1. Tương giao c a th các hàm s
87
TƯƠNG GIAO C A TH CÁC HÀM S
I. TÓM T T LÝ THUY T
1. Bài toán tương giao t ng quát
Cho 2 th v i các hàm s tương ng: ( ) ( ) ( ) ( )1 2: , ; : ,C y f x m C y g x m= = .
Giao i m c a hai th (C1), (C2) có hoành là nghi m c a phương trình
tương giao: ( ) ( ), ,f x m g x m=
2. Bài toán cơ b n
Cho th ( ) ( ): ,C y f x m= và tr c hoành Ox: y = 0
Giao i m c a hai th có hoành là nghi m c a phương trình ( ), 0f x m =
3. Các phương pháp chung
Phương pháp nh m nghi m h u t
Xét phương trình: ƒ(x) = anxn
+ an − 1xn − 1
+... + a1x + a0 = 0
N u ( ); , 1
p
x p q
q
= ∈ =» là nghi m c a ƒ(x) thì q | na và p | 0a
Phương pháp hàm s (S d ng khi tham s là b c 1)
Chuy n phương trình tương giao: ( )
( )
, 0 ( )
y g x
f x m g x m
y m
=
= ⇔ = ⇔ 
=
II. CÁC D NG TƯƠNG GIAO T NG QUÁT C A HÀM B C 3 V I Ox
1. Các phương pháp xét tương giao
Bài toán: Xét tương giao c a th hàm b c 3 ( ) ( ): ,C y f x m= v i Ox: y = 0
1.1 Phương pháp nh m nghi m c nh:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2
,f x m x p a m x u m x v m= − + + .
1.2 Phương pháp nh m nghi m ch a tham s :
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )( )2
,f x m x m a m x u m x v m= − ϕ + +
1.3 Phương pháp hình d ng th và v trí c c tr c a hàm s ( ) ( ): ,C y f x m=
1.4 Phương pháp hàm s ( )
( )
, 0 ( )
y g x
f x m g x m
y m
=
= ⇔ = ⇔ 
=
www.VNMATH.com

2. Chương I. Hàm s – Tr n Phương
88
2. B ng t ng k t các bài toán tương giao th hàm b c 3
Hình d ng th ( ) 2
3 2f x ax bx c′ = + + ( ) ( ) ( )f x x p g x= −
1 nghi m
(1 giao
i m)
x
xx1 2x
a > 0
a < 0
x21x
x
x
2
2
CT CÐ
3 0
3 0
. 0
b ac
b ac
f f
 ′∆ = − ≤

 ′∆ = − >

> ( )
0
0
0
g
g
g p
∆ <

 ∆ =


=
2 nghi m
(2 giao
i m)
x
x1 2x
a < 0
a > 0
x21x x 2
CT CÐ
3 0
. 0
b ac
f f
 ′∆ = − >

=
( )
( )
0
0
0
0
g
g
g p
g p
 ∆ >
 =
 ∆ =
 ≠
3 nghi m
(3 giao
i m)
xx1
2x
a > 0
a < 0
x2
1x
x
1x
x2 3x
x1
2x x3
2
CT CÐ
3 0
. 0
b ac
f f
 ′∆ = − >

< ( )
0
0
g
g p
∆ >


≠
1
2 3
x
x x
α< <
<
3x
x2
1x
x3
2x
x1
x
x1
2xa < 0
a > 0 x2
1x xα
α
( )
( )
2
CT CÐ
3 0
. 0
. 0
. 0
3
b ac
f f
a f
a f
b
a
 ′∆ = − >

 <

 α <

 ′ α >

 −α <

( )
( )
0
0
. 0
2
g
g
g p
p
a g
S
∆ >

 ≠

α <

 α >

α <

1 2
3
x x
x
<
< <α α
α xx1
2xa > 0
a < 0 x2
1x
x
1x
x2
3x
x1
2x
x3
( )
( )
2
CT CÐ
3 0
. 0
. 0
. 0
3
b ac
f f
a f
a f
b
a
 ′∆ = − >

 <

 α >

 ′ α >

 −α >

( )
( )
0
0
. 0
2
g
g
g p
p
a g
S
∆ >

 ≠

α >

 α >

α >

www.VNMATH.com

3. Tương giao c a th các hàm s
89
1
2 3
x
x x
<α<
<
3x
x21x
x3
2xx1
x
x1
2x
a < 0
a > 0
x2
1x xα
α
( )
( )
2
CT CÐ
3 0
. 0
. 0
. 0
3
b ac
f f
a f
a f
b
a
 ′∆ = − >

