Dokumen ini menjelaskan berbagai jenis transformasi dalam bidang, termasuk translasi, refleksi, dan rotasi, serta cara mendefinisikan dan melakukan transformasi tersebut dengan menggunakan berbagai metode seperti pemetaan, persamaan aljabar, dan persamaan matriks. Contoh-contoh diberikan untuk menunjukkan bagaimana bayangan objek (titik, segitiga, dan kurva) dapat dihitung setelah diterapkan transformasi. Transformasi ini penting dalam bidang geometri dan aplikasi matematis lainnya.

1. 1
D E F I N I S I
Transformasi bidang adalah suatu aturan yang memindahkan sebuah
titik atau sekumpulan titik
pada bidang.
Jika titik A dipindahkan oleh transformasi T ke titik A’ , maka titik A’ dinamakan bayangan atau
peta dari titik A oleh tranformasi T.
A . MENYATAKAN SUATU TRANSFORMASI
Jika titik A dipindahkan ke titik A’ oleh suatu transformasi T, maka transformasi tersebut dapat
dinyatakan dengan beberapa macam cara, yaitu :
1. Bentuk Pemetaan :
   ','', yxAyxA T

2. Persamaan Aljabar :
ybxay
ybxax
22
11
'
'


3. Persamaan Matriks :


















y
x
ba
ba
y
x
22
11
'
'
atau 

















y
x
a
a
y
x
2
1
'
'
JENIS-JENIS TRANSFORMASI
B . TRANSLASI ( PERGESERAN )
Definisi : Translasi adalah transformasi yang memindahkan sebuah titik atau sekumpulan titik
dalam arah garis lurus.
T
A
A’
 yxA ,







b
a
T
 ','' yxA

2. 2
Jika titik  yxA , dipindahkan ke titik  ','' yxA oleh translasi 






b
a
T , maka translasi
tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut :
1. Dengan Pemetaan :
   ','', yxAyxA
b
a
T
 







2. Dengan Persamaan Aljabar :
byy
axx


'
'
3. Dengan Persamaan Matriks :


















b
a
y
x
y
x
'
'
1. Tentukan bayangan dari segitiga ABC dengan A( −5 , 2 ) , B ( 4 , 8 ) dan C ( −6 , −9 ) , jika
ditranslasikan oleh translasi 







1
4
T
2. Tentukan bayangan dari lingkaran 2522
 yx , jika ditranslasikan oleh translasi 






3
8
T
1. Bayangan dari segitiga ABC adalah :





























10
2
71
81
1
4
11
44
9
6
82
45
'
'
''
''
C
C
BA
BA
y
x
yy
xx
Jadi : A’ ( −1 , 1 ) , B’ ( 8 , 7 ) , dan C’ ( −2 , −10 ) .
2. Persamaan aljabar dari translasi :
)2.....3'3'
)1.....8'8'


yyyy
xxxx
Jadi bayangan dari lingkaran 2522
 yx oleh translasi tersebut adalah :
        2538253'8' 2222
 yxyx
1. Tentukan bayangan dari segitiga ABC dengan A ( −11 , 2 ) , B ( 3 , −8 ) , dan C ( 5 , 16 ) ,
jika dipindahkan oleh translasi 








12
4
T
2. Suatu translasi memindahkan titik A ( −3 , −18 ) ke titik A’ ( 6 , −14 ).
a. Tentukan translasi tersebut.
b. Dengan translasi tersebut tentukan bayangan dari titik B ( 30 , 16 )
3. Titik C dipindahkan oleh translasi 




 

2
12
T ke titik C ‘ ( 24 , −13 ) . Tentukan
koordinat titik C

3. 3
A
A’
x
y
O
A’ A
y
x
O
y
x
O
A
A’
y
=
x
4. Tentukan persamaan bayangan dari kurva berikut :
a. garis 532  yx dengan translasi 







4
1
T
b. lingkaran 016222
 yxyx dengan translasi 




 

