1. BAB I
TEGANGAN DAN REGANGAN
1.1. Tegangan
Dalam mekanika bahan, pengertian tegangan tidak sama dengan
vektor tegangan. Tegangan merupakan tensor derajat dua, sedangkan
vektor, vektor apapun, merupakan tensor derajat satu. Besaran skalar
merupakan tensor derajat nol. Tensor ialah besaran fisik yang
keadaannya pada suatu titik dalam ruang, tiga dimensi, dapat
dideskripsikan dengan 3n komponennya, dengan n ialah derajat tensor
tersebut. Dengan demikian, untuk persoalan tegangan tiga dimensi
pada suatu titik dalam ruang dapat dideskripsikan dengan 3 2
komponennya. Pada sistem koordinat sumbu silang, tegangan tersebut
adalah σxx , σyy , σzz , txy , tyx , txz , tzx , tyz , dan tzy seperti ditunjukkan
pada Gambar 1.1(a). Namun demikian, karena t xy = tyx , txz = tzx dan
tyz = tzy , maka keadaan tegangan tersebut dapat dinyatakan dengan
enam komponennya, σxx , σyy , σzz , txy , txz , tyz. Sedangkan untuk
tegangan bidang, dua dimensi, pada suatu titik dapat dideskripsikan
dengan 22 komponennya, Gambar 1.1(b), dan karena tij = tji untuk maka
tiga komponen telah dapat mendeskripsikan tegangan bidang pada titik

2. Pada dasarnya, tegangan secara garis besar dapat diklasifikasikan
menjadi dua, yakni tegangan normal, dengan notasi s ij , i = j, serta
tegangan geser dengan notasi tij , . Perhatikan penulisan pada
paragrap di atas. Karakter indek yang pertama menyatakan bidang
tempat bekerjanya gaya, sedangkan karekter indek yang kedua
menyatakan arah bekerjanya vektor tegangan tersebut. Tegangan
normal ialah tegangan yang bekerja tegak lurus terhadap bidang

3. pembebanan. Sedangkan tegangan geser ialah tegangan yang bekerja
sejajar dengan bidang pembebanan. Jadi keenam tegangan yang
mendeskripsikan tegangan pada suatu titik terdiri atas tiga tegangan
normal, σxx , σyy , dan σzz , serta tiga tegangan geser, txy , tyz , dan
tzx. Nilai tegangan bisa positif dan bisa pula negatif. Tegangan
bernilai positif bila tegangan tersebut bekerja pada bidang positif
dengan arah positif, atau bekerja pada bidang negatif dengan arah
negatif. Selain itu, nilainya negatif.
Besar tegangan rata-rata pada suatu bidang dapat didefinisikan sebagai
intensitas gaya yang bekerja pada bidang tersebut. Sehingga secara
matematis tegangan normal rata-rata dapat dinyatakan sebagai
F
σ ij = n i=j (1a)
A
σ ij = tegangan normal rata-rata (N/mm2 = MPa)
Fn = gaya normal yang bekerja (N)
A = luas bidang (mm2)
i, j = sumbu koordinat pada sistem sumbu silang, x, y, z

4. Sedangkan tegangan geser rata-rata dapat dinyatakan sebagai
F (1b)
τ ij = t , i≠ j
A
τ ij = tegangan geser rata-rata (N/mm = MPa)
2
Ft = gaya tangensial atau sejajar bidang yang bekerja (N)
A = luas bidang (mm2)
i, j = x, y, z
Bila bidang yang menerima pembebanan tersebut dipersempit sampai
akhirnya mendekati nol, dalam artian limit maka akan didapat tegangan
pada suatu titik. Sehingga secara matematis tegangan normal pada
suatu titik dapat dinyatakan
∆ Fn d Fn
σ ij = lim = i=j (2a)
∆A → 0 ∆A dA

5. Sedangkan tegangan geser pada suatu titik, secara matematis dapat
dinyatakan sebagai
∆ Ft d Ft
τ ij = lim = , i≠ j (2b)
∆A → 0 ∆A dA
1.2. Regangan