 <

 α >

′ α ≤
 −α ≤
( )
( )
( )
0
. 0
2
. 0
0
g
g
p
a g
S
p
a g
g p
 ∆ >
 < α

α >

α <

> α
 α <
 ≠
1 2
3
x x
x
<
<α<
α
α
xx1
2xa > 0
a < 0 x2
1x
x
1x
x2 3x
x1
2x x3
( )
( )
2
CT CÐ
3 0
. 0
. 0
. 0
3
b ac
f f
a f
a f
b
a
 ′∆ = − >

 <

 α <

′ α ≤
 −α ≥
( )
( )
( )
0
. 0
2
. 0
0
g
g
p
a g
S
p
a g
g p
 ∆ >
 > α

α >

α >

< α
 α <
 ≠
3. Các bài t p m u minh h a
Bài 1. Tìm m th (Cm): ( ) ( ) ( )3 2 2
3 1 2 4 1 4 1y x m x m m x m m= − + + + + − +
c t Ox t i 1 2 3, ,x x x phân bi t và > 1
Gi i: Xét PT: ( ) ( ) ( )3 2 2
3 1 2 4 1 4 1 0x m x m m x m m− + + + + − + =
⇔ ( ) ( ) ( )[ ]2
2 3 1 2 1 0x x m x m m− − + + + = ⇔ ( )( ) ( )[ ]2 2 1 0x x m x m− − − + =
ycbt ⇔
2 2 1 2 1 1
22 1; 1 1
m m
m
m m
≠ ≠ + ≠
⇔ < ≠
> + >
Bài 2. Tìm m th (Cm): ( ) ( )3 2 2 2
2 2 1 1y x mx m x m m= − + − + −
c t Ox t i 1 2 3, ,x x x phân bi t và > 0
Gi i: Xét PT: ( ) ( )3 2 2 2
2 2 1 1 0x mx m x m m− + − + − =
⇔ ( )[ ]2 2
1 0x m x mx m− − + − = ⇔ ( ) 2 2
1 0x m g x x mx m= ∨ = − + − =
Yêu c u bài toán ⇔ m > 0 và g(x) = 0 có 2 nghi m phân bi t > 0 và khác m.
⇔
( )2 2
22
04 3 0; 1 0 2141 30 ; 1 0
3
mm g m m
m
mS m P m
>∆ = − > = − ≠ 
⇔ ⇔ < < 
< <= > = − >  
www.VNMATH.com

4. Chương I. Hàm s – Tr n Phương
90
Bài 3. CMR: (C): ( ) ( )3 3 3
y x a x b x= + + + − luôn c t Ox t i úng 1 i m.
Gi i: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 2 2 2 3 3
3 3f x x a x b x x a b x a b x a b= + + + − = + + + + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2
3 6 3 0 2 0y x a b x a b g x x a b x a b′ = + + + + = ⇔ = + + + + =
• N u 0g ab′∆ = ≤ thì y = f (x) không có c c tr nên (C) c t Ox t i 1 i m.
• N u ab > 0 thì g(x) = 0 hay ƒ′(x) = 0 có 2 nghi m phân bi t x1, x2 ng th i
hàm s t c c tr t i x1, x2. Th c hi n phép chia ƒ(x) cho g(x) ta có:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]. 4f x x a b g x ab x a b= + + − + + .
Do ( ) ( )1 2 0g x g x= = nên ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 24 ; 4f x ab x a b f x ab x a b   = − + + = − + +   
⇒ ( ) ( ) ( ) ( )2 2
C Ð CT 1 2 1 2. . 4 4f f f x f x a b x a b x a b   = = + + + +   
( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 2 2
16 8 9 4 0 , 0a b a b a b a b a b a b ab ab   = + − + + + = − + > ∀ >  
⇒ (C): y = f (x) luôn c t Ox t i úng 1 i m.
Bài 4. Tìm m (Cm): ( ) ( ) ( )3 2 2 2
3 3 1 1y f x x mx m x m= = − + − + − c t Ox t i
1 2 3, ,x x x phân bi t và > 0
Gi i: Yêu c u bài toán ⇔ th (Cm) có d ng như hình v sau:
⇔
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
1 2
C Ð CT 1 2
1 CÐ
0 1
. . 0 2
0 3
0 0 4
f x x x
f f f x f x
x x
f
′ = <