3
6
T
c. elips
    1
4
1
16
4 22



 yx
dengan translasi 








2
10
T
d. hiperbola 1
2549
22

yx
dengan translasi 






3
7
T
C . REFLEKSI ( PENCERMINAN )
A’
A
Definisi : Refleksi adalah transformasi yang memindahkan
sebuah titik atau sekumpulan titik dalam arah tegak
lurus sebuah garis yang invarian.
Garis yang invarian tersebut dinamakan sumbu pencerminan
atau cermin. Dinamakan garis yang invarian karena titik-titik
pada garis tersebut tidak berpindah ( tetap ).
JENIS-JENIS REFLEKSI
1. PENCERMINAN TERHADAP SUMBU x
Persamaan aljabar :
yy
xx


'
'
Persamaan matriks :



















y
x
y
x
10
01
'
'
2. PENCERMINAN TERHADAP SUMBU y
Persamaan aljabar :
yy
xx


'
'
Persamaan matriks :











 






y
x
y
x
10
01
'
'
3. PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = x
Persamaan aljabar :
xy
yx


'
'
Persamaan matriks :


















y
x
y
x
01
10
'
'

4. 4
y
x
O
A
A’
y
=
-x
y
x
O
A
A’
y
x
O
A A’
h
y
x
O
A
A’
k
4. PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = − x
Persamaan aljabar :
xy
yx


'
'
Persamaan matriks :




















y
x
y
x
01
10
'
'
5. PENCERMINAN TERHADAP TITIK O ( 0 , 0 )
Persamaan aljabar :
yy
xx


'
'
Persamaan matriks :




















y
x
y
x
10
01
'
'
6. PENCERMINAN TERHADAP GARIS x = h
Persamaan aljabar :
yy
xhx


'
2'
Persamaan matriks :











 






0
2
'
' h
y
x
y
x
7. PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = k
Persamaan aljabar :
yky
xx


2'
'
Persamaan matriks :



















ky
x
y
x
2
0
'
'
`
1. Tentukan bayangan dari segitiga ABC dengan A( 8 , − 4 ) , B ( 3 , 1 ) dan C ( −12 , 2 ) , jika
dicerminkan terhadap garis y = − x
2. Tentukan bayangan dari lingkaran 02041022
 yxyx , jika dicerminkan terhadap
titik O
3. Tentukan bayangan dari lingkaran xy 322
 , jika dicerminkan terhadap garis x = 10
1. Bayangan dari segitiga ABC adalah :





 







 














12
2
38
14
2
12
14
38
01
10
'
'
''
''
C
C
BA
BA
y
x
yy
xx
Jadi : A’ ( 4 , −8 ) , B’ ( −1 , −3 ) , dan C’ ( −2 , 12 ) .

5. 5
y
x
O
A
A’

2. Persamaan aljabar dari pencerminan terhadap titik O adalah :
)2.....''
)1.....''
yyyy
xxxx


Jadi bayangan dari lingkaran 02041022
 yxyx oleh pencerminan tersebut adalah :
        020'4'10''020410 2222
 yxyxyxyx
020'4'10'' 22
 yxyx
Jadi persamaan bayangannya : 02041022
 yxyx
3. Persamaan aljabar dari pencerminan terhadap garis x = 10 adalah :
)2.....''
)1.....'2020'
yyyy
xxxx


Jadi bayangan dari lingkaran xy 322
 oleh pencerminan tersebut adalah :
   20'32''2032'32 222
 xyxyxy
Jadi persamaan bayangannya :  20322
 xy
1. Tentukan bayangan dari titik ( 4 , −16 ) jika dipindahkan oleh pencerminan terhadap :
a. sumbu x
b. sumbu y
c. garis y = x
d. garis y= −x
e. titik O
f. garis x = 5
g. garis y = −8
2. Tentukan bayangan dari segiempat ABCD , dengan A ( −5 , −2 ) , B ( 8 , −3 ) , C ( 7 , 5 ) ,
dan D ( −4 , 6 ) jika dicerminkan terhadap :
a. garis y = x b. garis y = 12
3. Titik A ( −6 , 12 ) dicerminkan terhadap garis x = h , bayangannya adalah titik
A’ ( 14 , 12 ) .Tentukan nilai h !
4. Tentukan bayangan dari kurva berikut :
a. garis 102  xy dicerminkan terhadap sumbu x
b. lingkaran     10052 22
 yx dicerminkan terhadap sumbu y
c. elips 1
64144
22

