Tài liệu là đề thi toán đại học năm 2010, bao gồm nhiều câu hỏi từ khái niệm đồ thị, hệ phương trình đến tích phân và suy luận hình học. Các câu hỏi yêu cầu thí sinh giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình và tính toán hình học. Đề thi có độ khó đa dạng, phù hợp cho các thí sinh chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp.

1. ð THI TH TOÁN ð I H C - CAO ð NG
NGÀY 8 – THÁNG 6 - NĂM 2010
PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7 ñi m)
Câu I (2 ñi m) Cho h m sè
1
12
−
+
=
x
x
y cã ®å thÞ (C).
1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ h m sè .
2. Víi ®iÓm M bÊt kú thuéc ®å thÞ (C) tiÕp tuyÕn t¹i M c¾t 2 tiÖm cËn t¹i Av B .
Gäi I l giao hai tiÖm cËn , T×m vÞ trÝ cña M ®Ó chu vi tam gi¸c IAB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt
Câu II (2 ñi m) :
1. Gi i h phương trình:
2 2
2 2
12
12
x y x y
y x y
 + + − =

− =
2.Gi i phương trình: ( ) ( )3
sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3 cos sinx 3 3 0x x c x c x x+ − − + − − = .
Câu III: Tính di n tích c a mi n ph ng gi i h n b i các ñư ng
2
| 4 |y x x= − và 2y x= .
Câu IV (1 ñi m) Cho hình chóp c t tam giác ñ u ngo i ti p m t hình c u bán kính r cho trư c. Tính th tích hình
chóp c t bi t r ng c nh ñáy l n g p ñôi c nh ñáy nh .
Câu V (1 ñi m) Cho phương trình ( ) ( ) 341 2 1 2 1x x m x x x x m+ − + − − − =
Tìm m ñ phương trình có m t nghi m duy nh t.
PH N RIÊNG (3 ñi m): Thí sinh ch làm m t trong hai ph n (Ph n 1 ho c ph n 2)
1. Theo chương trình chu n.
Câu VI.a (2 ñi m)
1. Cho ∆ ABC có ñ nh A(1;2), ñư ng trung tuy n BM: 2 1 0x y+ + = và phân giác trong CD:
1 0x y+ − = . Vi t phương trình ñư ng th ng BC.
2. Cho ñư ng th ng (D) có phương trình:
2
2
2 2
x t
y t
z t
= − +

= −
 = +
.G i ∆ là ñư ng th ng qua ñi m
A(4;0;-1) song song v i (D) và I(-2;0;2) là hình chi u vuông góc c a A trên (D). Trong các m t ph ng qua ∆ ,
hãy vi t phương trình c a m t ph ng có kho ng cách ñ n (D) là l n nh t.
Câu VII.a (1 ñi m) Cho x, y, z là 3 s th c thu c (0;1]. Ch ng minh r ng
1 1 1 5
1 1 1xy yz zx x y z
+ + ≤
+ + + + +
2. Theo chương trình nâng cao.
Câu VI.b (2 ñi m)
1. Cho hình bình hành ABCD có di n tích b ng 4. Bi t A(1;0), B(0;2) và giao ñi m I c a hai ñư ng chéo n m
trên ñư ng th ng y = x. Tìm t a ñ ñ nh C và D.
2. Cho hai ñi m A(1;5;0), B(3;3;6) và ñư ng th ng ∆ có phương trình tham s
1 2
1
2
x t
y t
z t
= − +

= −
 =
.M t ñi m M thay
ñ i trên ñư ng th ng ∆ , tìm ñi m M ñ chu vi tam giác MAB ñ t giá tr nh nh t.
Câu VII.b (1 ñi m) Cho a, b, c là ba c nh tam giác. Ch ng minh
1 1 2
2
3 3 2 3 3
b c
a
a b a c a b c a c a b
 
+ + + + < 
+ + + + + + 
----------------------H t----------------------
Thi thử Đại học www.toanpt.net

