1. 1
THANH TÙNG ðÁP ÁN – THANG ðI M
------------------------------- ð THI TUY N SINH ð I H C NĂM 2013
ð THI TH S 4 Môn : TOÁN
(ðáp án – thang ñi m g m 09 trang)
ðÁP ÁN – THANG ðI M
Câu ðáp án ði m
1 Cho hàm s 4 2
1y x mx m= − + − (1), m là tham s th c. 2,0
a) Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s (1) khi 2m = . 1,0
Khi 2m = , ta có: 4 2
2 1y x x= − + .
* T p xác ñ nh : RD =
* S bi n thiên
– Chi u bi n thiên : 3
' 4 4y x x= − ; ' 0y = ⇔ 0x = ho c 1x = ± .
0,25
Các kho ng ngh ch bi n: ( ; 1)−∞ − và (0;1) ; các kho ng ñ ng bi n: ( 1;0)− và (1; )+∞ .
– C c tr : Hàm s ñ t c c ti u t i 1x = ± , CT 0y = ; ñ t c c ñ i t i 0x = , 1y =C Đ
.
– Gi i h n: lim lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= = +∞ .
0,25
– B ng bi n thiên:
0,25
a)
* ð th :
0,25

2. 2
Tìm m ñ ñ th hàm s (1) c t tr c hoành t i b n ñi m phân bi t sao cho ñ dài ño n
th ng 1AB = ; Trong ñó ,A B là hai giao ñi m có hoành ñ dương c a ñ th hàm s (1) v i
tr c hoành . 2
( )t
1,0
Phương trình hoành ñ giao ñi m c a ñ th hàm s (1) và tr c hoành: 4 2
1 0x mx m− + − =
ð t 2
t x= , 0t ≥ ; phương trình tr thành: 2
1 0t mt m− + − = (*)
1t⇔ = ho c 1t m= −
0,25
ð th hàm s (1) c t tr c hoành t i b n ñi m phân bi t, khi phương trình (*) có hai nghi m phân bi t dương
1 1 2
1 0 1
m m
m m
− ≠ ≠ 
⇔ ⇔ 
− > > 
(2*)
0,25
Khi ñó hai giao ñi m có hoành ñ dương c a ñ th hàm s (1) và tr c hoành là: (1;0), ( 1;0)A B m −
và 2 2
1 1 ( 1 1) 1AB AB m= ⇔ = ⇔ − − =
1 1 1
1 1 1
m
m
 − − =
⇔ 
− − = −
1 2
1 0
m
m
 − =
⇔ 
− =
0,25
b)
5m⇔ = ho c 1m = , k t h p v i ñi u ki n (2*) ta ñư c giá tr m c n tìm là: 5m = 0,25
Gi i phương trình 1 (1 tan )cos4 2 sin 2
4
x x x
π 
+ − = − 
 
2
( )t 1,0
ði u ki n : cos 0
2
x x k
π
π≠ ⇔ ≠ + ( Z)k ∈
Bi n ñ i phương trình tương ñương :
cos sin
1 cos4 sin 2 cos2
cos
x x
x x x
x
−
+ = −
2cos sin
1 cos4 sin 2 (2cos 1)
cos
x x
x x x
x
−
⇔ + = − −
cos sin
cos4 2cos (cos sin )
cos
x x
x x x x
x
−
⇔ = − −
0,25
cos4
(cos sin ) 2cos 0
cos
x
x x x
x
 
⇔ − + = 
 
2
(cos sin )(cos4 2cos ) 0x x x x⇔ − + = 0,25
2
(cos sin )(2cos 2 1 1 cos2 ) 0x x x x⇔ − − + + = cos2 (2cos2 1)(cos sin ) 0x x x x⇔ + − =
0,25
2
cos2 0x⇔ = ;
1
cos2
2
x = − ho c sin 0
4
x
π 
− = 
 
