Đề thi thử Đại học môn Toán

1. -
Tr−êng THPT NguyÔn HuÖ ®Ò thi thö ®¹i häc lÇn 1 n¨m 2010
M«n: TO¸N ; Khèi: A,B
(Thêi gian l m b i: 180 phót)
PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh (7,0 ®iÓm)
C©u I (2 ®iÓm) Cho h m sè
2 1
1
x
y
x
+
=
+
1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ (C) cña h m sè ® cho.
2. T×m trªn (C) nh÷ng ®iÓm cã tæng kho¶ng c¸ch ®Õn hai tiÖm cËn cña (C) nhá nhÊt.
C©u II (2 ®iÓm)
1. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh:
1 1 4
6 4 6
x y
x y
 + + − =

+ + + =
2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
1 2(cos sin )
tan cot 2 cot 1
x x
x x x
−
=
+ −
C©u III (1 ®iÓm)
Trong mÆt ph¼ng (P) cho ®−êng trßn (C) t©m O ®−êng kÝnh AB = 2R.Trªn ®−êng th¼ng vu«ng
gãc víi (P) t¹i O lÊy ®iÓm S sao cho OS = R 3 . I l ®iÓm thuéc ®o¹n OS víi SI =
2
3
R
. M l mét
®iÓm thuéc (C). H l h×nh chiÕu cña I trªn SM. T×m vÞ trÝ cña M trªn (C) ®Ó tø diÖn ABHM cã thÓ tÝch
lín nhÊt.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã.
C©u IV (1 ®iÓm)
TÝnh tÝch ph©n: I =
1
2
1 1 1
dx
x x− + + +
∫
C©u V (1 ®iÓm) Cho x, y, z l 3 sè thùc d−¬ng tháa m n xyz=1. Chøng minh r»ng
1 1 1
1
1 1 1x y y z z x
+ + ≤
+ + + + + +
PhÇn riªng (3,0 ®iÓm).ThÝ sinh chØ ®−îc l m mét trong hai phÇn (phÇn A hoÆc B)
A.Theo ch−¬ng tr×nh ChuÈn
C©u VI.a (1 ®iÓm) Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt A(2; - 3), B(3; - 2), cã diÖn tÝch
b»ng
3
2
v träng t©m thuéc ®−êng th¼ng ∆ : 3x – y – 8 = 0. T×m täa ®é ®Ønh C.
C©u VII.a (1 ®iÓm) Tõ c¸c ch÷ sè 0,1,2,3,6,7,8,9 cã thÓ lËp ®−îc bao nhiªu sè tù nhiªn cã 6 ch÷ sè
®«i mét kh¸c nhau ( ch÷ sè ®Çu tiªn ph¶i kh¸c 0) trong ®ã ph¶i cã ch÷ sè 7.
C©u VIII.a (1 ®iÓm) T×m a ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: 2
1 1
3 3
log 1 log ( )x ax a+ > +
B.Theo ch−¬ng tr×nh N©ng cao
C©u VI.b (1 ®iÓm) Trong mÆt ph¼ng Oxy cho elip (E):
2 2
1
4 3
x y
+ = v ®−êng th¼ng ∆ :3x + 4y =12.
Tõ ®iÓm M bÊt k× trªn ∆ kÎ tíi (E) c¸c tiÕp tuyÕn MA, MB. Chøng minh r»ng ®−êng th¼ng AB lu«n
®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.
C©u VII.b (1 ®iÓm) Cho h m sè
2
4 3
2
x x
y
x
+ +
=
+
cã ®å thÞ (C).Gi¶ sö ®−êng th¼ng y = kx + 1 c¾t (C)
t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt A, B. T×m tËp hîp trung ®iÓm I cña AB khi k thay ®æi.
C©u VIII.b (1 ®iÓm) Gi¶i ph−¬ng tr×nh: ( ) ( ) 22 2log log
3 1 . 3 1 1
x x
x x+ + − = +
------------ H T -------------
Thi thử Đại học www.toanpt.net

2. Trêng THPT NguyÔn HuÖ ®¸p ¸n – thang ®iÓm
®Ò thi thö ®¹i häc lÇn 1 n¨m 2010
M«n: TO¸N - Khèi: A,B
Lu ý:Mäi c¸ch gi¶i ®óng v ng¾n gän ®Òu cho ®iÓm tèi ®a
C©u §¸p ¸n §iÓm
I 1.(1,0 ®iÓm) Kh¶o s¸t . . .
(2,0 ®iÓm) * TËp x¸c ®Þnh: D = R{ - 1}
* Sù biÕn thiªn
- Giíi h¹n v tiÖm cËn: lim lim 2
x x
y y
→+∞ →−∞
= = ; tiÖm cËn ngang: y = 2
( 1) ( 1)
lim ; lim
x x
y y− +
→ − → −
= +∞ = −∞ ; tiÖm cËn ®øng: x = - 1
0,25
- B¶ng biÕn thiªn
Ta cã 2
1
' 0
( 1)
y
x
= <
+
víi mäi x≠ - 1
x -∞ -1 +∞
y’ + +
y +∞ 2
2 -∞
H m sè ®ång biÕn trªn mçi kho¶ng (-∞ ; -1) v ( -1; +∞ )
0,5
* §å thÞ
0,25
2. (1,0 ®iÓm) T×m trªn (C) nh÷ng ®iÓm. . .
Gäi M(x0;y0) l mét ®iÓm thuéc (C), (x0 ≠ - 1) th× 0
0
0
2 1
1
x
y
x
+
=
+
Gäi A, B lÇn lît l h×nh chiÕu cña M trªn TC§ v TCN th×
0,25

