1. S GD & T KHÁNH HOÀ
TRƯ NG THPT LÝ T TR NG
THI TH I H C L N I - NĂM H C 2014-2015
Môn: TOÁN
Th i gian làm bài: 180 phút không k th i gian giao
Câu I: (2 ) Cho hàm s
2 1
( )
1
x
y f x
x
−
= =
−
1. Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s .
2. G i I là giao i m c a hai ư ng ti m c n c a th (C) , hãy tìm trên th (C) i m M có
hoành dương sao cho ti p tuy n v i th (C) t i i m M c t ư ng ti m c n ng , ti m c n
ngang l n lư t t i A và B th a mãn: 2IA2
+ IB2
= 12 .
Câu II: (2 ) Gi i các phương trình sau :
1.
(1 sinx)(2sin 2 6cosx 2sinx 3)
2
2cos 1
x
x
− + + +
=
+
2. 3 2
27 3 3
1
log log ( 4) log ( 2)
4
x x x+ + = −
Câu III: (1 ) Tính tích phân :
1 2
0
( )
2
x
x
x x e
I dx
x e−
+
=
+∫
Câu IV: (1 ) Trong m t ph ng v i h t a Oxy ,cho hai i m A(1;2); B(4;1) và ư ng th ng
d: 3x-4y+5=0. Vi t phương trình ư ng tròn (C) i qua A,B và c t d t i C, D sao cho CD = 6.
Câu V: (1 ) Trong m t chi c h p có ch a 6 viên bi , 5 viên bi vàng và 4 viên bi tr ng. L y
ng u nhiên trong h p ra 4 viên bi. Tính xác su t trong 4 viên bi l y ra không có c 3 màu.
Câu VI: (1 ) Cho hình chóp u S.ABCD có dài c nh áy b ng a, m t bên c a hình chóp t o
v i m t áy m t góc 600
. Mp(P) ch a AB và i qua tr ng tâm G c a ∆ SAC c t SC , SD l n lư t
t i M,N . Tính th tích kh i chóp S.ABMN theo a
Câu VII: (1 ) Gi i h phương trình :
3 2 3
3 2
6 13 10
2 5 3 3 10 6
x x x y y
x y x y x x y
 − + = + +

+ + − − − = − − +
Câu VIII: (1 ) Cho 0,, ≥zyx và 3=++ zyx .Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
xzzyyx
P
−++
+
−++
+
−++
=
)1ln(24
1
)1ln(24
1
)1ln(24
1
-----------------H T ---------------
www.VNMATH.com

2. Trang 1
ÁP ÁN MÔN TOÁN THI TH L N I – NĂM H C 2014-2015 - KH I 12
Câu áp án i m
1. Kh o sát s bi n thiên và v th (C) : 2 1
( )
1
x
y f x
x
−
= =
−
: (1 )
+ T p xác nh : D = R {1}
+
( )
2
1
' 0;
1
y x D
x
−
= < ∀ ∈
−
: Hàm s ngh ch bi n trên các kho ng ( ;1)−∞
và (1; )+∞
0.25
+
1 1
lim ; lim
x x
y y− +
→ →
= −∞ = +∞ : TC x = 1
+ lim 2
x
y+
−→ ∞
= : TCN y = 2
0.25
+ B ng bi n thiên:
x -∞ 1 +∞
y' - -
y 2 +∞
-∞ 2
0.25
+ i m c bi t : (0;1) ;
1
;0
2
 
 
 
+ th :
x
y
2
1
I
1
0.25
2. (1 )
+ I(1;2) . G i M(x0; 0
0
2 1
1
x
x
−
−
) ∈ (C) , x0 > 0 ; 0 1x ≠
+ Pttt v i (C) t i M : 0
02
0 0
2 11
: ( )
( 1) 1
x
d y x x
x x
−
= − − +
− − 0.25
+ A là giao i m c a d và TC ⇒ A(1; 0
0
2
)
1
x
x −
+ B là giao i m c a d và TCN ⇒ B(2x0 -1; 2) 0.25
+ Tính ư c IA2
=
( )
2
0
4
1x −
; IB2
= 4(x0 – 1)2
+ 2IA2
+ IB2
= 12 ⇔ 2 4 2
0 0 02
0
2
( 1) 3 ( 1) 3( 1) 2 0
( 1)
x x x
x
+ − = ⇔ − − − + =
−
0 0
2
0 00
2
0 00
0 0
1 1 2
1 1 0 (loai)( 1) 1
1 2 1 2( 1) 2
1 2 1 2 (loai)
x x
x xx
x xx
x x
− = = 
 − = − = − =  
⇔ ⇔ ⇔  − = = +− =  
 − = − = − 
0.25
Câu I
(2 )
+ KL: V y có 2 i m c n tìm: M1(2;3) ; M2 (1+ 2 ; 2+
2
2
) 0.25
www.VNMATH.com

