1. The document provides solutions to 4 integral calculus problems calculating the area bounded by curves. 2. The first area calculated is 4.5 units. The second is 2.083 units. The third is approximately 7.3 units. The fourth is approximately 32 units. 3. The document finds the bounding points of each region and calculates the area as a definite integral between those bounds.

1. Nama : Nurkhalifah Anwar
NIM : 1911041007
Kelas : A1
Tanggal : 21 April 2020
Tugas Kalkulus Integral Luasan Daerah
1. Luasan 𝑅 dibatasi oleh kurva𝑦 = 𝑥2 − 2 dan 𝑦 = 2𝑥2 + 𝑥 − 4
Jawab :
Mencari batas atas dan bawahnya
𝑥2 − 2 = 2𝑥2 + 𝑥 − 4
𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0
𝑥 = −2 atau 𝑥 = 1
Sehingga diperoleh
∆𝐴 ≈ [(𝑥2 − 2) − (2𝑥2 + 𝑥 − 4)]∆𝑥
∆𝐴 ≈ (−𝑥2 − 𝑥 + 2)∆𝑥
𝐴(𝑅) = ∫ (−𝑥2 − 𝑥 + 2) 𝑑𝑥
1
−2
= [−
1
3
𝑥3 −
1
2
𝑥2 + 2𝑥]
−2
1
= (−
1
3
(1)3 −
1
2
(1)2 + 2(1)) − (−
1
3
(−2)3 −
1
2
(−2)2 + 2(−2))
= (−
1
3
−
1
2
+ 2) − (
8
3
− 2 − 4)
=
9
2
𝐴(𝑅) =
9
2
≈ 𝟒.𝟓 satuan luas.

2. 2. Luasan 𝑅 dibatasi oleh kurva-kurva𝑦 = 𝑥,𝑦 = 2𝑥 dan 𝑦 = 5 − 𝑥
Jawab:
Mencari batas atas dan bawahnya,
Diperoleh titik potongnya 𝑎 = 0, 𝑏 =
5
3
, 𝑐 =
5
2
.
Sehingga diperoleh
𝐴(𝑅) = ∫ (2𝑥 − 𝑥) 𝑑𝑥
5/3
0 + ∫ (5 − 𝑥
5/2
5/3 − 𝑥)𝑑𝑥
= [
1
2
𝑥2]
0
5/3
+ [5𝑥 − 𝑥2]5/3
5/2
= (
1
2
(
5
3
)
2
) − (0) + (5 (
5
2
) − (
5
2
)
2
) − (5(
5
3
) − (
5
3
)
2
)
= (
25
18
) + (
25
36
)
=
25
12
𝐴(𝑅) =
25
12
≈ 𝟐.𝟎𝟖𝟑̇ satuan luas.
2𝑥 = 5 − 𝑥
𝑥 =
5
3
𝑥 = 5 − 𝑥
𝑥 =
5
2

3. 3. Luasan 𝑅 dibatasi oleh kurva𝑦 = √𝑥 dan 𝑦 = −𝑥 + 6
Jawab:
Mencari batas atas dan bawahnya
(Titik-titikpotong yang diperoleh)
√𝑥 = −𝑥 + 6
𝑥 = 𝑥2 − 12𝑥 + 36
𝑥2 − 13𝑥 + 36 = 0
(𝑥 − 9)(𝑥 − 4)
𝑥 = 9 (tidak memenuhi) atau 𝑥 = 4
Titik potong pada sumbu x, y=0
−𝑥 + 6 = 0 √𝑥 = 0
−𝑥 = −6 𝑥 = 0
𝑥 = 6
Didapatkan (0,0); (4,2);(6, 0) .
Daerah pada grafik di atas terdapat dua daerah, yaitu dari 𝑥 = 0 sampai 𝑥 = 4 dan dari 𝑥 = 4
sampai 𝑥 = 6.
Sehingga diperoleh
𝐴(𝑅)1 = ∫ √𝑥
4
0
𝑑𝑥 = [
2
3
𝑥
3
2]
0
4
= (
2
3
(4)
3
2) − (0) =
16
3
≈ 5.3̇ satuan luas.
𝐴(𝑅)2 = ∫ (−𝑥 + 6)
6
4 𝑑𝑥 = [−
𝑥2
2
+ 6𝑥]
4
6
= (−
(6)2
2
+ 6(6)) − (−
(4)2
2
+ 6(4)) = 2 satuan luas.

4. Diperoleh :
∆𝐴 ≈ 𝐴(𝑅)1 + 𝐴(𝑅)2
Jadi, luasnya adalah :
5. 3̇ + 2 ≈ 𝟕. 𝟑̇ satuan luas.
4. Luasan 𝑅 dibatasi oleh kurva-kurva𝑦 = 𝑥 + 6, 𝑦 = 𝑥3 dan 2𝑦 + 𝑥 = 0. Kemudian
hitunglah luasnya.
Jawab:
Mencari batas atas dan bawahnya
(Titik-titikpotong yang diperoleh)
- Titik potong antara garis 𝑦 = 𝑥 + 6 dan 2𝑦 + 𝑥 = 0 atau 𝑦 = −
𝑥
2
.
𝑥 + 6 = −
𝑥
2
2𝑥 + 12 = −𝑥
3𝑥 = −12
𝑥 = −4
yaitu di titik (-4, 2).
- Titik potong antara kurva 𝑦 = 𝑥3 dan garis 2𝑦 + 𝑥 = 0 atau 𝑦 = −
𝑥
2
.
𝑥3 = −
𝑥
2

5. 2𝑥3 = −𝑥
2𝑥3 + 𝑥 = 0
𝑥(2𝑥2 + 1) = 0
𝑥 = 0 atau 2𝑥2 + 1 = 0 → 2𝑥2 = −1 → 𝑥2 = −
1
2
(tidak terdefenisi) di titik (0,0)
- Titik potong antara garis 𝑦 = 𝑥 + 6 dan kurva 𝑦 = 𝑥3.
Yaitu berpotongan di titik (2, 8) dengan 𝑥 = 2.
Didapatkan (−4,2); (0,0);(2, 8).
Daerah pada grafik di atas terdapat dua daerah, yaitu dari 𝑥 = −4 sampai 𝑥 = 0 dan dari 𝑥 = 0
sampai 𝑥 = 2.
Sehingga diperoleh :
𝐴(𝑅)1 = ∫ (𝑥 + 6) − (−
𝑥
2
)
0
−4
𝑑𝑥
= ∫ (
3
2
𝑥 + 6)𝑑𝑥
0
−4
= [
3
4
𝑥2 + 6𝑥]
−4
0
= (
3
4
(0)2 + 6(0)) − (
3
4
(−4)2 + 6(−4))
= 0 − (−12)
= 12
𝐴(𝑅)2 = ∫ (𝑥 + 6) − 𝑥3
0
2
𝑑𝑥
= [
𝑥2
2
+ 6𝑥 −
𝑥4
4
]
2
0
=(
02
2
+ 6(0) −
04
4
) − (
22
2
+ 6(2) −
24
4
)
= −10 (abaikan tanda negatif)
Diperoleh :
∆𝐴 ≈ 𝐴(𝑅)1 + 𝐴(𝑅)2
Jadi, luasnya adalah :
12 + 10 ≈ 𝟑𝟐 satuan luas.