Đề thi thử đại học môn Toán năm 2012 của Trường THPT Chuyên Hà Nội - Amsterdam bao gồm nhiều bài tập thuộc các lĩnh vực khác nhau như khảo sát hàm số, giải phương trình lượng giác, tính tích phân, và hình học không gian. Thí sinh phải làm bài trong 180 phút, với các phần chung và riêng, bao gồm các câu hỏi từ cơ bản đến nâng cao. Đề thi tập trung vào việc kiểm tra khả năng tư duy và kỹ năng giải quyết vấn đề của học sinh.

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
Trường THPT Chuyên Hà Nội - Amsterdam
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012
Môn: TOÁN, Khối D
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH: (7 điểm)
CÂU I (2 điểm) Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
-
=
-
có đồ thị ( ).C
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.
2. Tìm điểm M trên ( )C để tổng các khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất.
CÂU II (2 điểm)
1. Giải phương trình: 2
sin sin sin cos 1.x x x x+ + + =
2. Giải phương trình:
1
5 .8 500.
x
x x
-
=
CÂU III (1 điểm) Tính tích phân:
1
0
1 .I x xdx= -ò
CÂU IV (1 điểm) Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi ,I K lần lượt
là trung điểm của ' 'A D và '.BB Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ,IK AD và tính thể tích của
khối tứ diện .IKAD
CÂU V (1 điểm) Cho các số thực , ,a b c không âm thỏa mãn điều kiện 2 2 2
3.a b c+ + = Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
3 3 3
2 2 2
.
1 1 1
a b c
P
b c a
= + +
+ + +
PHẦN RIÊNG: (3 điểm) Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (Phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình chuẩn
CÂU VI. a (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với điểm ( )2; 4A - và hai đường phân giác trong
của các góc ,B C lần lượt có phương trình 1 2: 2 0; : 3 6 0.d x y d x y+ - = - - = Viết phương trình
đường thẳng chứa cạnh .BC
2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm ( )1;2;3 .M Hãy viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua
điểm M và cắt các trục , ,Ox Oy Oz tương ứng tại các điểm , ,A B C sao cho .O ABC là hình chóp
đều.
CÂU VII. a (1 điểm) Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số, các chữ số
đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số 2.
B. Theo chương trình nâng cao
CÂU VI.b
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC và điểm ( )0; 1 .M - Phương trình đường phân giác
trong của góc A và phương trình đường cao tại C lần lượt là 0,x y- = 2 3 0.x y+ + = Hãy viết
phương trình cạnh BC biết rằng đường thẳng AC đi qua M và độ dài 2 .AB AM=
2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng 1
2 4
: ;
1 1 2
x y z
d
- +
= = 2
8 6 10
: .
2 1 1
x y z
d
+ - -
= =
-
Chứng minh 1 2,d d là hai đường thẳng chéo nhau và viết phương trình đường vuông góc chung của
hai đường thẳng này.
CÂU VII. b (1 điểm) Giải phương trình ( )3 2
2 2log 2 2log 9.x x= -
--------------- Hết -------------
Thi thử Đại học www.toanpt.net

2. 1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012
Môn: TOÁN, Khối D
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Câu Đáp án Điểm
Câu I
(2 điểm)
1. (1 điểm)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
 Tập xác định:   1 .D  
 Sự biến thiên:
 Chiều biến thiên:
 
2
1
'
1
y x D
x

    

hàm số nghịch biến trên các khoảng
 ;1 và  1; .
 TCĐ 1;x  TCN: 2.y 
 BBT:
x  1 
'y  
y
2


2
 Đồ thị:
1đ
2. (1 điểm) Tìm M để tổng khoảng cách tới các TC nhỏ nhất
Giả sử  
1
;2 .
1
M m C
m
 
  
 
Khoảng cách từ M đến TCĐ là 1 1 1 ;Md x m   
khoảng cách từ M đến TCN là 2
1
2 .
1
Md y
m
  

Tổng khoảng cách từ M đến 2
TC là 1 2
1
1 2,
1
T d d m
m
     

dấu '' '' xảy ra
   
2
1
0
1 1 0;1
2
m
m M
m

     
hoặc  2;3 .M
1đ

3. 2
Câu II
(2 điểm)
1. (1 điểm) giải phương trình lượng giác
PT
2 2
2 1 1
sin sin cos cos sin cos
2 2
x x x x x x
   
          
   
