Đề thi thử đại học 2011 - 2012 môn Toán gồm các bài tập khảo sát hàm số, giải phương trình và tính tích phân. Có các phần chung và riêng, yêu cầu thí sinh giải quyết nhiều dạng toán liên quan đến hình học không gian và số phức. Đề thi có độ khó cao và yêu cầu kiến thức tương đối sâu, tạo điều kiện cho thí sinh thực hành và ôn luyện trước kỳ thi chính thức.

1. THPT CHUYÊN LÀO CAI
TỔ TOÁN-TIN
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2011 - 2012
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
PHẦN CHUNG (7,0 điểm) Cho tất cả thí sinh
Câu I. (2 điểm) Cho hàm số y = x3
− 3(m + 1)x2
+ 9x − m, với m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 1.
2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho 3x1 − 2x2 = m + 6
Câu II. (2 điểm)
1) Giải phương trình: sin3
x + 2 = 2cosx + sin2
x
2) Giải phương trình:
1
3
log 3√
3(x + 1) +
1
503
log81(x − 3)2012
= 5log243 [4(x − 2)]
Câu III. (1 điểm) Tính I =
π
4
0
cos2x.ln(sinx + cosx)dx.
Câu IV. (1 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi
cạnh bên và mặt đáy bằng 300
. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A B C ) thuộc đường
thẳng B C .
1) Tính thể tích lăng trụ ABC.A B C .
2) Chứng minh hai đường thẳng AA và B C vuông góc và tính khoảng cách giữa chúng.
Câu V. (1 điểm) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 3xyz. Chứng minh xyz +
1
xy + yz + zx
≥
3
4
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ làm một trong hai phần A hoặc B
Phần A
Câu VIa. (2 điểm)
1) Tìm số phức z thỏa mãn (z − 1)(z + 2i) là số thực và |z| đạt giá trị nhỏ nhất.
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABCcó A(1; 1), đường cao xuất phát từ B có
phương trình 5x + y − 22 = 0, trung tuyến xuất phát từ C có phương trình x + 2y − 10 = 0. Tìm
tọa độ B, C.
Câu VIIa. (1 điểm)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng ∆ : x+2
2
= y−2
3
= z+1
2
. Viết
phương trình mặt cầu tâm O (với O là gốc tọa độ), cắt ∆ tại hai điểm A, B sao cho AB = 22
Phần B
Câu VIb. (2 điểm)
1) Tìm số phức z thỏa mãn | z
z−2−2i
| = 1 đồng thời z−2i
z−2
là số thuần ảo.
2)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình hai cạnh CA, CB lần lượt
là x − 5y + 4 = 0 và 5x + 3y − 36 = 0, trọng tâm của tam giác ABC là G 10
3
; 10
3
. Tìm tọa độ ba
đỉnh của tam giác ABC.
Câu VIIb. (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng ∆ : x−2
2
= y−2
1
= z−1
2
và
mặt cầu (S) : x2
+ y2
+ z2
+ 4x − 6y + m = 0. Tìm m để ∆ cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt
M, N sao cho MN = 8.
Thi thử Đại học www.toanpt.net

2. 1
TRƯ NG THPT CHUYÊN LÀO CAI HDC THI TH ð I H C NĂM H C 2011-2012
T TOÁN TIN MÔN TOÁN, TH I GIAN: 150 PHÚT
(Hư ng d n ch m này g m 7 trang)
Câu ý N i dung ði m
I 1
(1ñi m)
Cho hàm s ‫ݕ‬ = ‫ݔ‬ଷ
− 3ሺ݉ + 1ሻ‫ݔ‬ଶ
+ 9‫ݔ‬ − ݉, v i ݉ là tham s
th c. Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s ñã cho ng
v i ݉ = 1.
V i ݉ = 1 ta có ‫ݕ‬ = ‫ݔ‬ଷ
− 6‫ݔ‬ଶ
+ 9‫ݔ‬ − 1
-T p xác ñ nh ‫ܦ‬ = ℝ
-S bi n thiên:
*Chi u bi n thiên: ‫ݕ‬ᇱ
= 3‫ݔ‬ଶ
− 12‫ݔ‬ + 9 = 3ሺ‫ݔ‬ଶ
− 4‫ݔ‬ + 3ሻ
Ta có ‫ݕ‬ᇱ
> 0 ⇔ ‫ݔ‬ ∈ ሺ−∞; 1ሻ ∪ ሺ3; +∞ሻ; ‫ݕ‬ᇱ
< 0 ⇔ ‫ݔ‬ ∈
ሺ1; 3ሻ.
