Đề thi thử Đại học môn Toán

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2010
Môn thi: TOÁN, Khối A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số = + + +3 2
6 9y x x x 3
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt
3 2
1
2
log 6 9 3x x x m+ + + =
Câu II (2,0 điểm)
1) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm.
2
(1 )sin cos 1 2cosm x x m− − = + x
2) Giải bất phương trình:
2
1 1
2 12 3 5 xx x
>
−+ −
.
Câu III (1,0 điểm)
Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
3
x
y
x
=
+
, trục Ox và đường thẳng 1x = . Tính thể
tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành.
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = x, tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1. Tính thể tích của khối
chóp S.ABCD theo x và tìm x để thể tích đó lớn nhất.
Câu V (1,0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc a c b+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = 2 2 2
2 2 3
1 1a b c
− +
1+ + +
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (Phần A hoặc B)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 và các đỉnh A(3 ; -5), B(4 ; -4).
Biết rằng trọng tâm G của tam giác ABC thuộc đường thẳng 3 3x y 0− − = . Tìm tọa độ đỉnh C.
2) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3 8 7 6 0x y z− + − = và hai điểm A(1;1; 3)− ,
. Tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC đều.B(3;1; 1)−
Câu VII.a (1,0 điểm)
Cho A và B là hai điểm trong mặt phẳng phức lần lượt biểu diễn các số phức z1 và z2 khác không
thỏa mãn . Chứng minh rằng tam giác OAB đều (O là gốc tọa độ).2 2
1 2 1z z z z+ = 2
0
0
B. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4, các đỉnh A(2 ; 2), B(-2 ; 1).
Tìm tọa độ đỉnh C và D biết rằng giao điểm của AC và BD thuộc đường thẳng 3 2x y− + =
2) Trong không gian Oxyz, cho mp(P): 3 8 7 6x y z− + − = , đường thẳng d:
1 3
1 2 1
3x y z− + −
= =
−
.
Viết phương trình đường thẳng Δ vuông góc với mp(P) sao cho Δ cắt đường thẳng d tại một điểm
cách mp(P) một khoảng bằng 2.
Câu VII.b (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình
⎩
⎨
⎧
=−
=+
1loglog
272
33
loglog 33
xy
yx xy
…………………………Hết…………………………
Họ và tên thí sinh:…………………………………………Số báo danh:…………………………………
Chữ kí của giám thị 1:……………………………………Chữ kí của giám thị 2:……http://laisac.page.tl
Thi th Đ i h c www.toanpt.net

2. Së Gi¸o Dôc vμ §μo T¹o
TØnh H¶i D−¬ng
Tr−êng THPT §oμn Th−îng
K× thi thö §¹i häc lÇn 1 N¨m 2010
M«n to¸n, khèi A, B
§¸p ¸n vμ biÓu ®iÓm
* Chó ý. ThÝ sinh lμm bμi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mμ vÉn ®óng th× cho ®ñ
®iÓm tõng phÇn t−¬ng øng.
C©u ý Néi dung §iÓm
I 1 Kh¶o s¸t hμm sè = + + +3 2
6 9y x x x 3 (C) 1,00
TX§: . 2 1 1
' 3 12 9, ' 0
3 3
x y
y x x y
x y
= − ⇒ = −⎡
= + + = ⇔ ⎢ = − ⇒ =⎣
'' 6 12, '' 0 2 1y x y x y= + = ⇔ = − ⇒ = .
BBT: ghi ®Çy ®ñ
KÕt luËn vÒ tÝnh ®b, nb, cùc trÞ
§å thÞ. §å thÞ lμ ®−êng cong tr¬n thÓ hiÖn ®óng tÝnh låi, lâm.
§å thÞ ®i qua 5 ®iÓm: C§(-3 ; 3), CT(-1 ; -1), I(-2 ; 1), A(-4 ; -1), B(0 ; 3)
4
3
2
1
-1
-4 -2
4
3
2
1
-1
-4 -2
0,25
0,25
0,25
0,25
I 2 3 2
1
2
log 6 9 3x x x m+ + + = (1) 1,00
(1) 3 2 1
6 9 3
2
m
x x x
⎛ ⎞
⇔ + + + = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
. Gäi (C’) lμ ®å thÞ hs 3 2
6 9y x x x 3= + + +
Pt (1) cã 6 nghiÖm ⇔ ®t
1
2
m
y
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
c¾t (C’) t¹i 6 ®iÓm
Ta cã
3 2 3 2
3 2
3 2 3 2
6 9 3 khi 6 9 3
6 9 3
( 6 9 3) khi 6 9 3 0
x x x x x x
y x x x
x x x x x x
⎧ 0+ + + + + + ≥⎪
= + + + = ⎨
− + + + + + + <⎪⎩
Gäi (C1) lμ phÇn ®å thÞ cña (C) n¾m trªn Ox, (C2) lμ phÇn ®å thÞ cña (C) n»m d−íi Ox
(C3) lμ h×nh ®èi xøng cña (C2) qua trôc Ox th× (C’) = (C1) ∪ (C3).
Tõ ®å thÞ (C’), pt (1) cã 6 nghiÖm ⇔
1
0 1
2
m
m
⎛ ⎞
0< < ⇔ >⎜ ⎟
⎝ ⎠
0,25
0,25
0,25
0,25
II 1 T×m m ®Ó pt 2
(1 )sin cos 1 2cosm x x m− − = + x (1) cã nghiÖm 1,00
TXD: . pt (1) ( )2
sin cos 1 2cos sinx x m x x⇔ − = + +
NhËn xÐt. Hs tuÇn hoμn víi chu k×sin , cosy x y= = x 2π nªn pt (1) cã nghiÖm ⇔ pt
0,25
Thi th Đ i h c www.toanpt.net