 = <

 = >

 <
cã nghiÖm
(*)
• Xét (1): ( ) ( ) ( )2 2 2 2
3 2 1 0 2 1 0f x x mx m g x x mx m′ = − + − = ⇔ = − + − =
1 21 ; 1x x m x x m⇔ = = − = = +
• Xét (2): Th c hi n phéo chia ƒ(x) cho g(x) ta có:
( ) ( ) ( ) ( )( )2
2 1 1f x x m g x x m m= − − + − − . Do ( ) ( )1 2 0g x g x= = nên
( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2
1 1 2 22 1 1 ; 2 1 1f x x m m f x x m m= − + − − = − + − −
⇒ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2
CÐ CT 1 2 1 2 1 2. . 4 1 1 2 1 1f f f x f x x x m m x x m m = = − − − + − − − 
O x
y
x1 1x
x2 3x2x
www.VNMATH.com

5. Tương giao c a th các hàm s
91
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )2 2 2 2 2 2
4 1 1 1 4 1 1 1 3 2 1m m m m m m m m m m = − − − − − − − = − − − − 
• Xét (3), (4): 1 1 0 1x m m= − > ⇔ > ; ( ) 2 2
0 1 0 1f m m= − < ⇔ > . H (*) ⇔
( )( )( ) ( )[ ]2 2 2 2 2
1 3 2 1 0 3 2 1 0
1 0 1 0
m m m m m m m
m m
 − − − − < − − − < 
⇔ 
− > − >  
3 1 2m⇔ < < +
Bài 5. Tìm m th ( ) ( ) ( )3 2
: 3 3 1 1 3mC y f x x x m x m= = − + − + +
c t Ox t i 1 2 31x x x< < <
Gi i: Xét phương trình: ( ) ( )3 2
0 3 3 1 3 1f x x x x m x= ⇔ − + + = − (*)
( )
( )
3 2
3 3 1
3 1
x x xg x m
x
− + +⇔ = =
−
. Ta có: ( ) ( )( )
( )
2
2
2 2 1
3 1
x x x
g x
x
− − +′ =
−
( ) 0 2g x x′ = ⇔ = ⇒ B ng bi n thiên
Nghi m c a phương trình ƒ(x) = 0 là
hoành giao i m c a ư ng th ng
y = m v i (L): y = g(x).
Nhìn b ng bi n thiên ta có:
th ( )mC c t Ox t i 1 2 31x x x< < < 3 3 1m m⇔ > ⇔ >
Bài 6. Tìm m th ( ) ( ) 3 2
: 18 2mC y f x x x mx m= = − + −
c t Ox t i 1 2 30x x x< < < phân bi t
Gi i: Xét ( ) ( )3 2 3 2
18 2 0 2 9 1f x x x mx m m x x x= − + − = ⇔ − = − + (*)
( )
3 2
2
9 1
x xg x m
x
− +⇔ = =
−
. Ta có: ( ) ( )
( )
2
2
2 3 1
9 1
x x
g x
x
− −′ =
−
⇒ B ng bi n thiên
Nghi m c a phương trình ƒ(x) = 0
là hoành giao i m c a ư ng
th ng y = 2m v i (L): y = g(x).
Nhìn b ng bi n thiên suy ra:
ƒ(x) = 0 có nghi m tho mãn
1 2 30x x x< < < ⇔ 2m < 0 ⇔ m < 0.
x −∞ 0 1
9
1
3 +∞
f ′ + 0 − 0
f
−∞
0
−∞
+∞
−∞
x −∞ 1 2 +∞
f ′ − − 0 +
f
+∞
−∞
+∞
3
+∞
www.VNMATH.com