6. Seperti halnya tegangan, regangan juga merupakan tensor
derajat dua. Dengan demikian keadaan regangan ruang, tiga dimensi,
pada suatu titik dapat dideskripsikan dengan kesembilan komponennya.
Pada sistem koordinat sumbu silang, regangan tersebut adalah e xx ,
eyy , ezz , gxy , gyx , gxz , gzx , gyz , dan gzy , sebagaimana ditunjukkan
pada Gambar 1.2(a). Regangan juga dapat diklasifikasikan menjadi
dua, yakni regangan normal, dengan notasi eij , i = j, serta regangan
geser dengan simbul γij , . Sebagaimana dengan tegangan, gxy = gyx ,
gxz = gzx dan gyz = gzy , maka keadaan regangan ruang pada suatu titik
dapat dinyatakan oleh enam komponen, yakni exx , eyy , ezz , gxy , gyz ,
gzx. Sedangkan regangan bidang, dua dimensi, dapat dideskripsikan
dengan 22 komponennya, dan karena gij = gji maka regangan bidang
pada suatu titik dapat dideskripsikan dengan hanya tiga komponen,
Gambar 1.2(b).

7.
Regangan normal merupakan perubahan panjang spesifik. Regangan
normal rata-rata dinyatakan oleh perubahan panjang dibagi dengan
panjang awal, atau secara matematis dapat dituliskan
∆ li ui
ε ij = = , i=j (3)
li li

8. ε ij = regangan normal rata-rata
∆l = u = perubahan panjang pada arah (mm)
l = panjang awal pada arah (mm)
i, j = sumbu koordinat pada sistem sumbu silang, x, y, z.
Sedangkan regangan geser merupakan perubahan sudut dalam radial.
Regangan geser bernilai positif bila sudut pada kuadran I dan atau
kuadran III pada sistem koordinat sumbu silang mengecil, Gambar
1.3(a), sedangkan selain itu bernilai negatif.
1.3. Transformasi Tegangan Bidang
Tegangan dapat ditransformasi dari suatu set sumbu koordinat ke
set sumbu koordinat lainnya. Dengan transformasi pula dapat dicari set
sumbu koordinat pada suatu titik yang memberikan tegangan utama
dari kondisi tegangan yang telah diketahui di titik itu. Yang dimaksud
dengan tegangan utama ialah tegangan yang hanya memiliki nilai tidak
nol untuk tegangan normal saja, sedangkan nilai tegangan gesernya nol.
Dengan demikian juga dimungkinkan transformasi tegangan dari sistem
koordinat sumbu silang (x, y, z), Gambar 1.4(a), ke sistem koordinat
polar (r, q, z), Gambar 1.4(b).

9.
Transformasi tegangan bidang berdasarkan pada keseimbangan gaya-
gaya yang bekerja pada elemen. Perhatikan Gambar 1.5(b) berikut.

10. Σ Fx ' = 0
σ x ' x ' . A − ( τ xy . A sin θ) cos θ − (σ yy . A sin θ) sin θ − ( τ xy . A cos θ) sin θ
−( σ xx . A cos θ) cos θ = 0
σ x'x' = σ xx cos2 θ + σ yy sin2 θ +2 τ xy sin θ cos θ (1.4a)

11. Dengan memasukkan harga (90o + θ) untuk harga θ pada
persamaan (1.4a), sehingga dengan identitas-identitas:
cos (9 0 + θ) = (cos9 0 cos θ − sin 9 0 sin θ ) = si n θ
2 o o o 2 2
sin ( 9 0o + θ ) = (sin 9 0o cos θ + cos 9 0o sin θ ) 2 = co s2 θ
2
sin(9 0o + θ) cos(9 0o + θ) = (sin 9 0o cos θ + cos 9 0o sin θ)(cos 9 0o cos θ − sin 9 0o sin θ)
= − sin θ cosθ
akan didapat
σ y ' y ' = σ yy cos2 θ + σ xx sin2 θ −2 τ xy sin θ cos θ (1.4b)
Σ Fy ' = 0
τ x ' y ' . A + ( τ xy . A sin θ) sin θ − (σ yy . A sin θ) cos θ − ( τ xy . A cos θ) cos θ
+( σ xx . A cos θ) sin θ = 0
τ x ' y ' = τ xy (cos2 θ − sin 2 θ) − ( σ xx − σ yy) sin θ cos θ (1.4c)