Do ñó hàm s ñ ng bi n trên m i kho ng ሺ−∞; 1ሻ và ሺ3; +∞ሻ,
hàm s ngh ch bi n trên kho ng ሺ1; 3ሻ
*C c tr : Hàm s ñ t c c ñ i t i ‫ݔ‬ = 1, ‫ݕ‬஼Đ = 3. Hàm s ñ t c c
ti u t i ‫ݔ‬ = 3, ‫ݕ‬஼் = −1
*Gi i h n: lim௫⟶ାஶ ‫ݕ‬ = +∞; lim௫⟶ିஶ ‫ݕ‬ = −∞
*B ng bi n thiên:
* ð th : ‫ݕ‬ᇱᇱ
= 6‫ݔ‬ − 12; ‫ݕ‬ᇱᇱ
= 0 ⇔ ‫ݔ‬ = 2
Do ñó ñ th có ñi m u n là ܷሺ2; 1ሻ.
Nh n xét: ñ th nh n ܷሺ2; 1ሻ là tâm ñ i x ng.
0,25
0,25
0,25
0,25
2
(1ñi m)
Cho hàm s ‫ݕ‬ = ‫ݔ‬ଷ
− 3ሺ݉ + 1ሻ‫ݔ‬ଶ
+ 9‫ݔ‬ − ݉, v i ݉ là tham s
th c. Xác ñ nh ݉ ñ hàm s ñã cho ñ t c c tr t i ‫ݔ‬ଵ, ‫ݔ‬ଶ sao cho
3‫ݔ‬ଵ − 2‫ݔ‬ଶ = ݉ + 6
Ta có ‫ݕ‬ = ‫ݔ‬ଷ
− 3ሺ݉ + 1ሻ‫ݔ‬ଶ
+ 9‫ݔ‬ − ݉
‫′ݕ‬ = 3‫ݔ‬ଶ
− 6ሺ݉ + 1ሻ‫ݔ‬ + 9
ð hàm s có c c tr thì ‫′ݕ‬ ph i có hai nghi m phân bi t ⇔ Δᇱ
>
0 ⟺ 9ሺ݉ + 1ሻଶ
− 27 > 0
⇔ ݉ ∈ ൫−∞; −1 − √3൯ ∪ ൫−1; +√3൯
0,25
0,25

3. 2
Theo ñ nh lí Viet ta có ൜
‫ݔ‬ଵ + ‫ݔ‬ଶ = 2ሺ݉ + 1ሻ ሺ1ሻ
‫ݔ‬ଵ‫ݔ‬ଶ = 3 ሺ2ሻ
Mà 3‫ݔ‬ଵ − 2‫ݔ‬ଶ = ݉ + 6, k t h p v i (1) ta có ൜
‫ݔ‬ଵ = ݉ + 2
‫ݔ‬ଶ = ݉
, th
vào (2) ta có
݉ሺ݉ + 2ሻ = 3 ⇔ ݉ଶ
+ 2݉ − 3 = 0 ⇔ ቂ
݉ = 1
݉ = −3
ሺ‫ݐ‬ℎỏܽ ݉ã݊ሻ
Do v y, các giá tr ݉ c n tìm là ݉ ∈ {1; −3}
0,25
0,25
II 1
(1ñi m)
Gi i phương trình sinଷ
‫ݔ‬ +2 = 2 cos ‫ݔ‬ + sinଶ
‫ݔ‬
Phương trình tương ñương sinଶ
‫ݔ‬ሺsin ‫ݔ‬ − 1ሻ + 2ሺ1 − cos ‫ݔ‬ሻ = 0
⇔ ሺ1 − cos ‫ݔ‬ሻሾሺ1 + cos ‫ݔ‬ሻሺsin ‫ݔ‬ − 1ሻ + 2ሿ = 0
⇔ ቂ
cos ‫ݔ‬ = 1
sin ‫ݔ‬ − cos ‫ݔ‬ + sin ‫ݏ݋ܿݔ‬ ‫ݔ‬ + 1 = 0
N u cos ‫ݔ‬ = 1 ⇔ ‫ݔ‬ = ݇2ߨ
N u sin ‫ݔ‬ − cos ‫ݔ‬ + sin ‫ݏ݋ܿݔ‬ ‫ݔ‬ + 1 = 0,
ñ t ‫ݐ‬ = sin ‫ݔ‬ − cos ‫ݔ‬ , |‫|ݐ‬ ≤ √2
Khi ñó ‫ݐ‬ଶ
= 1 − 2 sin ‫ݏ݋ܿݔ‬ ‫ݔ‬ , sin ‫ݏ݋ܿݔ‬ ‫ݔ‬ =
ଵି௧మ
ଶ
.
