
1
−1
𝑑𝑥
= (3𝑥 − 𝑥3)|−1
1
= [3(1) − (1)3] − [3(−1)− (−1)]
= 2 + 2
= 4 satuan luas.

23. 47. 𝑦 = 𝑥4
− 4𝑥2
+ 4 dan 𝑦 = 𝑥2
Dikatahui titik-titik potong untuk menjadi batas-batas atas dan bawahnya yaitu titik
(−2,4); (−1,1); (1,1);(2, 4).
Diperoleh dengan cara :
𝑥4
− 4𝑥2
+ 4 = 𝑥2
𝑥4
− 4𝑥2
− 𝑥2
− 4 = 0
(𝑥2
− 1)(𝑥2
− 4) = 0
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 0
Sehingga, 𝑥 = −1; 𝑥 = 1; 𝑥 = −2; atau 𝑥 = 2.
Luas daerah didapatkan dengan menjumlahkan ketiga daerah yang sesuai dari grafik.
Daerah pada grafik di atas terdapat tiga daerah, yaitu dari 𝑥 = −2 sampai 𝑥 = −1 (Luas 1),
dari 𝑥 = −1 sampai 𝑥 = 1 (Luas 2), dan dari 𝑥 = 1 sampai 𝑥 = 2 (Luas 3) sebagai batas
atas dan bawahnya.
Sehingga diperoleh masing-masing luas pada daerah :
𝑨(𝑹)𝟏 = ∫ (𝑥2)− (𝑥4
− 4𝑥2
+ 4)
−1
−2
𝑑𝑥
= ∫ (−𝑥4
+ 5𝑥2
− 4)
−1
−2
𝑑𝑥

24. = [−
𝑥5
5
+
5𝑥3
3
− 4𝑥]
−2
−1
= (−
(−1)5
5
+
5(−1)3
3
− 4(−1)) − (−
(−2)5
5
+
5(−2)3
3
− 4(−2))
=
22
15
≈ 𝟏.𝟒𝟔̇ satuan luas.
𝑨(𝑹)𝟐 = ∫ 𝑥4
− 4𝑥2
+ 4
1
−1
− (𝑥2)𝑑𝑥
= ∫ (−𝑥4
+ 5𝑥2
− 4)
1
−1
𝑑𝑥
= [−
𝑥5
5
−
5𝑥3
3
+ 4𝑥]
−1
1
= (
15
5
−
5(1)3
3
+ 4(1)) − (
(−1)5
5
−
5(−1)3
3
+ 4(−1))
=
76
15
≈ 𝟓.𝟎𝟔̇ satuan luas.
𝑨(𝑹)𝟏 = ∫ (𝑥2) − (𝑥4
− 4𝑥2
+ 4)
2
1
𝑑𝑥
= ∫ (−𝑥4
+ 5𝑥2
− 4)
2
1
𝑑𝑥
= [−
𝑥5
5
+
5𝑥3
3
− 4𝑥]
1
2
= (−
25
5
+
5(2)3
3
− 4(2)) − (−
15
5
+
5(1)3
3
− 4(1))
=
22
15
≈ 𝟏.𝟒𝟔̇ satuan luas.
Diperoleh :

25. Luas = 𝐴(𝑅)1 + 𝐴(𝑅)2 + 𝐴(𝑅)3
22
15
+
76
15
+
22
15
= 𝟖 satuan luas.
48. 𝑦 = 𝑥√𝑎2 − 𝑥2,𝑎 > 0, dan 𝑦 = 0
Jawab :
Dengan titik ujung −𝑎 dan 𝑎.
Mencari titik potong :
𝑥√𝑎2 − 𝑥2 = 0
Sehingga 𝑥 = 0 atau √𝑎2 − 𝑥2 = 0 ⟹ 𝑎2
− 𝑥2
= 0 ⟹ (𝑎 − 𝑥)(𝑎 + 𝑥) = 0.𝐷𝑖 𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑥 = 𝑎
atau 𝑥 = −𝑎.
Maka dengan batas 𝑥 = −𝑎; 𝑥 = 0; 𝑥 = −𝑎, diperoleh integral untuk mencari luas :
∫ −𝑥√𝑎2 − 𝑥2𝑑𝑥
0
−𝑎
+ ∫ 𝑥√𝑎2 − 𝑥2𝑑𝑥
𝑎
0
=
1
2
[
2
3
(𝑎2
− 𝑥2)
3
2]
−𝑎
0
−
1
2
[
2
3
(𝑎2
− 𝑥2)
3
2]
0
𝑎
= [
1
3
(𝑎2
− 𝑥2)
3
2]
−𝑎
0
− [
1
3
(𝑎2
− 𝑥2)
3
2]
0
𝑎

26. = [(
1
3
(𝑎2
− (0)2)
3
2) − (
1
3
(𝑎2
− (−𝑎)2)
3
2)]− [(
1
3
(𝑎2
− (𝑎)2)
3
2 )− (
1
3
(𝑎2
− (0)2)
3
2)]
= (
1
3
𝑎3
− 0) − (0 −
1
3
𝑎3
)
=
𝟐
𝟑
𝒂𝟑
satuan luas.
49. 𝑦 = √|𝑥| 𝑑𝑎𝑛 5𝑦 = 𝑥 + 6
(Ada berapa titik potong?)
Jawab:
𝑦 = √|𝑥|
5𝑦 = 𝑥 + 6 → 𝑦 =
𝑥
5
+
6
5
Maka,
 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑦 = √−𝑥 ;
5𝑦 = 𝑥 + 6
5(√−𝑥 ) = 𝑥 + 6
√−𝑥 =
𝑥+6
5
−𝑥 =
(𝑥+6)2
25
−25𝑥 = 𝑥2
+ 12𝑥 + 36
→ √−𝑥, 𝑥 ≤ 0
→ √𝑥, 𝑥 ≥ 0

27. 0 = 𝑥2
+ 37𝑥 + 36
0 = (𝑥 + 1)(𝑥 + 36)
𝑥 = −1 V 𝑥 = −36
Namun, 36 bukan merupakan solusi.
 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑦 = √𝑥 ;
𝑦 =
𝑥+6
5
√𝑥 =
𝑥+6
5
𝑥 =
(𝑥+6)2
25
25𝑥 = 𝑥2
+ 12𝑥 + 36
0 = 𝑥2
− 13𝑥 + 36
0 = (𝑥 − 9)(𝑥 − 4)
𝑥 = 9 V 𝑥 = 4
Sehingga terdapat tiga titik potong,
𝐴 = ∫ (
𝑥+6
5
− √−𝑥)𝑑𝑥
0
−1
+ ∫ (
𝑥+6
5
− √𝑥)𝑑𝑥
4
0
+ ∫ (√𝑥 −
𝑥+6
5
)
9
4
𝑑𝑥
= [
(𝑥+6)2
10
+
2
3
(−𝑥)
3
2 ]
−1
0
+ [
(𝑥+6)2
10
−
2
3
𝑥
3
2]
0
4
+ [
2
3
𝑥
3
2 −
(𝑥+6)2
10
]
4
9
= [
36
10
−
25
10
−
2
3
] + [10 −
16
3
−
36
10
] + [18 −
225
10
−
16
3
+ 10]
= −25 + 38 −
34
3
=
39
3
−
34
3
=
5
3
𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑢𝑎𝑠
50. 𝑦 = |𝑥2
− 4| dan 𝑦 =
𝑥2
2
+ 4

