Soal dan jawaban dari tugas Geometri Analitik Ruang

1. GEOMETRI ANALITIK RUANG
BY
RAMDANIAH
NIM. 180101040635
2020

2. Geometri Analitik Ruang | 1
Tugas 1 Materi Sistem Koordinat Dimensi Tiga
1. Tentukan letak titik 3 berikut pada koordinat kartesius dimensi tiga:
a. M (2,5, −5)
b. A (−3,4,2)
c. R (0,3, −1) dan
d. B (0, −5,0)
Jawab:
a. M (2,5, −5)
b. A (−3,4,2)
c. R (0,3, −1)
𝑧
𝑥
𝑦
2
−5
5
𝑀(2,5, −5)
𝑦
𝑥
𝑧
𝐴(−3,4,2)
2
−3
4
𝑦
𝑅(0,3, −1)𝑥
𝑧

3. Geometri Analitik Ruang | 2
d. B (0, −5,0)
2. Tentukan jarak antara titik
a. M (5,5,7) dan N (1, −2,3)
b. A (4, −3,2) dan B (−2,3, −5)
c. R (2,-4,1) dan S (
1
2
, 2,3)
Jawab:
a. M (5,5,7) dan N (1, −2,3)
⇒ ∆𝐴𝐵𝑀 siku-siku di A, maka diperoleh:
|𝐵𝑀|2
= |𝐴𝐵|2
+ |𝐴𝑀|2
𝐵(0, −5,0)
𝑦
𝑥
𝑧
−5
0
𝑦
𝑥
𝑧
𝐴
𝑁
𝑀
𝐵
5
3
−2
7
1 5

4. Geometri Analitik Ruang | 3
= |5 − 1|2
+ |5 − (−2)|2
= |4|2
+ |7|2
= 16 + 49
|𝐵𝑀| = √65
⇒ ∆𝐵𝑁𝑀 siku-siku di B, maka diperoleh:
|𝑁𝑀| = √|𝐵𝑁|2 + |𝐵𝑀|2
= √|4|2 + |√65|
2
= √16 + 65
= √81
= 9
Jadi, jarak titik ke M ke N adalah 9 satuan.
b. A (4, −3,2) dan B (−2,3, −5)
|𝐴𝐵| = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑧2 − 𝑧1)2
= √(−2 − 4)2 + (3 − (−3))2 + (−5 − 2)2
= √36 + 36 + 49
= √121
= 11
Jadi, jarak titik titik A ke B adalah 11 satuan
c. R (2,-4,1) dan S (
1
2
, 2,3)
|𝑅𝑆| = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑧2 − 𝑧1)2
= √(1
2⁄ − 2)
2
+ (2 − (−4))2 + (3 − 1)2
= √9
4⁄ + 36 + 4
= √
169
4

5. Geometri Analitik Ruang | 4
=
13
2
Jadi, jarak titik R ke S adalah
13
2
satuan
3. Tentukan koordinat titik yang berjarak 5 satuan dari titik (1,6,3) dan buktikan!
Jawab:
 Jarak 5 satuan sejajar sumbu x
(1,6,3) ⇒ (6,6,3)
Bukti:
𝑥2
= (6 − 1)2
+ (6 − 6)2
+ (3 − 3)2
= 52
+ 0 + 0
= 25
𝑥 = √25 = 5
 Jarak 5 satuan sejajar sumbu y
(1,6,3) ⇒ (1,11,3)
Bukti:
𝑦2
= (1 − 1)2
+ (11 − 6)2
+ (3 − 3)2
= 0 + 52
+ 0
= 25
𝑦 = √25 = 5
 Jarak 5 satuan sejajar sumbu z
(1,6,3) ⇒ (1,11,3)
Bukti:
𝑧2
= (1 − 1)2
+ (6 − 6)2
+ (8 − 3)2
= 0 + 0 + 52
= 25
𝑧 = √25 = 5