Do ñó ‫ݐ‬ +
ଵି௧మ
ଶ
+ 1 = 0 hay
−‫ݐ‬ଶ
+ 2‫ݐ‬ + 3 = 0 ⇔ ൤
‫ݐ‬ = −1
‫ݐ‬ = 3 ሺ݈‫݋‬ạ݅ሻ
V i ‫ݐ‬ = −1, sin ‫ݔ‬ − ܿ‫ݔݏ݋‬ = −1 ⇔ sin ቀ‫ݔ‬ −
గ
ସ
ቁ = −
ଵ
√ଶ
⟺
൥
‫ݔ‬ −
గ
ସ
= −
గ
ସ
+ ݇2ߨ
‫ݔ‬ −
గ
ସ
=
ହగ
ସ
+ ݇2ߨ
⟺ ൥
‫ݔ‬ = ݇2ߨ
‫ݔ‬ =
3ߨ
2
+ ݇2ߨ
Tóm l i, nghi m c a phương trình ñã cho là ‫ݔ‬ = ݇2ߨ và ‫ݔ‬ =
ଷగ
ଶ
+
݇2ߨ
0,25
0,25
0,25
0,25
2
(1ñi m)
Gi i phương trình
1
3
log √ଷ
య ሺ‫ݔ‬ + 1ሻ +
1
503
log଼ଵሺ‫ݔ‬ − 3ሻଶ଴ଵଶ
= 5. logଶସଷሾ4ሺ‫ݔ‬ − 2ሻሿ
ði u ki n: ‫ݔ‬ > 2 và ‫ݔ‬ ≠ 3
Phương trình ñã cho tương ñương
ሺ‫ݔ‬ + 1ሻ|‫ݔ‬ − 3| = 4ሺ‫ݔ‬ − 2ሻ
TH1: N u ‫ݔ‬ ≥ 3:
ሺ‫ݔ‬ + 1ሻሺ‫ݔ‬ − 3ሻ = 4ሺ‫ݔ‬ − 2ሻ
⇔ ‫ݔ‬ଶ
− 6‫ݔ‬ + 5 = 0 ⇔ ቂ
‫ݔ‬ = 1 ሺ݈‫݋‬ạ݅ሻ
‫ݔ‬ = 5
TH2: N u ‫ݔ‬ < 3
−ሺ‫ݔ‬ + 1ሻሺ‫ݔ‬ − 3ሻ = 4ሺ‫ݔ‬ − 2ሻ ⇔ ‫ݔ‬ଶ
+ 2‫ݔ‬ − 11 = 0
⇔ ቈ
‫ݔ‬ = −1 − 2√3 ሺ݈‫݋‬ạ݅ሻ
‫ݔ‬ = −1 + 2√3
V y phương trình ñã cho có hai nghi m ‫ݔ‬ ∈ {5; −1 + 2√3}
0,25
0,25
0,25
0,25

4. 3
III 1 ñi m
Tính tích phân ‫ܫ‬ = ‫׬‬ cos 2‫ݔ‬ . ln ሺsin ‫ݔ‬ + cos ‫ݔ‬ሻ݀‫ݔ‬
ഏ
ర
଴
‫ܫ‬ = නሺcos ‫ݔ‬ − sin ‫ݔ‬ሻሺcos ‫ݔ‬ + sin ‫ݔ‬ሻ. lnሺsin ‫ݔ‬ + cos ‫ݔ‬ሻ ݀‫ݔ‬
గ
ସ
଴
=
= නሺcos ‫ݔ‬ + sin ‫ݔ‬ሻ. lnሺsin ‫ݔ‬ + cos ‫ݔ‬ሻ ݀ሺcos ‫ݔ‬ + sin ‫ݔ‬ሻ
గ
ସ
଴
ð t ‫ݐ‬ = ሺcos ‫ݔ‬ + sin ‫ݔ‬ሻ
V i ‫ݔ‬ = 0, ‫ݐ‬ = 1
V i ‫ݔ‬ =
గ
ସ
, ‫ݐ‬ = √2
Do ñó ‫ܫ‬ = ‫׬‬ ‫݈݊ݐ‬ ‫ݐ݀ݐ‬ =