12. Dengan substitusi identitas trigonometri, persamaan (1.4a, b, c) bisa
ditulis
σ xx + σ yy σ xx − σ yy (1.5a)
σ x 'x' = + cos 2θ + τ xy sin 2θ
2 2
σ xx + σ yy σ xx − σ yy
σ y'y' = − cos 2θ − τ xy sin 2θ (1.5b)
2 2
σ xx − σ yy
τ x' y ' =− sin 2θ + τ xy cos 2θ (1.5c)
2
1.4. Transformasi Regangan Bidang
Perhatikan Gambar 1.6(a) pada halaman berikut. Elemen OABC
pada keadaan awal tanpa beban, lalu mengalami deformasi dan
distorsi menjadi O’A’B’C’ akibat mendapat beban s xx , syy dan txy.
Analisis transformasi regangannya ditunjukkan pada Gambar 1.6(b, c,
d) yang berturut-turut untuk regangan normal arah sumbu x, regangan
normal arah sumbu y serta regangan geser pada bidang xy. Dari
Gambar 1.6(b) didapat

13. dx dy
dx ' = = , ∆ x1 ' = ∆x.cos θ ,
cos θ sin θ
Dari Gambar 1.6(c) akan didapat
∆ x2 ' = ∆y.sin θ,
Dan dari Gambar 1.6(d) diperoleh
∆ x 3 ' = γ xy . dy.cos θ ,

14.
Dengan demikian total perubahan panjang dx’ akibat adanya regangan
pada sistem koordinat awalnya adalah
∆x’ = ∆x1’ + ∆x2’ + ∆x3’
Sedangkan

15. ∆x' ∆x.cos θ ∆y.sin θ γ xy . dy.cos θ
ε x' x' = = + +
dx' dx dy dy
cos θ sin θ sin θ
Sehingga
ε x ' x ' = ε xx . cos2 θ + ε yy . sin2 θ + γ xy .cos θ.sin θ (1.6a)
Selanjutnya, εy’ dapat diperoleh dengan mensubstitusikan harga (90 o +
θ) untuk harga θ pada persamaan (1.6) di atas, kemudian menerapkan
identitas trigonometri. Sehingga akan didapat
ε y ' y ' = ε xx . cos2 (9 0o + θ) + ε yy . sin2 (9 0o + θ) + γ xy .cos(9 0o + θ).sin(9 0o + θ)
ε y ' y ' = ε yy . cos2 θ + ε xx . sin2 θ − γ xy .cos θ.sin θ (1.6b)
Analisis transformasi regangan gesernya ditunjukkan pada Gambar
1.7 di bawah. Sebagaimana pada regangan normal, dalam hal ini
perubahan regangan geser oleh masing-masing regangan yang terjadi
ditinjau satu per satu. Pada analisis ini, panjang dx dibagi dua oleh
sumbu y menjadi dx1 dan dx2.

16.
d x1 dy dx2 dy
Dari Gambar 1.7 didapat d y'1 = = dan d x'2 = =
sin θ cos θ cos θ sin θ
Selanjutnya perhatikan Gambar 1.7(a), akibat terjadinya deformasi
normal pada arah sumbu x saja.
AD − ∆ x1 .cos θ − ∆ x1
γ '1a = = = sin θ.cos θ = − ε xx .sin θ.cos θ
dy '1 d x1 d x1
sin θ
CE − ∆ x 2 .sin θ − ∆ x 2
γ '1b = = = sin θ.cos θ = − ε xx .sin θ.cos θ
dx '2 d x2 d x2
cos θ
γ 'x ' y '1 = γ 1a + γ 1b = −2 ε xx .sin θ.cos θ

17.
Gambar. 1.7. Transformasi Regangan Geser
Akibat deformasi normal arah sumbu y saja seperti ditunjukkan pada
Gambar 1.7(b) akan diperoleh

18. AD ∆y.sin θ ∆y
γ '2 a = = = .sin θ.cos θ = ε yy .sin θ.cos θ
dy '1 dy dy
cos θ
CE ∆y.cos θ ∆y
γ '2 b = = = .sin θ.cos θ = ε yy .sin θ.cos θ
dx '2 dy dy
sin θ
γ 'x ' y '2 = γ 2 a + γ 2 b = 2ε yy .sin θ.cos θ
Sedangkan dari Gambar 1.7(c), akibat terjadinya regangan geser saja,
akan didapat
A ' D AA '.cosθ γ xy . dy
γ 3a = = = . cos2 θ = γ xy . cos2 θ
d y '1 dy dy
cos θ
CE CC ''.sin θ γ xy . dy
γ 3b = = =− . sin2 θ = − γ xy . sin2 θ
d x '2 dy dy
sin θ
γ x ' y '3 = γ 3a + γ 3b = γ xy (cos2 θ − sin2 θ)

