1. S GDðT HI DƯƠNG
TRƯNG THPT NAM SÁCH
ðÊ THI TH ðI HC LÂN 3 NĂM 2013- 2014
MÔN: TOÁN; KHÔI: A, A1, B
(Thi gian làm bài 180 phút, không ke thi gian phát ñê)
I. PHÂN CHUNG CHO TÂT C
CÁC THÍ SINH (7 ñiem)
Câu 1 (2 ñiem) Cho hàm sô 4 2 1
y = x - 2 mx + 2
(1), vi m là tham sô.
3
a) Kh o sát s
biên thiên và ve ñô th ca hàm sô (1) khi
4
3
m = .
b) Tìm m ñe ñô th hàm sô (1) có ba ñiem c
c tr to thành mot tam giác có tâm ñưng tròn ngoi tiêp
trùng gôc ta ño O.
Câu 2 (1 ñiem) Gi i phương trình: 2 1
- - - + =
8cos 2cos 6 2 3 sin 0.
cos
x x x
x
Câu 3 (1 ñiem) Gi i he phương trình:
4 - + 3
- + = 4 4 2 9 5
y x xy x
x xy y xy y
2 - +
2
+ = 8 3 4 4
Câu 4 (1 ñiem) Tính tích phân:
ln 2
∫ .
= + + +
I e x dx
0
1
1
x
x
e
x
e
Câu 5 (1 ñiem) Cho hình lap phương ABCD.A’B’C’D’ cnh a. M, N lân lưt là trung ñiem ca AB và
C’D’. Tính kho ng cách t B’ ñên (A’MCN).
Câu 6 (1 ñiem) Cho các sô dương a, b, c. Chng minh rang:
( )
2 2 2
+ + + + + +
2 2 2
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
( )
( )
+ + £
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
8
+ + + + + +
2 2 2
II. PHÂN RIÊNG (3,0 ñiem) Thí sinh ch
ñưc làm mot trong hai phân riêng (phân A hoac phân B)
A. Theo chương trình Chuan
Câu 7a (1 ñiem) Trong mat phang Oxy, cho ñưng tròn 2 2 (C) : (x -1) + (y - 2) = 4 và ñưng thang
(d) : x + y +1 = 0. Tìm ñiem M trên (d) sao cho qua ñiem M k! ñưc hai tiêp tuyên MA, MB phân biet ti
(C), ñông thi ñưng thang AB ñi qua ñiem D(6; 3). (A, B là hai tiêp ñiem).
Câu 8a (1 ñiem) Trong không gian vi he ta ño Oxyz, cho mat phang (P): 2x - y - 2z - 2 = 0 và ñưng
thang (d):
x = y + = z -
-
1 2
1 2 1
. Viêt phương trình mat câu có tâm thuoc ñưng thang (d), cách mat phang (P)
mot kho ng bang 2 và cat mat phang (P) theo giao tuyên là ñưng tròn có bán kính bang 3.
Câu 9a (1 ñiem) Tìm tap hp các ñiem bieu dien sô phc w = 2z + 3- i trên mat phang Oxy, biêt sô phc z
th$a mãn: 2 3z + i £ z.z + 9 .
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7b (1 ñiem) Trong mat phang Oxy, cho ñưng thang d: 2x + y + 3 = 0 và elip ( )
x 2 y
2
: 1
4 1
E + = . Viêt
phương trình ñưng thang D vuông góc vi d cat (E) ti hai ñiem A, B sao cho dien tích tam giác AOB
bang 1, vi O là gôc ta ño.
Câu 8b (1 ñiem) Trong không gian Oxyz, cho ñưng thang d:
- = = +
2 1
4 6 8
x y z
- -
và hai ñiem A(1; -1; 2),
B(3; -4; -2). Tìm ñiem I trên ñưng thang d sao cho IA +IB ñt giá tr nh$ nhât.
Câu 9b (1 ñiem) Tính tong 1 5 9 2013
S = C2014 +C2014 +C2014 +...+C2014 .
........................................….. Hêt …......................................
Thí sinh không ñưc s dng tài lieu. Cán bo coi thi không gii thích gì thêm.
H và tên thí sinh: ……………………………………………… Sô báo danh: ……….
2. ðÁP ÁN MÔN TOÁN
Lưu ý: ðây ch
là mot trong nhng cách gii, nêu thí sinh làm cách khác ñúng thì van cho ñiem tương
ng.
CÂU ðIEM
Cho hàm sô 4 2 1
y = x - 2 mx + 2
(1), vi m là tham sô.