28. 𝐉𝐚𝐰𝐚𝐛 ∶
𝑦 = |𝑥2
− 4| = {
𝑥2
− 4, 𝑥 ≤ −2 atau 𝑥 ≥ 2
4 − 𝑥2
, −2 ≤ 𝑥 ≤ 2
Titik Perpotongan ∶
 Untuk 𝑥 ≤ −2 atau 𝑥 ≥ 2
𝑦1 = 𝑦2
𝑥2
− 4 =
𝑥2
2
+ 4
2𝑥2
− 8 = 𝑥2
+ 8
𝑥2
= 16
𝑥 = ± 4
 Untuk − 2 ≤ 𝑥 ≤ 2
𝑦1 = 𝑦2
4 − 𝑥2
=
𝑥2
2
+ 4
𝑦1 = |𝑥2
− 4|
𝑦2 =
𝑥2
2
+ 4

29. 8 − 2𝑥2
= 𝑥2
+ 8
𝑥2
= 0
𝑥 = 0
Sehingga diperoleh ∶
𝐴(𝑅) = 2∫ (
𝑥2
2
+ 4 − 4 − 𝑥2
) 𝑑𝑥 + 2
2
0
∫ (
𝑥2
2
+ 4 − 𝑥2
+ 4) 𝑑𝑥
4
2
= −2∫ (
𝑥2
2
) 𝑑𝑥 − 2
2
0
∫ (−
𝑥2
2
+ 8) 𝑑𝑥
4
2
= −2(
(𝑥)3
6
) − (
(𝑥)3
6
) ]
0
2
− 2(−
(𝑥)3
6
+ 8𝑥) − (−
(𝑥)3
6
+ 8𝑥) ]
2
4
= −2((
(2)3
6
) − (
(0)3
6
)) − 2 ((−
(4)3
6
+ 8(4)) − (−
(2)3
6
+ 8(2)))
= −2(
8
6
) − 2((−
64
6
+ 32) − (−
8
6
+ 16))
= −
16
6
− 2(
128
6
−
88
6
)
= −
16
6
−
256
6
+
176
6
= −
96
6
≈ 16 satuan luas.
51. 𝑥 = 2𝑦2
, 𝑥 = 0, dan 𝑦 = 3
Jawab:

30. 𝐴(𝑅) = ∫ 2𝑦3
3
0
𝑑𝑦
=
2
3
𝑦3
|0
3
=
2
3
(3)3
= 18 satuan luas.
52. 𝑥 = 𝑦2
𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 𝑦 + 2
Jawab :
∫ (𝑦 + 2 − 𝑦2)𝑑𝑥
2
−1
= [−
1
3
𝑦3
+
1
2
𝑦2
+ 2𝑦]
−1
2
= −
8
3
+ 2 + 4 −
1
3
−
1
2
+ 2
=
9
2
53. 𝑦2
− 4𝑥 = 4 𝑑𝑎𝑛 4𝑥 − 𝑦 = 16
Jawab :
4x = 𝑦2
– 4
4x = 16 + y
𝑥 =
𝑦2
4
− 1
𝑥 = 4 +
𝑦
4
∫ (
𝑦
4
+ 4 −
𝑦2
4
+ 1)
5
−4
𝑑𝑦 = ∫ (
𝑦
4
−
𝑦2
4
+ 5)
5
−4
𝑑𝑦
= ∫
𝑦
4
𝑑𝑦 − ∫
𝑦2
4
5
−4
5
−4
𝑑𝑦 + ∫ 5
5
−4
𝑑𝑦
=
1
4
𝑦2
4
−
1
4
𝑦
4
3
+ 5𝑦

31. =
1
8
(25 − 16) −
1
12
(125 + 64) + 5(5 + 4)
=
9
8
−
189
12
+ 45
=
108−1512 +4320
96
=
2916
96
=
243
8
54. Untuk sketsa yang diberikan,
𝑐 = 0
𝑑 = 1
𝑓(𝑦) − 𝑔(𝑦) = 𝑦2
− 𝑦3
𝐴 = ∫ (𝑦2
− 𝑦3)
1
0
𝑑𝑦
= ∫ 𝑦2
1
0
− ∫ 𝑦3
1
0
𝑑𝑦
= [
𝑦3
3
]
0
1
− [
𝑦4
4
]
0
1
=
(1−0)
3
−
(1−0)
4
=
1
3
−
1
4
=
1
12
55. 𝑥 + 𝑦2
= 0 𝑑𝑎𝑛 𝑥 + 3𝑦2
= 2
Jawab:
𝑥 = −𝑦2
𝑑𝑎𝑛 𝑥 = −3𝑦2
+ 2
Titik perpotongan
−𝑦2
= −3𝑦2
+ 2
−𝑦2
+ 3𝑦2
− 2 = 0
2𝑦2
− 2 = 0
2(𝑦 + 1)(𝑦 − 1) = 0
𝑦 = −1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑦 = 1
Sehingga di peroleh,
∆𝐴 ≈ [(−3𝑦2
+ 2) + 𝑦2] ∆𝑦
= (−2𝑦2
+ 2) ∆𝑦

32. 𝐴(𝑅) = ∫ (−2𝑦2
+ 2) 𝑑𝑦
1
−1
= −
2
3
𝑦3
+ 2𝑦 |
−1
1
= (−
2
3
(1)3
+ 2(1)) − (−
2
3
(−1)3
+ 2(−1))
= (−
2
3
+ 2) − (
2
3
− 2)
= (−
4
3
) − (−4)
= −
4
3
+ 4
=
8
3
≈ 2,66 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑢𝑎𝑠
56. 𝑥 − 𝑦
2
3 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑥 + 𝑦4
= 2
Jawab:
𝑥 = 𝑦
2
3 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 2 − 𝑦4
Sehinggah diperoleh,
∫ (2 − 𝑦4
− 𝑦
2
3 )𝑑𝑦
1
−1
= ∫ 2𝑑𝑦 − ∫ 𝑦4
𝑑𝑦 − ∫ 𝑦
2
3 𝑑𝑦
1
−1
1
−1
1
−1
= 2𝑦|−1
1
−
𝑦5
5
|
−1
1
−
𝑦
5
3
5
3
|
−1
1
= 2(1 + 1) −
1
5
(1 + 1) −
3
5
(1 + 1)
= 4 −
2
5
−
6
5
= 4 −
8
5
=
12
5
≈ 2,4 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑢𝑎𝑠
57. 𝑥 = 𝑦2
− 1 dan 𝑥 = |𝑦|√1 − 𝑦2
Jawab:
Fungsi 𝑥 = |𝑦|√1 − 𝑦2 dapat didefinisikan ulang:
 𝑦√1 − 𝑦2 0 ≤ 𝑦 ≤ 1
 −𝑦√1 − 𝑦2 −1 ≤ 𝑦 ≤ 0