6. Chương I. Hàm s – Tr n Phương
92
4. Tương giao hàm b c 3 v i Ox có hoành t o thành c p s
Bài toán g c 1: Tìm i u ki n tham s (C): ( )3 2
0y ax bx cx d a= + + + ≠ c t
Ox t i 3 i m phân bi t có hoành l p thành 1 c p s c ng.
i u ki n c n: Gi s (C) c t Ox t i 3 i m phân bi t là ÷ x1, x2, x3 khi ó:
( )( )( )3 2
1 2 3ax bx cx d a x x x x x x+ + + = − − − ∀x
( ) ( )3 2 3 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3ax bx cx d a x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ + + + = − + + + + + − ∀ 
ng nh t h s b c 2 2 v suy ra:
( ) ( )1 2 3 1 3 2 2 23
3
bb a x x x a x x x ax x
a
− = − + + = − + + = − ⇒ = 
Th 2
3
bx
a
−= vào ( ) 3 2
0f x ax bx cx d= + + + = ⇒ i u ki n ràng bu c v tham s
ho c i u ki n c a tham s
i u ki n : Th giá tr c a tham s ki m tra ƒ(x) = 0 có 3 nghi m phân bi t.
K t lu n: T i u ki n c n và i u ki n suy ra áp s .
Chú ý: Theo qui ư c 1 c p s c ng ư c hi u ph i có công sai khác 0 nên n u
không cho c th yêu c u 3 i m phân bi t thì ta v n ph i hi u luôn có ràng
bu c 3 i m phân bi t trong d ng toán trên.
Bài toán g c 2: Tìm i u ki n tham s (C): ( )3 2
0y ax bx cx d ad= + + + ≠ c t
Ox t i 3 i m phân bi t có hoành l p thành 1 c p s nhân.
i u ki n c n: Gi s (C) c t Ox t i 3 i m phân bi t là c p s nhân x1, x2, x3,
khi ó: ( )( )( )3 2
1 2 3ax bx cx d a x x x x x x+ + + = − − − ∀x
( ) ( )3 2 3 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3ax bx cx d a x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ + + + = − + + + + + − ∀ 
Suy ra: 3 3
1 2 3 2 2
dd x x x ax x
a
−= − = − ⇒ = .
Th 3
2
dx
a
−= vào phương trình ( ) 3 2
0f x ax bx cx d= + + + =
ta ư c các i u ki n ràng bu c v tham s ho c i u ki n c a tham s
i u ki n : Th giá tr c a tham s ki m tra ƒ(x) = 0 có 3 nghi m phân bi t.
K t lu n: T i u ki n c n và i u ki n suy ra áp s .
www.VNMATH.com

7. Tương giao c a th các hàm s
93
H qu : N u a =1 thì
3
2x d= − , khi ó: ( )2 0f x = ⇔ ( )
2
3 3
0b d c d− + ⋅ − =
⇔ 33 2 3 3 2 3 3
c d b d c d b d c b d⋅ − = = − ⋅ ⇔ − = − ⇔ =
Bài t p áp d ng 1: Tìm m (Cm):
( ) ( )3 2 2
3 2 4 9y f x x mx m m x m m= = − + − + − c t Ox t i 3 i m phân bi t có
hoành l p thành 1 c p s c ng.
i u ki n c n: Gi s (Cm) c t Ox t i 3 i m phân bi t là ÷ x1, x2, x3 khi ó:
( ) ( )( )( )3 2 2
1 2 33 2 4 9x mx m m x m m x x x x x x− + − + − = − − − ∀x
( )3 2 2
3 2 4 9x mx m m x m m⇔ − + − + −
( ) ( )3 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3x x x x x x x x x x x x x x x x= − + + + + + − ∀
⇒ ( )1 2 3 1 3 2 2 23 3m x x x x x x x x m= + + = + + = ⇒ = . Th 2x m= vào ( ) 0f x = ⇒
2
0 0 1m m m m− = ⇔ = =hoÆc
i u ki n : V i m = 0 thì ( ) 3
0 0f x x x= = ⇔ = (lo i)
V i m = 1 thì ( ) ( )( )3 2 2
3 6 8 0 1 2 8 0f x x x x x x x= − − + = ⇔ − − − =
( )( )( )2 1 4 0x x x⇔ + − − = ⇔ ÷ x1 = −2; x2 = 1; x3 = 4
K t lu n: (Cm) c t Ox t i 3 i m phân bi t l p thành 1 c p s c ng ⇔ m = 1.
Bài t p áp d ng 2 : Tìm m (Cm): ( ) ( ) ( )3 2
3 1 5 4 8y f x x m x m x= = − + + + − c t Ox t i 3
i m phân bi t có hoành l p thành 1 c p s nhân.
i u ki n c n: Gi s (C) c t Ox t i 3 i m phân bi t là c p s nhân x1, x2, x3,
khi ó: ( ) ( ) ( )( )( )3 2
1 2 33 1 5 4 8x m x m x x x x x x x− + + + − = − − − ∀x
( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 2
1 2 3 1 2 33 1 5 4 8 i jx m x m x x x x x x x x x x x x x⇔ − + + + − = − + + + − ∀∑
Suy ra: 3
1 2 3 2 28 2x x x x x= = ⇒ = .
Th 2 2x = vào phương trình ( ) 0f x = ⇒ ( )2 2 0 2m m− = ⇔ =
i u ki n : V i m = 2 thì ( ) 3 2
7 14 8 0f x x x x= − + − =
( )( )( )1 2 4 0x x x⇔ − − − = ⇔ 1 2 31; 2; 4x x x= = =
K t lu n: (Cm) c t Ox 3 i m phân bi t l p thành 1 c p s nhân ⇔ m = 2.
www.VNMATH.com

