1. TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01 trang)
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011
Môn thi: Toán, khối A,B
Thời gian làm bài: 180 phút( không kể thời gian giao đề)
A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 điểm )
Câu I : ( 2,0 điểm ). Cho hàm số :
2x 1
y
x 1
-
=
+
có đồ thị là ( ) C .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
2) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của ( ) C .Tìm trên đồ thị ( ) C điểm M có hoành độ
dương sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị ( ) C cắt hai đường tiệm cận tại A và B thoả mãn :
2 2
40 IA IB+ = .
Câu II : ( 2,0 điểm )
1) Giải phương trình : 4 2 4
3sin 2cos 3 3 3 cos 1 x x cos x cos x x+ + = - +
2) Giải phương trình:
( )
2
4 1
5 2 4 2
27
x
x x
+
+ + - =
Câu III : ( 1,0 điểm ).Tính tích phân: ( )
2
0
2
4
x
I x dx
x
= -
-ò
Câu IV : ( 1,0 điểm ). Cho hình chóp . S ABC có · · 0
4, 2, 4 3, 30 AB AC BC SA SAB SAC= = = = = = .
Tính thể tích khối chóp . S ABC .
Câu V : ( 1,0 điểm ).Cho , , a b c là ba số thực không âm thoả mãn : 3 a b c+ + = .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P a b b c c a abc= + + - .
B. PHẦN TỰ CHỌN: ( 3,0 điểm ).( Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần,phần A hoặc phần B)
A.Theo chương trình chuẩn:
Câu VIA : ( 2,0 điểm ).1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A ,biết
phương trình các đường thẳng , AB BC lần lượt là 3 5 0 x y+ + = và 1 0 x y- + = ,đường thẳng AC đi
qua điểm ( ) 3;0 M .Tìm toạ độ các đỉnh , , A B C .
2) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đường thẳng :
1
1 1 1
:
1 2 2
x y z
d
- - -
= = và 2
1 3
:
1 2 2
x y z
d
+ -
= =
- -
.
Tìm toạ độ điểm I là giao điểm của 1 d và 2 d ,lậpphương trình đường thẳng 3 d đi qua điểm
( ) 0; 1;2 P - ,đồng thời 3 d cắt 1 d và 2 d lần lượt tại , A B khác I thoả mãn AI AB= .
Câu VII A.(1,0 điểm):Tính tổng 1 3 5 7 2009 2011
2011 2011 2011 2011 2011 2011 S C C C C C C= - + - + + -L
B.Theo chương trình nâng cao
Câu VIB : ( 2,0 điểm ). 1)Trong mặt phẳng hệ toạ độ Oxy cho e líp ( )
2 2
: 1
25 9
x y
E + = với hai tiêu
điểm 1 2 , F F .Điểm P thuộc elíp sao cho góc · 0
1 2 120 PF F = .Tính diện tích tam giác 1 2 PF F .
2) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz,cho hai đường thẳng : 1
1 3
:
2 3 2
x y z- -
D = =
-
và
2
5 5
:
6 4 5
x y z- +
D = =
-
,mặt phẳng ( ): 2 2 1 0 P x y z- + - = .Tìm các điểm 1 2 , M NÎD ÎD sao cho MN
song song với mặt phẳng ( ) P và cách mặt phẳng ( ) P một khoảng bằng 2.
Câu VII B:(1,0 điểm): Tìm phần thực,phần ảo của số phức
( )
( )
2012
2011
1
3
i
z
i
+
=
+
Thi thử Đại học www.toanpt.net

2. TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC
(gồm 5 trang)
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011
Môn thi: Toán, khối A,B
ĐÁP ÁN
Câu Ý Nội dung Điể
m
I 2,0
0
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số :
2x 1
y
x 1
-
=
+
+Tập xác định { } 1 D = -¡
+Sự biến thiên
· ­Chiều biến thiên:
( )
2
3
'
1
y
x
=
+
0> 1 x" ¹ - .
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) ; 1-¥ - và ( ) 1;- +¥
· Cực trị : Hàm số không có cực trị.