3
a) Kh o sát s
biên thiên và ve ñô th ca hàm sô (1) khi
4
3
m = .
1.0
0.25
0.25
0.25
Câu
1 (2
ñiem)
0.25
2o. Sự biến thiên:
* Chiều biến thiên: Ta có , .
y'= 4 x3 − 16
x x∈R
3
3
=
0
x
⎡
= ±
y ; ⎢⎣
⎢⎣
' 0
= ⇔
2
x
2 0
−
= −10 yCT
lim lim (1 8
2 4
= 4 − + = +∞
→±∞ →±∞ x x
−10
−10
y
2
2
⎡
−10
b) Tìm m ñe ñô th hàm sô (1) có ba ñiem c
c tr to thành mot tam giác có tâm ñưng
tròn ngoi tiêp trùng gôc ta ño O.
1.0
1o. Tập xác định: D = R, y là hàm số chẵn.
* Giới hạn tại vô cực: 2 ) .
3
3
y x
x x
* Bảng biến thiên: x ∞ − 0 + ∞
y' − 0 0 − 0 +
y
3
+ ∞
– 2
2
2
+
+ ∞
3
O 2 x
3
− 2
3o. Đồ thị:
Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.
⎡
⇔
2
' 0
x
x
y ; ⎢⎣
−
⇔
0 2.
' 0
x
x
y
Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−2; 0) và (2; +∞) ; nghịch biến trên mỗi khoảng
(−∞; − 2) và (0; 2).
* Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0, giá trị cực đại = 2 yCĐ ; hàm số đạt cực tiểu tại
các điểm x = −2 và x = 2, giá trị cực tiểu .
3
y'= 4 x3 − 4 mx = 4
x x2 − m
Ta có ( 3 ).
3
3
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị ⇔ phương trình y'= 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m 0.
Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là A(0; 2), B(− 3m; 2 − 3m2 ) và C( 3m; 2 −3m2 ).
Tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp trùng gốc tọa độ O khi và chỉ khi OA = OB = OC
⇔ 2 = 3m+ (2 −3m2 )2 ⇔ m(m−1)(3m2 + 3m−1) = 0
⎡
⎢ ⎢ ⎢
⎣
m m
1, 0
= =
3 21
− ±
=
⇔
.
6
m
− +
1, 3 21
Kết hợp điều kiện m 0 ta có giá trị của m là .
6
m = m =
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu
1 (2
ñiem)
3. Gi i phương trình: 2 1
- - - + = 1.0
8cos 2cos 6 2 3 sin 0.
cos
x x x
x
ðiêu kien cos x ¹ 0
Phương trình Û8cos3 x - 2cos2 x - 6cos x - 2 3 sin x cos x +1 = 0
Û2cos3x - 3 sin 2x - cos 2x = 0
0.25
Û p cos3 = cos 2
-
3
x x
0.25
( )
2
x k
3 ,
2
15 5
k
k
x
p p
p p
= - +
Û Î
= +
ℤ 0.25
Câu
2 (1
ñiem)
Kêt hp vi ñiêu kien ta có nghiem ca phương trình là
x k x k
= -p + p = p + p Îℤ
( ) 2
k
2 ; ,
3 15 5
0.25
Gi i he phương trình:
( )
( )
4 - + 3
- + = 4 4 2 9 5 1
y x xy x
x xy y xy y
2 - +
2
+ = 8 3 4 4 2
1.0
ðiêu kien: x ³ 0, y ³ 0.
Nhan thây x = y = 0 không th$a mãn nghiem ca he phương trình ñã cho.
0.25
Xét
0
0
x
y
, phương trình (2) Û( 8x2 -3xy + 4y2 - 3y)+ ( xy - y) = 0
( - )( 8 + 5
) ( -
)
2 2
0
x y x y x y y
x xy y y xy y
Û + =
- + + +
8 3 4 3
Û - 8 x + 5
y + y
= Û =
( ) 2 2
0
x y x y
8 x - 3 xy + 4 y + 3
y xy + y
(vì x 0, y 0 )
0.25
Thay y = x vào phương trình (1) ta có: x4 - 4x + 43 x2 - 2x + 9 = 5
Û5 -(x4 - 4x) = 43 x2 - 2x + 9 ³ 8 (vì ( )43 x2 - 2x + 9 = 43 x -1 2 + 8 ³ 8 )
Û x4 - 4x + 3 £ 0Û(x -1)2 (x2 + 2x + 3) £ 0Û x =1 (vì x 0 )
0.25
Câu
3 (1
ñiem)
Do ñó x =1⇒ y =1. Th( li ta thây th$a mãn.
