1. Lingkaran Mohr digunakan untuk merepresentasikan tegangan dan regangan bidang pada suatu elemen. Lingkaran ini memiliki pusat dan jari-jari yang berhubungan dengan besaran tegangan normal maksimum dan minimum serta tegangan geser.

1. 1.5. Tegangan dan Regangan Utama (Principal Stress and Strain)
serta Tegangan dan Regangan Geser Maksimum
Tegangan Utama (Principal Stress) dan Tegangan Geser Maksimum
Tegangan Utama (principal stress) adalah tegangan normal
yang terjadi pada set sumbu koordinat baru setelah transformasi yang
menghasilkan tegangan geser nol. Tegangan-tegangan tersebut
ditunjukkan sebagai s1 dan s2 pada Gambar 1.10. Perlu dicatat
bahwa s1 selalu diambil lebih besar dari s2. Sudut transformasi yang
menghasilkan tegangan utama tersebut dengan sudut utama (principal
angle). Secara analitik, besar tegangan utama dan sudut utama dapat
diturunkan dari persamaan-persamaan (1.5a, b, c).
Menurut pengertian tentang tegangan utama, dari persamaan
(1.5c) akan didapat
0
2
2 2= -
-
+
xx yy
xy
s s
q t q.sin .cos

2. atau
(1.8)
Dari persamaan di atas dapat dilukiskan segitiganya sebagai berikut
sin
cos
tan
2
2
2
2p
p
p
xy
xx yy
q
q
q
t
s s
= =
-
Dengan substitusi harga-harga sin 2q dan cos 2q pada gambar di
atas ke persamaan (1.5a) akan didapat

3. Sehingga
Substitusi dan penerapan prosedur yang sama terhadap persamaan
(1.5b), akan didapat
x x
xx yy xx yy xx yy
xx yy xy
xy
xx yy xy
' '
( ) ( )
s
s s s s s s
s s t
t
s s t
=
+
+
- -
- +
+
- +2 2 4
2
4
2 2
2
2 2
}{x x
xx yy
xx yy xy
xx yy xy' '
. ( )
( )s
s s
s s t
s s t=
+
+
- +
- +
2
1
2 4
4
2 2
2 2
}{x x
xx yy
xx yy xy' '
.
( )s
s s
s s t=
+
+ - +
2
1
2
4
2 2
}{y y
xx yy
xx yy xy' '
.
( )s
s s
s s t=
+
- - +
2
1
2
4
2 2
Dengan mengingat bahwa secara matematik haruslah s1  s2 , maka
kedua persamaan tersebut di atas dapat dituliskan menjadi satu dengan

4. (1.9)
Selanjutnya, perhatikan persamaan (1.5c). Untuk suatu titik dan jenis
pembebanan tertentu dari suatu bagian konstruksi, harga-harga sxx ,
syy dan txy adalah tetap atau konstan, sehingga tx’y’ merupakan suatu
fungsi q, atau tx’y’ = f(q). Harga ekstrim fungsi tersebut akan
diperoleh bila turunan pertama fungsi tersebut terhadap q sama
dengan nol. Jadi
}{1 2
2 2
2
1
2
4,
.
( )s
s s
s s t=
+
± - +
xx yy
xx yy xy
atau
(1.10)
Dari persamaan di atas dapat dilukiskan segitiganya sebagai berikut:
x y xx yy
xy
d
d
' '
.sin .cos
t
q
s s
q t q= -
-
+ =
2
2 2 0
sin
cos
tanmax
max
max
2
2
2
2
q
q
q
s s
t
= = -
-xx yy
xy

5. Dengan substitusi harga-harga sin 2q dan cos 2q pada gambar di atas
ke persamaan (1.5c) akan didapat
}{
x y
xx yy xx yy
xx yy xy
xy
xx yy xy
xx yy xy
xx yy xy
' '
( )
( ) ( )
. ( )
( )
t
s s s s
s s t
t
s s t
s s t
s s t
= -
- - -
- +
+
- +
=
- +
- +
2 4
2
4
1
2 4
4
2 2
2
2 2
2 2
2 2

6. Sehingga
Persamaan (1.10) juga dipenuhi bila panjang sisi di depan sudut 2q
adalah (sxx - syy) dan panjang sisi di sampingnya adalah -2txy. Kondisi
ini akan memberikan
}{x y xx yy xy' '
.
( )t s s t= - +
1
2
4
2 2
}{x y xx yy xy' '
.
( )t s s t= - - +
1
2
4
2 2
Dengan demikian kedua persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi
satu sebagai
(1.11)
Regangan Utama dan Regangan Geser Maksimum
}{max
.
( )t s s t= ± - +
1
2
4
2 2
xx yy xy