· Giới hạn tại vô cực và tiệm cận:
2 1
lim lim 2
1 x x
x
y
x®±¥ ®±¥
-
= =
+
,đường thẳng 2 y = là tiệm cận ngang
1 1
2 1 2 1
lim ; lim
1 1 x x
x x
x x- +
®- ®-
- -
= +¥ = -¥
+ +
, đường thẳng 1 x = - là tiệm cận đứng
· Bảng biến thiên :
x ­ ¥ ­ 1 +¥
y' + || +
y +¥ 2
||
2 -¥
+Đồ thị:Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm
1
;0
2
A
æ ö
ç ÷
è ø
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm ( ) 0; 1 B -
Đồ thị hàm số nhận giao điểm của 2 tiệm cận là ( ) 1;2 I - làm tâm đối xứng.
1,00
0,25
0,25
0,25
0,25
8
6
4
2
­2
­4
­6
­10 ­5 5 10

3. 2 Tìm trên đồ thị ( ) C điểm M có hoành độ dương ...... 1,00
TCĐ ( ) 1 d : 1 x = - ,TCN ( ) 2 : 2 d y =
( ) 1;2 IÞ - .Gọi 0
0
0
2 1
;
1
x
M x
x
æ ö-
ç ÷
+è ø
( ) ( ) 0 , 0 C xÎ >
Phương trình tiếp tuyến với ( ) C tại ( )
( )
( ) 0
0 2
0 0
2 1 3
: :
1 1
x
M y x x
x x
-
D = - +
++
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 0
1 2 0
0
2 4
1; , 2 1;2
1
x
d A d B x
x
ì üæ ö-ï ï
D Ç = - D Ç = +í ýç ÷
+ï ïè øî þ
( )
( ) ( ) ( )
2
4 2
0 2 2 2 0 0
0
0
0
36
4 1 40 1 10 1 9 0
1 40
0
0
x x x
x IA IB
x
x
ì
+ + = ì + - + + =ï ï
++ = Û Ûí í
>ïï î>î
0 2 xÛ = ( ) 0 1 y = ( ) 2;1 MÞ .
0,25
0,25
0,25
0,25
II 2,00
1 Giải phương trình : 4 2 4
3sin 2cos 3 3 3 cos 1 x x cos x cos x x+ + = - + 1,00
Pt ( ) ( ) ( ) 4 4 2
3 sin 2cos 3 1 cos3 cos 0 x cos x x x xÛ - + - + + =
3 2 cos6 2cos 2 cos 0 cos x x x xÛ - + + = 3
4 2 6 2 2cos2 cos 0 cos x cos x x xÛ - + =
( ) ( ) ( )
2
2
2 0(*)
2 2cos 2 3 cos 0
2 cos 2 1 cos 1 0(**)
cos x
cos x x x
x x
=é
Û - + = Û ê
- + - =êë
+Pt(*) ,
4 2
k
x k
p p
Û = + ÎZ .
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2
** 2 2 1 2 1 cos 1 0 8 sin cos 1 0 cos x cos x x cos x x xÛ - + + - = Û - + - =
( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2
8 cos 1 cos 1 0 cos 1 8 cos 1 1 0 cos x x x x cos x xé ùÛ - + - = Û - + + =ë û
( ) ( ) 2
cos 1
2 ,
8 cos 1 1 0
x
x k k
cos x x vn
p
=é
Û Û = Îê
+ + =ë
Z
Phương trình có 2 họ nghiệm: & 2 ,
4 2
x k x k k
p p
p= + = ÎZ
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Giải phương trình:
( )
2
4 1
5 2 4 2
27
x
x x
+
+ + - =
1,00
Điều kiện :
5
;2
2
x
é ù
Î -ê úë û
Ta có ( ) ( )( )
2
5 2 4 2 9 2 5 2 4 2 9 5 2 4 2 3 x x x x x x+ + - = + + - ³ Þ + + - ³ (*)
Mặt khác
5
;2
2
x
é ù
" Î -ê úë û
( )
( )
2
2 4 1