19. Dengan demikian akan diperoleh besarnya regangan geser pada set
sumbu koordinat yang baru, sebagai berikut
γ x ' y ' = γ x ' y '1 + γ x ' y '2 + γ x ' y '3 = −( ε xx − ε yy) sin θ.cos θ + γ xy (cos2 θ − sin 2 θ)
...(1.6c)
Selanjutnya, dengan menggunakan identitas trigonometri persamaan-
persamaan (1.6a, b, c) dapat ditulis dalam bentuk lain sebagai berikut
=
(ε xx + ε yy )
+
(ε xx − ε yy )
cos 2θ +
γ xy
.sin 2θ (1.7a)
ε x'x'
2 2 2
( ε xx + ε yy ) (ε xx − ε yy ) γ xy
ε y'y' = cos 2θ + − .sin 2θ (1.7b)
2 2 2
γ x'y' (ε xx − ε yy ) γ xy
ε x' y' = =− sin 2θ + .cos 2θ (1.7c)
2 2 2

20. 1.5. Tegangan dan Regangan Utama (Principal Stress and Strain)
serta Tegangan dan Regangan Geser Maksimum
Tegangan Utama (Principal Stress) dan Tegangan Geser Maksimum
Tegangan Utama (principal stress) adalah tegangan normal
yang terjadi pada set sumbu koordinat baru setelah transformasi yang
menghasilkan tegangan geser nol. Tegangan-tegangan tersebut
ditunjukkan sebagai s1 dan s2 pada Gambar 1.10. Perlu dicatat
bahwa s1 selalu diambil lebih besar dari s2. Sudut transformasi yang
menghasilkan tegangan utama tersebut dengan sudut utama (principal
angle). Secara analitik, besar tegangan utama dan sudut utama dapat
diturunkan dari persamaan-persamaan (1.5a, b, c).
Menurut pengertian tentang tegangan utama, dari persamaan
(1.5c) akan didapat
σ xx − σ yy
0=− .sin 2θ + τ xy .cos 2θ
2

21. atau
sin 2 θ p 2 τ xy
= tan 2 θ p = (1.8)
cos 2 θ p σ xx − σ yy
Dari persamaan di atas dapat dilukiskan segitiganya sebagai berikut
Dengan substitusi harga-harga sin 2q dan cos 2q pada gambar di
atas ke persamaan (1.5a) akan didapat

22. 2
σ xx + σ yy σ xx − σ yy σ xx − σ yy 2 τ xy
σ x' x' = + +
2 2 2
( σ xx − σ yy ) + 4 τ xy
2 2
( σ xx − σ yy ) + 4 τ xy
2
σ x'x' =
σ xx + σ yy
2
+
1
2
2. (σ xx − σ yy ) + 4 τ xy
2 { 2
( σ xx − σ yy ) +4 τ xy
2
}
Sehingga
σ x'x' =
σ xx + σ yy 1
2
+
2.
{ 2
(σ xx − σ yy ) +4 τ xy }
2
Substitusi dan penerapan prosedur yang sama terhadap persamaan
(1.5b), akan didapat
σ y'y' =
σ xx + σ yy 1
2
−
2.
{ 2
(σ xx − σ yy ) +4 τ xy }
2
Dengan mengingat bahwa secara matematik haruslah σ1 > σ2 , maka
kedua persamaan tersebut di atas dapat dituliskan menjadi satu dengan

23.
σ 1, 2 =
σ xx + σ yy 1
2
±
2.
{ }
(σ xx − σ yy ) 2 +4 τ xy 2 (1.9)
Selanjutnya, perhatikan persamaan (1.5c). Untuk suatu titik dan jenis
pembebanan tertentu dari suatu bagian konstruksi, harga-harga σxx ,
σyy dan τxy adalah tetap atau konstan, sehingga τx’y’ merupakan suatu
fungsi θ, atau τx’y’ = f(θ). Harga ekstrim fungsi tersebut akan
diperoleh bila turunan pertama fungsi tersebut terhadap θ sama
dengan nol. Jadi
dτ x ' y ' σ xx − σ yy
=− .sin 2θ + τ xy .cos 2θ = 0
dθ 2
atau
sin 2 θ max σ xx − σ yy
= tan 2 θ max = − (1.10)
cos 2 θ max 2 τ xy
Dari persamaan di atas dapat dilukiskan segitiganya sebagai berikut:

24.
Dengan substitusi harga-harga sin 2θ dan cos 2θ pada gambar di atas
ke persamaan (1.5c) akan didapat
2
σ xx − σ yy − ( σ xx − σ yy ) 2 τ xy
τ x'y' =− +
2 2
( σ xx − σ yy ) + 4 τ xy
2 2
( σ xx − σ yy ) + 4 τ xy
2
=
1
2
2. (σ xx − σ yy ) + 4 τ xy
2 { 2
( σ xx − σ yy ) +4 τ xy }
2