6. Geometri Analitik Ruang | 5
4. Sebuah garis melalui titik (6,4,2) dan tegak lurus bidang 𝑦𝑧. Tentukan
koordinat titik pada garis tersebut yang jaraknya 10 satuan dari titik (0,4,0)!
Jawab:
Misal 𝐴 (6,4,2) dan 𝐵 (0,4,0), maka jarak 𝐴 ke 𝐵 yang berjarak 10 satuan:
Karena garis tegak lurus bidang 𝑦𝑧, titik koordinatnya adalah 𝑐 (𝑥, 4,2)
sehingga kita hanya perlu mencari 𝑥.
|𝐶𝐵|2
= (𝑥2 − 𝑥1)2
+ (𝑦2 − 𝑦1)2
+ (𝑧2 − 𝑧1)2
102
= (𝑥 − 0)2
+ (4 − 4)2
+ (2 − 0)2
100 = 𝑥2
+ 0 + 4
𝑥2
= 96
𝑥 = √96
𝑥 = 4√6
Jadi, koordinat titik pada garis tersebut yang jaraknya 10 satuan dari titik
(0,4,0) adalah (4√6, 4,2).
𝐴
𝐵
4
6
2
𝑦
𝑥
𝑧

7. Geometri Analitik Ruang | 6
Tugas 2 Materi Bidang Datar
1. Tentukan persamaan vektoris, parameter dan linear bidang datar yang melalui
titik berikut: (3,4,1), (−1, −1,5) dan (1,7,1)
Jawab:
Diketahui:
(3,4,1), 𝑥1 = 3 𝑦1 = 4 𝑧1 = 1
(−1, −1,5), 𝑥2 = −1 𝑦2 = −1 𝑧2 = 5
(1,7,1), 𝑥3 = 1 𝑦3 = 7 𝑧3 = 1
⇒ Persamaan Vektoris
[𝑥, 𝑦, 𝑧] = [𝑥1, 𝑦1, 𝑧1] + 𝜆 [𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1] +
𝜇 [𝑥3 − 𝑥1, 𝑦3 − 𝑦1, 𝑧3 − 𝑧1]
= [3,4,1] + 𝜆 [−1 − 3, −1 − 4, 5 − 1] + 𝜇 [1 − 3,7 − 4,1 − 1]
= [3,4,1] + 𝜆 [−4, −5,4] + 𝜇 [−2,3,0]
Jadi, persamaan vektoris adalah [𝑥, 𝑦, 𝑧] = [3,4,1] + 𝜆 [−4, −5,4] + 𝜇 [−2,3,0]
⇒ Persamaan Parameter
𝑥 = 𝑥1 + 𝜆𝑥𝑎 + 𝜇𝑥𝑏 ⇒ 𝑥 = 3 + 𝜆(−4) + 𝜇(−2)
𝑦 = 𝑦1 + 𝜆𝑦𝑎 + 𝜇𝑦𝑏 ⇒ 𝑦 = 4 + 𝜆(−5) + 𝜇(3)
𝑧 = 𝑧1 + 𝜆𝑧𝑎 + 𝜇𝑧𝑏 ⇒ 𝑧 = 1 + 𝜆(4) + 𝜇(0)
Jadi, persamaan parameternya adalah
𝑥 = 3 − 4𝜆 + 2𝜇
𝑦 = 4 − 5𝜆 + 3𝜇
𝑧 = 1 + 4𝜆
⇒ Persamaan Linear
𝑧𝑏𝑦𝑎 − 𝑧𝑎𝑦𝑏 = 𝐴 ⇒ (0)(−5) − (4)(3) = 0 − 12 ⇒ 𝐴
𝑧𝑎𝑥𝑏 − 𝑧𝑏𝑥𝑎 = 𝐵 ⇒ (4)(−2) − (0)(−4) = −8 − 0 = −8 ⇒ 𝐵
𝑥𝑎𝑦𝑏 − 𝑦𝑎𝑥𝑏 = 𝐶 ⇒ (−4)(3) − (−5)(−2) = −12 − 10 = −22 ⇒ 𝐶

