Tài liệu là đề kiểm tra giữa kỳ của Trường THPT Cổ Loa, gồm 9 câu hỏi về toán học, từ khảo sát hàm số, giải phương trình đến xác suất và hình học. Các câu hỏi yêu cầu giải quyết vấn đề dựa trên kiến thức về đại số, hình học và xác suất. Đề kiểm tra yêu cầu thí sinh không được sử dụng tài liệu và giám thị không giải thích thêm.

1. SỞ GD&ĐT HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CỔ LOA
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ I NĂM 2016
M
Ngày thi 22/11/2015
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
-------------------------------------
Câu 1. (1,5 điểm ). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2
1
x
y
x
+
=
−
.
Câu 2. (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
3 21
3 8 1
3
y x x x= − + + trên [ ]1;3− .
Câu 3. (2,0 điểm). Giải phương trình:
a)
2 2
1
4 5.2 6 0x x x x+ + −
− − = b)
2
2 2log log 4
4
x
x = + .
Câu 4. (0,5 điểm). Cho góc a thỏa mãn
2
π
≤ a ≤ π và tan 2 2a = − . Tính sin 2a .
Câu 5 (0,5 điểm). Ban chấp hành chi đoàn trường THPT Cổ Loa có 4 bạn nam và 6 bạn nữ. Chọn
ngẫu nhiên 4 bạn trong ban chấp hành để đi dự đại hội đoàn Huyện. Tìm xác suất để trong 4 học
sinh có ít nhất 2 nữ.
Câu 6. (1,5 điểm). Cho hình chóp đều .S ABCD có cạnh đáy 2AB a= , N là trung điểm của CD.
Biết góc giữa mặt phẳng (SCD) và đáy (ABCD) là 0
60 . Tính theo a thể tích khối chóp .S ABCD và
khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và SB .
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn
(T) có tâm I(0;5). Đường thẳng AI cắt (T) tại điểm thứ hai là M(5;0), đường cao đi qua C cắt (T)
tại điểm thứ hai
17 6
;
5 5
N
 
− − ÷
 
. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đỉnh B có hoành độ
dương.
Câu 8. (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2
1 2 4 16 16 16 4
9 1 2 8 4 3 2 9
xy x xy y y y
x x x y y y
 + + − = + + − +

− − + = −
.
Câu 9. (1,0 điểm). Cho , ,x y z 1
; , 1
3
x y z
 
∈ − +∞ + + = ÷
 
.Chứng minh rằng
2
2 2 2
1 1 19
1 1 10
y z y z z
x x y z y z
− − + +
+ + ≤
+ + + + +
.
--------- Hết --------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

2. Đáp án
Câu Nội dung Điể
m
1
1,5
điểm
a. (1,0 điểm)
1. Tập xác định: D = R{1}
0,25
2. Sự biến thiên
a) Chiều biến thiên
2 2
1 2 3
' 0 1
( 1) ( 1)
x x
y x
x x
− − − −
= = < ∀ ≠
− −
0,5
lim 1
x
y
→±∞
=
1 1
lim ;lim
x x
y y+ −
→ →
= +∞ = −∞ 0,25
• BBT :
x −∞ -1 +∞
y’ + +
y
1
−∞
+∞
1
0,25
3. Đồ thị:
4
3
2
1
1
2
3
4
6 4 2 2 4 6
0,25
Câu
2.
(1,0
điểm).
2
' 6 8y x x= − + 0,25
[ ]
[ ]
2 1;3
' 0
4 1;3
x
y
x
 = ∈ −
= ⇔ 
= ∉ −
0,25
( ) ( ) ( )1 31/ 3, 3 7, 2 23/ 3y y y− = − = = 0,25

3. [ ] [ ]1;3 1;3
min 31/ 3 1;max 23/ 3 2y khi x y khi x
− −
= − = − = =
0,25
Câu
3a.
(1,0
điểm).
2 2
1
4 5.2 6 0x x x x+ + −
− − = (1) .Đặt
2
2 , 0x x
t t+
= > , phương trình trở thành − − =2 5
6 0
2
t t 0,25
 =
⇔
 = −