4 2
k
x
π π
⇔ = + ;
3
x k
π
π= ± + ho c
4
x k
π
π= + th a mãn ñi u ki n
hay
4 2
k
x
π π
= + ho c
3
x k
π
π= ± + ( Z)k ∈ là nghi m c a phương trình.
0,25
Gi i phương trình 2 2
1 2 1 2x x x x x− + + = − ( Rx∈ ) 2
( )t 1,0
Cách 1: Phương trình tương ñương : 2 2 2
2 1 ( 1) 4x x x x x x x− + + + + + =
( )
2
2 2
1 (2 )x x x x⇔ − + + = 0,25
2 2
2 2
1 2 1 (1)
1 2 1 3 (2)
x x x x x x x
x x x x x x x
 − + + = + + = −
 ⇔ ⇔
 − + + = − + + = 
0,25
2 2
0 0
(1) 1
11
x x
x
xx x x
− ≥ ≤ 
⇔ ⇔ ⇔ = − 
= −+ + = 
0,25
3
2 2 2
0
3 0 0 1 33
(2) 1 33 161 9 8 1 0
16
x
x x
x
x x x x x x
≥
≥ ≥  +
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =   ±
+ + = − − = =  

V y phương trình có nghi m 1x = − ho c
1 33
16
x
+
=
( Các em tham kh o thêm cách 2, 3, 4, 5, 6 :
0,25

3. 3
Cách 2: Bi n ñ i phương trình tương ñương : 2 2
2 1 2 1x x x x x+ + = − + +
2 2 2
2 1 3 ( 1)x x x x x x⇔ + + = − + + +
Nh n th y 0x = không là nghi m c a phương trình nên 2
1 0x x x+ + ≠ , khi ñó phương trình tương
ñương:
2 2
2 2
3 1
2
1 1
x x x
x x x x x x
− + +
= +
+ + + +
2
2
3 1
2
1
x x x
xx x
− + +
⇔ = +
+ +
ð t
2
1
x
t
x x
=
+ +
, khi ñó phương trình có d ng: 2
1
1
2 3 3 2 1 0 1
3
t
t t t
t t
= −
= − + ⇔ + − = ⇔
 =

22
2
2
1
11
1 1 3
31
x
x x xx x
x x x x
x x

= −  + + = −+ + ⇒ ⇔
  + + ==
+ +
…ti p t c như Cách 1 ta có nghi m: 1x = − ho c
1 33
16
x
+
=
Cách 3: (th c ch t ñây ch là cách trình bày khác c a Cách 2 – song cách trình bày này các em s th y rõ
hơn tính ñ ng c p trong phương trình)
Bi n ñ i phương trình tương ñương : 2 2
2 1 2 1x x x x x+ + = − + +
2 2 2
2 1 3 ( 1)x x x x x x⇔ + + = − + + +
ð t 2
1y x x= + + khi ñó phương trình có d ng: 2 2
2 3xy x y= − +
2 2
3 2 0 ( )(3 ) 0x xy y x y x y⇔ + − = ⇔ + − =
3
y x
y x
= −
⇔  =
suy ra:
2
2
1
1 3
x x x
x x x
 + + = −