33. Sehingga diperoleh:
𝐴(𝑅) = 2 [∫ (𝑦√1 − 𝑦2 − (𝑦2
− 1))𝑑𝑦
1
0
]
= 2 [∫ 𝑦√1 − 𝑦2 𝑑𝑦 − ∫ (𝑦2
− 1) 𝑑𝑦
1
0
1
0
]
= 2[𝐼1 − 𝐼2]
Kemudian mencari nilai 𝐼1 𝑑𝑎𝑛 𝐼2
𝐼1 = ∫ 𝑦√1 − 𝑦2 𝑑𝑦
1
0
𝑢 = 1 − 𝑦2
𝑑𝑢 = −2𝑦 𝑑𝑦
𝑦 = 0 𝑢 = 1
𝑦 = 1 𝑢 = 0
𝐼1 = −
1
2
∫ √𝑢 𝑑𝑢
0
1
= [−
1
2
∙
2
3
𝑢
3
2 ]
0
1
=
1
3
[0 − 1]
=
1
3
𝐼2 = ∫ (𝑦2
− 1) 𝑑𝑦
1
0
= [
𝑦3
3
− 𝑦]
0
1
= [
1
3
− 1] − 0
= −
2
3

34. Jadi luas antara dua kurva adalah:
𝐴(𝑅) = 2[𝐼1 − 𝐼2]
= 2 [
1
3
− (−
2
3
)]
= 2
58. 𝑥 = 𝑦3
− 𝑦2
dan 𝑥 = 2𝑦
Jawab:
𝐴(𝑅) = ∫ ((𝑦3
− 𝑦2) − 2𝑦) 𝑑𝑦 + ∫ (2𝑦 − (𝑦3
− 𝑦2)) 𝑑𝑦
2
0
0
−1
= ∫ (𝑦3
− 𝑦2
− 2𝑦) 𝑑𝑦 + ∫ (−𝑦3
+ 𝑦2
+ 2𝑦) 𝑑𝑦
2
0
0
−1
= [
𝑦4
4
−
𝑦3
3
− 𝑦2
]
−1
0
+ [−
𝑦4
4
+
𝑦3
3
+ 𝑦2
]
0
2
= 0 − (
1
4
−
1
3
− 1) + (−4 +
8
3
+ 4 − 0)
=
13
12
+
8
3
=
15
4
≈ 3,75 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑢𝑎𝑠

35. Carilah luas daerah yang dibatasi oleh kurva
59. 4𝑥2
+ 𝑦 = 4 𝑑𝑎𝑛 𝑥4
− 𝑦 = 1
Jawab :
𝑦 = 4 − 4𝑥2
𝑑𝑎𝑛 𝑦 = 𝑥4
− 1
∆𝐴 ≈ [(4 − 4𝑥2)− (𝑥4
− 1)]
= [5 − 4𝑥2
− 𝑥4]∆𝑥
= [𝑥4
− 4𝑥2
− 5]∆𝑥
Sehingga diperoleh,
∫ (𝑥4
− 4𝑥2
− 5)𝑑𝑥
1
−1
= [
𝑥5
5
−
4𝑥3
3
− 5𝑥]
−1
1
=
104
15
≈ 6,93 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑢𝑎𝑠

36. 60. 𝑥3
− 𝑦 = 0 𝑑𝑎𝑛 3𝑥2
− 𝑦 = 4
Jawab :
𝑦 = 𝑥3
𝑑𝑎𝑛 𝑦 = 3𝑥2
− 4
∆𝐴 ≈ [𝑥3
− (3𝑥2
− 4)]
= [𝑥3
− 3𝑥2
+ 4]∆𝑥
Sehingga diperoleh,
∫ (𝑥3
− 3𝑥2
+ 4)𝑑𝑥
2
−1
= [
𝑥4
4
− 𝑥2
+ 4𝑥]
−1
2
=
27
4
≈ 6,75 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑢𝑎𝑠
61. 𝑥 + 4𝑦2
= 4 dan 𝑥 + 𝑦4
= 1 untuk 𝑥 ≥ 0
Jawab =
∫ (−𝑥 + 2) − (4 − 𝑥2)𝑑𝑥 + ∫ (4 − 𝑥2) − (−𝑥 + 2)𝑑𝑥 + ∫ (−𝑥 + 2) − (4 − 𝑥2)𝑑𝑥
3
2
2
−1
−1
−2
∫ (−𝑥 + 2 − 4 + 𝑥2
)𝑑𝑥 + ∫ 4 − 𝑥2
+ 𝑥 − 2)𝑑𝑥 + ∫ (−𝑥 + 2 − 4 + 𝑥2
)𝑑𝑥
3
2
2
−1
−1
−2
∫ (𝑥2
− 𝑥 − 2)𝑑𝑥 + ∫ (−𝑥2
+ 𝑥 + 2)𝑑𝑥 + ∫ (𝑥2
− 𝑥 − 2)𝑑𝑥
3
2
2
−1
−1
−2
[
1
3
𝑥3
−
1
2
𝑥2
− 2𝑥]−2
−1
+ [−
1
3
𝑥3
+
1
2
𝑥3
+ 2𝑥]−1
2
+ [
1
3
𝑥3
−
1
2
𝑥2
− 2𝑥]2
3
11
6
+
9
2
+
11
6
=
49
6
62. 𝑥 + 𝑦2
= 3𝑑 dan 4𝑥 + 𝑦2
= 0
Jawab =
∫ (
𝑥3
3
− 𝑥)𝑑𝑥 + ∫
𝑥
3
− (
𝑥3
3
− 𝑥) 𝑑𝑥 ∫ (
𝑥3
3
− 𝑥
3
2
2
0
0
−2
) − 𝑥𝑑𝑥
1
3
[
1
4
𝑥4
− 2𝑥2
]−2
0
+ 𝑑𝑓𝑟𝑎𝑐13[−
1
4
𝑥4
+ 2𝑥2
]0
2
+ 𝑑𝑓𝑟𝑧𝑐13 + [
1
4
𝑥4
− 2𝑥2
]2
3
4
3
+
4
3
+
25
12
=
19
4