Vay he phương trình có nghiem
1
1
x
=
y
= 0.25
Tính tích phân I=
ln 2
∫ 1.0
0
+ 1
+ +
e x dx
1
x
x
e
x
e
I=
ln 2
∫ = ( )
0
+ 1
+ +
e x dx
1
x
x
e
x
e
ln 2
∫ ex x +1 dx +
0
ln 2 2
x
e
∫ dx
0.25
e x
+ 0 1
ln 2 ln 2
ðat I1= ( ) ( )
∫ ex x +1 dx = ex x +1 ln 2
- ∫ exdx = 2ln 2 0.25
0
0 0
ðat I2=
ln 2 2
x
e
∫ dx
=1-ln3+ln2 0.25
e x
+ 0 1
Câu
4 (1
ñiem)
Vay I=I1+I2=2ln2+1-ln3+ln2=
8
ln
3
+1 0.25
4. Cho hình lap phương ABCD.A’B’C’D’ cnh a. M, N lân lưt là trung ñiem ca AB và
C’D’. Tính kho ng cách t B’ ñên (A’MCN).
1.0
Bôn tam giác vuông AA/M, BCM, CC/N, A/D/N bang nhau (c.g.c)
⇒ A/M = MC = CN = NA/ ⇒ A/MCN là hình thoi.
Hai hình chóp B/A/MCN và B/.A/NC có chung ñưng cao ve t ñ)nh B/ và
A/MCN A/NC S = 2.S nên: B/ .A/MCN B/ .A/NC. V = 2.V
0.25
3 3
1 1 1 a a
/
V V .CC .S .a. .a.a V .
= = = = ⇒ = 0.25
Mà: / / / / / / /
3 3 2 6 3
B .ANC C.A B N A B N B .A MCN
Ta có: /
= /
vi A/C = a 3; MN = BC/ = a 2
A MCN
1
S .A C.MN,
2
/
2
A MCN
a 6
S .
2
⇒ =
0.25
Câu
5 (1
ñiem)
/
1
V .B H.S
=
Gi H là hình chiêu ca B/ trên (A/MCN), ta có: / / /
3
B .A MCN A MCN
3.V / /
a a 6 a 6
B H 3. : .
⇒ = = =
S 3 2 3
/
3 2
/ B .A MCN
A MCN
0.25
Cho các sô dương a, b, c. Chng minh rang:
( )
2 2 2
+ + + + + +
2 2 2
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
( )
( )
+ + £
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
8
+ + + + + +
2 2 2
1.0
ðat
3 3 3
a b c
= ; = ;
=
x y z
+ + + + + +
a b c a b c a b c
, khi ñó
+ + =
0 , , 3
3
x y z
x y z
Bât ñang thc ñã cho tương ñương vi:
+ + + + + + + + £
- + - + - +
2 2 2
6 9 6 9 6 9
x x y y z z
x 2 x y 2 y z 2
z
8
3 6 9 3 6 9 3 6 9
0.25
Xét hàm sô ( )
2
= t + t
+ - +
f t t
2
6 9 25
11
- +
3 t 6 t
9 3
, vi tÎ(0;3)
Lap b ng biên thiên:
……………………………………………………
0.25
Câu
6 (1
ñiem)
T b ng biên thiên suy ra
+ + - + £ Û + + £ -
- + - +
2 2
6 9 25 6 9 25
t t t t
11 0 11
t t
2 2
3 t 6 t 9 3 3 t 6 t
9 3
Thay t lân lưt b*i x, y, z rôi cong các bât ñang thc cùng chiêu ta có :
+ + + + + + + + £ ( + + )
- =
- + - + - +
2 2 2
6 9 6 9 6 9
x x y y z z
2 2 2
11 25 8
3 6 9 3 6 9 3 6 9
x y z
x x y y z z
,
dâu bang x y ra khi x = y = z =1
ðpcm
0.5
D/
A/ B/
C/
D
A B
C
M
N
5. Trong mat phang Oxy, cho ñưng tròn (C) : (x -1)2 + (y - 2)2 = 4 và ñưng thang
(d) : x + y +1 = 0. Tìm ñiem M trên (d) sao cho qua ñiem M k! ñưc hai tiêp tuyên MA,
MB phân biet ti (C), ñông thi ñưng thang AB ñi qua ñiem D(6; 3). (A, B là hai tiêp
ñiem)
1.0
(C) có tâm I(1;2),R = 2. ðat 0 0 M(x ;-1- x )Î(d).