 + + =
… ti p t c như Cách 1 ta ñư c nghi m: 1x = − ho c
1 33
16
x
+
=
Cách 4: Bi n ñ i phương trình tương ñương : 2 2
1 2 2 1 0x x x x x+ − − + + =
Nh n th y 0x = không là nghi m c a phương trình nên chia c hai v cho 2
x ta ñư c:
2
2
1 1 2 1
2 0
x x
x x x
+ +
+ − − = (*)
+) V i 0x > : (*) 2 2
1 1 1 1
2 2 1 0
x x x x
⇔ + − − + + = .
ð t 2
1 1
1t
x x
= + + ⇒ 2
2
1 1
1t
x x
+ = − ( 0)t ≥
Khi ñó phương trình có d ng: 2 2
1 2 2 0 2 3 0 3t t t t t− − − = ⇔ − − = ⇔ = ho c 1t = − (lo i)
Suy ra 2
2
1 1 1 33
8 8 1 0
16
x x x
x x
±
+ = ⇔ − − = ⇔ = , k t h p v i 0x > ta ñư c nghi m:
1 33
16
x
+
=
+) V i 0x < : (*) 2 2
1 1 1 1
2 2 1 0
x x x x
⇔ + − + + + = .
ð t 2
1 1
1t
x x
= + + ⇒ 2
2
1 1
1t
x x
+ = − ( 0)t ≥
Khi ñó phương trình có d ng: 2 2
1 2 2 0 2 3 0 1t t t t t− − + = ⇔ + − = ⇔ = ho c 3t = − (lo i)
Suy ra 2
1 1
0 1 0 1x x
x x
+ = ⇔ + = ⇔ = − th a mãn 0x < .
V y nghi m c a phương trình là: 1x = − ho c
1 33
16
x
+
=

4. 4
Cách 5: Bi n ñ i phương trình tương ñương : 2 2
2 1 2 1x x x x x+ + = − + +
2 2
2 2 2 2 3 2
( 2 1) 0 (2 1) 0
4 ( 1) ( 2 1) 8 7 2 1 0
x x x x x x
x x x x x x x x
 − + + ≥ − − ≤ 
⇔ ⇔ 
+ + = − + + + − − =  
( )
2
1
; 0;1
2 1
( 1)(2 1) 0
1 1 33
( 1)(8 1) 0
161 33
16
x
x
x x x
x
x x x x
x
  
∈ −∞ − ∪  = −  − + ≤  ⇔ ⇔ ⇔= −  ++ − − = =  ± =

Cách 6: Bi n ñ i phương trình tương ñương : ( )2
2 1 1x x x x x+ + + = +
+) N u 2 2
2 2
0 0
1 0 1 1
11
x x
x x x x x x x
xx x x
− ≥ ≤ 
+ + + = ⇔ + + = − ⇔ ⇔ ⇔ = − 
= −+ + = 
Khi ñó thay 1x = − ta nh n th y nó là nghi m c a phương trình.
+) N u 2
1 0 1x x x x+ + + ≠ ⇔ ≠ − . Khi ñó phương trình tương ñương:
( )( ) ( )2 2 2
2 1 1 ( 1) 1x x x x x x x x x x x+ + + + + − = + + + −
( )2
2 ( 1) ( 1) 1x x x x x x⇔ + = + + + − 2
2 1x x x x⇔ = + + − (vì 1x ≠ − )
2
1 3x x x⇔ + + = ⇔ … ⇔
1 33
16
x
+
= (xem l i cách gi i phương trình này Cách 1)
V y nghi m c a phương trình là: 1x = − ho c
1 33
16
x
+
=
Chú ý: cách 6 , khi ta nhân v i m t bi u th c vào c hai v c a phương trình thì có hai cách trình bày:
+) Trư c khi nhân, ta xét tính b ng 0 và khác 0 c a bi u th c c n nhân ñ tránh tình hu ng th a nghi m.
+) T o ra phương trình h qu (dùng d u “⇒” ) và bư c cu i cùng ph i th l i nghi m
(ch dùng khi bài toán có nghi m ñ p – ñ vi c th l i nghi m không g p “khó khăn”) .
Tính tích phân
2
sin
0
(sin 2 cos ) x
I x x e dx
π
= −∫
2
( )t 1,0
ð t sint x= , suy ra cosdt xdx= . V i 0x = thì 0t = ; v i
2
x
π
= thì 1t = . 0,25
Khi ñó
12
sin
0 0
(2sin 1) cos (2 1)x t
I x e xdx t e dt
π
= − = −∫ ∫ .
ð t
2 1 2d
t t
u t du t
dv e dt v e
= − = 
⇒ 
= = 
0,25
1
1
0
0
(2 1) 2t t
I t e e dt= − − ∫ 0,25
4
1
0
1 2
1 2( 1) 3
t
e e
e e e
= + −
= + − − = −
V y 3I e= −
0,25