yx
dicerminkan terhadap garis y = x
d. hiperbola 0164811694 22
 yxyx dicerminkan terhadap garis y = − x
e. parabola 04416122
 xyy dicerminkan terhadap titik O
f. lingkaran 09120822
 yxyx dicerminkan terhadap garis x = 2
g. elips
    1
16
3
49
8 22



 yx
dicerminkan terhadap garis y = −1
D . ROTASI ( PERPUTARAN )
Definisi : Rotasi adalah transformasi yang memindahkan sebuah
titik atau sekumpulan titik dalam arah busur lingkaran
dengan pusat pada titik tertentu dan sudut putar yang
tertentu pula.
Jika titik  yxA , dirotasikan ke titik  ','' yxA dengan pusat titik

6. 6
−
O ( 0 , 0 ) dan sudut putar α , maka :
1. Persamaan aljabar :


cossin'
sincos'
yxy
yxx


2. Persamaan matriks :











 






y
x
y
x


cossin
sincos
'
'
1. Tentukan bayangan dari titik A ( −8 , 6 ) jika dirotasikan dengan pusat O dan sudut putar
60° .
2. Tentukan bayangan dari parabola xy 162
 jika dirotasikan dengan pusat O dan sudut
putar 
4
3
.
1.















 

































334
334
6
8
2
1
3
2
1
3
2
1
2
1
60cos60sin
60sin60cos
'
'
A
A
A
A
y
x
y
x
Jadi :  343,334'A 
2. Persamaan aljabar rotasi dengan pusat titik O dan sudut putar 
4
3
, adalah :













































y
x
y
x
y
x
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
4
3
cos
4
3
sin
4
3
sin
4
3
cos
'
'


)1......'2
2
1
'2
2
1
2'2'2
'222
2
1
2
2
1
'
'222
2
1
2
2
1
'
yxyyyx
yxyyxy
yxxyxx



)2......'2
2
1
'2
2
1
2'2'2
'2
'2
xyxxyx
yxy
yxx















 '2
2
1
'2
2
1
16'2
2
1
'2
2
1
16
2
2
xyyxxy
   '2'2
2
1
.16'''2'
2
1 22
xyyyxx 
0'216'216'''2''216'216'''2' 2222
 yxyyxxxyyyxx
Jadi persamaan bayangannya :
02162162 22
 yxyyxx
+

7. 7
1. Tentukan bayangan dari titik berikut jika diputar dengan pusat titik O :
a. ( 6 , −3 ) dan sudut putar 135 °
b. ( -10 , −16 ) dan sudut putar 
6
1

c. (−2 , 4 ) dan sudut putar −210 °
d. ( 8 , 12 ) dan sudut putar 
3
4
2. Tentukan bayangan dari segitiga ABC , dengan A ( −12 , −4 ) , B ( 16 , 20 ) , dan C
( 14 , 3 ) jika diputar dengan pusat titik O dan sudut putar 
6
7
!
3. Titik B ( 40 , −60 ) diputar dengan pusat O ke titik B ‘ ( 33020 , 32030 ) .
Tentukan sudut perputarannya !
4. Tentukan persamaan bayangan dari kurva berikut ini jika diputar dengan pusat O :
a. garis 1172  yx dengan sudut putar 90 ° .
b. lingkaran 3622
 yx dengan sudut putar 180 ° .
c. elips 1
416
22

yx
dengan sudut putar 270 ° .
d. parabola    349 2
 xy dengan sudut putar 120 ° .
e. lingkaran     4925 22
 yx dengan sudut putar 210 ° .
f. garis 63  yx dengan sudut putar 330 ° .
E . DILATASI ( PERKALIAN )
Definisi : Dilatasi dengan pusat O dan faktor skala k
adalah suatu transformasi yang memindahkan titik A ke
bayangannya A ‘ , dengan panjang OA’ sama dengan k
kali panjang OA.
Jika titik  yxA , didilatasikan ke titik  ','' yxA
dengan pusat titik O ( 0 , 0 ) dan faktor skala k , maka :
1. Persamaan aljabar :
yky
xkx