8. Chương I. Hàm s – Tr n Phương
94
III. TƯƠNG GIAO HÀM B C 4 V I Ox CÓ HOÀNH T O THÀNH C P S
Bài 1. Tìm m (Cm): ( ) ( )4 2
2 1 2 1y f x x m x m= = − + + + c t Ox t i 4 i m
phân bi t l p thành 1 c p s c ng
Xét phương trình: ( ) ( )4 2
0 2 1 2 1 0f x x m x m= ⇔ − + + + = (1). t
( ) ( ) ( )2 2
; 2 1 2 1t x f x g t t m t m= = = − + + +
Yêu c u bài toán ⇔ ƒ(t) = 0 có 2 nghi m t2 > t1 > 0 sao cho (1) có sơ nghi m:
Ta có: 4 3 3 2 2 1x x x x x x− = − = − ⇔ 4 3 3 2x x x x− = − ⇔
( )2 1 1 1 2 13t t t t t t− = − − ⇔ = ⇔ 2 19 0t t= > . Yêu c u bài toán
⇔ ( )
2
2 1
2 1
1 2
1
1 2 2
1
1 00; 9 2
92 1 0
5 1
. 2 1 0
9 2 1
mm t t
t tt t m
t m
t t m
t m
− < ≠′∆ = > = 
  =+ = + > ⇔ 
 = +
= + > 
= +
⇔
( )
2 1
2
1 0
2 4
9
4
1 99 2 1
5
m
m
t t
m
m m
− < ≠
 =
 = ⇔ − = + = +

Bài 2. Tìm a PT ( )4 3 2
16 2 17 16 0x ax a x ax− + + − + = có 4 nghi m phân
bi t l p thành 1 c p s nhân.
B : Gi s phương trình 4 3 2
0ax bx cx dx e+ + + + = , ( )0a ≠ có 4 nghi m
1 2 3 4, , ,x x x x khi ó ta có:
1 2 3 4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
bx x x x
a
cx x x x x x x x x x x x
a
 + + + = −


 + + + + + =

Áp d ng:
i u ki n c n: N u x = α là m t nghi m thì α ≠ 0 và 1x =
α
cũng là nghi m.
Không m t tính t ng quát gi s 4 nghi m là: 2 3
, , ,q q q÷÷ α α α α v i 0α ≠
và 1q > ⇒ 2 3
q q qα < α < α < α . Do 2 3
1 1 1 1, , ,
q q qα α α α
cũng là nghi m nên
1t− 1t 2t2t−
x1 x2 x3 x4
www.VNMATH.com

9. Tương giao c a th các hàm s
95
3 2 / 31q q −
α = ⇔ = α
α
suy ra 4 nghi m là: 1/ 3 1/ 3 1
, , ,− −
α α α α . S d ng b
ta có:
1/ 3 1/ 3 1
4 / 3 2/ 3 2/ 3 4 / 3
16
2 171 1
16
a
a
− −
− −
α + α + α + α =


+α + α + + + α + α =

.
t 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3
2 . 2t − −
= α + α ≥ α α = ⇒
3
4 2
2
16
2 173 2
16
at t
at t
 − =