5. 5
Cho hình lăng tr . ' ' 'ABC A B C có ñáy là tam giác vuông t i A , 3AC a= , 7BC a= . G i
M là trung ñi m c a AB và 'MA C∠ = 0
60 . Hình chi u vuông góc c a ñi m 'A trên m t
ph ng ( )ABC là trung ñi m c a MC . Tính th tích kh i lăng tr ñã cho và kho ng cách t
ñi m C ñ n m t ph ng ( ' ')MA C theo a. 2
( )t
1,0
G i H là trung ñi m c a MC
khi ñó ' ( )A H ABC⊥
suy ra tam giác 'A MC cân t i A mà 'MA C∠ =
0
60
nên 'A MC là tam giác ñ u.
Ta có: 2 2 2 2
7 3 2AB BC AC a a a= − = − =
2
AB
AM a⇒ = = và 2 2
2MC MA AC a= + =
V y 'A MC là tam giác ñ u có c nh là 2a nên
2 3
' 3
2
a
A H a= =
0,25
Di n tích: 21 1
. .2 . 3 3
2 2
ABCS AB AC a a a= = = ; Th tích: 2 3
. ' ' ' ' . 3. 3 3ABC A B C ABCV A H S a a a= = = 0,25
G i N là trung ñi m c a BC , suy ra MN // AC mà AC // ' 'A C nên MN // ' 'A C
( ' ') ( )MA C ABC MN⇒ ∩ = ( ( ' ') ( ' ' )MA C MA C N≡ )
Có NH là ñư ng trung bình trong tam giác MBC , suy ra
2 2
MB a
NH = =
và
/ /
/ /
NH AB
MN AC NH MN
AB AC


⇒ ⊥
 ⊥
(1) . G i K là hình chi u c a H trên 'A N nên 'HK A N⊥ (*)
Ta có 'A H MN⊥ (2) (do ' ( )A H ABC⊥ ) . T (1) và (2) suy ra ( ' )MN A HN⊥ MN HK⇒ ⊥ (2*)
T (*) và (2*) suy ra: ( ')HK MNA⊥ hay ( ' ') ( ,( ' '))HK MA C d H MA C HK⊥ ⇒ =
0,25
5
Xét tam giác vuông 'A HN ta có:
( )
2 2 2
2
. 3
. ' 3 392
1313'
3
2
a
a
HN HA a a
HK
HN HA a
a
= = = =
+  
+ 
 
Ta có : ( ' ') { }CH MA C M∩ =
39 2 39
( ,( ' ')) . ( ,( ' ')) 2.
13 13
CM a a
d C MA C d H MA C
HM
⇒ = = =
0,25
Cho phương trình 341 2 (1 ) 2 (1 )x x m x x x x m+ − + − − − = . Tìm m ñ phương trình có m t
nghi m th c duy nh t.
1,0
ði u ki n c n: Gi s phương trình có nghi m 0x x= , khi ñó 01x x= − cũng là nghi m c a phương trình
V y phương trình có nghi m duy nh t khi 0 0 0
1
1
2
x x x= − ⇔ =
0,25
6
Thay 0
1
2
x x= = vào phương trình ta ñư c :
3 3 24
01 1 1 1
2 . 2 ( 1) 0
12 2 4 4
m
m m m m m m
m
=
+ + − = ⇔ = ⇔ − = ⇔  = ±
0,25