25. Sehingga
τ x' y' =
1
2.
{ 2
( σ xx − σ yy ) +4 τ xy
2
}
Persamaan (1.10) juga dipenuhi bila panjang sisi di depan sudut 2θ
adalah (σxx − σyy) dan panjang sisi di sampingnya adalah -2τxy. Kondisi
ini akan memberikan
τ x' y' =−
1
2.
{
(σ xx − σ yy ) 2 +4 τ xy 2 }
Dengan demikian kedua persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi
satu sebagai
τ max =±
1
2.
{ 2
(σ xx − σ yy ) +4 τ xy }
2
(1.11)
Regangan Utama dan Regangan Geser Maksimum

26. Sebagaimana pengertian tentang tegangan utama, maka regangan
utama (principal strain) adalah regangan normal yang terjadi pada set
sumbu koordinat baru setelah transformasi yang menghasilkan
setengah regangan geser nol. Regangan-regangan tersebut ditunjukkan
sebagai ε1 dan ε2 pada Gambar 1.11. Demikian juga, ε1 selalu
diambil lebih besar dari ε2 , serta sudut transformasinya juga disebut
sudut utama (principal angle). Secara analitik, dengan penerapan
prosedur yang sama dengan yang diterapkan untuk persamaan-
persamaan (1.7a, b, c), maka akan didapat hasil-hasil berikut.
sin 2 θ p γ xy
= tan 2 θ p = (1.12a)
cos 2 θ p
ε xx − ε yy
ε1,2 =
ε xx + ε yy 1
2
±
2.
{ ( ε xx − ε yy ) + γ xy
2
}
2
(1.12b)
qp = sudut utama
e1,2 = regangan-regangan utama
gxy = 2exy = regangan geser

27. sin 2 θ max ε xx − ε yy
= tan 2 θ max = − (1.13a)
cos 2 θ max γ xy
γ max
2
=±
1
2.
{ (ε xx − ε yy ) + γ xy
2
}
2
(1.13b)
θmax = sudut regangan geser maksimum
γxy = 2εxy = regangan geser
1.6. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang dan Regangan Bidang
Lingkaran Mohr diperkenalkan oleh seorang insinyur Jerman, Otto
Mohr (1835-1913). Lingkaran ini digunakan untuk melukis transformasi
tegangan maupun regangan, baik untuk persoalan-persoalan tiga dimensi
maupun dua dimensi. Yang perlu dicatat adalah bahwa perputaran
sumbu elemen sebesar q ditunjukkan oleh perputaran sumbu pada
lingkaran Mohr sebesar 2q, .dan sumbu tegangan geser positif adalah
menunjuk ke arah bawah. Pengukuran dimulai dari titik A, positif bila
berlawanan arah jarum jam, dan negatif bila sebaliknya. Pada bagian
ini kita hanya akan membahas lingkaran Mohr untuk tegangan dan
regangan dua dimensi.

28. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang
σx + σy
Pada persamaan (1.5a), bila suku dipindahkan ke ruas
2
kiri dan kemudian kedua ruasnya dikuadratkan, maka akan didapat
2 2
 σ x+σ y   σ x−σ y 
 co s 2θ + τ xy si n 2θ + ( σ x − σ y) τ xy sin 2θ cos 2θ
2
 σx' −  = 2 2
 2   2 
………(1.14a)
Sedangkan pada persamaan (1.5c), bila dikuadratkan akan didapat
2
 σx −σ y 
 si n 2θ − ( σ x − σ y) τ xy sin 2θ cos 2θ
2 2
τ x ' y ' = τ xy co s 2θ + 
2 2
 2 
………(1.14b)
Penjumlahan persamaan-persamaan (1.14a) dan (1.14b) menghasilkan
2 2
 σ x+σ y  2  σ x −σ y  2
 σ x '−  + τx'y' =   + τ xy
 2   2  (1.15)
Persamaan (1.15) merupakan persamaan lingkaran pada bidang st yang
pusatnya di dengan jari-jari . Lingkaran tersebut ditunjukkan pada
Gambar 1.8 di bawah ini, yang dilukis dengan prosedur sebagai berikut:

29. 1. Buatlah sumbu σij , horisontal.
2. Periksa harga tegangan normal, σxx atau σyy , yang secara
matematis lebih kecil. Bila bernilai negatif jadikanlah
tegangan tersebut sebagai titik yang mendekati tepi kiri batas
melukis, sedangkan bila positif maka titik yang mendekati
batas kiri adalah titik σij = 0.
3. Periksa harga tegangan normal, σxx atau σyy , yang secara
matematis lebih besar. Bila bernilai positif jadikanlah tegangan
tersebut sebagai titik yang mendekati tepi kanan batas melukis,
sedangkan bila negatif maka titik yang mendekati batas kanan adalah
titik σij = 0.
4. Tentukan skala yang akan digunakan sehingga tempat melukis bisa
memuat kedua titik tersebut dan masih tersisa ruangan di sebelah kiri
dan kanannya. Tentukan titik-titik batas tersebut sesuai dengan skala
yang telah ditentukan.

30. 5. Tentukan letak titik-titik σij = 0 dan sumbu τ, serta σij terkecil
dan σij terbesar bila belum terlukis pada sumbu σij .
6. Bagi dua jarak antara tegangan terkecil dan tegangan terbesar
sehingga diperoleh pusat lingkaran, P.
7. Tentukan letak titik A pada koordinat (σij terbesar , τxy ).
8. Lukis lingkaran Mohr dengan pusat P dan jari-jari PA.
9. Tarik garis dari A melalui P sehingga memotong lingkaran Mohr di
B. Maka titik B akan terletak pada koordinat (σij terkecil , τxy ).
Garis AB menunjukkan sumbu asli, θ = 0, elemen tersebut.
Contoh 1.1: Sebuah elemen dari bagian konstruksi yang dibebani,
menerima tegangan tarik pada arah sumbu x sebesar 280 MPa,
tegangan tekan pada arah sumbu y sebesar 40 MPa serta tegangan
geser pada bidang tersebut sebesar 120 MPa.

31. Diminta: a. Lukisan lingkaran Mohr.
b. Besar rotasi mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan
tegangan geser maksimum, menurut lingkaran Mohr.
Periksa hasil tersebut dari persamaan (1.10).
c. Besar tegangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr.
Periksa hasil tersebut dengan rumus (1.11) dan hasil
yang didapat pada b. di atas.
d. Besar perputaran mengelilingi sumbu z untuk
mendapatkan tegangan geser bernilai nol, menurut
lingkaran Mohr. Periksa hasil ini dengan persamaan (1.8).
e. Besar tegangan-tegangan utama menurut lingkaran Mohr.
Periksa hasil tersebut dengan persamaan-persamaan (1.9)
dan dari hasil pada pada d. di atas.

32. Penyelesaian:
a. Lingkaran Mohr:
1) Buat sumbu sij , horisontal.
2) Tegangan normal terkecil, syy = -40 MPa, negatif, sehingga
digunakan sebagai titik di dekat batas kiri.
3) Tegangan normal terbesar sxx = 280 MPa, positif, sehingga
digunakan sebagai titik di dekat batas kanan.
4) Diambil skala 1cm = 40 MPa. Kemudian ditentukan titik s yy = -
40 MPa di sebelah kiri, dan sxx = 280 MPa di sebelah kanan yang
berjarak (sxx + syy) dari titik syy di sebelah kiri.
5) Lukis sumbu t yang berjarak 40 MPa di sebelah kanan titik s yy .
6) Dengan membagi dua sama panjang jarak syy ke sxx akan
didapat titik P.
7) Menentukan letak titik A pada koordinat (sxx , txy ) = (280,120).
8) Dengan mengambil titik pusat di P dan jari-jari sepanjang PA,
lingkaran Mohr dapat dilukis.
9) Dengan menarik garis dari A lewat P yang memotong lingkaran

33.
Gambar 1.8. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang
b. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan
mengukur, didapat
θmax = 0,5 x 2 θmax = 0,5 x (-53o) = 26o 30’.
Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapat
tan 2θmax = − (280 + 40) / (2 x 120) = − 4/3
2θmax = − 53o 08’ atau θmax = − 26o 34’

34. c. Besar tegangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr
τmax = 5 x 40 MPa = 200 MPa.
Sedangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat
d. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan
mengukur, didapat
θp = 0,5 x 2θp = 0,5 x 37o = 18o 30’.
Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapat
tan 2θp = (2 x 120) / (280 + 40) = 3/4
2θp = − 36o 52’ atau θmax = − 18o 26’
e. Besar tegangan-tegangan utama menurut lingkaran Mohr
σ1 = 8 x 40 MPa = 320 MPa.
σ2 = -2 x 40 MPa = -80 MPa.
Sedangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat
280 − 40 1
σ1 = + ( 280+ 40)
2 2
+ 120 = 320MPa
2 2
280 − 40 1
σ2 = − ( 280+ 40) 2 + 1202 = −80 MPa
2 2