37. Carila luas daerah yang dibatasi oleh garis dan kurva pada latihan 63-70.
63. 𝑦 = 2 sin 𝑥 dan 𝑦 = sin 2𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋
Jawab :
𝐴 = ∫ [2sin 𝑥 − sin 2𝑥]𝑑𝑥
𝜋
0
= [−2cos𝑥 +
1
2
cos 2𝑥]0
𝜋
= (−2cos𝜋 +
1
2
cos 2 ∙ 𝜋) − (−2cos0 +
1
2
cos2 ∙ 0)
= (−2cos180 +
1
2
cos360) − (−2 cos0 +
1
2
cos0)
= (−2(−1)+
1
2
(1)) − (−2(1) +
1
2
(1))
= 2 +
1
2
+ 2 −
1
2
= 4 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑢𝑎𝑠
64. 𝑦 = 8 cos𝑥 dan 𝑦 = sec2
𝑥, −
𝜋
3
≤ 𝑥 ≤
𝜋
3
Jawab :
𝐴 = ∫ (8cos𝑥 − sec2
𝑥)𝑑𝑥
𝜋
3
−
𝜋
3
= [8 sin 𝑥 − tan𝑥]
−
𝜋
3
𝜋
3
= [8 sin 𝑥 −
sin 𝑥
cos𝑥
]
−
𝜋
3
𝜋
3
= (8 sin
𝜋
3
−
sin
𝜋
3
cos
𝜋
3
) − (8sin(−
𝜋
3
) −
sin( −
𝜋
3
)
cos(−
𝜋
3
)
)
= (8 sin 60 −
sin 60
cos 60
) − (8sin(−60) −
sin(−60)
cos(−60)
)
= (8 (
1
2
√3) −
1
2
√3
1
2
) − (8 (−
1
2
√3) −
(−
1
2
√3)
1
2
)
= (4√3− √3) − (−4√3+ √3)
= 3√3 + 3√3
= 6√3 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑢𝑎𝑠
65. 𝑦 = cos(
𝜋𝑥
2
) 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = 1 − 𝑥2
𝑗𝑎𝑤𝑎𝑏𝑎𝑛
sin 2𝑥 𝑑𝑥 =
misal : 𝑢 = 2𝑥
𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥
𝑑𝑢
2
= 𝑑𝑥
Sehingga,
∫ sin 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ sin𝑢
𝑑𝑢
2
=
1
2
∫ sin 𝑢 𝑑𝑢
=
1
2
(−cos𝑢) + 𝐶
= −
1
2
cos2𝑥 + 𝐶

38. ∫ 1 − 𝑥2
−
1
−1
cos(
𝜋𝑥
2
)𝑑𝑥
= 𝑥 −
𝑥3
3
−
2
𝜋
𝑠𝑖𝑛 (
𝜋𝑥
2
)
=
4(𝜋 − 3)
3𝜋
66. 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 (
𝜋𝑥
2
)𝑑𝑎𝑛 𝑦 = 𝑥
𝑗𝑎𝑤𝑎𝑏𝑎𝑛
∫ 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛
0
−1
(
𝜋𝑥
2
)𝑑𝑥 + ∫ 𝑠𝑖𝑛 (
𝜋𝑥
2
) − 𝑥 𝑑𝑥
1
0
 ∫ 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛
0
−1
(
𝜋𝑥
2
)𝑑𝑥
=
𝑥2
2
−
2
𝜋
𝑐𝑜𝑠 (
𝜋𝑥
2
)
=
2
𝜋
−
1
2
 ∫ 𝑠𝑖𝑛 (
𝜋𝑥
2
) − 𝑥 𝑑𝑥
1
0
=
2
𝜋
𝑐𝑜𝑠 (
𝜋𝑥
2
) −
𝑥2
2
=
2
𝜋
−
1
2
𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑑𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒ℎ
= (
2
𝜋
−
1
2
) + (
2
𝜋
−
1
2
)
= 2(
2
𝜋
−
1
2
)
=
4 − 𝜋
𝜋
67. 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐2
𝑥, 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛2
𝑥, 𝑥 = −
𝜋
4
, 𝑑𝑎𝑛 𝑥 =
𝜋
4
𝒋𝒂𝒘𝒂𝒃
𝑦 = 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 → 𝑓(𝑥) 𝑥 = −
𝜋
4
→ 𝑎
𝑦 = 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 → 𝑔(𝑥) 𝑥 =
𝜋
4
→ 𝑏
𝐴 = ∫ (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
𝐴 = ∫ (𝑠𝑒𝑐2(𝑥) − 𝑡𝑎𝑛2
(𝑥))
𝜋
4
−
𝜋
4
𝑑𝑥
𝐴 = ∫ [𝑠𝑒𝑐2(𝑥) − (𝑠𝑒𝑐2
𝑥 − 1)]
𝜋
4
𝜋
4
𝑑𝑥

39. 𝐴 = ∫ 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 − 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 + 1
𝜋
4
𝜋
4
𝑑𝑥
𝐴 = ∫ 1
𝜋
4
𝜋
4
𝑑𝑥
𝐴 = [𝑥]
−
𝜋
4
𝜋
4
𝑑𝑥
𝐴 =
𝜋
4
− (−
𝜋
4
)
𝐴 =
𝜋
4
+
𝜋
4
𝐴 =
2𝜋
4
𝐴 =
𝜋
2
𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑢𝑎𝑠
68. 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛2
𝑦 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = −𝑡𝑎𝑛2
𝑦 ,−
𝜋
4
≤ 𝑦 ≤
𝜋
4
𝒋𝒂𝒘𝒂𝒃
𝑥 = 𝑡𝑎𝑛2
𝑦 → 𝑓(𝑦) −
𝜋
4
→ 𝑐
𝑦 = −𝑡𝑎𝑛2
𝑦 → 𝑔(𝑦)
𝜋
4
→ 𝑑
𝐿𝑢𝑎𝑠𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑙𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑑𝑖 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑙𝑎ℎ 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 −
𝑦 , 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠𝑖 𝑑𝑢𝑎 𝑘𝑢𝑟𝑣𝑎
𝐷𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒ℎ:
𝐴 = ∫ (𝑓(𝑦) − 𝑔(𝑦))
𝑑
𝑐
𝑑𝑦
𝐴 = ∫ (𝑡𝑎𝑛2 (𝑦) − (−𝑡𝑎𝑛2
(𝑦)))
𝜋
4
−
𝜋
4
𝑑𝑦
𝐴 = ∫ 2 𝑡𝑎𝑛2
𝑦
𝜋
4
𝜋
4
𝑑𝑦
𝐴 = ∫ 2(𝑠𝑒𝑐2
𝑦 − 1)
𝜋
4
𝜋
4
𝑑𝑦
𝑆𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎
∫ 2(𝑠𝑒𝑐2
𝑦 − 1) 𝑑𝑦
2 ∫ 𝑠𝑒𝑐2
𝑦 − ∫ 1 𝑑𝑦
2[tan𝑦 − 𝑦]
𝑀𝑎𝑘𝑎
𝐴 = 2[tan𝑦 − 𝑦]
−
𝜋
4
𝜋
4
𝐴 = 2 [(tan
𝜋
4
−
𝜋
4
) − (𝑡𝑎𝑛 −
𝜋
4
− (−
𝜋
4
))]
𝐴 = 2 [(tan
180
4
−
𝜋
4
) − (𝑡𝑎𝑛 −
180
4
− (−
𝜋
4
))]