2. Kú thi thö ®¹i häc- cao ®¼ng n¨m 2010
H−íng dÉn chÊm m«n to¸n
C©u Néi dung §iÓm
I.1
Kh¶o s¸t h m sè y=
1
12
−
+
x
x 1,00
1. TËp x¸c ®Þnh: R{1}
2. Sù biÕn thiªn:
+ ChiÒu biÕn thiªn: 22
)1(
3
)1(
)12()1(2
'
−
−
=
−
+−−
=
xx
xx
y
H m sè nghÞch biÕn trªn c¸c kho¶ng (-∞; 1) v (1;+∞)
. Cùc trÞ : H m sè ® cho kh«ng cã cùc trÞ
0,25
. TiÖm cËn: −∞=
−
+
= −
− →→ 1
12
limlim
11 x
x
y
xx
+∞=
−
+
= +
+ →→ 1
12
limlim
11 x
x
y
xx
Do ®ã ®−êng th¼ng x=1 l tiÖm cËn ®øng
2
1
12
limlim =
−
+
=
±∞→±∞→ x
x
y
xx
VËy ®−êng th¼ng y= 2 l tiÖm cËn ngang
0,25
* B¶ng biÕn thiªn:
x -∞ 1 +∞
y' - -
y 2
-∞
+∞
2
3* §å thÞ : HS tù vÏ ®å thÞ h m sè.
0,5
I.2 Víi M bÊt k× ∈ (C), tiÕp tuyÕn t¹i M c¾t 2 tiÖm cËn t¹i A, B. T×m M ®Ó chu vi tam gi¸c
IAB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. 1,00
Gäi M 





−
+
1
3
2;
0
0
x
x ∈(C)
* TiÕp tuyÕn t¹i M cã d¹ng:
1
3
2)(
)1(
3
0
02
0 −
++−
−
−
=
x
xx
x
y
Thi thử Đại học www.toanpt.net

3. C©u Néi dung §iÓm
TiÕp tuyÕn t¹i M c¾t hai tiÖm cËn t¹i A v B nªn täa ®é A; B cã d¹ng l : A






−
+
1
6
2;1
0x
B(2x0-1; 2) ; I(1; 2)
* Ta cã: S∆IAB=
2
1
. IA. IB= 63.212
1
6
2
1
0
0
==−⋅
−
⋅ x
x
(®vdt)
0,25
0,25
* ∆IAB vu«ng cã diÖn tÝch kh«ng ®æi => chu vi ∆IAB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi IA= IB
(HS tù chøng minh).




−=
+=
⇒−=
− 31
31
12
1
6
0
0
0
0 x
x
x
x
* VËy cã hai ®iÓm M tháa m n ®iÒu kiÖn
M1( 32;31 ++ )
M2( 32;31 −− )
Khi ®ã chu vi ∆AIB = 6234 +
0,5
Câu Ý N i dung ði
m
II 2,00
1 1,00
1) CâuII:2. Gi i phương trình:
( ) ( )3
sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3 cos sinx 3 3 0x x c x c x x+ − − + − − = .
3)sincos.3(833cos36cos.32cos.sin6cos.sin2
033)sincos.3(82cos.33cos.32)3(cos2sin
232
3
−−++−−+⇔
=−−+−−+
xxxxxxxx
xxxxxx
0)sincos3(8)sincos3(cos.6)sincos3(cos2 2
=−+−−−−⇔ xxxxxxxx





=
=
=
⇔




=−+
=−
⇔
=+−−−⇔
)(4cos
1cos
3tan
04cos3cos
0sincos3
0)8cos6cos2)(sincos3(
2
2
loaix
x
x
xx
xx
xxxx
Ζ∈




=
+=
⇔ k
kx
kx
,
2
3
π
π
π
0,50
1 1,00
ði u ki n: | | | |x y≥
ð t
2 2
; 0u x y u
v x y
 = − ≥