6. 6
ði u ki n ñ :
+) V i 0m = phương trình có d ng: 41 2 (1 ) 0x x x x+ − − − =
( )
2
4 4 1
1 0 1
2
x x x x x⇔ − − = ⇔ = − ⇔ =
V y 0m = phương trình có nghi m duy nh t.
0,25
6
+) V i 1m = − phương trình có d ng: 41 2 (1 ) 2 (1 ) 1x x x x x x+ − − − − − = −
41 2 (1 ) (1 ) 2 (1 ) 0x x x x x x x x ⇔ + − − − + + − − − = 
( ) ( )
4 4
2 2
4 4
1 0 1
1 1 0
21 0
x x
x x x x x
x x
 − − =
⇔ − − + − − = ⇔ ⇔ =
− − =
V y 1m = − phương trình có nghi m duy nh t.
+) V i 1m = phương trình có d ng: 41 2 (1 ) 2 (1 ) 1x x x x x x+ − + − − − =
Nh n th y phương trình có hai nghi m
1
2
x = và 0x = . V y 1m = không th a mãn
V y phương trình có m t nghi m th c duy nh t v i 1m = − ho c 0m = .
0,25
Trong m t ph ng t a ñ Oxy , cho tam giác ABC có ñ nh (3;0)A , c nh BC có phương trình
3 4 1 0x y− + = . ðư ng th ng ∆ có phương trình 3 4 0x y+ − = c t ño n th ng BC t i ñi m
H sao cho 2HC HB= . Xác ñ nh t a ñ ñ nh ,B C bi t di n tích c a tam giác ABC b ng 15
và B có hoành ñ dương. 2
( )t
1,0
Ta có { }BC H∆ ∩ = nên t a ñ
ñi m H là nghi m c a h :
3 4 1 0 1
(1;1)
3 4 0 1
x y x
H
x y y
− + = = 
⇔ ⇒ 
+ − = = 
0,25
Ta có:
2 2
9 1
( , ) 2
3 4
d A BC
+
= =
+
.
Khi ñó
1 1
15 ( , ). 15 .2. 15 15
2 2
ABCS d A BC BC BC BC= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
M t khác H thu c ño n BC và 2HC HB= nên 5
3
BC
BH = =
0,25
G i
3 1
;
4
b
B b BC
+ 
∈ 
 
(v i 0b > ) . Khi ñó
2
2 2 3 1
5 25 ( 1) 1 25
4
b
BH BH b
+ 
= ⇔ = ⇔ − + − = 
 
2 2 29 25
( 1) ( 1) 25 ( 1) 25
16 16
b b b⇔ − + − = ⇔ − =
2
( 1) 16 5b b⇔ − = ⇔ = ho c 3b = − (lo i) , suy ra (5;4)B
0,25
7.a
G i ( ; )C x y khi ñó
( 1; 1)
( 4; 3)
HC x y
BH
 = − −

= − −
uuur
uuur
Mà
1 8 7
2 ( 7; 5)
1 6 5
x x
HC BH C
y y
− = − = − 
= ⇔ ⇔ ⇒ − − 
− = − = − 
uuur uuur
V y (5;4)B và ( 7; 5)C − −
0,25

7. 7
Trong không gian v i h t a ñ Oxyz , cho ñi m (0; 1;3)A − , ñư ng th ng
1 1
:
1 1 2
x y z
d
− +
= =
−
và
m t ph ng ( )P : 3 0x y z− + − = . Vi t phương trình ñư ng th ng ∆ vuông góc v i m t ph ng ( )P
và c t ñư ng th ng d t i ñi m M sao cho tam giác MOA có di n tích b ng 1. 2
( )t
1,0
M d∈ nên g i ( ; 1;2 1)M t t t− + − . Khi ñó
( ; 1;2 1)
, ( 2; 3 ; )
(0; 1;3)
OM t t t
OM OA t t t
OA
 = − + −  ⇒ = − + − −  = −
uuuur
uuuur uuur
uuur
Ta có
2 2 2
( 2) 91
1 , 1 1
2 2
MOA
t t t
S OM OA
− + +
 = ⇔ = ⇔ = 
uuuur uuur
0,25
2
(0;1; 1)0
11 4 0 4 7 34
; ;
11 11 1111
Mt
t t
Mt
−=
⇔ − = ⇔ ⇒ −  =    
0,25
Ta có: ( )P∆ ⊥ suy ra ∆ có véctơ ch phương ( ) (1; 1;1)Pu n∆ = = −
uur uuur
và ñi qua:
+) ði m (0;1; 1)M − nên có phương trình: 1
1
x t
y t
z t
=