40. 𝐴 = 2 [(tan45 −
𝜋
4
) − (𝑡𝑎𝑛 − 45 − (−
𝜋
4
))]
𝐴 = 2 [(tan45 −
𝜋
4
) − (𝑡𝑎𝑛 − 45 + (
𝜋
4
))]
𝐴 = 2 [(1 −
𝜋
4
) − (−1 + (
𝜋
4
))]
𝐴 = 2 [(1 −
𝜋
4
) + (1 − (
𝜋
4
))]
𝐴 = 2 −
2𝜋
4
+ 2 −
2𝜋
4
𝐴 = 4 −
4𝜋
4
𝐴 = 4 − 𝜋 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑢𝑎𝑠
69. 𝑥 = 3sin 𝑦√cos𝑦 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 0, 0 ≤ 𝑦 ≤
𝜋
2
Jawaban:
𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘, 𝑐 = 0,
𝑑 =
𝜋
2
𝑓(𝑦) = 3sin 𝑦√cos𝑦
𝑔(𝑦) = 0
𝑓(𝑦) − 𝑔(𝑦) = 3 sin 𝑦√cos𝑦 − 0
= 3 sin 𝑦√cos𝑦
𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎, 𝐴 = ∫ (𝑓(𝑦) − 𝑔(𝑦))𝑑𝑦
𝑑
𝑐
𝐴 = 3 ∫ (sin 𝑦√cos𝑦 − 0 )𝑑𝑦
𝜋
2
0
= 3 ∫ sin 𝑦√cos𝑦 𝑑𝑦
𝜋
2
0
= −3 [
2
3
(cos𝑦)
3
2]
0
𝜋
2
= −2(0 − 1)
= 2

41. 70. 𝑦 = sec2
(
𝜋𝑥
3
)𝑑𝑎𝑛 𝑦 = 𝑥
1
3 ,−1 ≤ 𝑥 ≤ 1
Jawaban:
𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘, 𝑎 = −1
𝑏 = 1
𝑓(𝑥) = sec2
(
𝜋𝑥
3
)
𝑔(𝑥) = 𝑥
1
3
𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = sec2
(
𝜋𝑥
3
) − 𝑥
1
3
𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎, 𝐴 ∫(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝐴 = ∫ [sec2
(
𝜋𝑥
3
) − 𝑥
1
3]
1
−1
𝑑𝑥
= [
3
𝜋
tan (
𝜋𝑥
3
) −
3
4
𝑥
4
3]
−1
1
= (
3
𝜋
√3 −
3
4
) − [
3
𝜋
(−√3) −
3
4
]
=
6√3
𝜋

42. 71. Carilah luas daerah berbentuk baling-baling yang dibatasi oleh kurva 𝑥 − 𝑦3
= 0 dan
garis 𝑥 − 𝑦 = 0
Jawab :
Diketahui :
𝑓(𝑥) = 𝑥1/3
𝑔(𝑥) = 𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
𝑥1/3
= 𝑥
𝑥 − 𝑥1/3
= 0
Sehingga diperoleh
𝐴 = ∫ (𝑥 − 𝑥1/3
)𝑑𝑥
1
0
− ∫ (𝑥 − 𝑥1/3
)𝑑𝑥
0
−1
= [
𝑥2
2
−
3
4
𝑥4/3
]
0
1
− [
𝑥2
2
−
3
4
𝑥4/3
]
−1
0
= (
(1)2
2
−
3
4
(1)4/3
) − 0 − [0 − (
(−1)2
2
−
3
4
(−1)4/3
)]
= −
1
4
−
1
4
= |−
1
2
|
𝐴 =
1
2
≈ 0,5 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑢𝑎𝑠

43. 72. Carilah luas daerah berbentuk baling-baling yang dibatasi oleh kurva 𝑥 − 𝑦1/3
= 0
dan 𝑥 − 𝑦1/5
= 0
Jawab :
Diketahui :
𝑓(𝑥) = 𝑥3
𝑔(𝑥) = 𝑥5
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
𝑥3
= 𝑥5
𝑥5
− 𝑥3
= 0
𝑥3(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) = 0
𝑥 = 1 ∪ 𝑥 = −1
Sehingga diperoleh
𝐴 = ∫ (𝑥5
− 𝑥3)𝑑𝑥
1
0
− ∫ (𝑥5
− 𝑥3)𝑑𝑥
0
−1
= [
𝑥6
6
−
𝑥4
4
]
0
1
− [
𝑥6
6
−
𝑥4
4
]
−1
0
= (
(1)6
6
−
(1)4
4
) − 0 − [0 − (
(−1)6
6
−
(−1)4
4
)]
= −
1
12
−
1
12
= |−
1
6
|
𝐴 =
1
6
≈ 0,16𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑢𝑎𝑠
73. Carilah luas daerah pada kuadran pertama yang dibatasi oleh garis 𝑦 = 𝑥 , garis 𝑥 =
2 , kurva 𝑦 =
1
𝑥2 dan sumbu-x.
Jawab :

44. 𝐴 = ∫ (𝑥 − 2) 𝑑𝑥
2
0
+ ∫ (𝑥 − 𝑥−2 )𝑑𝑥
2
1
= [
𝑥2
2
− 2𝑥]
0
2
+ [
𝑥2
2
+ 𝑥−1
]
1
2
= (
(−1)2
2
− 2(−1))− 0 + (
(2)2
2
+ (2)−1
) − (
(1)2
2
+ (1)−1
)
= −2 +
5
2
−
3
2
= |−1|
𝐴 = 1 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑢𝑎𝑠
74. Carilah luas daerah “berbentuk segitiga” pada kuadran pertama yang pada bagian
kiri dibatasi oleh sumbu y dan pada bagian kanan dibatasi oleh𝑦 = sin 𝑥 dan 𝑦 =
cos𝑥

45. Titik perpotongan:
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
sin 𝑥 = cos𝑥
sin 𝑥
cos𝑥
=
cos𝑥
cos𝑥
tan 𝑥 = 1
𝑥 = arctan(1)
𝑥 =
𝜋
4
≈ 0,79
∆𝐴 = [𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)]∆𝑥
= [cos𝑥 − sin 𝑥] ∆𝑥
𝐴(𝑅) = ∫ (cos𝑥 − sin𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
4
0
= ∫ cos𝑥 𝑑𝑥 −
𝜋
4
0
∫ sin 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
4
0
= sin 𝑥|0
𝜋/4
− (−cos 𝑥) |0
𝜋/4
= (sin
𝜋
4
− sin0) + (cos
𝜋
4
− cos0)
= (sin45° − sin 0°) + (cos45° − cos0°)
= (
1
2
√2 − 0) + (
1
2
√2 − 1)
=
1
2
√2 +
1
2
√2− 1