35. Lingkaran Mohr untuk Regangan Bidang
ε xx + ε yy
Pada persamaan (1.7a), bila suku dipindahkan ke ruas kiri
2
dan kemudian kedua ruasnya dikuadratkan, maka akan didapat
2 2 2
 ε xx + ε yy   ε xx − ε yy   γ xy   γ xy 
 ε x' x' −
 2 
 =
 2 
 cos 2θ + 
2
 2 
2
( )
 sin 2θ + ε xx − ε yy 
 2 
 sin 2θ cos 2θ
………(1.16a)
Sedangkan pada persamaan (1.7c), bila dikuadratkan akan didapat
 γ  2  γ  2 2
γ x' y'
 ε xx − ε yy 
 x ' y '  =  xy  cos2 2θ + 
 2   2   2 
 sin 2 2θ −
(
ε xx − ε yy
2
)sin 2θ cos 2θ
   
………(1.16b)
Penjumlahan persamaan-persamaan (1.16a) dan (1.16b) menghasilkan

36. 2 2 2 2
 ε xx + ε yy   ε x' y'   ε xx − ε yy   ε x' y'  (1.17)
 ε x' x' −  +  =  + 
 2   2   2   2 
γ
Persamaan (1.17) merupakan persamaan lingkaran pada bidang ε
2
2
 ε xx − ε yy  2
 ε xx − ε yy   γ xy 
yang pusatnya di  ,0 dengan jari-jari   + 
 2   2   2 
Lingkaran tersebut ditunjukkan pada Gambar 1.9 di bawah ini, yang
dilukis dengan prosedur sebagaimana melukis lingkaran Mohr untuk
tegangan dengan mengganti σxx , σyy dan τxy berturut-turut menjadi
εxx , εyy dan γxy / 2. Penerapannya, lihat Contoh 1.2 pada halaman 21.
1.7. Hubungan Antara Tegangan Dengan Regangan
Untuk deformasi normal, geser maupun gabungan keduanya, hubungan
antara tegangan dan regangan untuk bahan-bahan isotropis pada
pembebanan dalam batas proporsional diberikan oleh hukum Hooke.
Jadi hukum Hooke tidak berlaku untuk pembebanan di luar batas
proporsional. Hukum Hooke diturunkan dengan berdasarkan pada
analisis tentang energi regangan spesifik.

37. Apabila besar tegangan-tegangannya yang diketahui, maka hukum
Hooke untuk persoalan-persoalan tiga dimensi, hubungan antara
tegangan normal dengan regangan normal dapat dituliskan secara
matematis sebagai berikut:
1
ε xx =
E
( σ xx − ν σ yy − ν σ zz)
1
ε yy = ( σ yy − ν σ xx − ν σ zz) (1.18)
E
1
ε zz = ( σ zz − ν σ xx − ν σ yy )
E
Dengan E dan v berturut-turut adalah modulus alastis atau modulus
Young dan angka perbandingan Poisson. Sedangkan pada deformasi
geser untuk G adalah modulus geser , hubungannya adalah:
τ xy ( 1 + ν) τ xy
γ xy
ε xy = =
=
2 2G E
γ τ
= xz = xz =
( 1 + ν) τ xz (1.19)
ε xz
2 2G E
γ yz τ yz ( 1 + ν) τ yz
ε yz = = =
2 2G E

38. Sedangkan untuk mencari tegangan normal yang terjadi bila regangan
normal dan sifat-sifat mekanis bahannya diketahui, digunakan
persamaan-persamaan:
σ xx =
E
( 1 + ν)( 1 − 2 ν)
{
( 1 − ν) ε xx + ν( ε yy + ε zz) }
E
σ yy =
( 1 + ν)( 1 − 2 ν)
{ ( 1 − ν) ε yy + ν( ε xx + ε zz) } (1.20)
σ zz =
E
( 1 + ν)( 1 − 2 ν)
{
( 1 − ν) ε zz + ν( ε xx + ε yy ) }
Selanjutnya untuk deformasi geser, bentuk hukum Hooke adalah:
E E
τ xy = ε xy = γ xy = G γ xy
1+ ν 2( 1 + ν)
E E
τ xz = ε xz = γ xz = G γ xz
1+ ν 2( 1 + ν) (1.21)
E E
τ yz = ε yz = γ yz = G γ yz
1+ ν 2( 1 + ν)