ଵ
ଶ
√ଶ
ଵ
‫׬‬ ݈݊‫ݐ݀ݐ‬ଶ√ଶ
ଵ
=
ଵ
ଶ
‫ݐ‬ଶ
݈݊‫ݐ‬|ଵ
√ଶ
−
ଵ
ଶ
‫׬‬ ‫ݐ‬ଶ
݈݀݊‫ݐ‬
√ଶ
ଵ
=
1
2
݈݊2 −
1
2
න ‫ݐ݀ݐ‬
√ଶ
ଵ
=
1
2
݈݊2 −
‫ݐ‬ଶ
4
|ଵ
√ଶ
=
1
2
݈݊2 −
1
2
+
1
4
=
1
2
݈݊2 −
1
4
0,25
0,25
0,25
0,25
IV 1 ñi m Cho hình lăng tr tam giác ‫.ܥܤܣ‬ ‫′ܥ′ܤ′ܣ‬ có t t c các c nh ñ u
b ng ܽ. Góc t o b i c nh bên và m t ñáy b ng 30଴
. Hình chi u ‫ܪ‬
c a ñi m ‫ܣ‬ trên m t ph ng ሺ‫ܣ‬ᇱ
‫ܤ‬ᇱ
‫ܥ‬ᇱሻ thu c ñư ng th ng ‫.′ܥ′ܤ‬
a) Tính th tích lăng tr ‫.ܥܤܣ‬ ‫.′ܥ′ܤ′ܣ‬
b) Ch ng minh hai ñư ng th ng ‫′ܣܣ‬ và ‫′ܥ′ܤ‬ vuông góc và
tính kho ng cách gi a chúng.
a) Do ‫ܪܣ‬ ⊥ ሺ‫′ܥ′ܤ′ܣ‬ሻ nên ‫ܪ′ܣܣ‬෣ chính là góc gi a ‫′ܣܣ‬ và
ሺ‫ܣ‬ᇱ
‫ܤ‬ᇱ
‫ܥ‬ᇱሻ. Theo gi thi t thì ‫ܪ′ܣܣ‬෣ = 30଴
. Kho ng cách
gi a hai m t ph ng ñáy chính là ‫.ܪܣ‬ Ta có ‫ܪܣ‬ =
‫ܣܣ‬ᇱ
. sin 30଴
=
௔
ଶ
,
T ñó ܸ஺஻஼஺ᇱ஻ᇱ஼ᇱ = ‫.ܪܣ‬ ܵ஺஻஼ =
௔
ଶ
.
௔మ
√ଷ
ସ
=
௔య
√ଷ
଼
b) ‫ܣ‬ᇱ
‫ܪ‬ = ‫ܣܣ‬ᇱ
. cos 30଴
=
௔√ଷ
ଶ
. Do tam giác ‫′ܥ′ܤ′ܣ‬ ñ u, mà
ñ dài ñư ng cao h t ‫′ܣ‬ t i ‫′ܥ′ܤ‬ là
௔√ଷ
ଶ
nên ‫ܪ‬ chính là
trung ñi m ‫.ܥܤ‬ M t khác ‫ܪ′ܣ‬ ⊥ ‫′ܥ′ܤ‬ nên ‫ܣ′ܣ‬ ⊥ ‫.′ܥ′ܤ‬
0,25
0,25
0,25
K
I
H
C'
B'
A'
C
B
A

5. 4
K ñư ng cao ‫ܪܭ‬ c a tam giác ‫ܪܣ′ܣ‬ thì ‫ܭܪ‬ chính là
kho ng cách gi a ‫ܣ′ܣ‬ và ‫.′ܥ′ܤ‬ Do ‫ܣ‬ᇱ
‫.ܣ‬ ‫ܭܪ‬ = ‫.ܪܣ‬ ‫ܪ′ܣ‬ nên
‫ܭܪ‬ =
ೌ
మ
.
