This document contains 16 math problems involving integrals of trigonometric functions. The problems are worked out step-by-step showing the integration techniques used such as substitution, factorization of trigonometric expressions, and partial fraction decomposition. The solutions provide the integrated functions in terms of trigonometric functions and constants.

1. Nama : Nurkhalifah Anwar
Kelas : A1
NIM : 1911041007
KALKULUS INTEGRAL
LATIHAN 8.3
1. ∫ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥
Jawab :
∫ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
𝑠𝑖𝑛 2𝑥 + 𝑐
2. ∫ 3 𝑠𝑖𝑛
𝑥
3
𝑑𝑥
Jawab :
∫ 3 𝑠𝑖𝑛
𝑥
3
𝑑𝑥 = 3∫ 𝑠𝑖𝑛
𝑥
3
𝑑𝑥
= −9 𝑐𝑜𝑠
𝑥
3
+ 𝑐
3. ∫ 𝑐𝑜𝑠3
𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥
Jawab :
∫ 𝑐𝑜𝑠3
𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠3
𝑥 𝑑(−𝑐𝑜𝑠 𝑥)
= −
1
4
𝑐𝑜𝑠4
𝑥 + 𝑐
4. ∫ 𝑠𝑖𝑛4
2𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥
Jawab :
∫ 𝑠𝑖𝑛4
2𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑖𝑛4
2𝑥 𝑑 (
1
2
𝑠𝑖𝑛 2𝑥)
=
1
10
𝑠𝑖𝑛5
2𝑥 + 𝑐
5. ∫ 𝑠𝑖𝑛3
𝑥 𝑑𝑥
Jawab :
∫ 𝑠𝑖𝑛3
𝑥 𝑑𝑥 = ∫𝑠𝑖𝑛2
𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥
= ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠2
𝑥) 𝑑(−𝑐𝑜𝑠 𝑥)

2. =
1
3
𝑐𝑜𝑠3
𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑐
6. ∫ 𝑐𝑜𝑠3
4𝑥 𝑑𝑥
Jawab :
∫ 𝑐𝑜𝑠3
4𝑥 𝑑𝑥 = ∫𝑐𝑜𝑠2
4𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 4𝑥 𝑑𝑥
= ∫(1 − 𝑠𝑖𝑛2
4𝑥) 𝑑 (
1
4
𝑠𝑖𝑛 4𝑥)
=
1
4
𝑠𝑖𝑛 4𝑥 −
1
12
𝑠𝑖𝑛3
4𝑥 + 𝑐
7. ∫ 𝑠𝑖𝑛5
𝑥 𝑑𝑥
Jawab :
∫ 𝑠𝑖𝑛5
𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑖𝑛4
𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥
= ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠2
𝑥)2
𝑑(−𝑐𝑜𝑠 𝑥)
= ∫(1 − 2𝑐𝑜𝑠2
𝑥 + 𝑐𝑜𝑠4
𝑥) 𝑑(−𝑐𝑜𝑠 𝑥)
= −𝑐𝑜𝑠 𝑥 +
2
3
𝑐𝑜𝑠3
𝑥 −
1
5
𝑐𝑜𝑠5
𝑥 + 𝑐
8. ∫ 𝑠𝑖𝑛5 𝑥
2
𝑑𝑥
Jawab :
∫ 𝑠𝑖𝑛5
𝑥
2
𝑑𝑥 = ∫𝑠𝑖𝑛4
𝑥
2
∙ 𝑠𝑖𝑛
𝑥
2
𝑑𝑥
= ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠2
𝑥
2
)
2
𝑑 (−2𝑐𝑜𝑠
𝑥
2
)
= ∫(1 − 2𝑐𝑜𝑠2
𝑥
2
+ 𝑐𝑜𝑠4
𝑥
2
) 𝑑 (−2𝑐𝑜𝑠
𝑥
2
)
= −2𝑐𝑜𝑠
𝑥
2
+
4
3
𝑐𝑜𝑠3
𝑥
2
−
2
5
𝑐𝑜𝑠5
𝑥
2
+ 𝑐
9. ∫ 𝑐𝑜𝑠3
𝑥 𝑑𝑥
Jawab :
∫ 𝑐𝑜𝑠3
𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑(𝑠𝑖𝑛 𝑥)

3. = ∫(1 − 𝑠𝑖𝑛2
𝑥)𝑑(𝑠𝑖𝑛 𝑥)
= 𝑠𝑖𝑛 𝑥 −
1
3
𝑠𝑖𝑛3
𝑥 + 𝑐
10. ∫ 3 𝑐𝑜𝑠5
3𝑥 𝑑𝑥
Jawab :
∫ 3 𝑐𝑜𝑠5
3𝑥𝑑𝑥 = 3 [∫ 𝑐𝑜𝑠4
3𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 𝑑𝑥]
= 3 [∫ (1 − 𝑠𝑖𝑛2
3𝑥)2
𝑑 (
1
3
𝑠𝑖𝑛 3𝑥)]
= 3 [∫ (1 − 2𝑠𝑖𝑛2
3𝑥 + 𝑠𝑖𝑛4
3𝑥) 𝑑 (
1
3
𝑠𝑖𝑛 3𝑥)]
= [∫ (1− 2𝑠𝑖𝑛2
3𝑥 + 𝑠𝑖𝑛4
3𝑥) 𝑑(𝑠𝑖𝑛 3𝑥)]
= 𝑠𝑖𝑛 3𝑥 −
2
3
𝑠𝑖𝑛3
3𝑥 +
1
5
𝑠𝑖𝑛5
3𝑥 + 𝑐
11. ∫ 𝑆𝑖𝑛3
𝑥 𝑐𝑜𝑠3
𝑥 𝑑𝑥
Jawab :
∫ 𝑠𝑖𝑛3
𝑥(1− 𝑠𝑖𝑛2
𝑥)𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥
𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙 𝑢 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑆𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝐷𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒ℎ:
∫ 𝑆𝑖𝑛3
𝑥 𝑐𝑜𝑠3
𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢3
(1 − 𝑢2
)𝑑𝑢
= ∫ 𝑢3
− 𝑢5
𝑑𝑢
=
𝑢4
4
–
𝑢6
6
+ 𝐶
=
1
4
𝑠𝑖𝑛4
𝑥 −
1
6
𝑠𝑖𝑛6
𝑥 + 𝐶
12. ∫𝑐𝑜𝑠32𝑥𝑠𝑖𝑛52𝑥 𝑑𝑥