= −
 = − +
0,25
8.a
+) ði m
4 7 3
; ;
11 11 11
M
− 
 
 
nên có phương trình:
4
11
7
11
3
11
x t
y t
z t

= +


= −

−
= +

V y ∆ có phương trình 1
1
x t
y t
z t
=

= −
 = − +
ho c
4
11
7
11
3
11
x t
y t
z t

= +


= −

−
= +

0,25
Cho s ph c z có ph n o dương th a mãn:
5
2z
z
+ = .
Tìm môñun c a s ph c 2
7 ( ) 2w z z i= + + − 2
( )t 1,0
ði u ki n: 0z ≠
Phương trình tương ñương: 2
2z 5 0z − + = có bi t th c 2
' 4 (2 )i∆ = − =
Nên nghi m c a phương trình là: 1 2z i= + ho c 1 2z i= − (lo i – vì z có ph n o dương)
0,25
Khi ñó 2 2
7 ( ) 2 7(1 2 ) (1 2 ) 2w z z i i i i= + + − = + + − + −
0,25
2
5 14 (1 ) 5 14 2 5 12i i i i i= + + − = + − = +
0,25
9.a
Suy ra 2 2
5 12 13w = + =
0,25

8. 8
Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy , cho hình bình hành ABCD bi t ñ nh (2; 1)B − , ñư ng
cao AH trong tam giác ABC có phương trình 3x 9 0y− − = và ñư ng phân giác c a góc
ACB∠ có phương trình 1 0x y− + = . Tìm t a ñ ñ nh D . 2
( )t
1,0
Ta có BC ñi qua (2; 1)B − nh n
(1;3)AHu =
uuur
làm véctơ pháp tuy n nên có
phương trình:
2 3( 1) 0x y− + + = hay 3 1 0x y+ + =
Khi ñó t a ñ ñi m C là nghi m c a h :
3 1 0 1
( 1;0)
1 0 0
x y x
C
x y y
+ + = = − 
⇔ ⇒ − 
− + = = 
0,25
G i ( ; )E x y là ñi m ñ i x ng c a B qua phân giác : 1 0d x y− + = c a góc ACB∠ . Suy ra E AC∈
Ta có
( 2; 1)
(1;1)d
BE x y
u
 = − +

=
uuur
uur và
2 1
;
2 2
x y
I
+ − 
 
 
là trung ñi m c a EB . Khi ñó:
1.( 2) 1.( 1) 0
1 2
2 1
5 31 0
2 2
d
x y
x y xBE u
x y
x y yI d
− + + = + = = − ⊥ 
⇔ ⇔ ⇔   + −
− = − =− + =∈   
uuur uur
( 2;3)E⇒ −
0,25
Khi ñó ñư ng th ng EC ñi qua ( 1;0)C − và có véctơ ch phương (1; 3)EC = −
uuur
nên có phương trình:
1
3 3 0
1 3
x y
x y
+
= ⇔ + + =
−
Vì { }EC AH A∩ = nên t a ñ ñi m A là nghi m c a h :
3 3 0 1
3 9 0 6
x y x
x y y
+ + = = 
⇔ 
− − = = − 
(1; 6)A⇒ −
0,25
7.b
G i ( ; )D a b , khi ñó
( 1; 6)
( 3;1)
AD a b
BC
 = − +