3. (1) cã nghiÖm thuéc nöa kho¶ng
3
;
2 2
π π⎡ ⎞
− ⎟⎢⎣ ⎠
.
TH1. (1 )( 1) 1 0
2
x m m
π
= − ⇒ − − = ⇔ − = v« lÝ. VËy
2
x
π
= − kh«ng lμ nghiÖm
TH2.
1
(1 )
2 2
x m m m
π
= ⇒ − = ⇔ = . VËy
1
2
m = th× pt cã Ýt nhÊt mét nghiÖm lμ
2
π
TH3. cos 0
2 2
x x
π π
− < < ⇒ > . Chia hai vÕ cho cos x ta ®−îc
( )2
2
tan 1
tan 1 tan 3 tan
tan 3 tan
x
x m x x m
x x
−
⇔ − = + + ⇔ =
+ +
§Æt tan ,t x t= ∈ ta ®−îc
2
1
3
t
m
t t
−
=
+ +
. §Æt
2
1
( )
3
t
f t
t t
−
=
+ +
( )
2
2
2 2
3 3
'( ) 0, ( ) db trên
3 3
t t
f t t f t
t t t
+ + +
= > ∀ ⇒
+ + +
MÆt kh¸c
1
lim ( ) , lim
2t t
f t
→−∞ →+∞
= −∞ = . VËy
1
2
m <
TH4.
3
cos 0
2 2
x x
π π
< < ⇒ < . Chia hai vÕ cho cos x ta ®−îc
( )2
2
tan 1
tan 1 tan 3 tan
tan 3 tan
x
x m x x m
x x
−
⇔ − = − + + ⇔ =
− + +
§Æt tan ,t x t= ∈ ta ®−îc
2
1
3
t
m
t t
−
=
− + +
. §Æt
2
1
( )
3
t
f t
t t
−
=
− + +
( )
2
2
2 2
3 3
'( ) , '( ) 0 1
3 3
t t
f t f t t
t t t
− − + +
= =
− + + +
⇔ = − . LËp BBT cña ( )f t
Tõ BBT suy ra
2
3
m ≤
KÕt luËn. C¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó pt cã nghiÖm lμ
2
3
m ≤
t +−∞ 1− ∞
'
( )f t + 0 -
( )f t 2
3
1
2
−∞
0,25
0,25
0,25
2 2
1 1
2 12 3 5 xx x
>
−+ −
(1)
1,00
§K: 2 5
2 3 5 0,2 1 0 ,
2
1x x x x x+ − > − ≠ ⇔ < − >
0,25
Thi th Đ i h c www.toanpt.net