1 1
sin cos
2 2
x x    hoặc
1 1
sin cos .
2 2
x x   
Giải các phương trình này ta được nghiệm 2x k  hoặc 2x k     trong đó
0;
2


 
 
 
sao cho
5 1
sin .
2



1đ
2. (1 điểm)
Điều kiện 0.x  phương trình tương đương
33 3
3 2
2
3
31
5 .2 5 .2 5. 1 .1
log 52 5. 1
2
xx
x x
x
x
x
x
x
              

1đ
Câu III
(1 điểm) Đặt 2
1 1 2 .t x t x dx tdt        Khi đó  
1
2 2
0
4
2 1 .
15
I t t dt   1đ
Câu IV
(1 điểm)
Gọi M là trung điểm của ',CC
 ' 'A D MK là mặt phẳng chứa IK và
song song với .AD  khoảng cách
giữa AD và IK bằng khoảng cách từ
D đến 'D M và bằng
2 5
.
5
HD 
2 2 6
1, ' ' .
2
AD IK IA KA   
    '
sin , sin ' ',
KA
AD IK A D IK
KI
 
30
.
6

 1 1
. .sin , .
6 6
IKADV AD IK AD IK 
1đ
Câu V
(1 điểm)
AD BĐT Cô si:
3 3 2
2
3
2 2
1 1
3 .
4 2 16 22 1 2 1
a a b
a
b b

  
 
Tương tự cho các BĐT
còn lại. Cộng các BĐT theo vế và chú ý
2 2 2 3 2 3 2
3 min 1.
2 2
a b c P P a b c          
1đ
Câu
VI.a
(2 điểm)
1. (1 điểm) Viết phương trình cạnh BC
Gọi 1 1,H A lần lượt là hình chiếu của A trên 1d và điểm đối xứng của A qua
   1 1 14; 2 , 6;0 .d H A 
Tương tự, gọi 2 2,H A lần lượt là hình chiếu của A trên 2d và điểm đối xứng qua 2d
của 2 2
6 8 2 12
; , ; .
5 5 5 5
A H A
   
    
   
phương trình đường thẳng BC là 3 7 6 0.x y  
1đ

4. 3
2. (1 điểm) Viết phương trình mặt phẳng (P)
Phương trình đoạn chắn: 1.
x y x
a a a
   Thay toạ đọ điểm M vào
 : 6 0.P x y z    
1đ
Câu
VII.a
(1 điểm)
Xét các TH:
+ TH 1: Số có dạng 2
42 3 36.bcd A  (Cách)
+ TH 2 : Số có dạng 2 3.3.3 27.a cd   (Cách)
+ TH 3: Số có dạng 2 3.3.3 27.ab d   (Cách)
Tổng cộng có 90 cách.
1đ
Câu
VI.b
(2 điểm)
1. (1 điểm) Viết phương trình cạnh BC
Lấy N đối xừng với M qua AD, vì
1
2
N AB
N
AM AN AB



 
là trung điểm
của  0; 1 .AB N 
 : 2 1 0.AB x y   Toạ độ
   1;1 , 3; 1 .A B  
 
1
: 2 1 0; ; 2
2
AC x y C
 
      
 
 : 2 5 11 0.BC x y  
1đ
2. (1 điểm) CM hai đường thẳng vuông góc và viết PT đường vuông góc chung
1d đi qua  1 0;2; 4M  và có VTCP  1 21;1;2 ;u d

đi qua  2 8;6;10M  và có VTCP
 2 2;1; 1 .u  

Vì 1 2 1 2 1 2, . 20 0 ,u u M M d d     
  
chéo nhau. Chuyển 2 phương trình
về dạng tham số 1 2
8 2
: 2 ; : 6 .
4 2 10
x t x u
d y t d y u
z t z u
    
 
    
      
Giả sử
     ; 2;2 4 , 2 8; 6;10 2 8; 4; 2 14 .A t t t B u u u AB u t u t u t             

Giải hệ
1
2
. 0 34 36 18 30 6
; ; .
7 7 7 7 7. 0
MN u
t u AB
MN u
    
        
 
 

 
Đường vuông góc chung d của 1 2,d d nhận vecto  
7
3; 5;1
6
u AB   
 
làm VTCP,
do đó phương trình của d là:  
34 48 40
3 ; 5 ; .
7 7 7
x t y t z t t      
1đ
Câu
VII.b
(1 điểm)
Điều kiện 0.x  Biến đổi phương trình về dạng
3 2
2 2 2 2
1
log log 3log 10 0 log 2 .
4
x x x x        
1đ