3. MA = |x0+1| , MB = | y0- 2| = | 0
0
2 1
1
x
x
+
+
- 2| = |
0
1
1x +
|
Theo Cauchy th× MA + MB ≥ 2 0
0
1
x 1 .
1x
+
+
=2
⇒ MA + MB nhá nhÊt b»ng 2 khi x0 = 0 hoÆc x0 = -2.Nh vËy ta cã hai
®iÓm cÇn t×m l (0;1) v (-2;3)
0,25
0,25
0,25
II 1.(1,0 ®iÓm) Gi¶i hÖ . . .
(2,0 ®iÓm)
§iÒu kiÖn: x≥-1, y≥1
Céng vÕ theo vÕ råi trõ vÕ theo vÕ ta cã hÖ
1 6 1 4 10
6 1 4 1 2
x x y y
x x y y
 + + + + − + + =

+ − + + + − − =
§Æt u= 1 6x x+ + + , v = 1 4y y− + + . Ta cã hÖ
10
5 5
2
u v
u v

 + =

+ =

⇒ { 5
5
u
v
=
=
⇒ { 3
5
x
y
=
= l nghiÖm cña hÖ
0,25
0,25
0,25
0,25
2. (1,0 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh . . .
§iÒu kiÖn:sinx.cosx≠ 0 v cotx≠ 1
Ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng
1 2(cos sin )
sin cos2 cos
1
cos sin 2 sin
x x
x x x
x x x
−
=
+ −
⇒ cosx =
2
2
⇒ x = 2
4
k
π
π± +
§èi chiÕu ®iÒu kiÖn pt cã 1 hä nghiÖm x = 2
4
k
π
π− +
0,25
0,25
0,25
0,25
III T×m vÞ trÝ . . .

4. (1,0 ®iÓm) S
H
I
O
B
M
A
Tø gi¸c IHMO néi tiÕp nªn SH.SM = SI.SO m OS = R 3 , SI =
2
3
R
,
SM = 2 2
2SO OM R+ = ⇒ SH = R hay H l trung ®iÓm cña SM
Gäi K l h×nh chiÕu vu«ng gãc cña H lªn mp(MAB) th× HK =
1
2
SO=
3
2
R ,
(kh«ng ®æi)
⇒ VBAHM lín nhÊt khi dt( ∆ MAB) lín nhÊt ⇒ M l ®iÓm gi÷a cña cung AB
Khi ®ã VBAHM= 33
6
R (®vtt)
0,25
0,25
0,5
IV TÝnh tÝch ph©n . . .
(1,0 ®iÓm) §Æt u = x+ 2
1 x+ th× u - x= 2
1 x+ ⇒ 2 2 2
2 1x ux u x− + = +
2
2
1 1 1
1
2 2
u
x dx du
u u
−  
⇒ = ⇒ = + 
 
§æi cËn x= - 1 th× u = 2 -1
x = 1 th× u = 2 +1
2 1 2 1 2 12
2
2 1 2 1 2 1
1 1
1
1 12
1 2 1 2 (1 )
du
du duu
I
u u u u
+ + +
− − −
 
+ 
 ⇒ = = +
+ + +∫ ∫ ∫
=
2 1 2 1
2
2 1 2 1
1 1 1 1 1
2 1 2 1
du
du
u u u u
+ +
− −
 
+ − + 
+ + 
∫ ∫
=1
0,25
0,25
0,25
0,25
C©u V
(1,0 ®iÓm)
§Æt x=a3
y=b3
z=c3
th× x, y, z >0 v abc=1.Ta cã
a3
+ b3
=(a+b)(a2
+b2
-ab)≥(a+b)ab, do a+b>0 v a2
+b2
-ab≥ab
⇒ a3
+ b3
+1≥ (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0
0,25

5. ⇒
( )3 3
1 1
a b 1 ab a b c
≤
+ + + +
T¬ng tù ta cã
( )3 3
1 1
c 1 bc a b cb
≤
+ + + +
,
( )3 3
1 1
a 1 ca a b cc
≤
+ + + +
Céng theo vÕ ta cã
1 1 1
1 1 1x y y z z x
+ +
+ + + + + +
= 3 3
1
a b 1+ +
+ 3 3
1
c 1b + +
+ 3 3
1
a 1c + +
≤
( )
1 1 1 1
a b c ab bc ca
 