4. Jawab :
∫𝑐𝑜𝑠22𝑥𝑠𝑖𝑛52𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 − 𝑠𝑖𝑛22𝑥) 𝑠𝑖𝑛52𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥
= ∫ (𝑠𝑖𝑛52𝑥 − 𝑠𝑖𝑛72𝑥) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥
𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙 𝑢 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥
𝑑𝑢 = 2 . 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑢
2
= 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥
𝑆𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒ℎ ∶
∫ 𝑐𝑜𝑠22𝑥𝑠𝑖𝑛52𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ (𝑢5 − 𝑢7)
𝑑𝑢
2
= ∫ (𝑢5 − 𝑢7)
𝑑𝑢
2
=
1
2
∫ (𝑢5 − 𝑢7) 𝑑𝑢
=
1
2
(
1
6
𝑢6 −
1
8
𝑢8) + 𝐶
=
1
12
𝑢6 −
1
16
𝑢8 + 𝐶
=
1
12
𝑠𝑖𝑛62𝑥 −
1
16
𝑠𝑖𝑛82𝑥 + 𝐶
13. ∫𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 = ⋯
Jawab :
∫𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 +
𝑐𝑜𝑠2𝑥
2
) 𝑑𝑥
= ∫
1
2
𝑑𝑥 + ∫
𝑐𝑜𝑠2𝑥
2
𝑑𝑥
=
1
2
𝑥 +
1
2
.
1
2
𝑠𝑖𝑛2𝑥+ 𝑐
=
1
2
𝑥 +
1
4
𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐
14. ∫ 𝑠𝑖𝑛2
𝑥 𝑑𝑥
Jawab :

5. ∫ 𝑆𝑖𝑛2
𝑥 𝑑𝑥 = ∫
(1−𝑐𝑜𝑠 2𝑥)
2
𝑑𝑥
= ∫
1
2
𝑑𝑥 − ∫
𝑐𝑜𝑠 2𝑥
2
𝑑𝑥
=
𝑥
2
−
𝑠𝑖𝑛 2𝑥
2
×
1
2
+ 𝐶
=
𝑥
2
−
𝑠𝑖𝑛 2𝑥
4
+ 𝐶
15. ∫ 𝑠𝑖𝑛7
𝑦 𝑑𝑦
Jawab :
∫ 𝑠𝑖𝑛7
𝑦 𝑑𝑦 = ∫ 𝑠𝑖𝑛6
𝑥.𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥
= ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠2
𝑥)3
.𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑑𝑢 = −𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥 = −
𝑑𝑢
𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑆𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒ℎ ∶
∫ 𝑠𝑖𝑛7
𝑦 𝑑𝑦 = − ∫(1 − 𝑢2
)
3
𝑑𝑢
= −∫ (1 −3𝑢2 + 3𝑢4 − 𝑢6) 𝑑𝑢
= −𝑢 + 𝑢3 −
3𝑢5
5
+
𝑢7
7
+ 𝑐
= −𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 −
3𝑐𝑜𝑠5𝑥
5
+
𝑐𝑜𝑠7𝑥
7
+ 𝑐
16. ∫ 7 𝑐𝑜𝑠7
𝑡 𝑑𝑡
Jawab :
7 ∫ 𝑐𝑜𝑠7
𝑡 𝑑𝑡 = 7 ∫ 𝑐𝑜𝑠6
𝑡. 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡
= ∫(1 − 𝑠𝑖𝑛2
𝑡)3
. 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡
𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙 𝑢 = 𝑠𝑖𝑛 𝑡

6. 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑡 =
𝑑𝑢
𝑐𝑜𝑠 𝑡
𝑆𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒ℎ ∶
∫ 7 𝑐𝑜𝑠7
𝑡 𝑑𝑡 = 7 ∫(1 − 𝑢2
)
3
𝑑𝑢
= 7 ∫(1 −3𝑢2 + 3𝑢4 − 𝑢6) 𝑑𝑢
= 7𝑢 − 7𝑢3 +
21𝑢5
5
− 7 𝑢7 + 𝑐
= 7𝑠𝑖𝑛 𝑡 − 7 𝑠𝑖𝑛3𝑡 +
21𝑠𝑖𝑛5𝑡
5
− 7 𝑠𝑖𝑛7𝑡+ 𝑐
17. ∫ 8 𝑠𝑖𝑛4
𝑥 𝑑𝑥 =
Jawab :
8 ∫ 𝑠𝑖𝑛4
𝑥 𝑑𝑥 = 8 ∫(𝑠𝑖𝑛2
𝑥)2
𝑑𝑥
= 8 ∫ (
1−𝑐𝑜𝑠 2𝑥
2
)
2
𝑑𝑥
= 8 ∫ (
1
4
−
2 𝑐𝑜𝑠 2𝑥
4
+
𝑐𝑜𝑠2
2𝑥
4
)𝑑𝑥
= 8 ∫
1
4
𝑑𝑥 − 8∫
2 𝑐𝑜𝑠 2𝑥
4
𝑑𝑥 + 8 ∫
𝑐𝑜𝑠2
2𝑥
4
𝑑𝑥
=
8
4
∫ 𝑑𝑥 −
16
4
∫ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 +
8
4
∫ 𝑐𝑜𝑠2
2𝑥 𝑑𝑥
= 2 ∫ 𝑑𝑥 − 4 ∫ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 + 2 ∫ (
1+𝑐𝑜𝑠 4𝑥
2
)𝑑𝑥
= 2𝑥 − 4 (
1
2
)𝑠𝑖𝑛 2𝑥 + 𝑥 + (
1
4
)𝑠𝑖𝑛 4𝑥 + 𝑐
= 3𝑥 − 2 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 + (
1
4
)𝑠𝑖𝑛 4𝑥 + 𝑐
18. ∫ 8 𝑐𝑜𝑠4
𝑥 2𝜋𝑥 𝑑𝑥
Jawab :
Misal : 𝑢 = 2𝜋𝑥
cos2
𝑢 =
1 + cos2𝑢
2
cos2
2𝑢 =
1 + cos4𝑢
2