= +
; x y= − không th a h nên xét x y≠ − ta có
2
1
2
u
y v
v
 
= − 
 
.
H phương trình ñã cho có d ng:
0,25
Thi thử Đại học www.toanpt.net

4. 2
12
12
2
u v
u u
v
v
+ =

 
− = 
 
4
8
u
v
=
⇔ 
=
ho c
3
9
u
v
=

=
+
2 2
4 4
8 8
u x y
v x y
= − =
⇔ 
= + = 
(I)
+
2 2
3 3
9 9
u x y
v x y
= − =
⇔ 
= + = 
(II)
0,25
Sau ñó h p các k t qu l i, ta ñư c t p nghi m c a h phương trình ban ñ u là
( ) ( ){ }5;3 , 5;4S =
1,00
III 0,25
Di n tích mi n ph ng gi i h n b i: 2
| 4 | ( )y x x C= − và ( ): 2d y x=
Phương trình hoành ñ giao ñi m c a (C) và (d):
2 2 2
2 2
0 0 0
| 4 | 2 24 2 6 0
64 2 2 0
x x x
x x x xx x x x x
xx x x x x
≥ ≥  =
   − = ⇔ ⇔ ⇔ =− = − =      =− = − − =   
Suy ra di n tích c n tính:
( ) ( )
2 6
2 2
0 2
4 2 4 2S x x x dx x x x dx= − − + − −∫ ∫
0,25
Tính: ( )
2
2
0
| 4 | 2I x x x dx= − −∫
Vì [ ] 2
0;2 , 4 0x x x∀ ∈ − ≤ nên 2 2
| 4 | 4x x x x− = − + ⇒ ( )
2
2
0
4
4 2
3
I x x x dx= − + − =∫
0,25
Tính ( )
6
2
2
| 4 | 2K x x x dx= − −∫
Vì [ ] 2
2;4 , 4 0x x x∀ ∈ − ≤ và [ ] 2
4;6 , 4 0x x x∀ ∈ − ≥ nên
( ) ( )
4 6
2 2
2 4
4 2 4 2 16K x x x dx x x x dx= − − + − − = −∫ ∫ .
0,25
V y
4 52
16
3 3
S = + =
1,00
IV 0,25
Thi thử Đại học www.toanpt.net

5. G i H, H’ là tâm c a các tam giác ñ u ABC, A’B’C’. G i I, I’ là trung ñi m c a AB,
A’B’. Ta có: ( ) ( ) ( )' ' ' ' '
'
AB IC
AB CHH ABB A CII C
AB HH
⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
⊥
Suy ra hình c u n i ti p hình chóp c t này ti p xúc v i hai ñáy t i H, H’ và ti p xúc v i
m t bên (ABB’A’) t i ñi m 'K II∈ .
0,25
G i x là c nh ñáy nh , theo gi thi t 2x là c nh ñáy l n. Ta có:
1 3 1 3
' ' ' ' ' ;
3 6 3 3
x x
I K I H I C IK IH IC= = = = = =
Tam giác IOI’ vuông O nên: 2 2 2 23 3
' . . 6r
6 3
x x
I K IK OK r x= ⇒ = ⇒ =
0,25
Th tích hình chóp c t tính b i: ( )' . '
3
h
V B B B B= + +
Trong ñó:
2 2 2
2 24x 3 3 3r 3
3 6r 3; ' ; 2r
4 4 2
x
B x B h= = = = = =
0,25
T ñó, ta có:
2 2 3
2 22r 3r 3 3r 3 21r . 3
6r 3 6r 3.
3 2 2 3
V
 
 = + + =
 
 
0,25
VIa 2,00
1 1,00
ði m ( ): 1 0 ;1C CD x y C t t∈ + − = ⇒ − .
Suy ra trung ñi m M c a AC là
1 3
;
2 2
t t
M
+ − 
 
 
.
0,25
ði m ( )
1 3
: 2 1 0 2 1 0 7 7;8
2 2
t t
M BM x y t C
+ − 
∈ + + = ⇒ + + = ⇔ = − ⇒ − 
 