9 4 1 9 0 4 1 81 0 3
27
x
x x
+
Þ - £ + £ Þ £ + £ Þ £ £ ( ) **
Từ (*) và (**) suy ra phương trình tương đương với:
( )
2
5 5 2 4 2 3
2
4 1 9 2
x x x
x x
éì + + - = = -ï êÛí ê+ =ïî =ë
.So với điều kiện ta được nghiệm của phương
trình là
5
2
2
x
x
é
= -ê
ê
=ë
0,25
0,25
0,25
0,25

4. III Tính tích phân …… 1,00
( ) ( )
( )
( )
2 2
0 0
2 2
2 2
4 2 2
x x
I x dx x dx
x x
- -
= - = -
- + -ò ò
đặt 2 2 2 x cos t- = với 0;
2
t
pé ù
Îê úë û
4sin 2 dx tdtÞ =
x 0 2
t 0
4
p
( )
( )
( )
( )
2 4
0 0
2 2 sin
2 4 2 2 sin 2
2 2 cos
x t
I x dx cos t tdt
x t
p
- -
= - = -
+ -ò ò
( ) ( )
4 4
0 0
4
0
8 2 . cos2 1 4 1 cos 4 2 2
1
4 sin 4 sin 2 4
4
I cos t t dt t cos t dt
I t t t
p p
p
p
= - = + -
æ ö
= + - = -ç ÷
è ø
ò ò
0,25
0,25
0,25
0,25
IV Cho hình chóp . S ABC có · · 0
4, 2, 4 3, 30 AB AC BC SA SAB SAC= = = = = = ... 1,00
Theo định lí cô sin trong tam giác ta được
2 2 0 3
2 . . 30 48 16 2.4 3.4. 4
2
SB AS AB AS AB cos SC= + - = + - = =
Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , SA BC , BAS CASÞ D D cân nên
, BM SA CM SA^ ^ ( ) SA MBCÞ ^
ta có ( ) BAS CAS c c cD = D - - MB MC MBCÞ = Û D cân tại M MN BCÞ ^
Trong tam giác vuông · 0 1
, 30 2
2
ABM MAB BM AB= Þ = = tương tự
2 CM BC= = suy ra MBCD đều có cạnh bằng 2 2 3
2 3
4
MBC dt = =V .Từ đó thể
tích khối chóp S.ABC là:
1 1
. . .4 3. 3 4
3 3
SABC MBC V SA dt= = =V (đvtt)
0,25
0,25
0,25
0,25
V …Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P a b b c c a abc= + + - . 1,00
Đặt , , a x b y c z= = = ,thì điều kiện trở thành:
2 2 2
, , 0
3
x y z
x y z
³ì
í
+ + =î
.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2
P x y y z z x xyz= + + -
Ta thấy 0 P ³ theo bất đẳng thức Côsi.
Không mất tính tổng quát giả sử y là số có giá trị nằm giữa & x z khi đó ta
có: ( )( ) 2 2 2
0 0 z y x y z y z z x yz xyz- - £ Þ + - - £
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
x y y z z x xyz x y y z P x y y zÛ + + - £ + Þ £ +
( )
3 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 1 1 2
.2 . . 4
2 2 3
y x z x z
P y x z
æ ö+ + + +
Û £ + £ =ç ÷
è ø
(bất đẳng thức Côsi.)
0,25
0,25
0,25

5. 2 PÛ £ dấu bằng xẩy ra trong 2 trường hợp
2 2
1
2
0
1
2
0
a b c
x y z
a
z
b
x y
c
= = =é
= =é ê
=ìê ê= Ûì ïê ê =í íê ê=î ïë =êîë
Vậy max 2 1 2; 1; 0 P a b c a b c= Û = = = Ú = = = và các hoán vị.