7. 𝑑𝑢 = 2𝜋 𝑑𝑥
𝑑𝑢
2𝜋
= 𝑑𝑥
Sehingga, ∫ 8 𝑐𝑜𝑠4
𝑥 2𝜋𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 8𝑐𝑜𝑠4
𝑢
𝑑𝑢
2𝜋
=
8
2𝜋
∫ 𝑐𝑜𝑠4
𝑢 𝑑𝑢
=
4
𝜋
∫(𝑐𝑜𝑠2
𝑢)2
𝑑𝑢
=
4
𝜋
∫ (
1+𝑐𝑜𝑠 2𝑢
2
)
2
𝑑𝑢
=
4
𝜋
∫
1
4
(1 + 𝑐𝑜𝑠 2𝑢)2
𝑑𝑢
=
1
𝜋
∫(1 + 2 𝑐𝑜𝑠 2𝑢 + 𝑐𝑜𝑠2
2𝑢) 𝑑𝑢
=
1
𝜋
∫(1 + 2 𝑐𝑜𝑠 2𝑢 + (
1+𝑐𝑜𝑠 4𝑢
2
)) 𝑑𝑢
=
1
𝜋
∫ (1 + 2 𝑐𝑜𝑠 2𝑢 +
1
2
(1 + 𝑐𝑜𝑠 4𝑢))𝑑𝑢
=
1
𝜋
(𝑢 + 𝑠𝑖𝑛 2𝑢 +
1
2
𝑢 +
1
8
𝑠𝑖𝑛 4𝑢) + 𝐶
= 2𝑥 +
1
𝜋
𝑠𝑖𝑛 4𝜋𝑥 + 𝑥 +
1
8
𝑠𝑖𝑛 8𝜋𝑥 + 𝐶
19. ∫ 16𝑠𝑖𝑛2
𝑥𝑐𝑜𝑠2
𝑥 𝑑𝑥
Jawab :
∫ 16𝑠𝑖𝑛2
𝑥𝑐𝑜𝑠2
𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 4 × 4𝑠𝑖𝑛2
𝑥𝑐𝑜𝑠2
𝑥 𝑑𝑥
= ∫ 4 × 22
𝑠𝑖𝑛2
𝑥𝑐𝑜𝑠2
𝑥 𝑑𝑥
= ∫ 4(2𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥)2
𝑑𝑥
= 4 ∫ 𝑠𝑖𝑛2
2𝑥 𝑑𝑥
Misal: 𝑢 = 2𝑥
𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥

8. 𝑑𝑥 =
1
2
𝑑𝑢
𝑆𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒ℎ ∶
∫ 16𝑠𝑖𝑛2
𝑥𝑐𝑜𝑠2
𝑥 𝑑𝑥 = 4 ∫ 𝑠𝑖𝑛2
𝑢 (
1
2
)𝑑𝑢
= 4 (
1
2
)∫ 𝑠𝑖𝑛2
𝑢 𝑑𝑢
= 2 ∫ (
1−𝑐𝑜𝑠 2𝑢
2
)𝑑𝑢
= ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑢)𝑑𝑢
= ∫ 𝑑𝑢 − ∫ 𝑐𝑜𝑠 2𝑢 𝑑𝑢
= 𝑢 −
1
2
𝑠𝑖𝑛 2𝑢 + 𝑐
= 2𝑥 −
1
2
𝑠𝑖𝑛 4𝑥 + 𝑐
20. ∫ 8 𝑠𝑖𝑛4
𝑦 𝑐𝑜𝑠2
𝑦 𝑑𝑦
Jawab :
8 ∫𝑠𝑖𝑛4
𝑦 𝑐𝑜𝑠2
𝑦 𝑑𝑦 = 8∫(𝑠𝑖𝑛2
𝑦)2
𝑐𝑜𝑠2
𝑦 𝑑𝑦
= 8∫ (
1−𝑐𝑜𝑠 2𝑦
2
)
2
(
1−𝑐𝑜𝑠 2𝑦
2
) 𝑑𝑦
= 8∫
1
4
(1 − 2𝑐𝑜𝑠 2𝑦 + 𝑐𝑜𝑠2
2𝑦)
1
2
(1 + 𝑐𝑜𝑠 2𝑦)
= ∫(1 + 𝑐𝑜𝑠 2𝑦 − 2𝑐𝑜𝑠3𝑦 − 2𝑐𝑜𝑠2
2𝑦 +
𝑐𝑜𝑠2
2𝑦 + 𝑐𝑜𝑠3
2𝑦) 𝑑𝑦
= ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑦 − 𝑐𝑜𝑠2
2𝑦 + 𝑐𝑜𝑠3
2𝑦) 𝑑𝑦
= ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑦 − (
1
2
+
1
2
𝑐𝑜𝑠 4𝑦) +
(𝑐𝑜𝑠2
2𝑦)𝑐𝑜𝑠 2𝑦) 𝑑𝑦
= ∫( 1 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑦 −
1
2
−
1
2
𝑐𝑜𝑠 4𝑦 + (1 −
𝑠𝑖𝑛2
2𝑦) 𝑐𝑜𝑠 2𝑦 𝑑𝑦