4( )
3
( loaïi)
2
t tho ûa maõn
t
0,25
Khi
 =
= ⇔ + = ⇔ 
= −
2 1
4 2
2
x
t x x
x
. KL. 0, 5
Câu
3b.
(1,0
điểm).
2
2 2log log 4
4
x
x = + (2). ĐK: 0x > .Với đk đó (2)
2
2 2log log 2x x⇔ = + 0,25
Đặt 2log 1, 2t x t t= ⇒ = − = 0,25
Khi 1 1/ 2t x= − ⇒ = 0,25
Khi 2 4t x= ⇒ = KL: { }1/ 2;4S = 0,25
Câu
4.
(0,5
điểm).
2 2
2
1 1
1 tan cos
cos 9
α α
α
+ = ⇒ =
1
cos
3
α⇒ = − ( vì cos 0α < )Suy ra 2 2
sin tan .cos
3
a a a= = 0,25
4 2
sin 2
9
a⇒ = − 0,25
Câu
5.
(0,5
điểm).
Phép thử: “ Chọn ngẫu nhiên...”
Số phần tử của không gian mẫu là: ( )n Ω = 210
0,25
Gọi A là biến cố: "Trong 4 học sinh có ít nhất hai nữ".
Số kết quả thuận lợi cho A là: 2 2 3 1 4
6 4 6 4 6. . 185C C C C C+ + = .
Xác suất cần tìm là
185 37
( )
210 42
P A = = .
0,25
Câu
6.
(1,5
điểm).
H
E
NO
D
B C
A
S
I
K
Vì hình chóp đều nên ABCD là hình vuông và
SO vuông góc với đáy (O là giao điểm hai
đường chéo).
2
D 4aABCS =
0,25
Lập luận: D, DON C SN C⊥ ⊥ suy ra · 0
60SNO = , 0,25
suy ra SO=ON. 0
tan 60 3a= 0,25
3
. D D
1 4a 3
. .
3 3
S ABC ABCV S SO= = 0,25

4. Dựng hình bình hành ANEB thì AN//BE. Suy ra AN//(SBE)
vậy d(AN,SB)=d(AN, (SBE))=d(A,(SBE)).
Gọi H là giao điểm của AO và BE. Suy ra AO cắt (SBE) tại H.
( )( ) ( )( ) 4
, ,
3
AH
d A SBE d O SBE
OH
⇒ = =
0,25
Dựng OI ( ), , S ,BH I BH OK I K SI⊥ ∈ ⊥ ∈
Lập luận: OK ( ) ( )( ),SBE d O SBE OK⊥ ⇒ = ,
Mà 2 2 2 2
1 1 1 1 3
2 2
a
OK
OK OB OH OS
= + + ⇒ = ( )( ), 2d A SBE a⇒ =
0,25
Câu
7. (1,
điểm).
M
N
A
I(0;5)
B C
Do I là trung điểm AM nên A(-5;10)
0,25
· ·NCB MAB= ( vì cùng phụ với ·ABC ) nên
hai cung ¼ »,BM NB bằng nhau.Vậy BN=BM
hay IB là đường trung trực đoạn NM.
IB qua I(0:5) nhận
42 6
;
5 5
MN
− 
− ÷
 
uuuur
là véc
tơ pháp tuyến nên :7x 5 0IB y+ − =
0,25
Vậy B(b; 5-7b), Khi đó IA=IB suy ra 50= ( )
22
7b b+ 1b⇒ = ± .
Do b>0 nên b=1, vậy B(1;-2)
0,25
AM: x+y-5=0, BC đi qua B vuông góc với AM: BC: x-y-3=0
BC AM H∩ = , H(4;1) suy ra C(7;4)
0,25
Câu
8.
(1,0
điểm).
Giải hệ phương trình:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2
1 2 4 16 16 16 4(1)
9 1 2 8 4 3 2 9 2
xy x xy y y y
x x x y y y
 + + − = + + − +