3. Trang 2
1. Gi i phương trình: (1 sinx)(2sin 2 6cosx 2sinx 3)
2
2cos 1
x
x
− + + +
=
+
(1)
+ i u ki n:
1 2
cos 2 ;
2 3
x x k k Z
π
π+
−≠ − ⇔ ≠ + ∈
0.25
(1) (1 sinx)(4sin cos 6cos 2sin 3)
2
2cos 1
x x x x
x
− + + +
⇔ =
+
(1 sinx)(2sin 3)(2cosx 1)
2
2cos 1
x
x
− + +
⇔ =
+
0.25
(1 sinx)(2sin 3) 2x⇔ − + = 2
2sin sinx 1 0x⇔ + − = 0.25
2
2
sinx 1
21
6sinx
2 5
2
6
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
π

= − +
= − 
⇔ ⇔ = +
 =

 = +

th a mãn i u ki n
0.25
2. Gi i phương trình: 3 2
27 3 3
1
log log ( 4) log ( 2)
4
x x x+ + = − (1)
+ K : 0 2x< ≠
V i K trên, (1) 3 3 3log log ( 4) log 2x x x⇔ + + = −
[ ]3 3log ( 4) log 2x x x⇔ + = − ( 4) 2x x x⇔ + = −
0.25
2
( 4) 2
2
( 4) 2
x
x x x
x
x x x
 >

+ = −⇔
 <

+ = − +
2
2
2
3 2 0
2
5 2 0
x
x x
x
x x
 >

+ + =
⇔  <
 + − =
0.25
2
1 2
5 33
2
2
5 33
2
x
x x
xx
x
+
−
+
−
 >

= − ∨ = − −⇔ ⇔ =<

 −
=

0.25
Câu II:
(2 )
i chi u k , nghi m c a pt : 5 33
2
x
− +
=
0.25
1 2
0
( )
2
x
x
x x e
I dx
x e−
+
=
+∫ =
1 2
0
( 1)
2
x
x
x x e
dx
xe
+
+∫
t t = xex
⇒ dt = (x+1)ex
dx 0.25
i c n: x = 0⇒t =0 , x=1⇒t=e 0.25
0 0
2
(1 )
2 2
e e
t
I dt dt
t t
= = −
+ +∫ ∫
0.25
Câu III:
(1 )
= (t-2ln|t+2|) 0|e
= e+2ln
2
2e +
0.25
www.VNMATH.com

4. Trang 3
y
x
C
D
A
D
O
I
B
I
Nh n xét A thu c d nên A trùng v i C hay D . (Gi s A trùng C)
G i I(a;b) là tâm ư ng tròn (C), bán kính R>0.
(C) i qua A,B nên IA=IB=R
2 2 2 2
(1 ) (2 ) (4 ) (1 )a b a b R⇔ − + − = − + − = 3 6b a⇔ = −
0.25
Suy ra I(a;3a-6) và R = 2
10 50 65a a− + (1)
G i H là trung i m CD IH CD⇒ ⊥ và IH = d(I;d) =
9 29
5
a− +
R=IC=
( )
2
2 2 9 29
9
25
a
CH IH
−
+ = + (2)
0.25
T (1) và (2) , có: 2
10 50 65a a− + =
( )
2
9 29
9
25
a −
+
2
1
13 56 43 0 43
13
a
a a
a
=
⇔ − + = ⇔
 =

0.25
Câu IV
(1 )
+ a=1 (1; 3); 5I R⇒ − = . Pt ư ng tròn (C): (x-1)2
+(y+3)2
=25
+
43
13
a = 43 51 5 61
( ; );
13 13 13
I R⇒ = .
Pt ư ng tròn (C):
2 2
43 51 1525
13 13 169
x y
   