9. = ∫(
1
2
− 𝑐𝑜𝑠 2𝑦 −
1
2
𝑐𝑜𝑠 4𝑦 + 𝑐𝑜𝑠 2𝑦 −
𝑠𝑖𝑛2
2𝑦 𝑐𝑜𝑠 2𝑦) 𝑑𝑦
= ∫(
1
2
−
1
2
𝑐𝑜𝑠 4𝑦)𝑑𝑦 − ∫(𝑠𝑖𝑛2
2𝑦) 𝑑(𝑠𝑖𝑛 𝑦)
=
1
2
𝑦 −
1
8
𝑠𝑖𝑛 4𝑦 −
1
6
𝑠𝑖𝑛3
2𝑦 + 𝐶
21. ∫ 8 𝑐𝑜𝑠3
2𝜃 𝑠𝑖𝑛 2𝜃 𝑑𝜃
Penyelesaian
Misal u = 𝑐𝑜𝑠 2𝜃
du = − 𝑠𝑖𝑛 2𝜃 𝑑(2𝜃)
d (2𝜃) = −
𝑑𝑢
𝑠𝑖𝑛 2𝜃
Sehingga
∫ 8 𝑐𝑜𝑠3
2𝜃 𝑠𝑖𝑛 2𝜃 𝑑𝜃 =
1
2
∫ 8 𝑐𝑜𝑠3
2𝜃 𝑠𝑖𝑛 2𝜃 𝑑 (2𝜃)
=
1
2
∫ 8 𝑢3
𝑠𝑖𝑛 2𝜃 . −
𝑑𝑢
𝑠𝑖𝑛 2𝜃
= −
1
2
(
8
4
𝑢4
) + 𝐶
= − 𝑐𝑜𝑠4
2𝜃 + 𝐶
22. ∫ 𝑠𝑖𝑛2
2𝜃 𝑐𝑜𝑠3
2𝜃 𝑑𝜃
𝜋
2
0
=
1
2
∫ 𝑠𝑖𝑛2
2𝜃 𝑐𝑜𝑠3
2𝜃 𝑑(2𝜃)
𝜋
2
0
=
1
2
∫ 𝑠𝑖𝑛2
2𝜃 𝑐𝑜𝑠2
2𝜃𝑐𝑜𝑠 2𝜃 𝑑(2𝜃)
𝜋
2
0
=
1
2
∫ [𝑠𝑖𝑛2
2𝜃 (1− 𝑠𝑖𝑛2
2𝜃)] 𝑑(𝑠𝑖𝑛 2𝜃)
𝜋
2
0
=
1
2
∫ (𝑠𝑖𝑛2
2𝜃 − 𝑠𝑖𝑛4
2𝜃) 𝑑(𝑠𝑖𝑛 2𝜃)
𝜋
2
0
=
1
2
(
1
3
𝑠𝑖𝑛3
2𝜃 −
1
5
𝑠𝑖𝑛5
2𝜃)]
0
𝜋
2
⁄
=
1
6
𝑠𝑖𝑛3
2𝜃 −
1
10
𝑠𝑖𝑛5 ]0
𝜋
2
⁄
]
=[
1
6
𝑠𝑖𝑛3
2(
𝜋
2
) −
1
10
𝑠𝑖𝑛5
2(
𝜋
2
)] − [
1
6
𝑠𝑖𝑛3
2(0)−
1
10
𝑠𝑖𝑛5
2(0)]

10. = 0
23. ∫ √
1−𝑐𝑜𝑠 𝑥
2
𝑑𝑥
2𝜋
0
= ∫ √𝑠𝑖𝑛2 1
2
𝑥 𝑑𝑥
2𝜋
0
= ∫ 𝑠𝑖𝑛
1
2
𝑥 𝑑𝑥
2𝜋
0
= 2 ∫ 𝑠𝑖𝑛
1
2
𝑥 𝑑 (
1
2
𝑥)
2𝜋
0
= ˗2 𝑐𝑜𝑠
1
2
𝑥 + 𝐶]0
2𝜋
=[−2𝑐𝑜𝑠
1
2
(2𝜋)] − [−2 𝑐𝑜𝑠
1
2
(0)]
= −2𝑐𝑜𝑠
1
2
(2𝜋) + 2 𝑐𝑜𝑠
1
2
(2𝜋)
= 2 + 2
= 4
24. ∫ √1 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥
𝜋
0
= ∫ √𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝜋
0
𝑑𝑥
= ∫ √𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥
𝜋
0
𝑑𝑥
= ∫ √2 .𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
0
= ∫ √2 .𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝜋
0
= − √2 𝑐𝑜𝑠 𝑥]0
𝜋
= [− √2𝑐𝑜𝑠(𝜋)] − [−√2𝑐𝑜𝑠(0)]
= − √2𝑐𝑜𝑠(𝜋) + √2𝑐𝑜𝑠(0)
= − √2 .−1 + √2 .1
=√2 + √2
= 2√2
25. ∫ √1 − 𝑠𝑖𝑛2𝑡 𝑑𝑡
𝜋
0
= ∫ √𝑠𝑖𝑛2𝑡 + 𝑐𝑜𝑠2𝑡 − 𝑠𝑖𝑛2𝑡 𝑑𝑡
𝜋
0
= ∫ √𝑐𝑜𝑠2𝑡 𝑑𝑡
𝜋
0
= ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡
𝜋
0
= 𝑠𝑖𝑛 𝑡 + 𝐶]0
𝜋
= 𝑠𝑖𝑛 𝜋 − 𝑠𝑖𝑛 0
= 0 ˗ 0