+ − + =

⇒ ( ) ( ) ( )( )( )4 2 3 2
16 3 2 32 2 17 0 2 5 2 3 4 4 1 0t t t t t t t t− + − − − = ⇔ − − − − =
⇔ ( )( ) ( )2
2 5 2 3 2 1 2 0t t t − − − − =  . Do t ≥ 2 nên suy ra 5
2
t = ⇒ a = 170.
i u ki n : V i a = 170 ta có: 4 3 2
16 170 357 170 16 0x x x x− + − + =
⇔ ( )( )( )( )8 1 2 1 2 8x x x x− − − − = 0 ⇔ ÷÷ 1 2 3 4
1 1; ; 2; 8
8 2
x x x x= = = =
K t lu n: T i u ki n c n và i u ki n suy ra áp s a = 170.
IV. TƯƠNG GIAO TH HÀM PHÂN TH C H U T
Bài 1. Tìm m (∆): y = m c t th (C):
2
1
1
x mxy
x
+ −=
−
t i 2 i m A, B
phân bi t sao cho OA ⊥ OB.
Gi i: Xét PT:
( )
2
2 2
1 1
1
1 1 1 1
x x
x mx m
x x mx m x x m
≠ ≠  + − = ⇔ ⇔ 
− + − = − = −  
(∆): y = m c t (C) t i A, B phân bi t ⇔
2
,
0 10 1 1
11 A B
mm
x mx m
≠ << − ≠ 
⇔ 
= ± −= −  
(*)
Ta có: OA ⊥ OB ⇔
( )
2
. 1 1 1
1
A B
OA OB
A B
y y mk k
x x m
= − ⇔ ⋅ = − ⇔ = −
− −
⇔ 2 1 5
1 0
2
m m m
− ±
+ − = ⇔ = tho mãn i u ki n (*)
www.VNMATH.com

10. Chương I. Hàm s – Tr n Phương
96
Bài 2. Tìm m ( : 1y mx∆) = − c t (C):
2
1
2
x xy
x
+ −=
+
t i 2 i m A, B phân
bi t thu c cùng 1 nhánh c a (C).
Gi i: Xét PT: ( ) ( ) ( )
2
21 1 1 2 1 1 0
2
x x mx g x m x m x
x
+ − = − ⇔ = − + − − =
+
.
Do (C) có ti m c n ng x = −2 nên (∆) c t (C) t i 2 i m phân bi t thu c
cùng 1 nhánh c a th (C) ⇔
( ) ( )
( )0 1 0
0
1 01 2 0
m m
m
mm g
′∆ >  − > 
⇔ ⇔ < 
− >− − >  
Bài 3. Tìm m ( : 3 2y x∆) = − c t (C):
( )2
2 1 3
1
mx m x
y
x
− + +
=
−
t i 2 i m phân
bi t thu c 2 nhánh c a (C).
Gi i: Xét PT:
( )
( ) ( )( )
2
2
1 0 12 1 3
3 2
1 2 1 3 3 2 1
x xmx m x
x
x mx m x x x
− ≠ ⇔ ≠− + +
= − ⇔ 
− − + + = − −
.
( ) ( ) ( )2
1
3 2 2 1 0
x
g x m x m x
≠
⇔ 
= − − − + =
Do (C) có ti m c n ng x = 1 nên (∆)
c t (C) t i 2 i m phân bi t thu c 2 nhánh c a th (C)
⇔
( )
( ) ( )
( )( )
3 0; 1 2 0 3
3 2 0
23 1 0
m g m m
m m
mm g
 − ≠ = − ≠ >
⇔ − − < ⇔  <− < 
Bài 4. ( thi TS H kh i A năm 2004) Tìm m ư ng th ng y = m c t
th (C):
( )
2
3 3
2 1
x xy
x
− + −=
−
t i 2 i m A, B sao cho AB = 1.
Gi i: Xét phương trình tương giao gi a y m= và th (C):
( )
2
3 3
2 1
x x m
x
− + − =
−
.
⇔ ( ) ( )2
2 3 2 3 0g x x m x m= + − − + = .
Ta có y = m c t th (C) t i hai i m A, B phân bi t
2 314 4 3 0 V
2 2
m m m m⇔ ∆ = − − > ⇔ < − > . V i i u ki n này ta có AB = 1
( ) ( )
2 2 2 1 5
1 4 1 1 0
2B A A B A Bx x x x x x m m m
±
⇔ − = ⇔ + − = ⇔ − − = ⇔ =
www.VNMATH.com