ðe qua M có hai tiêp tuyên ti (C) 2 2 2 2
0 0 Û IM R Û(x -1) + (x + 3) 4 ( ñúng x0)
- AB chính là giao tuyên chung ca ñưng tròn (C) và ñưng tròn ñưng kính IM.
0.25
+ - ⇒Phương trình ñưng tròn ñưng kính
- Trung ñiem E ca IM có ta ño 0 0 x 1 1 x
E( ; )
2 2
IM là:
- + + - - = - + +
2 2
0 2 0 2 0 0 x 1 1 x (x 1) (x 3)
(x ) (y )
2 2 4
2
Û + - + - - + - - 2 2 0 0
=
0 0
2x 4x 6
x y (x 1)x (1 x )y 0
4
0.25
- Ta ño A, B là nghiem he:
2 2
x y 2x 4y 1 0
2
D
A
I E
2 2 0 0
0 0
B
2x 4x 6
(d)
x y (x 1)x (1 x )y 0
4
+ - - + =
+ - + - - + - - =
0 0 0 ⇒(x -1)x - (x + 3)y + (x + 3) = 0
⇒ phương trình AB: 0 0 0 (x -1)x - (x + 3)y + (x + 3) = 0
0.25
Câu
7a (1
ñiem)
- Vì AB ñi qua D(6; 3) 0 0 0 0 ⇒6(x -1) - 3(x + 3) + (x + 3) = 0Û x = 3. (th$a mãn)
Vay M(3;-4).
0.25
M
Trong không gian vi he ta ño Oxyz, cho mat phang (P) : 2x - y - 2z - 2 = 0 và ñưng
thang (d):
x = y + = z -
-
1 2
1 2 1
. Viêt phương trình mat câu có tâm thuoc ñưng thang (d),
cách mat phang (P) mot kho ng bang 2 và cat mat phang (P) theo giao tuyên là ñưng
tròn có bán kính bang 3.
1.0
= -
x t
y t t R
z t
= - + Î
= +
ðưng thang (d) có phương trình tham sô là: 1 2 ;
2
Gi tâm mat câu là I. Gi s( I(-t; -1 + 2t; 2+ t)Î(d).
0.25
Vì tâm mat câu cách mat phang (P) mot kho ng bang 3 nên:
( ; ( )) | 2 t 1 2 t 4 2 t 2 | | 6 t
5 |
3
3 3
d I P
= - + - - - - = + = Û
2
3
7
3
t
= t
= - 0.25
⇒ Có hai tâm mat câu:
2 1 8 7 17 1
; ; ; ;
3 3 3 3 3 3
- - -
vμ . Vì mat phang (P) cat mat câu
I I
theo ñưng tròn có bán kính bang 4 nên mat câu có bán kính là R = 5.
0.25
Câu
8a (1
ñiem)
Vay phương trình mat câu cân tìm là: 0.25
6. 2 2 2 2 2 2 2 1 8 7 17 1
+ + - + - = - + + + + =
25 25
x y z vμ
x y z
3 3 3 3 3 3
Tìm tap hp các ñiem bieu dien sô phc w = 2z + 3- i trên mat phang Oxy, biêt sô phc z
th$a mãn: 2 3z + i £ z.z + 9 .
1.0
ðat w = x + yi,(x, yÎℝ) , tap hp ñiem M(x;y) bieu dien sô phc w trên mat phang Oxy.
Ta có:
x - 3 y
+ 1
3 1
x + yi = 2 z + 3 - i Û z = + .
i
2 2
x - ⇒ z = - y
+ .
i
.
2 2
( x 3 ) 2 ( y
1
) 2 Do ñó: . 9 9
4 4
z z
- +
+ = + +
0.25
Ta có
3 x - 9 3 y
+ 5
( ) 2 ( ) 2
z + i = + i
. Suy ra 3 .
2 2
2 3 9 3 5
3
x y
4 4
z i
- +
+ = + 0.25
2 3z + i £ z.z + 9 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 9 3 5 3 1
9
x - y + x - y +
Û + £ + +
4 4 4 4
Û - + + £
( )
2
2 7 73
3
4 16
x y
0.25
Câu
9a (1
ñiem)
Vay tap hp ñiem bieu dien sô phc w là hình tròn tâm
7
3;
4
I
-
, bán kính
73
4
R = . 0.25
Trong mat phang Oxy, cho ñưng thang d: 2x + y + 3 = 0 và elip ( )
x 2 y
2
: 1
4 1
E + = . Viêt
phương trình ñưng thang D vuông góc vi d cat (E) ti hai ñiem A, B sao cho dien tích
tam giác AOB bang 1, vi O là gôc ta ño.