11. = 0
26. ∫ √1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜃
𝜋
0
= ∫ √𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜃
𝜋
0
= ∫ √𝑠𝑖𝑛2𝜃 𝑑𝜃
𝜋
0
= −𝑐𝑜𝑠 𝜃]2
𝜋
= −𝑐𝑜𝑠 𝜋 + 𝑐𝑜𝑠 0
= −(−1)+ 1
= 2
27. ∫
𝑠𝑖𝑛2
𝑥
√1−𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝜋
3
⁄
𝜋
2
⁄
𝑑𝑥 = ∫
𝑠𝑖𝑛2
𝑥
√1−𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝜋
3
⁄
𝜋
2
⁄
.
√1+𝑐𝑜𝑠 𝑥
√1+𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑑𝑥
= ∫
𝑠𝑖𝑛2
𝑥 √1+𝑐𝑜𝑠 𝑥
√1−𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝜋
3
⁄
𝜋
2
⁄
𝑑𝑥
= ∫
𝑠𝑖𝑛2
𝑥 √1+𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝜋
3
⁄
𝜋
2
⁄
𝑑𝑥
= ∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑥√1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝜋
3
⁄
𝜋
2
⁄
𝑑𝑥
= ∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑢
1
2
⁄
𝜋
3
⁄
𝜋
2
⁄
. −
𝑑𝑢
𝑠𝑖𝑛 𝑥
= −∫ 𝑢
1
2
⁄
𝑑𝑢
𝜋
3
⁄
𝜋
2
⁄
= −(
2
3
𝑢
3
2
⁄
)]𝜋
3
𝜋
2
= −
2
3
(1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥)
3
2
⁄
]𝜋
3
𝜋
2
= −
2
3
(1 + 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
2
))
3
2
⁄
+
2
3
(1 + 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
3
))
3
2
⁄
= −
2
3
+
2
3
(
3
2
)
3
2
⁄
= √
3
2
−
2
3
28. ∫ √1 + 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
6
⁄
0
= ∫ √1+ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 .
√1−𝑠𝑖𝑛 𝑥
√1−𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑑𝑥
𝜋
6
⁄
0
= ∫
√1−𝑠𝑖𝑛2
𝑥
√1−𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑑𝑥
𝜋
6
⁄
0
= ∫
𝑐𝑜𝑠 𝑥
√1−𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑑𝑥
𝜋
6
⁄
0
Misal u = 1 + cos𝑥
du = − sin 𝑥 𝑑𝑥
dx = −
𝑑𝑢
sin𝑥
Misal u = 1 − sin 𝑥
du = − cos𝑥 𝑑𝑥
dx = −
𝑑𝑢
cos𝑥

12. = ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 .𝑢
−
1
2 . −
𝑑𝑢
𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝜋
6
⁄
0
= −∫ 𝑢
−
1
2
𝜋
6
⁄
0
𝑑𝑢
= −2 𝑢
1
2
⁄
+ 𝐶]0
𝜋
6
= −2 √1− 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝐶]0
𝜋
6
= −2 √1 − 𝑠𝑖𝑛
𝜋
6
+ 2√1 − 𝑠𝑖𝑛 0
= −2√1 −
1
2
+ 2 √1− 0
= −2 √
1
2
+ 2
29. ∫
𝑐𝑜𝑠4
𝑥
√1−𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑑𝑥
𝜋
5𝜋
6
⁄
= ∫
𝑐𝑜𝑠4
𝑥
√1−𝑠𝑖𝑛 𝑥
.
√1+𝑠𝑖𝑛 𝑥
√1+𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝜋
5𝜋
6
⁄
= ∫
𝑐𝑜𝑠4
𝑥√1+𝑠𝑖𝑛 𝑥
√1−𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝜋
5𝜋
6
⁄
= ∫
𝑐𝑜𝑠4
𝑥 √1+𝑠𝑖𝑛 𝑥
√𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝜋
5𝜋
6
⁄
= ∫
𝑐𝑜𝑠4
𝑥 √1+𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝜋
5𝜋
6
⁄
= ∫
𝑐𝑜𝑠4
𝑥 √1+𝑠𝑖𝑛 𝑥
− 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝜋
5𝜋
6
⁄
= ∫ −𝑐𝑜𝑠3
𝑥√1 + 𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝜋
5𝜋
6
⁄
=∫ −𝑐𝑜𝑠 𝑥 (1− 𝑠𝑖𝑛2
𝑥)√1 + 𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝜋
5𝜋
6
⁄
= −∫ (1 − 𝑠𝑖𝑛2
𝑥)√1+ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
5𝜋
6
⁄
= −∫ [1 − (𝑢 − 1)2]√𝑢
1
3
2
⁄
𝑑𝑢
= −∫ [1 − (𝑢2
− 2𝑢 + 1)]√𝑢
1
3
2
⁄
𝑑𝑢
=−∫ (−𝑢
5
2
⁄
+ 2𝑢
3
2
⁄
)
1
3
2
⁄
𝑑𝑢
=∫ (𝑢
5
2
⁄
+ 2𝑢
3
2
⁄
)
1
3
2
⁄
du
Misal u = 1 + sin 𝑥
du = cos𝑥 𝑑𝑥
x→
5𝜋
6
→ 𝑢 =
3
2
x→ 𝜋 → 𝑢 = 1

13. =
2
7
𝑢
7
2
⁄
−
4
5
𝑢
5
2
⁄
]
3
2
⁄
1
=(
2
7
−
4
5
) − [
2
7
(
3
2
)
7
2
⁄
−
4
5
(
3
2
)
5
2
⁄
]
= −
18
35
− [
2
7
.
3
7
2
⁄
2
7
2
⁄ −
23
5
.
3
5
2
⁄
2
5
2
⁄
]
= −
18
35
−
3
5
2
⁄
2
1
2
⁄ [
3
7 . 4
−
1
5
]
= −
18
35
−
9√6
2
[−
13
140
]
=
117√6
280
−
18
35
30. ∫ √1 − 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 𝑑𝑥
3𝜋
4
⁄
𝜋
2
⁄
= ∫ √1 − 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 .
√1+𝑠𝑖𝑛 2𝑥
√1+𝑠𝑖𝑛 2𝑥
𝑑𝑥
3𝜋
4
⁄
𝜋
2
⁄
= ∫
√1−𝑠𝑖𝑛2
2𝑥
√1+𝑠𝑖𝑛 2𝑥
𝑑𝑥
3𝜋
4
⁄
𝜋
2
⁄
= ∫
√𝑐𝑜𝑠2
𝑥
√1+𝑠𝑖𝑛 2𝑥
𝑑𝑥
3𝜋
4
⁄
𝜋
2
⁄
= −√1+ 𝑠𝑖𝑛 2𝑥]𝜋
2
3𝜋
4
= −√1 + 𝑠𝑖𝑛 2(
3𝜋
4
) + √1 + 𝑠𝑖𝑛 2(
𝜋
2
)
= −√1 − 1 + 1
= 1
31.∫𝑥√1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥
∫𝑥√𝑠𝑖𝑛2𝑥+ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − (𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥) 𝑑𝑥
∫𝑥 √2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥
∫𝑥. √2 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥
√2 (𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥) + 𝑐
32. ∫√(1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑡)
3
2𝑑𝑡
∫(𝑠𝑖𝑛2𝑡)
3
2 𝑑𝑡