0,25
0,25
T A(1;2), k : 1 0AK CD x y⊥ + − = t i I (ñi m K BC∈ ).
Suy ra ( ) ( ): 1 2 0 1 0AK x y x y− − − = ⇔ − + = .
Thi thử Đại học www.toanpt.net

6. T a ñ ñi m I th a h : ( )
1 0
0;1
1 0
x y
I
x y
+ − =
⇒
− + =
.
Tam giác ACK cân t i C nên I là trung ñi m c a AK ⇒ t a ñ c a ( )1;0K − .
ðư ng th ng BC ñi qua C, K nên có phương trình:
1
4 3 4 0
7 1 8
x y
x y
+
= ⇔ + + =
− +
2
G i (P) là m t ph ng ñi qua ñư ng th ng ∆ , thì
( )//( )P D ho c ( ) ( )P D⊃ . G i H là hình chi u
vuông góc c a I trên (P). Ta luôn có IH IA≤ và
IH AH⊥ .
M t khác
( ) ( )( ) ( )( )
( )
, ,d D P d I P IH
H P
 = =

∈
Trong m t ph ng ( )P , IH IA≤ ; do ñó axIH = IA H Am ⇔ ≡ . Lúc này (P) v trí (P0) vuông
góc v i IA t i A.
Vectơ pháp tuy n c a (P0) là ( )6;0; 3n IA= = −
r uur
, cùng phương v i ( )2;0; 1v = −
r
.
Phương trình c a m t ph ng (P0) là: ( ) ( )2 4 1. 1 2x - z - 9 = 0x z− − + = .
VIIa
ð ý r ng ( ) ( ) ( )( )1 1 1 0xy x y x y+ − + = − − ≥ ;
và tương t ta cũng có
1
1
yz y z
zx z x
+ ≥ +

+ ≥ +
0,25
Vì v y ta có:
( )
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 1 1
3
1 zx+y
1
5
1
1 5
5
x y z
x y z
xy yz zx yz zx xy
x y z
yz xy z
z y
x
yz zx y xy z
z y
x
z y y z
 
+ + + + ≤ + + + + + 
+ + + + + + 
≤ + + +
+ +
 
= − − + 
+ + + 
 
≤ − − + 
+ + 
=
vv
1,00
Thi thử Đại học www.toanpt.net

7. Ta có:
( )1;2 5AB AB= − ⇒ =
uuur
.
Phương trình c a AB là:
2 2 0x y+ − = .
( ) ( ): ;I d y x I t t∈ = ⇒ . I là
trung ñi m c a AC và BD nên
ta có:
( ) ( )2 1;2 , 2 ;2 2C t t D t t− − .
0,25
M t khác: D . 4ABCS AB CH= = (CH: chi u cao)
4
5
CH⇒ = . 0,25
Ngoài ra: ( )
( ) ( )
4 5 8 8 2
; , ;| 6 4 | 4
3 3 3 3 3;
5 5
0 1;0 , 0; 2
t C Dt
d C AB CH
t C D
    
= ⇒−    
= ⇔ = ⇔    
 = ⇒ − −
V y t a ñ c a C và D là
5 8 8 2
; , ;
3 3 3 3
C D
   
   
   
ho c ( ) ( )1;0 , 0; 2C D− −
0,50
2 1,00
G i P là chu vi c a tam giác MAB thì P = AB + AM + BM.
Vì AB không ñ i nên P nh nh t khi và ch khi AM + BM nh nh t.
ðư ng th ng ∆ có phương trình tham s :
1 2
1
2
x t
y t
z t
= − +