ೌ√య
మ
௔
=
௔√ଷ
ସ
0,25
V (1ñi m) Cho ‫,ݔ‬ ‫,ݕ‬ ‫ݖ‬ > 0 th a mãn ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ + ‫ݖ‬ = 3‫.ݖݕݔ‬ Ch ng minh
‫ݖݕݔ‬ +
1
‫ݕݔ‬ + ‫ݖݕ‬ + ‫ݔݖ‬
≥
3
4
Ta có ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ + ‫ݖ‬ = 3‫ݖݕݔ‬ ≤
ሺ௫ା௬ା௫ሻయ
ଽ
⇒ ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ + ‫ݖ‬ ≥ 3
Do ‫ݕݔ‬ + ‫ݖݕ‬ + ‫ݔݖ‬ ≤ ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶ
+ ‫ݖ‬ଶ
nên 3ሺ‫ݕݔ‬ + ‫ݖݕ‬ + ‫ݔݖ‬ሻ ≤
ሺ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ + ‫ݖ‬ሻଶ
. T ñó
3‫ܣ‬ = 3‫ݖݕݔ‬ +
3
‫ݕݔ‬ + ‫ݖݕ‬ + ‫ݔݖ‬
≥ ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ + ‫ݖ‬ +
9
ሺ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ + ‫ݖ‬ሻଶ
Ta l i có
௫ା௬ା௭
ଷ
+
௫ା௬ା௭
ଷ
+
ଽ
ሺ௫ା௬ା௭ሻమ ≥ 3 (do b t ñ ng th c AM-
GM).
M t kh c
௫ା௬ା௭
ଷ
≥ 1. Do ñó 3‫ܣ‬ ≥ 4 hay ‫ܣ‬ ≥
ଷ
ସ
. D u b ng x y ra
khi ‫ݔ‬ = ‫ݕ‬ = ‫ݖ‬ = 1
0,25
0,25
0,25
0,25
VIa.1 1ñi m
Tìm s ph c ‫ݖ‬ th a mãn ሺ‫ݖ‬ − 1ሻሺ‫ݖ‬ഥ + 2݅ሻ là s th c và |‫|ݖ‬ nh
nh t.
Gi s ‫ݖ‬ = ‫ݔ‬ + ‫݅ݕ‬ ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ ∈ ℝሻ. Khi ñó
ሺ‫ݖ‬ − 1ሻሺ‫ݖ‬ഥ + 2݅ሻ = ሾሺ‫ݔ‬ − 1ሻ + ‫݅ݕ‬ሿሾ‫ݔ‬ + ሺ2 − ‫ݕ‬ሻ݅ሿ.
ð ሺ‫ݖ‬ − 1ሻሺ‫ݖ‬ഥ + 2݅ሻ là s th c thì ሺ‫ݔ‬ − 1ሻሺ2 − ‫ݕ‬ሻ + ‫ݕݔ‬ = 0
Hay 2‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ − 2 = 0. Suy ra t p h p các ñi m ‫ܯ‬ bi u di n s
ph c ‫ݖ‬ th a mãn ሺ‫ݖ‬ − 1ሻሺ‫ݖ‬ഥ + 2݅ሻ là s th c là ñư ng th ng Δ có
phương trình 2‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ − 2 = 0.
ð |‫|ݖ‬ nh nh t thì M ph i là hình chi u c a ܱሺ0; 0ሻ lên Δ.
T ñó tìm ñư c ‫ܯ‬ ቀ
ସ
ହ
;
ଶ
ହ
ቁ nên ‫ݖ‬ =
ସ
ହ
+
ଶ
ହ
݅
0,25
0,25
0,25
0,25
VIa.2 1 ñi m
Trong m t ph ng t a ñ ܱ‫,ݕݔ‬ cho tam giác ABC có

6. 5
‫ܣ‬ሺ1; 1ሻ, ñư ng cao xu t phát t B có phương trình 5‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ − 22 =
0, trung tuy n xu t phát t C có phương trình ‫ݔ‬ + 2‫ݕ‬ − 10 = 0.
Tìm t a ñ B, C.