14. ∫𝑠𝑖𝑛3 𝑡 𝑑𝑡
∫(1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑡) 𝑑(−𝑐𝑜𝑠 𝑡)
− 𝑐𝑜𝑠𝑡 +
1
3
𝑐𝑜𝑠3 𝑡+ 𝑐
33. ∫𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥
∫𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑(𝑡𝑎𝑛 𝑥)
1
2
𝑡𝑎𝑛2𝑥 + 𝑐
34. ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑥 (𝑠𝑒𝑐2
𝑥 − 1)𝑑𝑥
= ∫ 𝑠𝑒𝑐3
𝑥 − 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥
= ∫ 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 − 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥
= ∫(1 + 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 )𝑠𝑒𝑐 𝑥 − 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥
= ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 𝑠𝑒𝑐𝑥 − 𝑠𝑒𝑐 𝑥 dx
= ∫ 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 𝑠𝑒𝑐𝑥
= 𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝐶
35. ∫ 𝑠𝑒𝑐3
𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑠𝑒𝑐3
𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥
= ∫ 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑑 (𝑠𝑒𝑐 𝑥)
=
1
3
𝑠𝑒𝑐3
𝑥 + 𝐶
36. ∫ 𝑠𝑒𝑐3
𝑥 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑠𝑒𝑐3
𝑥 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥
= ∫ 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 (𝑠𝑒𝑐2
𝑥 − 1) 𝑑(𝑠𝑒𝑐 𝑥)
= ∫ 𝑠𝑒𝑐4
𝑥 − 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑑(𝑠𝑒𝑐 𝑥)
=
𝑠𝑒𝑐5
𝑥
5
−
𝑠𝑒𝑐3
𝑥
3
+ 𝐶

15. 37. ∫ 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 𝑑(𝑡𝑎𝑛𝑥)
=
𝑡𝑎𝑛3
𝑥
3
+ 𝐶
38. ∫ 𝑠𝑒𝑐4
𝑥 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 𝑑𝑥
= ∫ 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 𝑑𝑥
=∫(1 + 𝑡𝑎𝑛2
𝑥) 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 𝑑 (𝑡𝑎𝑛 𝑥)
=∫ 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 + 𝑡𝑎𝑛4
𝑥 𝑑(𝑡𝑎𝑛 𝑥)
=
1
3
𝑡𝑎𝑛3
𝑥 +
1
5
𝑡𝑎𝑛5
+ 𝐶
39. ∫ 2 𝑠𝑒𝑐3
𝑥 𝑑𝑥
Menggunakan rumus :
∫ 𝑠𝑒𝑐𝑛
𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
𝑠𝑒𝑐𝑛 −2
𝑎𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑎𝑥
𝑎(𝑛−1)
+
𝑛−2
𝑛−1
∫ 𝑠𝑒𝑐𝑛−2
𝑎𝑥 𝑑𝑥
= 2 ∫ 𝑠𝑒𝑐3
𝑥 𝑑𝑥
= 2
𝑠𝑒𝑐3−2
𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥
(3−1)
+
3−2
3−1
∫ 𝑠𝑒𝑐3−2
𝑥 𝑑𝑥
= 2
𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥
2
+
1
2
∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥
=𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 +
1
2
∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥
= 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 +
1
2
𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛 𝑥| + 𝑐
40. ∫ 𝑒𝑥
𝑠𝑒𝑐3
𝑒𝑥
𝑑𝑥
= 𝑒𝑥
∫ 𝑠𝑒𝑐3
𝑒𝑥
𝑑𝑥
= 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑐3−2
𝑒𝑥
𝑡𝑎𝑛 𝑒𝑥
𝑒𝑥(3−1)
+
3−2
3−1
∫ 𝑠𝑒𝑐3−2
𝑒𝑥
𝑑𝑥
=
𝑠𝑒𝑐 𝑒𝑥
𝑡𝑎𝑛 𝑒𝑥
2
+
1
2
∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑒𝑥
𝑑𝑥
=
1
2
𝑠𝑒𝑐 𝑒𝑥
+
1
2
∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑒𝑥
𝑑𝑥
=
1
4
𝑠𝑒𝑐 𝑒𝑥
+ 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐 𝑒𝑥
+ 𝑡𝑎𝑛 𝑒𝑥| + 𝐶
41. ∫ 𝑠𝑒𝑐4
𝜃𝑑𝜃