46. = √2− 1
𝐴(𝑅) = √2 − 1 ≈ 0,414
75. Suatu garis dibatasi oleh parabola 𝑦 = 𝑥2
pada bagian bawahnya dan dibatasi oleh
𝑦 = 4 pada bagian atasnya. Daerah tersebut dipartisi menjadi dua bagian yang sama
luas dengan cara memotong secara melintang daerah tersebut menggunakan garis
𝑦 = 𝑐.
a) Gambarlah daerah tersebut dan gambarlah garis 𝑦 = 𝑐 yang kira-kira memotong
daerah tersebut menjadi dua bagian yang sama luas. Berapa koordinat dari titik yang
dinyatakan dalam c) yang merupakan perpotongan garis parabola? Ditambahkan
titik-titik tersebut ke gambar anda.
b) Carilah c dengan cara mengintegrasikan terhadap y. (Hal ini menjadikan c sebagai
batas integrasi)
- 𝑓(𝑦) − 𝑔(𝑦) = √𝑦 − (−√𝑦) = 2√𝑦
- Mencari ½ dari luas total
𝐴𝐿 = ∫ 2
𝑐
0
√𝑦
= 2 ∫ √𝑦
𝑐
0
= 2[
2
3
𝑦
3
2 ]0
𝑐
Dik:𝑦 = 𝑐
Sehingga,
𝑦 = 𝑥2
𝑐 = 𝑥2
𝑥 = ±√𝑐

47. = 2 (
2
3
𝑐
3
2 − 0)
=
4
3
𝑐
3
2
- Untuk mendapatlan luas total 𝑐 = 4 sehingga diperoleh,
𝐴 =
4
3
4
3
2
𝐴 =
4
3
8
𝐴 =
32
3
- Karena 𝐴 = 2𝐴𝐿 sehingga,
32
3
= 2 (
4
3
𝑐
3
2)
32
3
=
8
3
𝑐
3
2
𝑐
3
2 =
32
3
×
3
8
𝑐
3
2 = 4
𝑐 = 4
2
3
c) Carilah c dengan cara mengintegrasikan terhadap x. (Hal ini juga akan memasukkan c
kedalam integran)
- 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 𝑐 − 𝑥2
- Mencari ½ dari luas total
𝐴𝐿 = ∫ (𝑐 − 𝑥2) 𝑑𝑥
√𝑐
−√𝑐
= [𝑐𝑥 −
𝑥3
3
]−√𝑐
√𝑐
= [(𝑐(√𝑐) −
(√𝑐)
3
3
) − (𝑐(−√𝑐) −
(−√𝑐)
3
3
)]
= 2(𝑐
3
2 −
𝑐
3
2
3
)

48. = 2(2
𝑐
3
2
3
)
=
4
3
𝑐
3
2
- Untuk mendapatkan luas total 𝑐 = 4 sehingga diperoleh,
𝐴 =
4
3
4
3
2
𝐴 =
4
3
8
𝐴 =
32
3
- Karena 𝐴 = 2𝐴𝐿 sehingga,
32
3
= 2 (
4
3
𝑐
3
2)
32
3
=
8
3
𝑐
3
2
𝑐
3
2 =
32
3
×
3
8
𝑐
3
2 = 4
𝑐 = 4
2
3
76. Carilah luas daerah di antara kurva 𝑦 = 3 − 𝑥2
dan garis 𝑦 = −1 dengan cara
mengintegrasikan terhadap:
a) Terhadap sumbu x
Titik perpotongan
3 − 𝑥2
= −1
𝑥2
= 4
𝑥 = ±2
∆𝐴 = [(3 − 𝑥2) − (−1)] ∆𝑥
= [4 − 𝑥2] ∆𝑥

49. 𝐴(𝑅) = ∫ (4 − 𝑥2)𝑑𝑥
2
−2
= 4𝑥 −
𝑥3
3
|−2
2
= (4(2)−
(2)3
3
) − (4(−2) −
(−2)3
3
)
= (8 −
8
3
) − (−8 +
8
3
)
= 8 + 8 −
8
3
−
8
3
= 16 −
16
3
=
32
3
𝐴(𝑅) =
32
3
≈ 10,667
b) Terhadap sumbu y
Titik perpotongan
𝑦 = −1
𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 0
𝑦 = 3 − 𝑥2
𝑦 = 3 − 0
𝑦 = 3
𝑦 = 3 − 𝑥2
𝑥2
= 3 − 𝑦
𝑥 = √3 − 𝑦
∆𝐴 = [√3 − 𝑦 − (−√3 − 𝑦)]∆𝑥
= [2√3 − 𝑦] ∆𝑥
𝐴(𝑅) = ∫ 2√3 − 𝑦 𝑑𝑦
3
−1
= 2∫ (3 − 𝑦)
1
2 𝑑𝑦
3
−1
= 2[−
2
3
(3 − 𝑦)
3
2 |−1
3
]
= 2 [(−
2
3
(3 − 3)
3
2)− (−
2
3
(3 + 1)
3
2)]

50. = 2[0 − (−
16
3
)]
=
32
3
𝐴(𝑅) =
32
3
≈ 10,667
77. Carilah luas daerah pada kuadran pertama yang dibatasi oleh sumbu y pada bagian
kirinya, oleh garis 𝑦 =
𝑥
4
pada bagian bawahnya, oleh kurva 𝑦 = 1 + √𝑥 pada bagian
kiri atas dan oleh kurva 𝑦 =
2
√𝑥
pada bagian kanan atas.
Titik perpotongan
𝑓(𝑥) = ℎ(𝑥) ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑥)
𝑥
4
=
2
√𝑥
2
√𝑥
= 1 + √𝑥
𝑥√𝑥 = 8 2 = √𝑥 + 𝑥
𝑥2
𝑥 = 64 (2 − 𝑥)2
= 𝑥
𝑥3
= 64 4 − 4𝑥 + 𝑥2
− 𝑥 = 0
𝑥 = 4 𝑥2
− 5𝑥 + 4 = 0
(𝑥 − 4)(𝑥 − 1) = 0
𝑥 = 4 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 1
∆𝐴1 = [𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)] ∆𝑥 ∆𝐴2 = [ℎ(𝑥) − 𝑓(𝑥)]∆𝑥
= [1 + √𝑥 −
𝑥
4
] ∆𝑥 = [
2
√𝑥
−
𝑥
4
] ∆𝑥

51. = [1 + 𝑥
1
2 −
𝑥
4
] ∆𝑥 = [2𝑥
−
1
2 −
𝑥
4
] ∆𝑥
𝐴(𝑅) = ∫ (1 + 𝑥
1
2 −
𝑥
4
) 𝑑𝑥 +
1
0
∫ (2𝑥
−
1
2 −
𝑥
4
) 𝑑𝑥
4
1
= (𝑥 +
2
3
𝑥
3
2 −
𝑥2
8
|0
1
) + (4𝑥
1
2 −
𝑥2
8
|1
4
)
= (1 +
2
3
(1)
3
2 −
(1)2
8
) + ((4(4)
1
2 −
(4)2
8
) − (4(1)
1
2 −
(1)2
8
))
= (
24
24
+
16
24
−
3
24
) + ((8 − 2) − (4 −
1
8
))
=
37
24
+ (2 +
1
8
)
=
37
24
+
17
8
=
37
24
+
51
24
=
88
24
=
11
3
𝐴(𝑅) =
11
3
≈ 3,667
78. Carilah luas daerah pada kuadran pertama yang dibatasi oleh sumbu-y pada bagian
kirinya, oleh garis 𝑥 = 2√𝑦 pada bagian bawahnya, oleh kurva 𝑥 = (𝑦 − 1)2
pada
bagian kiri atas, dan oleh garis 𝑥 = 3 − 𝑦 pada bagian kanan atas.
Jawab :