− + − =   
   
0.25
S cách ch n 4 viên bi b t kỳ trong h p : 4
15 1365C = cách 0.25
+ Ch n 2 bi , 1 bi tr ng , 1 bi vàng: 2 1 1
6 5 4. .C C C
+ Ch n 1 bi , 2 bi tr ng , 1 bi vàng: 1 2 1
6 5 4. .C C C
+Ch n 1 bi , 1 bi tr ng , 2 bi vàng: 1 1 2
6 5 4. .C C C
S cách ch n 4 viên bi có 3 màu :
2 1 1
6 5 4. .C C C + 1 2 1
6 5 4. .C C C + 1 1 2
6 5 4. .C C C = 720 cách 0.25
S cách ch n 4 viên bi không c 3 màu : 1365-720 = 645 cách 0.25
Câu V
(1 )
Xác su t c n tìm : P =
645 43
1365 91
=
0.25
www.VNMATH.com

5. Trang 4
JI
N
MG
O
C
A
D
B
S
G i O là giao i m c a AC và BD
S.ABCD là hình chóp t giác u nên SO ⊥ (ABCD)
G i I, J l n lư t là trung i m c a AB và CD , xác nh ư c góc gi a m t bên
(SCD) và m t áy (ABCD) là 0
60SJI = .
0.25
Nh n xét ∆ SIJ u ; SO =
3
2
a
; VS.ABCD =
3
1 3
.
3 6
ABCD
a
SO S = ( vtt) 0.25
Trong (SAC) , AG c t SC t i M , M là trung i m c a SC
C/minh ư c MN// AB và N là trung i m c a SD
.
1 1
2 4
SABM
SABM S ABCD
SABC
V SM
V V
V SC
= = ⇒ =
.
1 1
4 8
SAMN
SAMN S ABCD
SACD
V SM SN
V V
V SC SD
= ⋅ = ⇒ =
0.25
Câu VI
(1 )
3
. . . .
3 3
8 16
S ABMN S ABM S AMN S ABCD
a
V V V V⇒ = + = = ( vtt)
0.25
Gi i h phương trình :
3 2 3
3 2
6 13 10 (1)
2 5 3 3 10 6 (2)
x x x y y
x y x y x x y
 − + = + +

+ + − − − = − − +
(1 )
3 3
(1) ( 2) ( 2)x x y y⇔ − + − = +
Xét hàm s f(t) = t3
+t , t R∈ có f ’(t) = 3t2
+1>0, t R∀ ∈
⇒ f(t) ng bi n trên R và (1) 2x y⇔ − = (3)
0.25
Thay (3) vào (2): 3 2 5
3 3 5 2 3 10 26 (4); 1
2
x x x x x x+ − − = − − + − ≤ ≤
0.25
+ Ch ng minh g(x) = 3 3 5 2x x+ − − ng bi n trên o n
5
1;
2
 
−  
+ Ch ng minh h(x) = 3 2
3 10 26x x x− − + ngh ch bi n trên o n
5
1;
2
 
−  
g(2) = h(2) = 2 ⇒ x=2 là nghi m duy nh t c a pt (4)
0.25
Câu VII
(1 )
áp s ( ) ( ); 2;0x y = 0.25
Cho 0,, ≥zyx và 3=++ zyx .Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
xzzyyx
P
−++
+
−++
+
−++
=
)1ln(24
1
)1ln(24
1
)1ln(24
1
Câu VIII
(1 )
V i cba ,, >0,áp d ng b t ng th c Côsi ta có :
1 1 1 1 1 1 9
( ) 9a b c
a b c a b c a b c
 
+ + + + ≥ ⇒ + + ≥ 
+ + 
(1)
D u “=” x y ra cba ==⇔
Áp d ng (1) ta có
zzyyxx
P
−++−++−++
≥
)1ln(2)1ln(2)1ln(212
9
0.25
www.VNMATH.com

6. Trang 5
Xét [ ]3;0,)1ln(2)( ∈−+= ttttf
t
t
t
tf
+
−
=−
+
=
1
1
1
1
2
)(' ; 10)(' =⇔= ttf
32ln4)3(,14ln)1(,0)0( −=−== fff 14ln)(32ln4 −≤≤−⇒ tf
0.25
12ln 2 9 ( ) ( ) ( ) 3ln 4 3
12ln 2 3 ( ) ( ) ( ) 12 9 3ln 4
f x f y f z
f x f y f z
⇒ − ≤ + + ≤ −
⇒ + ≤ + + + ≤ +
9 9 3
12 ( ) ( ) ( ) 9 3ln 4 3 ln 4
P
f x f y f z
⇒ ≥ ≥ =
+ + + + +
V y
3
1
3 ln 4
MinP x y z= ⇔ = = =
+
0.25
M i cách gi i khác úng c a hs u cho i m tương ng v i m i ph n c a câu
www.VNMATH.com