'
'
2. Persamaan matriks :


















y
x
k
k
y
x
0
0
'
'
Ada beberapa kemungkinan nilai k dan letak bayangan titik A pada dilatasi dengan pusat O dan
faktor skala k , yaitu :
1. 1k panjang OA’ lebih dari panjang OA , dan titik A’ sepihak dengan titik A.
2. 10  k panjang OA’ kurang dari panjang OA , dan titik A’ sepihak dengan titik A.
3. 1k panjang OA’ lebih dari panjang OA , dan titik A’ berlainan pihak dengan titik A.
4. 01  k panjang OA’ kurang dari panjang OA , dan titik A’ berlainan pihak dengan titik A.
1. Tentukan bayangan dari titik A ( 50 , 24 ) jika didilatasikan dengan pusat titik O dan faktor
skala −5 !
2. Tentukan persamaan bayangan dari lingkaran 01010222
 yxyx jika didilatasikan
dengan pusat titik O dan faktor skala 4 !
y
x
O
A
A’
B
C
B’
C’

8. 8
1. 



























120
250
24
50
50
05
'
'
A
A
y
x
Jadi A ‘ ( −250 , −120 )
2. Persamaan aljabar dari dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 4 , adalah :
'
4
1
4'
'
4
1
4'
yyyy
xxxx


Jadi : 010'
4
1
10'
4
1
2'
4
1
'
4
1
010102
22
22
























 yxyxyxyx
0160'40'8''010'
2
5
'
2
1
'
16
1
'
16
1 2222
 yxyxyxyx
Jadi persamaan bayangannya adalah : 016040822
 yxyx
1. Tentukan bayangan dari segitiga ABC , dengan A ( 9 , 6 ) , B ( −4 , 8 ) dan C ( −1 , −10 ) jika
didilatasikan dengan pusat O dan faktor skala :
a. 6
b.
2
1
c. −3
d.
4
3

2. Tentukan persamaan bayangan dari kurva berikut ini , jika didilatasikan dengan pusat O
a. garis 163  xy dengan faktor skala 6
b. lingkaran 8122
 yx dengan faktor skala −2
c. elips 1
449
22

yx
dengan faktor skala
5
2
d. parabola  682
 xy dengan faktor skala
7
3

e. hiperbola 1
2536
22

yx
dengan faktor skala −5
f. lingkaran 019301222
 yxyx dengan faktor skala 4
F . TRANSFORMASI DENGAN MATRIKS 2 × 2
Selain transformasi yang sudah diuraikan di atas, ada juga jenis transformasi dengan sembarang
matriks 2 × 2 . Matriks transformasinya dapat dinyatakan dalam bentuk 





d
b
c
a
dengan
dcba dan,,, bilangan riil.
1. Tentukan bayangan dari titik A ( −13 , 27 ) pada transformasi dengan matriks 




 
6
3
1
2

9. 9
2. Tentukan persamaan bayangan dari lingkaran 036222
 yyx pada transformasi
dengan matriks 





 3
4
1
5
1. 










 





 






149
107
27
13
61
32
'
'
A
A
y
x
Jadi A ‘ ( 107 , 149 )
2. Persamaan matriks dari transformasi tersebut , adalah :



















y
x
y
x
31
45
'
'
Persamaan aljabar dari transformasi tersebut , adalah :
)1.....
19
'5'
19'5'
155'553'
45'145'
yx
yyyx
yxyyxy
yxxyxx




)2.....
19
'4'3
19'4'3
124'443'
1215'3345'
yx
xxyx
yxyyxy
yxxyxx




Maka : 036
19
'5'
2
19
'5'
19
'4'3
0362
22
22





 





 