52. ∫ 2√𝑦
1
0
𝑑𝑦 + ∫ (3 − 𝑦 − (𝑦 − 1)2)
2
1
𝑑𝑦 = ∫ 2𝑦
1
2
1
0
𝑑𝑦 + ∫ (3 − 𝑦 − (𝑦2
− 2𝑦 + 1))
2
1
𝑑𝑦
= 2 ∙
𝑦
3
2
3
2
|
0
1
+ ∫ (3 − 𝑦 − 𝑦2
+ 2𝑦 − 1)
2
1
𝑑𝑦
=
4
3
+ ∫ (2 + 𝑦 − 𝑦2)
2
1
𝑑𝑦
=
4
3
+ 2𝑦|1
2
+
𝑦2
2
|
1
2
−
𝑦3
3
|
1
2
=
4
3
+ 2 +
1
2
−
1
3
=
4
3
+ 2 +
1
2
−
1
3
=
8
6
+
12
6
+
3
6
−
2
6
=
21
6
=
7
2
79. Gambar berikut menunjukkan segitiga 𝐴𝑂𝐶 yang berada didalam daerah yang
dibentuk oleh kurva 𝑦 = 𝑥2
dan garis 𝑦 = 𝑎2
. Carilah limit dar rasio luas segitiga
terhadap luas daerah parabola 𝑎 mendekati nol.
Jawab :
Luas parabola= ∫ (𝑎2
− 𝑥2)𝑑𝑥
𝑎
−𝑎

53. = 𝑎2
∫ −𝑥2
𝑑𝑥
𝑎
−𝑎
=
4𝑎3
3
Luas segitiga =
1
2
(2𝑎)(𝑎2
)
= 𝑎3
rasio (
luas segitiga
luas parabola
) =
𝑎3
4𝑎3
3
=
3
4
lim
𝑎→0
3
4
=
3
4
80. Andaikan luas daerah diantara grafik fungsi kontinubpositif 𝑓 ddan sumbu-x dari 𝑥 = 𝑎
ke 𝑥 = 𝑏 adalah 4 unit persegi. Carilah luas diantara kura 𝑦 = 𝑓(𝑥) dan 𝑦 = 2𝑓(𝑥)
ddari 𝑥 = 𝑎 ke 𝑥 = 𝑏
Jawab :
Dimisalkan jawabannya 4
∫ 𝑓(𝑥) = 4
𝑏
𝑎
Maka
∫ 2𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥) =
𝑏
𝑎
∫ 𝑓(𝑥) = 4
𝑏
𝑎
81. Diantara integral berikut ini, yang manakah integral yang menghitung luas daerah yang
diarsir? Berikan alasan untuk jawaban anda
a. ∫ (𝑥 − (−𝑥))𝑑𝑥 = ∫ 2𝑥 𝑑𝑥
1
−1
1
−1
b. ∫ (−𝑥 − (𝑥))𝑑𝑑𝑥 = ∫ −2𝑥 𝑑𝑥
1
−1
1
−1
Jawab :
Luas daerah yang diarsir:
2f
f
b
a

54. A(R) = A(R1)+ A(R2)
 A(R1) = ∫ (−𝑥 − 𝑥)𝑑𝑥
0
−1
= ∫ −2𝑥 𝑑𝑥
0
−1
 A(R2) = ∫ (𝑥 − (−𝑥))𝑑𝑥
1
0
= ∫ 2𝑥 𝑑𝑥
1
0
Sehingga,
A(R) = A(R1)+ A(R2)
= ∫ −2𝑥 𝑑𝑥
0
−1
+ ∫ 2𝑥 𝑑𝑥
1
0
Jadi, diantara integral yang diberikan tidak ada satupun yang benar.
82. Benar, terkadang benar, atau tidak pernah benar? Luas daerah ddiantara grafik fungsi
kontinu 𝑦 = 𝑓(𝑥) dan 𝑦 = 𝑔(𝑥) dan garis vertikal 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = 𝑏 (𝑎 < 𝑏)adalah
∫[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
𝑏
𝑎
berikan alasan untuk jawaban anda
Jawab :
Dalam integritas istilah 𝑥, maka dapat digunakan (kurva melengkung-bawah atas). Karena
𝑓(𝑥)𝑑𝑎𝑛 𝑔(𝑥) tidak dapat mengidentifikasi yang merupakan “atas” atau “menurunkan”
lengkungan. Maka kita harus menganggap kedua hal itu bisa terjadi juga.
Oleh karena itu,
∫ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑎𝑡𝑎𝑢 ∫ 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
Teori dan Contoh
83. Andaikan 𝐹(𝑥) adalah anti turunan dari 𝑓(𝑥) =
sin 𝑥
𝑥
, 𝑥 > 0. Nyatakan dalam F
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
3
1
=
sin 2𝑥
𝑥
𝑑𝑥
Jawab :
Karena F adalah anti turunan dari 𝑓(𝑥) =
sin 𝑥
𝑥
, dengan aturan rantai bahwa (𝐹(2𝑥))
′
=
𝐹′(2𝑥).(2𝑥)′
=
sin 2𝑥
2𝑥
. 2 =
sin 2𝑥
𝑥
Maka oleh teorema Kalkulus bagian 2 kita memiliki
𝐹(2.3) − 𝐹(2.1) = ∫ (𝐹(2𝑥))
′
𝑑𝑥 = ∫
sin 2𝑥
𝑥
𝑑𝑥
3
1
3
1

55. 𝐹(6) − 𝐹(2) = ∫
sin 2𝑥
𝑥
𝑑𝑥
3
1
84. Tunjukkan bahwa jika 𝑓 kontinu, maka
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(1 − 𝑥)
1
0
1
0
Jawab:
Misal 𝑢 = 1 − 𝑥 → 𝑥 = 1 − 𝑢
𝑑𝑢 = −𝑑𝑥 𝑢(0) = 1 − 0 = 1
𝑑𝑥 = −𝑑𝑢 𝑢(1) = 1 − 1 = 0
Sehingga
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(1 − 𝑢) − 𝑑𝑢
𝑢(1)
𝑢(0)
1
0
= ∫ −𝑓(1 − 𝑢)𝑑𝑢
0
1
= ∫ 𝑓(1 − 𝑢)𝑑𝑢
1
0
= ∫ 𝑓(1 − 𝑥)𝑑𝑥
1
0
85. Andaikan
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
1
0
= 3
carilah
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥
0
−1
Jika
a. 𝑓 fungsi ganjil b. 𝑓 fungsi genap
Jawab :

56. a. Jika fungsi ganjil
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0
1
−1
𝑚𝑎𝑘𝑎
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
1
0
0
−1
1
−1
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 3
0
−1
𝑆𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 3
0
−1
= 0
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥
0
−1
= −3
b. Jika fungsi genap
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2 ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2 .3 = 6
1
0
1
−1
𝑚𝑎𝑘𝑎
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
1
0
0
−1
1
−1
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 3
0
−1
𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 3
0
−1
= 6
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 3
0
−1