16. = ∫(1 + 𝑡𝑎𝑛2
𝜃)𝑠𝑒𝑐2
𝜃𝑑𝜃
= ∫ 𝑠𝑒𝑐2
𝜃𝑑𝜃 + ∫ 𝑡𝑎𝑛2
𝜃𝑠𝑒𝑐2
𝜃𝑑𝜃 =
= 𝑡𝑎𝑛𝜃 +
1
3
𝑡𝑎𝑛3
𝜃 + 𝐶
= 𝑡𝑎𝑛𝜃 +
1
3
𝑡𝑎𝑛𝜃(𝑠𝑒𝑐2
𝜃 − 1) + 𝐶 =
=
1
3
𝑡𝑎𝑛𝜃𝑠𝑒𝑐2
𝜃 +
2
3
𝑡𝑎𝑛𝜃 + 𝐶
. (𝑢 = 𝑡𝑎𝑛𝑥) …(𝑡𝑎𝑛𝑥)′
= 𝑠𝑒𝑐2
𝑥
. ∫ 𝑢𝑛
𝑑𝑢 =
𝑢𝑛+1
𝑛+1
+ 𝑐
.
1
3
𝑡𝑎𝑛𝜃𝑠𝑒𝑐2
𝜃 +
2
3
𝑡𝑎𝑛𝜃 + 𝐶
42. ∫ 3𝑠𝑒𝑐4
3𝑥 𝑑𝑥 =
Jawab :
∫ 3𝑠𝑒𝑐4
3𝑥 𝑑𝑥 = 3 ∫(𝑠𝑒𝑐2
3𝑥)(𝑠𝑒𝑐2
3𝑥)𝑑𝑥
= 3∫(𝑡𝑎𝑛2
3𝑥 + 1)(𝑠𝑒𝑐2
3𝑥)𝑑𝑥
= 3∫(𝑡𝑎𝑛2
3𝑥 + 1)𝑑
1
3
𝑡𝑎𝑛 3𝑥
= 3 ∙
1
3
[∫ 𝑡𝑎𝑛2
3𝑥𝑑 𝑡𝑎𝑛 𝑥 + ∫ 1 𝑑 𝑡𝑎𝑛 3𝑥]
= 1 ∙ [
1
3
𝑡𝑎𝑛3
3𝑥 + 𝑡𝑎𝑛 3𝑥] + 𝐶
=
1
3
𝑡𝑎𝑛3
3𝑥 + 𝑡𝑎𝑛 3𝑥 + 𝐶
43. ∫ 𝑐𝑠𝑐4
𝜃 𝑑𝜃
𝜋/2
𝜋/4
=
Jawab :
∫ 𝑐𝑠𝑐4
𝜃 𝑑𝜃
𝜋/2
𝜋/4
= ∫(1 + 𝑐𝑜𝑡2
𝜃)𝑐𝑠𝑐2
𝜃 𝑑𝜃
= ∫((1 + 𝑐𝑜𝑡2
𝜃)𝑑 (−cot𝜃)
= ∫ 1 𝑑(−cot 𝜃) − ∫ 𝑐𝑜𝑡2
𝜃 𝑑 (cot𝜃)

17. = − cot𝜃 −
1
3
𝑐𝑜𝑡3
𝜃 + 𝐶
44. ∫ 𝑠𝑒𝑐6
𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐4
𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑑𝑥
= ∫(𝑡𝑎𝑛2
𝑥 + 1)2
𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑑𝑥
= ∫(𝑡𝑎𝑛4
𝑥 + 2𝑡𝑎𝑛2
𝑥 + 1)𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑑𝑥
= ∫ 𝑡𝑎𝑛4
𝑥 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑑𝑥
=
1
5
𝑡𝑎𝑛5
𝑥 +
2
3
𝑡𝑎𝑛3
𝑥 + 𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝐶
45. ∫ 4 𝑡𝑎𝑛3
𝑥 𝑑𝑥 =
Jawab :
∫ 4𝑡𝑎𝑛3
𝑥 𝑑𝑥 = 4 ∫ 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥
= 4∫(𝑠𝑒𝑐2
𝑥 − 1)𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥
= 4∫(𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 − 𝑡𝑎𝑛 𝑥) 𝑑𝑥
= 4∫ 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑 (𝑡𝑎𝑛 𝑥) − ∫ 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥
= 4 (
1
2
𝑡𝑎𝑛2
𝑥 − 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐 𝑥| + 𝐶
= 2 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 − 4𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐 𝑥| + 𝐶
46. ∫ 6 𝑡𝑎𝑛4
𝑥 𝑑𝑥
𝜋
4
−
𝜋
4
=
Jawab :
∫ 6 𝑡𝑎𝑛4
𝑥 𝑑𝑥
𝜋
4
−
𝜋
4
= 6∫(𝑡𝑎𝑛2
𝑥)(𝑡𝑎𝑛2
𝑥) 𝑑𝑥
= 6 ∫(𝑠𝑒𝑐2
− 1)𝑡𝑎𝑛2
𝑥 𝑑𝑥
= 6 ∫(𝑡𝑎𝑛2
𝑥𝑠𝑒𝑐2
𝑥 − 𝑡𝑎𝑛2
𝑥)𝑑𝑥
= 6 ∫ 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 𝑑(𝑡𝑎𝑛𝑥) − ∫(𝑠𝑒𝑐2𝑥
− 1)𝑑𝑥
= 6 ∫ 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 𝑑(𝑡𝑎𝑛𝑥) − ∫ 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 1 𝑑𝑥