1.0
Vì D ^ d nên phương trình D có dng: x - 2y + m = 0 . Khi ñó A, B là nghiem ca he:
x - 2 y + m
= 0
x = 2
y - m
x 2 y 2
Û + = 1 2 8 y - 4 my + m
2
- 4 = 0 ( *
) 4 1
D cat (E) ti hai ñiem phân biet A, B Û phương trình (*) có hai nghiem phân biet
ÛD' = 32 - 4m2 0Û-2 2 m 2 2 (1)
0.25
Gi ( ) ( ) 1 1 2 2 A 2y -m; y ,B 2y -m; y , trong ñó 1 2 y , y là nghiem ca (*)
( ) ( ) ( ) 2 2 2 2
⇒ AB = y - y = y + y - y y = -m .
2 1 1 2 1 2
5
5 5 4 8
4
0.25
ðưng cao ( ; )
m
5
OH = d O D =
( ) 2
2 2 2 2 . 1
⇒ = = - = Û = Û = ±
8 1 4 2
OH AB
S m m m m
OAB
2
16 (tm)
0.25
Câu
7b (1
ñiem)
Vay phương trình ñưng thang D cân lap là: x - 2y + 2 = 0 hoac x - 2y - 2 = 0 . 0.25
Trong không gian Oxyz, cho ñưng thang d:
- = = +
2 1
4 6 8
x y z và hai ñiem A(1; -1; 2),
- -
B(3; -4; -2). Tìm ñiem I trên ñưng thang d sao cho IA +IB ñt giá tr nh$ nhât.
1.0
Câu
8b (1
ñiem)
AB
= ( 2; - 3; - 4); AB // d
Gi A’ là ñiem ñôi xng ca A qua d .Ta có: IA + IB = IA’ + IB ³ A’B
IA + IB ñt giá tr nh$ nhât bang A’B
Khi A’, I, B thang hàng ⇒ I là giao ñiem ca A’B và d
0.25
7. Do AB // d nên I là trung ñiem ca A’B.
Gi H là hình chiêu ca A lên d. Tìm ñưc H 36 33 15
; ;
29 29 29
0.25
-
A’ ñôi xng vi A qua H nên A’ 43 95 28
; ;
29 29 29
0.25
- -
I là trung ñiem ca A’B suy ra I 65 21 43
; ;
29 58 29
0.25
Tính tong 1 5 2013
S = C2014 +C2014 +...+C2014 1.0
Trong khai trien: ( 1+ x )2014 = C2014 0 + xC2014 1 + x 2 C2014 2 + x 3 C2014 3 +...+ x 2014 C2014
2014
Khi x = 1 ta có: C2014 0 +C2014 1 +C2014 2 +C2014 3 +...+C2014 2014 = 2 2014 ( 1
)
Khi x = -1 ta có: C2014 0 -C2014 1 +C2014 2 -C2014 3 +...+C2014 2014 = 0 ( 2
)
Lây (1) – (2) ta có: C2014 1 +C2014 3 +C2014 5 +C2014 7 +...+C2014 2013 = 2 2013 ( 3
)
0.25
Xét sô phc: ( 1+ i )2014 = C2014 0 + iC2014 1 + i 2 C2014 2 + i 3 C2014 3 +...+ i 2014 C2014
2014
Do ( ) (( ) ) ( ) 2014 2 1007 1007 1+ i = 1+ i = 2i = 21007 i1007 = -21007 i
0.25
Nên: -21007 i 0 1 2 3 4 5 2014
= C2014 + iC2014 -C2014 - iC2014 +C2014 + iC2014 -...-C2014
=( 0 2 4 2012 2014 ) ( 1 3 5 2013 )
C2014 -C2014 +C2014 -...+C2014 -C2014 + C2014 -C2014 +C2014 -...+C2014 i
0.25
Câu
9b (1
ñiem)
C2014 -C2014 +C2014 -C2014 +...+C2014 = -21007 (4)
Vay : 1 3 5 7 2013
Lây (3) + (4): Ta có S = 22012 - 21006
0.25
------------ HÊT-------------