= −
uuur
uuur
ABCD là hình bình hành nên suy ra
1 3 2
6 1 5
a a
AD BC
b b
− = − = − 
= ⇔ ⇔ 
+ = = − 
uuur uuur
. V y ( 2; 5)D − −
0,25
Trong không gian v i h t a ñ Oxyz , cho b n ñi m ( 1;3;0)A − , (0;1;2)B , (3; 4;2)C − và
( 1;0;2)D − . Vi t phương trình m t ph ng ( )P ñi qua hai ñi m ,C D và th a mãn kho ng
cách t A ñ n m t ph ng ( )P b ng hai l n kho ng cách t B ñ n ( )P .
1,0
G i phương trình m t ph ng ( )P có d ng: z 0ax by c d+ + + = 2 2 2
( 0)a b c+ + ≠
Ta có:
( ) 3 4 2 0
( ) 2 0
C P a b c d
D P a c d
∈ − + + = 
⇔ 
∈ − + + = 
0,25
2
b a
d a c
=
⇔ 
= −
, khi ñó phương trình mp ( )P có d ng : z 2 0ax ay c a c+ + + − = 0,25
Khi ñó ( ,( )) 2 ( ,( ))d A P d B P=
2 2 2 2 2 2
3 2 2 2
2.
a a a c a a a c
a a c a a c
− + + − + + −
⇔ =
+ + + +
3 2 2(4 2 ) 5 2
3 2 2 4 2
3 2 2(4 2 ) 11 6
a c a c a c
a c a c
a c a c a c
− = − = 
⇔ − = − ⇔ ⇔ − = − − = 
0,25
8.b
V i 5 2a c= , ta ch n
2
5
a
c
=

=
suy ra phương trình m t ph ng ( )P : 2 2 5z 8 0x y+ + − =
V i11 6a c= , ta ch n
6
11
a
c
=

=
suy ra phương trình m t ph ng ( )P : 6 6 11z 16 0x y+ + − =
V y m t ph ng ( )P có phương trình : 2 2 5z 8 0x y+ + − = ho c 6 6 11z 16 0x y+ + − =
0,25

9. 9
Cho hai ñư ng th ng song song 1 2,d d . Trên ñư ng th ng 1d có 6 ñi m phân bi t, trên ñư ng
th ng 2d có n ñi m phân bi t ( 2)n ≥ . Bi t r ng có 288 tam giác có ñ nh ñư c t o nên t
6n + ñi m ñã cho . Tìm n . 2
( )t
1,0
Cách 1: Vì 1d // 2d nên s tam giác ñư c t o thành t 6n + ñã cho g m hai kh năng:
*) M t ñi m trên 1d và hai ñi m trên 2d , suy ra s cách ch n: 1 2
6. nC C
0,25
*) Hai ñi m trên 1d và m t ñi m trên 2d , suy ra s cách ch n: 2 1
6 . nC C 0,25
Theo ñ ra ta có: 1 2 2 1
6 6. . 288n nC C C C+ =
!
6. 15 288 3 ( 1) 15 288
( 2)!.2!
n
n n n n
n
⇔ + = ⇔ − + =
−
2
4 96 0n n⇔ + − =
0,25
9.b
8n⇔ = ho c 12n = − (lo i)
V y 8n =
(Các em có th tham kh o thêm Cách 2:
*) S cách ch n 3 trong 6n + ñi m là: 3
6nC + (bao g m c ba ñi m th ng hàng)
*) S cách ch n 3 ñi m th ng hàng t 6 ñi m trên 1d và n ñi m trên 2d là: 3 3
6 nC C+
*) V y s tam giác t o thành t 6n + ñi m là: 3 3 3
6 6( )n nC C C+ − +
*) Theo ñ ra ta có: 3 3 3
6 6( ) 288 ... 8n nC C C n+ − + = ⇔ ⇔ =
0,25
N u có v n ñ gì chưa rõ trong l i gi i, có th liên l c v i th y ñ h i l i (0947141139)
CHÚC EM ð T K T QU TH T T T TRONG KỲ THI S P T I !!!