= −
 =
.
ði m M ∈∆ nên ( )1 2 ;1 ;2M t t t− + − .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
22 2 2 22
22 2 2 22
2 22 2
2 2 4 2 9 20 3 2 5
4 2 2 6 2 9 36 56 3 6 2 5
3 2 5 3 6 2 5
AM t t t t t
BM t t t t t t
AM BM t t
= − + + − − + = + = +
= − + + − − + − + = − + = − +
+ = + + − +
0,25
Trong m t ph ng t a ñ Oxy, ta xét hai vectơ ( )3 ;2 5u t=
r
và ( )3 6;2 5v t= − +
r
.
Ta có
( ) ( )
( ) ( )
22
22
| | 3 2 5
| | 3 6 2 5
u t
v t

= +

 = − +

r
r
Suy ra | | | |AM BM u v+ = +
r r
và ( )6;4 5 | | 2 29u v u v+ = ⇒ + =
r r r r
M t khác, v i hai vectơ ,u v
r r
ta luôn có | | | | | |u v u v+ ≥ +
r r r r
Như v y 2 29AM BM+ ≥
0,25
ð ng th c x y ra khi và ch khi ,u v
r r
cùng hư ng
3 2 5
1
3 6 2 5
t
t
t
⇔ = ⇔ =
− +
( )1;0;2M⇒ và ( )min 2 29AM BM+ = .
0,25
Thi thử Đại học www.toanpt.net

8. V y khi M(1;0;2) thì minP = ( )2 11 29+ 0,25
VIIb 1,00
Vì a, b, c là ba c nh tam giác nên:
a b c
b c a
c a b
+ >

+ >
 + >
.
ð t ( ), , , , 0 , ,
2 2
a b c a
x y a z x y z x y z y z x z x y
+ +
= = = > ⇒ + > + > + > .
V trái vi t l i:
2
3 3 2
a b a c a
VT
a c a b a b c
x y z
y z z x x y
+ +
= + +
+ + + +
= + +
+ + +
0,50
Ta có: ( ) ( )
2
2
z z
x y z z x y z z x y
x y z x y
+ > ⇔ + + < + ⇔ >
+ + +
.
Tương t :
2 2
; .
x x y y
y z x y z z x x y z
< <
+ + + + + +
Do ñó:
( )2
2
x y zx y z
y z z x x y x y z
+ +
+ + < =
+ + + + +
.
T c là:
1 1 2
2
3 3 2 3 3
b c
a
a b a c a b c a c a b
 
+ + + + < 
+ + + + + + 
0,50
V.Phương trình ( ) ( ) 341 2 1 2 1x x m x x x x m+ − + − − − = (1)
ði u ki n : 0 1x≤ ≤
N u [ ]0;1x∈ th a mãn (1) thì 1 – x cũng th a mãn (1) nên ñ (1) có nghi m duy nh t thì c n có ñi u ki n
1
1
2
x x x= − ⇒ = . Thay
1
2
x = vào (1) ta ñư c:
3 01 1
2. 2.
12 2
m
m m
m
=
+ − = ⇒ 
= ±
* V i m = 0; (1) tr thành:
( )
2
4 4 1
1 0
2
x x x− − = ⇔ =
Phương trình có nghi m duy nh t.
* V i m = -1; (1) tr thành
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
4
4
2 2
4 4
1 2 1 2 1 1
1 2 1 1 2 1 0
1 1 0
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
+ − − − − − = −
⇔ + − − − + + − − − =
⇔ − − + − − =
+ V i 4 4 1
1 0
2
x x x− − = ⇔ =
+ V i
1
1 0
2
x x x− − = ⇔ =
Trư ng h p này, (1) cũng có nghi m duy nh t.
Thi thử Đại học www.toanpt.net

9. H T
* V i m = 1 thì (1) tr thành:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
4 441 2 1 1 2 1 1 1x x x x x x x x x x+ − − − = − − ⇔ − − = − −
Ta th y phương trình (1) có 2 nghi m
1
0,
2
x x= = nên trong trư ng h p này (1) không có nghi m duy
nh t.
V y phương trình có nghi m duy nh t khi m = 0 và m = -1.
Thi thử Đại học www.toanpt.net