57. 86. a. Tunjukkan bahwa jika 𝑓 adalah fungsi ganjil pada [– 𝑎, 𝑎], maka
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
−𝑎
= 0
b. ujilah hasil pada bagian (a) dengan 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 dan 𝑎 = 𝜋/2
Jawab :
Anggaplah f itu ganjil [a,-a].Maka∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
−𝑎
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
0
0
−𝑎
=
− ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
0
−𝑎
0
.
Ambil u(x) = -x kita punya du=-dx, u(0)=0 dan u(-a)=a. karena
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ −𝑓(−𝑢)𝑑𝑢 = ∫ −𝑓(−𝑢)𝑑𝑢
𝑎
0
𝑢(−𝑎)
𝑢(0)
−𝑎
0
𝑓 adalah ganjil [a,-a] kita punya f(x)=-f(-x) untuk semua x ∈ [-a,a] dan maka
∫ −𝑓(−𝑢)𝑑𝑢 = ∫ −𝑓(𝑢)𝑑𝑢
𝑎
0
𝑎
0
Karena ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫ (𝑢)𝑑𝑢 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0.
𝑎
0
𝑎
0
𝑎
0
𝑎
−𝑎
87. jika 𝑓 adalah fungsi kontinu, carilah nilai integral
𝐼 = ∫
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑎 − 𝑥)
𝑎
0
Jawab :
Misalkan 𝐼 = ∫
𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥)+𝑓(𝑎−𝑥)
𝑑𝑥
𝑎
0
= ∫
𝑓(𝑎 − 𝑢)
𝑓(𝑎 − 𝑢) + 𝑓(𝑢)
𝑑𝑢
𝑢(𝑎)
𝑢(0)
= ∫ −
𝑓(𝑎 − 𝑢)
𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑎 − 𝑢)
𝑑𝑢
0
𝑎
= ∫
𝑓(𝑎 − 𝑢)
𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑎 − 𝑢)
𝑑𝑢
𝑎
0
= ∫
𝑓(𝑎 − 𝑥)
𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑎 − 𝑥)
𝑑𝑥
𝑎
0

58. Jadi, 𝐼 + 𝐼 = ∫
𝑓(𝑎−𝑥)
𝑓(𝑥)+𝑓(𝑎−𝑥)
𝑑𝑥
𝑎
0
+ ∫
𝑓(𝑎−𝑥)
𝑓(𝑥)+𝑓(𝑎−𝑥)
𝑑𝑥
𝑎
0
= ∫ (
𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑎 − 𝑥)
+
𝑓(𝑎 − 𝑥)
𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑎 − 𝑥)
)𝑑𝑥
𝑎
0
= ∫
𝑓(𝑥)+ 𝑓(𝑎 − 𝑥)
𝑓(𝑥)+ 𝑓(𝑎 − 𝑥)
𝑑𝑥
𝑎
0
= ∫ 1𝑑𝑥
𝑎
0
= [𝑥]0
𝑎
= 𝑎 − 0 = 𝑎
Karenanya, 2𝐼 = 𝑎, dimana 𝐼 =
𝑎
2
88. Dengan menggunakan subtitusi, buktikan bahwa untuk semua bilangan positif x dan y
berlaku
∫
1
𝑡
𝑑𝑡 = ∫
1
𝑡
𝑑𝑡
𝑦
1
𝑥𝑦
𝑥
Jawab:
Misal 𝑢 =
𝑥𝑦
𝑡
𝑑𝑢 = −
𝑥𝑦
𝑡2
𝑑𝑡
−
𝑡
𝑥𝑦
𝑑𝑢 =
1
𝑡
𝑑𝑡
−
1
𝑢
𝑑𝑢 =
1
𝑡
𝑑𝑡
𝑡 = 𝑥, 𝑢 = 𝑦, 𝑡 = 𝑥𝑦, 𝑢 = 1
Sehingga
∫
1
𝑡
𝑑𝑡 = ∫ −
1
𝑢
𝑑𝑢
𝑦
1
𝑥𝑦
𝑥
= − ∫
1
𝑢
𝑑𝑢
1
𝑦
= ∫
1
𝑢
𝑑𝑢
𝑦
1
= ∫
1
𝑡
𝑑𝑡
𝑦
1
Properti Pergeseran Untuk Integral Tentu properti dasar integral tentu adalah
invariansinya selama menjalani pergedseran, seperti dinyatakan oleh persamaan

59. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥 + 𝑐)𝑑𝑥 (1)
𝑏−𝑐
𝑎−𝑐
𝑏
𝑎
Persamaan ini berlaku ketika 𝑓 terintegrasikan ddadn terddefinisi untuk nilai x yang
diperlukan. Sebagai contoh, dalam gambar ditunjukkan bahwa
∫ (𝑥 + 2)3
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥3
𝑑𝑥
1
0
−1
−2
89. Gunakan subtitusi untuk membuktikan persamaan (1)
Jawab :
Misal 𝑢 = 𝑥 + 𝑐
𝑑𝑢 = −𝑑𝑥
𝑥 = 𝑎 − 𝑐, 𝑢 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 − 𝑐, 𝑢 = 𝑏
∫ 𝑓(𝑥 + 𝑐)𝑑𝑥 = ∫𝑓(𝑢)𝑑𝑢
𝑏
𝑎
𝑏−𝑐
𝑎−𝑐
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
90. Untuk setiap fungsi berikut, gambarlah grafik 𝑓(𝑥) pada [𝑎, 𝑏] dan 𝑓(𝑥 + 𝑐) pada
[𝑎 − 𝑐, 𝑏 − 𝑐] untuk meyakinkan anda sendiri bahwa persamaan (1) masuk akal
a. 𝑓(𝑥) = 𝑥2
, 𝑎 = 0, 𝑏 = 1, 𝑐 = 1
b. 𝑓(𝑥) = sin 𝑥, 𝑎 = 0, 𝑏 = 𝜋, 𝑐 =
𝜋
2
c. 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 4, 𝑎 = 4, 𝑏 = 8, 𝑐 = 5
Jawab :
90. a. 𝑓(𝑥) = 𝑥2
,𝑎 = 0, 𝑏 = 1, 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 1
 ∫ 𝑥2
𝑑𝑥
1
0

60.  ∫ (𝑥2
+ 2𝑥 + 1)𝑑𝑥
0
−1
b. 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 ,𝑎 = 0,𝑏 = 𝜋, 𝑑𝑎𝑛 𝑐 =
𝜋
2
 ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
0

61.  ∫ sin(𝑥 +
𝜋
2
) 𝑑𝑥
𝜋
2
−
𝜋
2
c. 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 4, 𝑎 = 4, 𝑏 = 8 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 5
 ∫ √𝑥 − 4 𝑑𝑥
8
4

62.  ∫ √𝑥 + 1 𝑑𝑥
3
−1