18. = 6 (
1
3
𝑡𝑎𝑛3
𝑥 − 𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝑥) + 𝐶
= 2𝑡𝑎𝑛3
𝑥 − 6 𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 6𝑥 + 𝐶
47. ∫ 𝑡𝑎𝑛5
𝑥 𝑑𝑥 =
Jawab :
∫ 𝑡𝑎𝑛5
𝑥 𝑑𝑥 = ∫(𝑡𝑎𝑛2
𝑥)2
𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥
= ∫(𝑠𝑒𝑐2
𝑥 − 1)2
𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥
= ∫(𝑠𝑒𝑐4
𝑥 − 2𝑠𝑒𝑐2
𝑥 + 1)𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥
= ∫(𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑐4
𝑥 − 2𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 + 𝑡𝑎𝑛 𝑥) 𝑑𝑥
= ∫(𝑡𝑎𝑛 𝑥 (1+ 𝑡𝑎𝑛2
𝑥)𝑠𝑒𝑐2
𝑥 − 2 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 + 𝑡𝑎𝑛 𝑥) 𝑑𝑥
= ∫(𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛3
𝑥) 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑑𝑥 +
∫ 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥
= ∫(𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛3
𝑥) 𝑑 𝑡𝑎𝑛 𝑥 − 2 ∫ 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑 𝑡𝑎𝑛 𝑥 + ∫ 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥
= ∫ 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑 𝑡𝑎𝑛 𝑥 + ∫ 𝑡𝑎𝑛3
𝑥 𝑑 𝑡𝑎𝑛 𝑥 − 2 ∫ 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑 𝑡𝑎𝑛 𝑥 +
∫ 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥
=
1
2
𝑡𝑎𝑛2
𝑥 +
1
4
𝑡𝑎𝑛4
𝑥 −
2
2
𝑡𝑎𝑛2
𝑥 + 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐 𝑥| + 𝐶
=
1
4
𝑡𝑎𝑛4
𝑥 −
1
2
𝑡𝑎𝑛2
𝑥 + 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐 𝑥| + 𝐶
48. ∫ 𝑐𝑜𝑡6
2𝑥 𝑑𝑥
= ∫(𝑐𝑠𝑐2
2𝑥 − 1)3
𝑑𝑥
= ∫(𝑐𝑠𝑐6
2𝑥 − 3 𝑐𝑠𝑐4
2𝑥 + 3 𝑐𝑠𝑐2
2𝑥 + 1) 𝑑𝑥
= ∫[(𝑐𝑠𝑐4
2𝑥 − 3 𝑐𝑠𝑐2
2𝑥 + 3)(𝑐𝑠𝑐2
2𝑥) + 1] 𝑑𝑥
= ∫[((1 + 𝑐𝑜𝑡2
2𝑥)2
− 3(1 + 𝑐𝑜𝑡2
2𝑥) + 3)(𝑐𝑠𝑐2
2𝑥) + 1] 𝑑𝑥

19. = ∫[(1 + 2𝑐𝑜𝑡2
2𝑥 + 𝑐𝑜𝑡4
2𝑥 − 3 − 3𝑐𝑜𝑡2
2𝑥 + 3)(𝑐𝑠𝑐2
2𝑥) + 1] 𝑑𝑥
= ∫ [(1 + 𝑐𝑜𝑡4
2𝑥 − 𝑐𝑜𝑡2
2𝑥) 𝑑 (−
1
2
𝑐𝑜𝑡 2𝑥)] + ∫1 𝑑𝑥
= [ −
1
2
(∫ 1 𝑑𝑐𝑜𝑡 2𝑥 + ∫𝑐𝑜𝑡4
2𝑥 𝑑 𝑐𝑜𝑡 2𝑥 − ∫𝑐𝑜𝑡2
2𝑥 𝑑 𝑐𝑜𝑡 2𝑥)]
+ ∫1 𝑑𝑥
= −
1
2
(𝑐𝑜𝑡 2𝑥 +
1
5
𝑐𝑜𝑡5
2𝑥 −
1
3
𝑐𝑜𝑡3
2𝑥) + 𝑥 + 𝑐
= −
1
2
𝑐𝑜𝑡 2𝑥 −
1
10
𝑐𝑜𝑡5
2𝑥 +
1
6
𝑐𝑜𝑡3
2𝑥 + 𝑥 + 𝑐
= −
1
10
𝑐𝑜𝑡5
2𝑥 +
1
6
𝑐𝑜𝑡3
2𝑥 −
1
2
𝑐𝑜𝑡 2𝑥 + 𝑥 + 𝑐
49. ∫ 𝑐𝑜𝑡3
𝑥𝑑𝑥
=∫(𝑐𝑜𝑡2
𝑥)(𝑐𝑜𝑡𝑥)𝑑𝑥
= ∫(𝑐𝑠𝑐2
𝑥 − 1)(𝑐𝑜𝑡𝑥)𝑑𝑥
= ∫(𝑐𝑜𝑡𝑥𝑐𝑠𝑐2
𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑥)𝑑𝑥
= ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑥𝑐𝑠𝑐2
𝑥 𝑑𝑥 − 𝑐𝑜𝑡 𝑥 𝑑𝑥
Misalkan u = cot x
du = −𝑐𝑠𝑐2
𝑥 𝑑𝑥
= ∫ −𝑢 𝑑𝑢 − ∫ 𝑐𝑜𝑡 𝑥
= −
1
2
𝑢2
− 𝑙𝑛|𝑠𝑖𝑛𝑥|+C
50. ∫ 8 𝑐𝑜𝑡4
𝑥 𝑑𝑥
=8∫ 𝑐𝑜𝑡4
𝑥 𝑑𝑥
=8 ∫ 𝑐𝑜𝑡2
𝑥𝑐𝑜𝑡2
𝑥 𝑑𝑥
=8∫ 𝑐𝑜𝑡2
𝑥 (𝑐𝑠𝑐2
𝑥 − 1)𝑑𝑥
=8 ∫ 𝑐𝑜𝑡2
𝑥𝑐𝑠𝑐2
𝑥 − 𝑐𝑜𝑡2
𝑥 𝑑𝑥

20. =8 ∫ 𝑐𝑜𝑡2
𝑥𝑐𝑠𝑐2
𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑡2
𝑥 𝑑𝑥
Misalkan = u = cot x
du = −𝑐𝑠𝑐2
𝑥 𝑑𝑥
=-8∫ 𝑢2
𝑑𝑢 − ∫ 𝑐𝑜𝑡2
𝑥 𝑑𝑥
=-8∫ 𝑢2
𝑑𝑢 − ∫ 𝑐𝑠𝑐2
𝑥 − 1 𝑑𝑥
=-8 ∫ 𝑢2
𝑑𝑢 − ∫ 𝑐𝑠𝑐2
𝑑𝑥 − ∫ 1 𝑑𝑥
= −
8
3
𝑐𝑜𝑡3
𝑥 + 8 𝑐𝑜𝑡 𝑥 + 8 𝑥 + 𝐶