11. Tương giao c a th các hàm s
97
Bài 5. Tìm m (d): 0mx y m− − = c t th (C)
2
2 4 10
1
x xy
x
− +=
− +
t i 2 i m
A, B phân bi t sao cho AB có dài ng n nh t.
Gi i: Xét phương trình
( ) ( ) ( )
2
22 4 10 2 2 2 10 0
1
x x mx m g x m x m x m
x
− + = − ⇔ = + − + + + =
− +
.
Ta có (d) c t th (C) t i hai i m A, B phân bi t
( )2; 0 2; 8 2 0 2m m m m′⇔ ≠ − ∆ > ⇔ ≠ − − + > ⇔ < − . Khi ó
( )( ) ( ) ( )2 22 2 2
1 4 1B A B A A BAB m x x x x x x m = + − − + − + 
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2
32 1 4 132
2 2
m m mg m g m
m m
− + + −′= = ⇒ = −
+ +
L p b ng bi n thiên suy ra v i 2 5m = − − thì 8 2 5MinAB = +
Bài 6. Cho (C): 2 1
1
xy
x
+=
−
và A(−2, 5). Xác nh ư ng th ng (D) c t (C) t i 2
i m B, C sao cho ∆ABC u.
Gi i: • 2 1 32
1 1
xy
x x
+= = +
− −
⇒
TCÐ: 1
TCN : 2
x
y
=

=
⇒ Phân giác t o b i 2 ti m c n: ( ): 3l y x= − +
•
( )2
3 0
1
y
x
−′ = <
−
⇒ Hàm s ngh ch bi n
⇒ th (C) có d ng như hình v .
Do A(−2, 5)∈(l) là tr c i x ng c a (C) nên
ư ng th ng (D) c n tìm ph i vuông góc v i (l)
⇒ (D): y = x + m.
Xét phương trình: ( ) ( ) ( )22 1 3 1 0
1
x x m g x x m x m
x
+ = + ⇔ = + − − + =
−
Ta có: ( ) ( ) ( )2 2
3 4 1 1 12 0g m m m m∆ = − + + = − + > ∀ nên (D) luôn c t (C) t i B, C
phân bi t và ∆ABC cân t i A.
1
2
-1
-1/2
O
x
y
5
-2
A
l( )
(D)
www.VNMATH.com

12. Chương I. Hàm s – Tr n Phương
98
Gi s (D) ∩ (l) ≡ I ⇒ ( )3 3,
2 2
m mI − + ⇒ ( )
2
2 72
2
mAI −= .
G i ( ) ( )1 1 2 2, ; ,B x x m C x x m+ + ⇒ ( ) ( )
2 22
2 1 2 1 1 22 2 4BC x x x x x x = − = + − 
⇔ ( ) ( ) ( )22 2
2 3 4 1 2 2 13BC m m m m = − + + = − + 
∆ABC u ⇔ ( ) ( )22 2 2
3 4 3 2 13 7BC AI m m m= ⇔ − + = −
2
1
4 5 0
5
m
m m
m
=
⇔ + − = ⇔ 
= −
⇒
( )
( )
D : 1
D : 5
y x
y x
 = +

 = −
Bài 7. Tìm m ư ng th ng i qua 2 giao i m c a (C1):
2
1
2
x xy
x
+ −=
+
,
(C2):
( )2
1 3
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
song song v i 4 5
3
y x= +
Gi i: (C1): 11
2
y x
x
= − +
+
và (C2): 3
1
y x m
x
= + +
+
.
Hoành giao i m c a (C1) và (C2) là nghi m c a phương trình:
3 31 11 1
2 1 2 1
x x m m
x x x x
− + = + + ⇔ + = −
+ + + +
(1)
N u m = −1 ⇒ 3 51
2 1 2
x
x x
= ⇔ = −
+ +
⇒ (C1) ∩ (C2) t i 1 i m ⇒ m ≠ −1.
t 11m
k
+ = (k ≠ 0), khi ó (1) ⇔ ( ) ( )2
2 3 5 2 0g x x k x k= + + + + = .
Gi s (C1), (C2) c t nhau t i ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y , khi ó:
( )1 2
2 1 2 1
2 11 2
2 3 3 3
1 15 2
x x k
y y x m x m
x xx x k
 + = − +    ⇒ − = − + − − +    + += +    
( )
( )( )
( )
( )2 1 2 1
2 1 1 2 1 2
3 31 1
1 1 1
x x x x
x x x x x x
   = − − = − −
   + + + + +   
( ) ( )
( )( )2 1 2 1
3 11 1
5 2 2 3 1
x x x x
kk k
 = − − = − −
 + − + + 
YCBT ⇔ 2 1
2 1
4 1 4 1 1 41 3
3 3 3 3
y y
k m
x x k k
− − −= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = − ⇔ =
−
,
khi ó ( ) 2
3 13 0g x x x= − − = có 0g∆ > .
www.VNMATH.com