− − + = −
ĐK: 9 / 2y ≥ ,Từ (1) ta có
( ) ( )
22 2 2 2
1 2 4 16 4 2 , 9 / 2xy x xy y y y+ + − = + + − ≥ ⇔ 2 2 2 2
1 4 16 4xy x xy y y+ + = + +
2
2
4 16 4
1 1x x x
y y y
⇔ + + = + +
0,25
Xét hàm số ( ) 2
1f t t t t= + + có ( )
2
2 2
1
' 1 0
1 1
t
f t t
t t
= + + > ∀ ∈
+ +
¡
Suy ra
4 4
x y
y x
= ⇔ = .
0,25

5. Thế vào (2) ta có ( ) ( )2 16 8
9 1 2x 4x 8 3 9x
x x
 
− − + = − ÷
 
( ) ( )2 8 8
1 2x 4 3 9
9
x x
x x
 
⇔ − − + = − ÷
 
, đặt
8
3 9t
x
 
= − ÷
 
, 0t ≥
2
8
9
3
t
x
⇒ = +
Phương trình trở thành( ) ( )
3
2
1 1 3 1
27 3
t t
x x t x − − + = + ⇔ − =
 
0,25
( )
33 2 3 3
111 8 2
1 3 9
3 3 6 12 -8 0 2 2 1 2
xx
x x
x x x x x x
≤≤  
⇔ − = − ⇔ ⇔ ⇔ =  ÷
− + = − = − +   
( )3
2 1 2y⇒ = + . KL
0,25
Câu
9.
(1,0
điểm).
Ta cần chứng minh: 2 2 2
9
1 1 1 10
x y z
x y z
+ + ≤
+ + +
Đặt ( ) ( )
( )
2
22 2
1
, '
1 1
x x
f x f x
x x
−
= =
+ +
. 0,25
Xét ( )
( ) ( )
( )
2
2
3x 1 4x 318 3 1
0
25 50 350 1
f x x x
x
− + 
− + = − ≤ ∀ > − ÷
+ 
0,25
( )
18 3 1
25 50 3
f x x x≤ + ∀ > − 0,25
( ) ( ) ( )
9
10
VT f a f b f c⇒ = + + ≤ . Suy ra điều phải chứng minh . 0,25

6. Thế vào (2) ta có ( ) ( )2 16 8
9 1 2x 4x 8 3 9x
x x
 
− − + = − ÷
 
( ) ( )2 8 8
1 2x 4 3 9
9
x x
x x
 
⇔ − − + = − ÷
 
, đặt
8
3 9t
x
 
= − ÷
 
, 0t ≥
2
8
9
3
t
x
⇒ = +
Phương trình trở thành( ) ( )
3
2
1 1 3 1
27 3
t t
x x t x − − + = + ⇔ − =
 
0,25
( )
33 2 3 3
111 8 2
1 3 9
3 3 6 12 -8 0 2 2 1 2
xx
x x
x x x x x x
≤≤  
⇔ − = − ⇔ ⇔ ⇔ =  ÷
− + = − = − +   
( )3
2 1 2y⇒ = + . KL
0,25
Câu
9.
(1,0
điểm).
Ta cần chứng minh: 2 2 2
9
1 1 1 10
x y z
x y z
+ + ≤
+ + +
Đặt ( ) ( )
( )
2
22 2
1
, '
1 1
x x
f x f x
x x
−
= =
+ +
. 0,25
Xét ( )
( ) ( )
( )
2
2
3x 1 4x 318 3 1
0
25 50 350 1
f x x x
x
− + 
− + = − ≤ ∀ > − ÷
+ 
0,25
( )
18 3 1
25 50 3
f x x x≤ + ∀ > − 0,25
( ) ( ) ( )
9
10
VT f a f b f c⇒ = + + ≤ . Suy ra điều phải chứng minh . 0,25