 

yxyxyx
yyx
036
19
'10'2
361
'25''10'
361
'16''24'9 2222







yxyyxxyyxx
0
361
12996
361
'190'38
361
'25''10'
361
'16''24'9 2222







yxyyxxyyxx
012996'190'38'25''10''16''24'9 2222
 yxyyxxyyxx
012996'190'38'41''14'10 22
 yxyyxx
Jadi persamaan bayangan lingkaran tersebut adalah :
01299619038411410 22
 yxyyxx
1. Tentukan bayangan dari titik-titik berikut :
a. ( −16 , 1 ) pada transformasi dengan matriks 







2
6
3
0
b. ( 2 , −8 ) pada transformasi dengan matriks 





12
0
4
16
c. ( 7 , 14 ) pada transformasi dengan matriks 




 
9
1
0
7
d. ( −20 , −5 ) pada transformasi dengan matriks 





 0
8
12
5
e. ( 22 , 4 ) pada transformasi dengan matriks 





 3
4
1
1
f. ( −6 , 32 ) pada transformasi dengan matriks 







9
8
7
4
−
+

10. 10
2. Tentukan bayangan dari kurva berikut
a. garis 1326  yx pada transformasi dengan matriks 





 4
2
1
0
b. lingkaran 12122
 yx pada transformasi dengan matriks 





 2
1
6
2
c. elips 1
1216
22

yx
pada transformasi dengan matriks 







5
2
1
3
d. parabola    543 2
 xy pada transformasi dengan matriks 




 
5
4
2
6
e. hiperbola 922
 yx pada transformasi dengan matriks 




 
 0
3
2
8
G . LUAS BANGUN HASIL TRANSFORMASI
Jika suatu bangun geometri ditransformasikan dengan matriks transformasi 





dc
ba
, maka
luas dari bangun hasil transformasinya, dinyatakan dengan rumus :
  LbcadL
d
b
c
a
L ' , dengan : sitransformahasilbangunluas'L
semulabangunluasL
Suatu transformasi dinamakan transformasi yang isometri jika luas bangun hasil transformasi sama
dengan luas bangun semula. Yang termasuk transformasi yang isometri adalah : translasi , refleksi
, dan rotasi.
Hitunglah luas dari bayangan segitiga ABC dengan A ( −2 , 2 ) , B ( 3 , 7 ) dan C ( 6 , −3 ) pada
transformasi dengan matriks 





32
86
A
B
C
x
y
D
EF
Luas segitiga ABC :
Cara 1 :
ABFCEBACDDCEFABC LLLLL 
SL





 55
2
1
310
2
1
58
2
1
108
SL






2
25
152080
SLSL
2
65
2
25
152080 






Cara 2 :
3
7
2
6
3
2
1
1
1
3
7
2
6
3
2
2
1
1
1
1
3
7
2
6
3
2
2
1
1
1
1
2
1








C
B
A
C
B
A
ABC
y
y
y
x
x
x
L
+ + +
− − −

11. 11
         SL231213176331612172
2
1

  SLSLSL
2
65
2
65
664291214
2
1

Jadi luas segitiga bayangan :   SLLL ABCCBA 65
2
65
1618
3
8
2
6
''' 
Tentukan luas bangun bayangan berikut jika ditransformasikan dengan matriks :
1. Segitiga ABC dengan A ( −6 , 12 ) , B ( 9 , 20 ) , dan C ( 4 , −7 ) ditransformasikan dengan
matriks 




 
13
42
2. Segiempat ABCD dengan A ( −10 , −9 ) , B ( −6 , 18 ) , C ( 8 , 12 ), dan D ( 14 , −11 )
ditransforma-sikan dengan matriks 







34
15
H . KOMPOSISI TRANSFORMASI
Jika titik A ( x , y ) dipindahkan oleh
transformasi T1 ke titik  ','' yxA
kemudian titik  ','' yxA dipindahkan
oleh transfor-masi T2 ke titik
 '','''' yxA , maka titik A ( x , y )
dipindahkan ke titik  '','''' yxA oleh
komposisi transformasi : 12 TT o
1. Tentukan bayangan dari titik A ( −5 , 7 ) jika :
a. dicerminkan terhadap sumbu y dilanjutkan dengan dilatasi berpusat O dengan faktor
skala 3.
b. dicerminkan terhadap titik O dilanjutkan dengan translasi 