4. TH1.
5
2 1 0
2
x x< − ⇒ − < , bÊt ph−¬ng tr×nh ®óng.
TH2. 2
1 2 3 5 0,2 1 0x x x x> ⇒ + − > − >
Bpt 2 2
3
2 1 2 3 5 2 7 6 0 2
2
x
x x x x x
x
⎡
<⎢⇔ − > + − ⇔ − + > ⇔
⎢
>⎣
KÕt hîp ®iÒu kiÖn ta ®−îc
3
1
2
x< < hoÆc 2x >
KÕt luËn. TËp nghiÖm cña bpt lμ S =
5 3
; (1; ) (2;
2 2
⎛ ⎞
)−∞ − ∪ ∪ +∞⎜ ⎟
⎝ ⎠
0,25
0,25
0,25
III TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay 1,00
Ta cã 2
3
x
y
x
=
+
c¾t trôc Ox t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é x = 0.
VËy V =
( )
21 1 2
22 2
20 0
3
3
x x
dx dx
x
x
π π
⎛ ⎞
=⎜ ⎟
+⎝ ⎠ ⎛ ⎞+⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫
§Æt 2
3 tan , ; 3(1 tan )
2 2
x t t dx t dt
π π⎛ ⎞
= ∈ − ⇒ = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
. 0 3 tan 0, 1 3 tan
6
π
= =
V =
1 2 26 6
2 2
2 2 2 2
0 0 0
3tan 3
3(1 tan ) sin
( 3) (3tan 3) 3
x t
dx t dt tdt
x t
π π
π
π π= + =
+ +∫ ∫ ∫
=
26
6
00
3 1 cos2 3 sin 2 3
( )
3 2 6 2 36
t t
dt t
π π
8
π π π−
= − = −∫
π
* Chó ý. Häc sinh cã thÓ sö dông c«ng thøc tÝch ph©n tõng phÇn nh− sau
V =
( ) ( )
1 12
2 22 2
0 03 3
x x
dx x dx
x x
π π=
+ +
∫ ∫
vμ ®Æt
( )
2 22
1
, ' ' 1,
2( 3)3
x
u x v u v
xx
−
= = ⇒ = =
++
råi ®i ®Õn
( ) ( )
11 1
2 2 22
0 00
1
2( 3) 2 33
x x
x dx dx
x xx
π π
⎛ ⎞−
⎜ ⎟= +
⎜ ⎟+ ++ ⎝ ⎠
∫ ∫
0,25
0,25
0,25
0,25
IV TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp S.ABCD 1,00
Gäi H lμ h×nh chiÕu cña S trªn mp(ABCD)
Do SB = SC = SD nªn HB = HC = HD suy ra
H lμ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BCD
Tam gi¸c BCD c©n t¹i C nªn H thuéc CO, O lμ
giao cña AC vμ BD.
CBD ABD SBDΔ = Δ = Δ
OC OA OS SAC⇒ = = ⇒ Δ vu«ng t¹i S
2
1AC x⇒ = +
0,25
0,25
O
A B
C
D
S
H
Thi th Đ i h c www.toanpt.net

5. 2 2 2
1 1 1
1
x
SH
SH SA SC x
2
= + ⇒ =
+
ABCD lμ h×nh thoi 2 2 1
3
2
2
AC BD OB AB AO x⇒ ⊥ ⇒ = − = −
2 21 1 1
. 1. 3
2 2 6
ABCDS AC BD x x V x= = + − ⇒ = 2
3 x−
¸p dông B§T C«si ta cã
2 2
21 1 3
3 .
6 6 2
x x
V x x
+ −
= − ≤ =
1
4
§¼ng thøc x¶y ra
6
2
x⇔ = . VËy V lín nhÊt khi
6
2
x =
0,25
0,25
V
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P = 2 2 2
2 2 3
1 1a b c
− +
1+ + +
1,00
§Æt .tan , tan , tana x b y c z= = = , , 0 , , 0;
2
a b c x y z
π⎛ ⎞
> ⇒ ∈⎜ ⎟
⎝ ⎠
tan tan
tan tan tan( )
1 1 tan tan
a c x z
abc a c b b y y x z
ac x z
+ +
+ + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = +
− −
y x z kπ⇔ = + + . , , 0; 0
2
x y z k
π⎛ ⎞
∈ ⇒⎜ ⎟
⎝ ⎠
= . VËy y x z⇔ = +
P = 2 2 2
2cos 2cos 3cos 1 cos2 (1 cos2 ) 3cos2
x y z x y− + = + − + + z
22
2sin( )sin( ) 3cos 2sin( )sin 3(1 sin )x y x y z x y z= − + − + = + + − z
2
2 21 1
3sin 2sin( )sin 3 3 sin sin( ) 3 sin ( )
3 3
z x y z z x y x
⎛ ⎞
= − + + + = − − + + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
y
1
P 0 3
3
⇒ ≤ + + .
§¼ng thøc x¶y ra
1 1
, 2,
2 2 2
a b c= =⇔ = . VËy
10
3
Pmax =
0,25
0,25
0,25
0,25
VI.a 1 T×m täa ®é ®Ønh C 1,00
1 1
2 . ( ; ) 2 ( ; ) 2
3 2
GAB CABS S AB d G AB d G AB= = ⇔ = ⇔ =
)3 3 ( ;3 3G y x G t t∈ = − ⇒ − . §t AB cã pt 8 0x y− − =
(3 3) 8
( ; ) 2 2 2 5 2 2
2
t t
d G AB t
− − −
= ⇔ = ⇔ + =
5 2 2 5 2 2 21 6 2 29 6 2 45 18 2
; ;
2 2 2 2 2
5 2 2 5 2 2 21 6 2 29 6 2 45 18 2
; ;
2 2 2 2 2
t G C
t G C
⎡ ⎛ ⎞ ⎛− + − + − + − + − +
= ⇒ ⇒⎢ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜
⎢ ⎝ ⎠ ⎝
⇔ ⎢
⎛ ⎞ ⎛− − − − − − − − − −⎢ = ⇒ ⇒⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎢
⎝ ⎠ ⎝⎣
⎞
⎟⎟
⎠
⎞
⎟⎟
⎠
0,25
0,25
0,25
0,25
2 T×m täa ®é ®iÓm C thuéc mÆt ph¼ng (P) sao cho tam gi¸c ABC ®Òu 1,00
( ; ; ) ( ) 3 8 7 6C a b c P a b c∈ ⇔ − + − = 0 2
(1). Tam gi¸c ABC ®Òu 2 2
AC BC AB⇔ = =
2 2 2
0 (
2 2 6 3 0 (3
a c
a b c a b c
+ =⎧
⇔ ⎨
+ + − − + + =⎩
2)
)
0,25
0,25
Thi th Đ i h c www.toanpt.net