8. Geometri Analitik Ruang | 7
𝐴(𝑥 − 𝑥1) + 𝐵(𝑦 − 𝑦1) + 𝐶(𝑧 − 𝑧1) = 0
−12 (𝑥 − 3) − 8 (𝑦 − 4) − 22 (𝑧 − 1) = 0
−12𝑥 + 36 − 8𝑦 + 32 − 22𝑧 + 22 = 0
−12𝑥 − 8𝑦 − 22𝑧 + 36 + 32 + 22 = 0
−12𝑥 − 8𝑦 − 22𝑧 + 90 = 0 ⇒ ×
1
2
−6𝑥 − 4𝑦 − 11𝑧 + 45 = 0
Jadi, persamaan linear adalah −6𝑥 − 4𝑦 − 11𝑧 + 45 = 0
2. Tuliskan yang dapat diperoleh tentang persamaan 12𝑥 + 8𝑦 + 6𝑧 = 24
Jawab:
12𝑥 + 8𝑦 + 6𝑧 = 24
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 = −𝐷
⇒
𝐴𝑥
−𝐷
+
𝐵𝑦
−𝐷
+
𝐶𝑧
−𝐷
= 1
=
12𝑥
24
+
8𝑦
24
+
6𝑧
24
= 1
=
𝑥
2
+
𝑦
3
+
𝑧
4
= 1
Maka, kita dapatkan bahwa persamaan tersebut memotong sumbu 𝑥 di titik
(2,0,0), sumbu 𝑦 di titik (0,3,0) dan sumbu 𝑧 di titik (0,0,4).
3. Tentukan jarak titik 𝐵 (1,1,2) ke bidang 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 4
Jawab:
𝐵(1,1,2) ⇒ 𝑥1 = 1 𝑦1 = 1 𝑧1 = 2
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 4
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 4 = 0 ⇒ 𝐴 = 2, 𝐵 = −4, 𝐶 = 1, 𝐷 = −4
𝑑 = |
𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶𝑧1 + 𝐷
√𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2
|

9. Geometri Analitik Ruang | 8
= |
2(1) − 1(1) + 1(2) − 4
√22 + (−1)2 + (1)2
|
= |
2 − 1 + 2 − 4
√4 + 1 + 1
|
= |
1
√6
|
𝑑 =
1
√6
⋅
√6
√6
⇒
1
6
√6
Jadi, jarak titik 𝐵 (1,1,2) ke bidang 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 4 adalah
1
6
√6 satuan jarak.
4. Tentukan sudut antara bidang 𝑉 ≡ 4𝑥 = 2 𝑊 ≡ 𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 = 0
Jawab:
𝑉 = 4𝑥 + 0𝑦 + 0𝑧 − 2 = 0
𝑊 ≡ 𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 − 0 = 0
𝑛1⃗⃗⃗⃗ = [𝐴1, 𝐵1, 𝐶1] ⇒ 𝑛1⃗⃗⃗⃗ [4,0,0]
𝑛2⃗⃗⃗⃗ = [𝐴2, 𝐵2, 𝐶2] ⇒ 𝑛2⃗⃗⃗⃗ [1, −2,2]
cos 𝜃 =
𝑛1⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝑛2⃗⃗⃗⃗
|𝑛1⃗⃗⃗⃗ | ⋅ |𝑛2⃗⃗⃗⃗ |
=
[4 ⋅ 0 ⋅ 0] ⋅ [1 ⋅ −2 ⋅ 2]
(√42 + 02 + 02)(√12 + −22 + 22)
=
4
√16 ⋅ √9
=
4
4 ⋅ 3
=
4
12
=
1
3
𝜃 = cos−1
1
3
≈ 70,52878°
≈ 70,53°
Jadi, sudut antara bidang 𝑉 ≡ 4𝑥 = 2 𝑊 ≡ 𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 = 0 adalah 70,53°.

10. Geometri Analitik Ruang | 9
5. Tentukan jarak bidang 3𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 = 9 dengan bidang 3𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 = 7
Jawab:
Buktikan apakah kedua bidang tersebut sejajar atau tidak sejajar
a) 𝑉//𝑊 jika 𝑛 𝑣 = 𝑛 𝑤
Bukti:
Vektor normal 𝑛 𝑣 = [3, −2,5]
Vektor normal 𝑛 𝑤 = [3, −2,5]
Karena 𝑛 𝑣 = 𝑛 𝑤 berarti 𝑉//𝑊
b) Ambil sebarang titik pada bidang 𝑉 yaitu 𝑅 [𝑥, 0,0]
Substitusikan titik tersebut ke bidang 𝑤 sehingga diperoleh 3𝑥 = 9, nilai
𝑥 = 3. Jadi titik 𝑅 [3,0,0].
c) Kemudian cari jarak titik 𝑅 [𝑥, 0,0] ke bidang datar.
𝑑 = |
𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶𝑧1 + 𝐷
√𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2
|
= |
3(3) + (−2)0 + 5(0)
√32 + (−2)2 + 52
|
= |
9
√9 + 4 + 25
|
= |
9
√38
|
=
9
√38