0,25
VIA 2.00
1 …Tìm toạ độ các đỉnh , , A B C . 1,00
B AB BC= Ç nên toạ độ B là nghiệm hpt: ( )
3 5 0 2
2; 1
1 0 1
x y x
B
x y y
+ + = = -ì ì
Û Û - -í í
- + = = -î î
Đường thẳng AB có vtpt ( ) 1 1;3 n =
r
Đường thẳng BC có vtpt ( ) 2 1; 1 n = -
r
Đường thẳng AC có vtpt ( ) 3 ; n a b=
r
với đ/k 2 2
0 a b+ >
Do tam giác ABC cân tại A nên · · 0
90 ABC ACB= < · · cos cos ABC ACBÞ = Û
( ) ( ) 1 2 2 3
1 2 2 3
2 2
1 2 2 3
. . 2
; ;
10 2 2
n n n n a b
cos n n cos n n
n n n n a b
-
= Û = Û =
+
r r r r
r r r r
r r r r
( ) ( ) ( )( )
2 2 2
4 10 3 3 0 3 0 3 0 a b a b a b a b a b a bÛ + = - Û - - = Û - = Ú - =
· 3 0 a b- = chọn ( ) 3 3, 1 3;1 a b n= = Þ =
r
do AC đi qua
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3;0 : 3 3 1 0 0 : 3 9 0 M AC x y AC x yÞ - + - = Û + - =
A AB AC= Ç nên toạ độ A là nghiệm hpt: ( )
3 5 0 4
4; 3
3 9 0 3
x y x
A
x y y
+ + = =ì ì
Û Û -í í
+ - = = -î î
C BC AC= Ç nên toạ độ C là nghiệm hpt: ( )
1 0 2
2;3
3 9 0 3
x y x
C
x y y
- + = =ì ì
Û Ûí í
+ - = =î î
· 3 0 a b- = chọn ( ) 3 1 1, 3 1;3 / / a b n n AB AC= = Þ = = Þ
r r
(loại )
Vậy toạ độ các đỉnh là ( ) ( ) ( ) 4; 3 , 2; 1 , 2;3 A B C- - - .
0,25
0,25
0,25
0,25
2 …Tìm toạ độ điểm I là giao điểm của 1 d và 2 d ,lậpphương trình đường thẳng 3 d … 1,00
Toạ độ I là nghiệm hpt:
( )
1 3 1
1 2 2
1 1;1;1
1 1 1
1
1 2 2
x y z x
y I
x y z
z
+ -ì =ì= =ïï ï- -
Û = Ûí í
- - -ï ï= = =îïî
mặt phẳng ( ) Q chứa 1 2 , d d thì ( ) Q đi qua ( ) 1;1;1 I và có một vtpt
[ ] ( ) ( ) 1 2 / / ; 8; 4;0 2; 1;0 Q Q n u u n= - Þ = -
r r r r
( ): 2 1 0 Q x yÞ - - =
ta thấy ( ) ( ) 0; 1;2 P Q- Î .Giả sử có 3 d qua , P 3 1 3 2 , d d A d d BÇ = Ç = khác I sao
cho IA AB= .Lấy ( ) 1 1 2;3;3 A dÎ , ( ) 1 2 ; 1 2 ;3 2 B t t t d- - - + Î chọn t sao
cho 1 1 1 A I A B= với 1 B I t¹ Þ là nghiệm phương trình
2 2 2
1 1 1
11
9 20 11 0 1
9
A I A B t t t t= Û + + = Û = - Ú = -
( ) 1
1
1;1;1 ( )
11 13 5
; ;
9 9 9
B I loai
B
é º
ê
Û æ öê
ç ÷ê è øë
đường thẳng 3 d có vtcp ( ) 1 1
7 14 22
/ / ; ; 7;14;22
9 9 9
u B A u
æ ö
= Þ =ç ÷
è ø
uuuurr r
đường thẳng 3 d đi qua ( ) 0; 1;2 P - từ đó pt của 3 d là
0,25
0,25
0,25

6. 3 : d
1 2
7 14 22
x y z+ -
= =
0,25
VII
A
Xét khai triển ( )
2011 0 1 2 2 3 3 2011 2011
2011 2011 2011 2011 2011 1 ... i C C i C i C i C i+ = + + + + +
do 4 4 1 4 2 4 3
1, , 1, , k k k k
i i i i i i k+ + +
= = = - = - " Î¥ do đó ta có