6. Tõ (1) vμ (2) suy ra
3 3
2 , 2
2 2
a b c b= − − = +
thÕ vμo (3) ta ®−îc . Ph−¬ng tr×nh nμy v« nghiÖm. VËy kh«ng cã
®iÓm C nμo tháa m·n.
2
18 52 39 0b b+ + =
0,25
0,25
VII.a Chøng minh r»ng tam gi¸c OAB ®Òu 1,00
Tam gi¸c OAB ®Òu 1 2 1OA OB AB z z z z⇔ = = ⇔ = = − 2
Ta cã 3 3 2 2 3 3
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) 0z z z z z z z z z z z z+ = + + − = ⇒ = − ⇒ =
MÆt kh¸c 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 20 ( ) ( )z z z z z z z z z z z z+ − = ⇔ − = − ⇒ − = −
2
1 2 1 2 1 2 1 2.z z z z z z z z⇒ − = ⇒ − = = .
0,25
0,25
0,25
0,25
VI.b 1 T×m täa ®é ®Ønh C vμ D 1,00
1 1
1 . ( ; ) 1 ( ; )
4 2 17
IAB ABCDS S AB d I AB d I AB= = ⇔ = ⇔ =
2
x y§t AB cã pt 4 6 0+ = 3 2 0 (3 2; ). I x y I t t− ∈ − + = ⇒ −
3 2 4 62 2
( ; ) 4 2
17 17 17
t t
d I AB t
− − +
= ⇔ = ⇔ − =
2 (4;2) (6;2), (10;3)
6 (16;6) (30;10), (34;11)
t I C D
t I C D
= ⇒ ⇒⎡
⇔ ⎢ = ⇒ ⇒⎣
0,25
0,25
0,25
0,25
2 ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng Δ 1,00
d cã ptts 1 , 3 2 , 3x t y t z t= − = − + = + . Δ c¾t d t¹i I (1 , 3 2 ,3 )I t t⇒ − − + + t
24 122
6
( ;( )) 2 12 48 2 122
24 122
6
t
d I P t
t
⎡ +
=⎢
⎢= ⇔ − + = ⇔
⎢ −
=⎢
⎣
24 122 18 122 15 122 42 122
; ;
6 6 3
t I
⎛ ⎞+ − − + +
= ⇒ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠6
18 122 15 122 42 122
6 3:
3 8 7
x y y
+ + +
+ − −
⇒ Δ = =
−
6
24 122 18 122 15 122 42 122
; ;
6 6 3
t I
⎛ ⎞− − + − −
= ⇒ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠6
18 122 15 122 42 122
6 3:
3 8 7
x y y
− − −
+ − −
⇒ Δ = =
−
6
0,25
0,25
0,25
0,25
VII.b
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh
⎩
⎨
⎧
=−
=+
1loglog
272
33
loglog 33
xy
yx xy 1,00
§k: .0, 0x y> > 3 3log log 1 3y x y− = ⇔ = x 0,25
0,25
Thi th Đ i h c www.toanpt.net

7. 3 3 3 3 3log log log log log
2 27y x y x y
x y x y x= ⇒ + = ⇔ = 9
L«garit c¬ sè 3 hai vÕ ta ®−îc 3 3 3 3 3log .log log 9 (1 log )log 2y x x x= ⇔ + =
3
3
3 9
log 1
1
log 2
9 3
x y
x
x x y
= ⇒ =⎡=⎡ ⎢⇔ ⇔⎢ ⎢= − = ⇒ =⎣
⎣
1 (tháa m·n ®k). VËy hÖ pt cã 2 nghiÖm lμ..
0,25
0,25
Thi th Đ i h c www.toanpt.net