11. Geometri Analitik Ruang | 10
Tugas 3 Materi Garis Lurus dalam Ruang
1. Tentukan jarak titik tembus garis lurus
(𝑥 − 2)
3
=
(𝑦 + 1)
4
=
(𝑧 − 2)
12
Dan bidang rata 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 ke titik (−1, −5, −10)
Jawab:
 Persamaan garis:
(𝑥 − 2)
3
=
(𝑦 + 1)
4
=
(𝑧 − 2)
12
, 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑎𝑟𝑎ℎ𝑛𝑦𝑎 [3,4,12]
 Persamaan parameter
𝑥 = 2 + 3𝜆
𝑦 = −1 + 4𝜆
𝑧 = 2 + 12𝜆
Ketiganya (𝑥, 𝑦, 𝑧) substitusikan ke bidang rata
(2 + 3𝜆) − (−1 + 4𝜆) + (2 + 12𝜆) = 5
2 + 3𝜆 + 1 − 4𝜆 + 2 + 12𝜆 = 5
11𝜆 + 5 = 5
11𝜆 = 0
𝜆 = 0
Maka:
𝑥 = 2 + 0 = 2
𝑦 = −1 + 0 = −1
𝑧 = 2 + 0 = 2
Sehingga, didapatkan bahwa koordinat titik tembusnya adalah (2, −1,2).
 Jarak antara titik (2, −1,2) dengan titik (−1, −5, −10)
𝑃 = √(−1 − 2)2 + (−5 − (−1))2 + (−10 − 2)2
= √9 + 16 + 144
= √169
= 13

12. Geometri Analitik Ruang | 11
2. Tentukan koordinat titik tembus garis lurus
(𝑥 + 1)
1
=
(𝑦 + 3)
3
=
(𝑧 − 2)
−2
Dan bidang rata 3𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧 = 5
Jawab:
 Persamaan garis
(𝑥 + 1) =
(𝑦 + 3)
3
=
(𝑧 − 2)
−2
, 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑎𝑟𝑎ℎ𝑛𝑦𝑎 = [1,3, −2]
 Persamaan parameter
𝑥 = −1 + 𝜆
𝑦 = −3 + 3𝜆
𝑧 = 2 − 2𝜆
Substitusikan ke bidang rata
= 3(−1 + 𝜆) + 4(−3 + 3𝜆) + 5(2 − 2𝜆)
= −3 + 3𝜆 − 12 + 12𝜆 + 10 − 10𝜆 = 5
= 5𝜆 − 5 = 5
= 5𝜆 = 10
= 5𝜆 = 10
= 𝜆 = 2
Maka:
𝑥 = −1 + (2) = 1
𝑦 = −3 + 3(2) = 3
𝑧 = 2 − 2(2) = −2
Sehingga, didapatkanlah titik koordinat tembusnya adalah (1,3, −2).

13. Geometri Analitik Ruang | 12
3. Tunjukkan bahwa kedua garis lurus 𝑥 + 2𝑦 = 6, 𝑧 − 2 = 0 dan
𝑥 + 2𝑦 = 9, 𝑧 = 0.
Jawab:
Garis 𝑔 : 𝑥 + 2𝑦 = 6, 𝑧 − 2 = 10
Garis ℎ : 𝑥 + 2𝑦 = 9, 𝑧 = 10
Garis 𝑔 dan h sejajar karena kedua 𝑧-nya konsisten
Vektor arah mereka juga sama, yaitu [1,2,0]
Maka, dapat disimpulkan bahwa kedua garis tersebut sejajar