 

30
12
T
2. Tentukan persamaan bayangan dari lingkaran 1622
 yx jika ditransformasikan dengan
matriks transformasi 





12
34
dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y = − x !
1. a. Matriks pencerminan terhadap sumbu y : 




 
10
01
Matriks dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 3 : 





30
03
Matriks pencerminan terhadap sumbu y dilanjutkan dilatasi dengan faktor skala 3 :
2T
1T
 '','''' yxA ','' yxA
 yxA ,

12. 12






30
03





 
10
01
= 




 
30
03
Bayangan dari titik A ( −5 , 7 ) jika dicerminkan terhadap sumbu y dilanjutkan dengan
dilatasi berpusat O dan faktor skala 3 , adalah :











 





 











 






21
15
7
5
30
03
30
03
''
''
A
A
A
A
y
x
y
x
Jadi : A’’ ( 15 , 21 )
b. Matriks pencerminan terhadap titik O : 







10
01
Matriks dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 3 : 





30
03
Matriks translasi : 




 

30
12
T
Bayangan dari titik A ( −5 , 7 ) jika dicerminkan terhadap titik O dilanjutkan dengan
translasi 




 

30
12
T , adalah :





 













 



















 






7
5
10
01
30
12
10
01
30
12
''
''
A
A
A
A
y
x
y
x





 












 

23
7
7
5
30
12
Jadi : A’’ ( −7 , 23 )
2. Matriks komposisi transformasi : 







01
10






12
34
= 







34
12
Persamaan matriks dari transformasi dengan matrik 





12
34
dilanjutkan pencerminan
terhadap garis y = − x :




















y
x
y
x
34
12
''
''
Persamaan aljabar dari komposisi transformasi tersebut adalah :
)1.....
5
''''2
5''''2
34''134''
24''222''
yx
yyyx
yxyyxy
yxxyxx




)2.....
10
''''3
10''''3
34''134''
36''332''
yx
xxyx
yxyyxy
yxxyxx




Maka persamaan bayangannya : 16
5
''''2
10
''''3
16
22
22





 





 

yxyx
yx
16
25
''''''4''4
100
''''''6''9 2222





yyxxyyxx
16
100
''4''''16''16
100
''''''6''9 2222





yyxxyyxx
1600''5''''10''25 22
 yyxx
0320''''''2''5 22
 yyxx
Jadi persamaan bayangan lingkaran tersebut adalah : 032025 22
 yyxx
−
− −

13. 13
1. Tentukan bayangan dari segitiga ABC , dengan A ( 36 , −20 ) , B ( −8 , 14 ) dan C ( 2 , −18 )
, jika :
a. diputar dengan pusat O dan sudut putar 270° , dilanjutkan dengan pencerminan
terhadap sumbu x.
b. digeser dengan translasi 







30
60
T dilanjutkan pencerminan terhadap garis y = 11
2. Tentukan matriks transformasi dari :
a. pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan rotasi dengan pusat O dan sudut putar
240°.
b. dilatasi dengan pusat O dan faktor skala −10 dilanjutkan pencerminan terhadap garis
y = x
c. transformasi dengan matriks 





50
48
dilanjutkan dengan pencerminan
terhadap titik O .
3. Tentukan persamaan bayangan dari kurva pada transformasi berikut :
a. garis xy 216 digeser dengan translasi 








1
4
T dilanjutkan dengan
pencerminan terhadap sumbu y .
b. lingkaran 017422
 xyx diputar dengan pusat O dan sudut putar 30°
dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat O dan faktor skala −6 .
c. parabola    10203 2
 xy dicerminkan terhadap sumbu y dilanjutkan dengan
pencerminan terhadap garis y = 3 .
d. elips
    1
4
4
36
1 22



 yx
dicerminkan terhadap garis y = − x dilanjutkan dengan
transformasi dengan matriks 




 
12
11
.