39. Persamaan-persamaan (1.18) sampai dengan (1.21) dapat juga
diberlakukan untuk persoalan-persoalan dua dan satu dimensi, yakni
dengan memasukkan harga nol untuk besaran-besaran di luar dimensi
yang dimaksud.
Contoh 2: Pembebanan seperti pada Contoh 1, untuk bahan dengan
sifat-sifat mekanis: modulus Young, E = 200 GPa dan angka
perbanding-an Poisson, n = 0,29. Modulus geser ditentukan dengan,
G = E / 2(1 + n).
Diminta: a. Hitunglah regangan-regangan yang terjadi.
b. Lukisan lingkaran Mohr untuk regangan yang terjadi.
c. Besar rotasi mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan
regangan geser maksimum, menurut lingkaran Mohr.
Periksa hasil tersebut dari persamaan (1.10).
d. Besar regangan geser maksimum menurut lingkaran
Mohr. Periksa hasil tersebut dengan rumus (1.11) dan
hasil yang didapat pada b. di atas.

40. e. Besar perputaran mengelilingi sumbu z untuk
mendapatkan regangan geser bernilai nol, menurut
lingkaran Mohr. Periksa hasil ini dengan persamaan
(1.8).
f. Besar regangan-regangan utama menurut lingkaran
Mohr. Periksa hasil tersebut dengan persamaan-
persamaan (1.9) dan dari hasil pada pada d. di atas.
Penyelesaian:
a) Dari persamaan (1.18) dan (1.19) akan didapat:
1
ε xx = ( 280 + 0,29.40 − 0,29.0) = 0,001458 = 1458µε
200000
1
ε yy = ( −40 − 0,29.280 − 0,29.0) = −0,000606 = −606µε
200000
γ xy ( 1+ 0,29 ) .120
ε xy = = = 0,000774 = 774 µε atau γ xy = 1548µε
2 200000
b. Lingkaran Mohr:
1) Buat sumbu eij horisontal.
2) Regangan normal terkecil, eyy = -606me, sehingga
merupakan titik di dekat batas kiri.

41. 3) Regangan normal terbesar exx = 1458me, sehingga
merupakan titik di dekat batas kanan.
4) Diambil skala 1cm = 250me. Kemudian ditentukan titik
eyy = -606me di sebelah kiri, exx = 1458me di sebelah
kanan dan berjarak (exx + eyy) dari titik eyy di sebelah
kiri.
5) Lukis sumbu t yang berjarak 606me di sebelah kanan
titik eyy .
6) Dengan membagi dua sama panjang jarak eyy ke exx
akan didapat titik P.
7) Menentukan letak titik A pada koordinat (exx , exy ) =
(1458,774).
8) Dengan mengambil titik pusat di P dan jari-jari
sepanjang PA, lingkaran Mohr dapat di-lukis.
9) Dengan menarik garis dari A lewat P yang memotong
lingkaran Mohr di B, akan di dapat kedudukan titik (e yy ,
exy ) = (-606,-774).

43. c. Besar rotasi mengelilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr,
dengan mengukur, didapat
θmax = 0,5 x 2 θmax = 0,5 x (-53o) = 26o 30’.
Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapat
tan 2θmax = − (1458 + 606) / (2 x 774) = − 4/3
2θmax = − 53o 08’ atau θmax = − 26o 34’
d. Besar regangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr
εxy-max = 5,2 x 250µε = 1300µε.
Sedangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat
γ max 1
= ε xy − max = ± (1458 + 606)2 +1548 2 = ±1290µε
2 2
e. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr,
dengan mengukur, didapat
θp = 0,5 x 2θp = 0,5 x 37o = 18o 30’.
Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapat
tan 2θp = (2 x 120) / (280 + 40) = 3/4
2θ = − 36o 52’ atau θ = − 18o 26’

44. f. Besar regangan-regangan dasar menurut lingkaran Mohr
ε1 = 6,9 x 250µε = 1725µε.
ε2 = -3,5 x 250µε = -875µε
Sedangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat
1458 − 606 1
ε1 = + ( 1458+ 606) 2 +15482 = 1716µε
2 2
1458 − 606 1
ε2 = − ( 1458+ 606) 2 +15482 = −864 µε
2 2