+ + 
+ +  
=
( )
( )
1
1
a b c
c a b+ + =
+ +
DÊu b»ng x¶y ra khi x=y=z=1
0,5
0,25
VI. a T×m täa ®é . . .
(1,0 ®iÓm) Ta cã: AB = 2 , M = (
5 5
;
2 2
− ), pt AB: x – y – 5 = 0
S ABC∆ =
1
2
d(C, AB).AB =
3
2
⇒ d(C, AB)=
3
2
Gäi G(t;3t-8) l träng t©m tam gi¸c ABC th× d(G, AB)=
1
2
⇒ d(G, AB)=
(3 8) 5
2
t t− − −
=
1
2
⇒ t = 1 hoÆc t = 2
⇒ G(1; - 5) hoÆc G(2; - 2)
M 3CM GM=
uuuur uuuur
⇒ C = (-2; 10) hoÆc C = (1; -4)
0,25
0,5
0,25
VII. a Tõ c¸c ch÷ sè . . .
(1,0 ®iÓm) Gäi sè cã 6 ch÷ sè l abcdef
NÕu a = 7 th× cã 7 c¸ch chän b, 6 c¸ch chän c, 5 c¸ch chän d, 4 c¸ch
chän e, 3 c¸ch chän f. ë ®©y cã 7.6.5.4.3 = 2520sè
NÕu b = 7 th× cã 6 c¸ch chän a, 6 c¸ch chän c, 5 c¸ch chän d, 4 c¸ch
chän e, 3 c¸ch chän f. ë ®©y cã 6.6.5.4.3 = 2160sè
T¬ng tù víi c, d, e, f
VËy tÊt c¶ cã 2520+5.2160 = 13320 sè
0,25
0,5
0,25
VIII. a T×m a ®Ó . . .
(1,0 ®iÓm) §iÒu kiÖn: ax + a > 0
Bpt t¬ng ®¬ng 2
1 ( 1)x a x+ < +
NÕu a>0 th× x +1 >0.Ta cã
2
1
1
x
a
x
+
<
+

6. NÕu a<0 th× x +1 <0.Ta cã
2
1
1
x
a
x
+
>
+
XÐt h m sè y =
2
1
1
x
x
+
+
víi x ≠ - 1
y’ =
2 2
1
( 1) 1
x
x x
−
+ +
=0 khi x=1
x - ∞ -1 1 + ∞
y’ - || - 0 +
y
-1 +∞ 1
-∞
2
2
a>
2
2
hoÆc a < - 1
0,25
0,25
0,25
0,25
VI. b Chøng minh . . .
(1,0 ®iÓm) Gäi M(x0 ;y0 ), A(x1;y1), B(x2;y2)
TiÕp tuyÕn t¹i A cã d¹ng
1 1
1
4 3
xx yy
+ =
TiÕp tuyÕn ®i qua M nªn
0 1 0 1
1
4 3
x x y y
+ = (1)
Ta thÊy täa ®é cña A v B ®Òu tháa m n (1) nªn ®êng th¼ng AB cã pt
0 0
1
4 3
xx yy
+ = do M thuéc ∆ nªn 3x0 + 4y0 =12 ⇒ 4y0 =12-3x0
⇒ 0 04 4
4
4 3
xx yy
+ = ⇒ 0 04 (12 3 )
4
4 3
xx y x−
+ =
Gäi F(x;y) l ®iÓm cè ®Þnh m AB ®i qua víi mäi M th×
(x- y)x0 + 4y – 4 = 0
{ {0 1
4 4 0 1
x y y
y x
− = =
⇒ ⇒
− = =
VËy AB lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh F(1;1)
0,25
0,5
0,25
VII. b T×m tËp hîp . . .
(1,0 ®iÓm)
y = kx + 1 c¾t (C):
2
4 3
2
x x
y
x
+ +
=
+
. Ta cã pt
2
4 3
2
x x
x
+ +
+
= kx + 1 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt 1k⇒ ≠
Trung ®iÓm I cña AB cã täa ®é tháa m n
0,25
0,5

7. 2 3
2 2
1
kx
k
y kx
+ = − = +

2
2 5 2
2 2
x x
y
x
+ −
⇒ =
−
VËy quÜ tÝch cÇn t×m l ®êng cong
2
2 5 2
2 2
x x
y
x
+ −
=
−
0,25
VIII. b Gi¶i ph¬ng tr×nh . . .
(1,0 ®iÓm) §iÒu kiÖn : x>0
§Æt( ) 2log
3 1
x
+ =u, ( ) 2log
3 1
x
v− = ta cã pt
u +uv2
= 1 + u2
v2
⇔ (uv2
-1)(u – 1) = 0
2
1
1
u
uv
=⇔  =
. . . x =1
0,25
0,5
0,25