G i ‫ܯ‬ሺ10 − 2‫;ݐ‬ ‫ݐ‬ሻ là trung ñi m c a AB. Khi ñó :
൜
‫ݔ‬஻ = 2‫ݔ‬ெ − ‫ݔ‬஺ = 20 − 4‫ݐ‬ − 1 = 19 − 4‫ݐ‬
‫ݕ‬஻ = 2‫ݕ‬ெ − ‫ݕ‬஺ = 2‫ݐ‬ − 1
L i có ñi m ‫ܤ‬ thu c ñư ng 5‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ − 22 = 0 nên 5ሺ19 − 4‫ݐ‬ሻ +
2‫ݐ‬ − 1 − 22 = 0 hay 72 − 18‫ݐ‬ = 0 hay ‫ݐ‬ = 4. Do ñó ‫ܤ‬ሺ3; 7ሻ.
ðư ng th ng ‫ܥܣ‬ ñi qua A và vuông góc v i ñư ng 5‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ −
22 = 0 nên có phương trình ‫ݔ‬ − 5‫ݕ‬ + 4 = 0.
T a ñ ñi m C là nghi m c a h ൜
‫ݔ‬ + 2‫ݕ‬ − 10 = 0
‫ݔ‬ − 5‫ݕ‬ + 4 = 0
do ñó ‫ܥ‬ሺ6; 2ሻ.
V y ‫ܤ‬ሺ3; 7ሻ, ‫ܥ‬ሺ6; 2ሻ
0,25
0,25
0,25
0,25
VIIa 1ñi m Trong không gian v i h t a ñ ܱ‫ݖݕݔ‬ cho ñư ng th ng Δ:
௫ାଶ
ଶ
=
௬ିଶ
ଷ
=
௭ାଵ
ଶ
. Vi t phương trình m t c u tâm ܱ (v i ܱ là g c t a ñ ),
c t Δ t i hai ñi m ‫,ܣ‬ ‫ܤ‬ sao cho ‫ܤܣ‬ = 22.
ðư ng th ng Δ ñi qua ñi m ‫ܯ‬ሺ−2; 2; −1ሻ và nh n ‫ݒ‬Ԧ = ሺ2; 3; 2ሻ
làm véc tơ ch phương.
Ta có ‫ܱܯ‬ሬሬሬሬሬሬԦ = ሺ2; −2; 1ሻ; ൣ‫ݒ‬Ԧ; ‫ܱܯ‬ሬሬሬሬሬሬԦ൧ = ሺ7; 2; −10ሻ
Suy ra ݀ሺܱ, Δሻ =
หൣ௩ሬԦ; ெைሬሬሬሬሬሬሬԦ൧ห
|௩ሬԦ|
=
√ସଽାସାଵ଴଴
√ସାଽାସ
= 3.
G i ሺܵሻ là m t c u tâm ܱ c t Δ t i A, B sao cho ‫ܤܣ‬ = 22, Suy ra
bán kính m t c u là ܴ = √11ଶ + 3ଶ = √130. Phương trình
ሺܵሻ: ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶ
+ ‫ݖ‬ଶ
= 130
0,25
0,25
0,25
0,25
VIb.1
Tìm s ph c ‫ݖ‬ th a mãn ñ ng th i hai ñi u ki n sau:
ቚ
௭
௭ିଶିଶ௜
ቚ = 1 và
௭ିଶ௜
௭ିଶ
là s thu n o.
ði u ki n ቄ
‫ݖ‬ ≠ 2
‫ݖ‬ ≠ 2 + 2݅
Gi s ‫ݖ‬ = ‫ݔ‬ + ‫݅ݕ‬ ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ ∈ ℝሻ. Khi ñó

7. 6
T gi thi t ta có:|‫|ݖ‬ = |‫ݖ‬ − 2 − 2݅|
tương ñương ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶ
= ሺ‫ݔ‬ − 2ሻଶ
+ ሺ‫ݕ‬ − 2ଶ
ሻ
Hay ‫ݕ‬ = 2 − ‫ݔ‬ ሺ1ሻ.