1.00
0,25
( ) ( ) ( ) 2011 0 2 4 2010 1 3 5 2011
2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 1 ... ... i C C C C C C C C i+ = - + - - + - + - - (1)
mặt khác ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1005
2011 2 1005 1005 1005
1 1 1 2 1 2 2 i i i i i ié ù+ = + + = + = - +
ë û
(2)
Từ (1) và (2) ta được: 1 3 5 7 2009 2011 1005
2011 2011 2011 2011 2011 2011 2 S C C C C C C= - + - + + - =L
0,25
0,25
0,25
VIB 2,00
1 …Điểm P thuộc elíp sao cho góc · 0
1 2 120 PF F = .Tính diện tích tam giác 1 2 PF F 1,00
( )
2 2
: 1
25 9
x y
E + = có
2
2 2 2 2
1 2
5 2 10 25
4 8 16 9
a a a
c F F c a b b
=ì == ì ìï
Þ Þí í í
= Þ == - ==ï îîî
theo định nghĩa elip và định lí cô sin ta có:
( )
2 1 1 2
2 2 2 2 0 2 2
2 1 1 2 1 1 2 1 1 1
10 2 10
2 . . 120 10 8 .8
PF PF PF PF a
PF PF F F PF F F cos PF PF PF
= -ì+ = =ìï ï
Þí í
= + - - = + +ïî ïî
1 2
1
0
1 1 2
2
9
1 1 9 3 18 3 7
. .sin120 . .8.
61 2 2 7 2 7
7
PF F
PF
S PF F F
PF
D
ì
=ïï
Þ = = =í
ï =
ïî
(đvdt)
0,25
0,25
0,5
2 …Tìm các điểm 1 2 , M NÎD ÎD sao cho MN … 1,00
pt tham số của
( )
( )
1
1 2
2
1 2 5 6
1 2 ;3 3 ;2
: 3 3 & : 4
5 6 ;;4 ; 5 5
2 5 5
x t x s
M t t t
y t y s
N s s s
z t z s
= + = +ì ì
ì + - ÎDï ï ï
D = - D = Þí í í
+ - - Î Dïï ï î= = - -î î
( ) ( )( ) ( )( )
1 12 6
/ / ; ; 2
0 3
t t
MN P d MN P d M P
t
=- é
Þ = = = Þ ê =ë
· ( ) ( ) 1 1 1 3;0;2 6 2;4 ; 5 7 t M M N s s s= Þ Þ = + - -
uuuuur
do
( ) 1 1 1 / /( ) 1; 2;2 , . 0 P P M N P M N n M N nÞ ^ = - = Þ
uuuuur uuuuurr r
( ) ( ) ( ) 1 6 2 2.4 2. 5 7 0 1 1; 4;0 s s s s N+ - + - - = Þ = - Þ - -
· ( ) ( ) 2 2 0 1;3;0 6 4;4 3; 5 5 t M M N s s s= Þ Þ = + - - -
uuuuur
( ) 2 2 2 / /( ) 1; 2;2 , . 0 P P M N P M N n M N nÞ ^ = - = Þ
uuuuur uuuuurr r
( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 4 2. 4 3 2. 5 5 0 0 5;0; 5 s s s s N+ - - + - - = Þ = Þ -
Đáp số : ( ) ( ) ( ) ( ) 3;0;2 , 1; 4;0 & 1;3;0 , 5;0; 5 M N M N- - -
0,25
0,25
0,25
0,25
VII
B ( )
( )
( )
2012
2012 1006
2011 2011
2011
2 cos sin
1 2 cos sin 4 4
7 7 3 2 cos sin 2 cos sin
6 6 6 6
i
i i
z
i i i
p p
p p
p pp p
é ùæ ö
+ç ÷ê ú+ +è øë û= = =
æ öé ùæ ö+ +ç ÷+ç ÷ê ú è øè øë û
1005 1005
1 1
sin sin
2 6 6 2 6 6
z cos i cos i
p p p pé ùæ ö æ ö é ù
Þ = - + - = -ç ÷ ç ÷ê ú ê úè ø è ø ë ûë û
ÞPhần thực của z bằng 1005
1
2 6
cos
p
, Phần ảocủa z bằng 1005
1
sin
2 6
p
-
1,00
0,25
0,25
0,25
0,25