Ta có
௭ିଶ௜
௭ିଶ
=
௫ାሺ௬ିଶሻ௜
ሺ௫ିଶሻା௬௜
=
ሾ௫ାሺ௬ିଶሻ௜ሿሾሺ௫ିଶሻି௬௜ሿ
ሺ௫ିଶሻమା௬మ
Do ñó
௭ିଶ௜
௭ିଶ
là s thu n o thì ‫ݔ‬ሺ‫ݔ‬ − 2ሻ + ‫ݕ‬ሺ‫ݕ‬ − 2ሻ = 0 hay
‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶ
= 2ሺ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ሻ ሺ2ሻ
Thay ሺ1ሻ vào ሺ2ሻ ta có ‫ݔ‬ଶ
+ ሺ2 − ‫ݔ‬ሻଶ
= 4 hay 2‫ݔ‬ଶ
− 4‫ݔ‬ = 0
N u ‫ݔ‬ = 2 thì ‫ݕ‬ = 0 nên ‫ݖ‬ = 2 (lo i).
N u ‫ݔ‬ = 0, ‫ݕ‬ = 2 khi ñó ‫ݖ‬ = 2݅ (th a mãn).
0,25
0,25
0,25
0,25
VIb.2
Trong m t ph ng t a ñ ܱ‫,ݕݔ‬ cho tam giác ABC có phương trình
hai c nh CA, CB l n lư t là ‫ݔ‬ − 5‫ݕ‬ + 4 = 0 và 5‫ݔ‬ + 3‫ݕ‬ − 36 =
0, tr ng tâm c a tam giác ABC là ‫ܩ‬ ቀ
ଵ଴
ଷ
;
ଵ଴
ଷ
ቁ. Tìm t a ñ ba ñ nh
c a tam giác ABC.
T a ñ C là nghi m c a h ൜
‫ݔ‬ − 5‫ݕ‬ + 4 = 0
5‫ݔ‬ + 3‫ݕ‬ − 36 = 0
do ñó ‫ܥ‬ሺ6; 2ሻ
Ta có ‫ܯܥ‬ሬሬሬሬሬሬԦ =
ଷ
ଶ
‫ܩܥ‬ሬሬሬሬሬԦ (M là trung ñi m AB)
Do ñó ቐ
‫ݔ‬ெ − 6 =
ଷ
ଶ
ሺ
ଵ଴
ଷ
− 6ሻ
‫ݕ‬ெ − 2 =
ଷ
ଶ
ሺ
ଵ଴
ଷ
− 2 ሻ
do ñó ‫ܯ‬ሺ2; 4ሻ.
G i ‫ܣ‬ሺ5ܽ − 4; ܽሻ, ‫ܤ‬ ቀ
ଷ଺ିଷ௕
ହ
; ܾቁ. Ta có ቊ
5ܽ − 4 +
ଷ଺ିଷ௕
ହ
= 4
ܽ + ܾ = 8
T ñó ܾ = 8 − ܽ, 5ܽ − 4 +
ଷ଺ିଶସାଷ௔
ହ
= 4 hay 25ܽ − 20 + 12 +
3ܽ = 20 hay 28ܽ = 28 hay ܽ = 1
Do ñó ܾ = 7, ‫ܣ‬ሺ1; 1ሻ, ‫ܤ‬ሺ3; 7ሻ.
0,25
0,25
0,25

8. 7
V y ‫ܣ‬ሺ1; 1ሻ, ‫ܤ‬ሺ3; 7ሻ, ‫ܥ‬ሺ6; 2ሻ 0,25
VIIb. 1 ñi m Trong không gian v i h t a ñ ܱ‫ݖݕݔ‬ cho ñư ng th ng Δ:
௫ିଶ
ଶ
=
௬ିଶ
ଵ
=
௭ିଵ
ଶ
và m t c u
ሺܵሻ: ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶ
+ ‫ݖ‬ଶ
+ 4‫ݔ‬ − 6‫ݕ‬ + ݉ = 0. Tìm ݉ ñ Δ c t m t c u
t i hai ñi m phân bi t ‫,ܯ‬ ܰ sao cho ‫ܰܯ‬ = 8.
ði u ki n t n t i m t c u: ݉ < 13
ðư ng th ng Δ qua ‫ܣ‬ሺ2; 2; 1ሻ nh n ‫ݑ‬ሬԦ = ሺ2; 1; 2ሻ là vec tơ ch
phương
( )= − =
− −
+ + 
+ + 
= = =
+ +
2 2 2
IA (4; 1;1);v 2;1;2
1 1 1 4 4 1
IA,v 1 2 2 2 2 1 9 36 36
IH= 3
34 1 4v
= + ⇔ − = + ⇔ = −2 2 2 2 2
13 3 4 12R IH HM m m
0,25
0,25
0,25
0,25
M
I
N
H