7. Sebagaimana pengertian tentang tegangan utama, maka regangan
utama (principal strain) adalah regangan normal yang terjadi pada set
sumbu koordinat baru setelah transformasi yang menghasilkan setengah
regangan geser nol. Regangan-regangan tersebut ditunjukkan sebagai
e1 dan e2 pada Gambar 1.11. Demikian juga, e1 selalu diambil lebih
besar dari e2 , serta sudut transformasinya juga disebut sudut utama
(principal angle). Secara analitik, dengan penerapan prosedur yang
sama dengan yang diterapkan untuk persamaan-persamaan (1.7a, b, c),
maka akan didapat hasil-hasil berikut.
(1.12a)
(1.12b)
qp = sudut utama
e1,2 = regangan-regangan utama
gxy = 2exy = regangan geser
sin
cos
tan
2
2
2
p
p
p
xy
xx yy
q
q
q
g
e e
= =
-
}{1 2
2 2
2
1
2
,
.
( )e
e e
e e g=
+
± - +
xx yy
xx yy xy

8. (1.13a)
(1.13b)
qmax = sudut regangan geser maksimum
gxy = 2exy = regangan geser
sin
cos
tanmax
max
max
2
2
2
q
q
q
e e
g
= = -
-xx yy
xy
}{max
.
( )
g
e e g
2
1
2
2 2
= ± - +xx yy xy
1.6. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang dan Regangan Bidang
Lingkaran Mohr diperkenalkan oleh seorang insinyur Jerman, Otto
Mohr (1835-1913). Lingkaran ini digunakan untuk melukis transformasi
tegangan maupun regangan, baik untuk persoalan-persoalan tiga dimensi
maupun dua dimensi. Yang perlu dicatat adalah bahwa perputaran
sumbu elemen sebesar q ditunjukkan oleh perputaran sumbu pada
lingkaran Mohr sebesar 2q, .dan sumbu tegangan geser positif adalah
menunjuk ke arah bawah. Pengukuran dimulai dari titik A, positif bila
berlawanan arah jarum jam, dan negatif bila sebaliknya. Pada bagian
ini kita hanya akan membahas lingkaran Mohr untuk tegangan dan
regangan dua dimensi.

9. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang
Pada persamaan (1.5a), bila suku dipindahkan ke ruas
kiri dan kemudian kedua ruasnya dikuadratkan, maka akan didapat
………(1.14a)
Sedangkan pada persamaan (1.5c), bila dikuadratkan akan didapat
………(1.14b)
Penjumlahan persamaan-persamaan (1.14a) dan (1.14b) menghasilkan
(1.15)
Persamaan (1.15) merupakan persamaan lingkaran pada bidang st yang
pusatnya di dengan jari-jari . Lingkaran tersebut ditunjukkan pada
Gambar 1.8 di bawah ini, yang dilukis dengan prosedur sebagai berikut:
x ys s+
2
( )
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2 2x
x y x y
xy x y xycos sin' sin coss
s s s s
q t q s s t q q-
+æ
è
ç
ö
ø
÷ =
-æ
è
ç
ö
ø
÷ + + -
( )2 2 2
2
2
2
2
2 2 2x y xy
x y
x y xycos sin' ' sin cost t q
s s
q s s t q q= +
-æ
è
ç
ö
ø
÷ - -
2
2
2
2
2 2x
x y
x y
x y
xy' ' 's
s s
t
s s
t-
+æ
è
ç
ö
ø
÷ + =
-æ
è
ç
ö
ø
÷ +

10. 1. Buatlah sumbu sij , horisontal.
2. Periksa harga tegangan normal, sxx atau syy , yang secara
matematis lebih kecil. Bila bernilai negatif jadikanlah
tegangan tersebut sebagai titik yang mendekati tepi kiri batas
melukis, sedangkan bila positif maka titik yang mendekati
batas kiri adalah titik sij = 0.
3. Periksa harga tegangan normal, sxx atau syy , yang secara
matematis lebih besar. Bila bernilai positif jadikanlah tegangan
tersebut sebagai titik yang mendekati tepi kanan batas melukis,
sedangkan bila negatif maka titik yang mendekati batas kanan
adalah titik sij = 0.
4. Tentukan skala yang akan digunakan sehingga tempat melukis bisa
memuat kedua titik tersebut dan masih tersisa ruangan di sebelah
kiri dan kanannya. Tentukan titik-titik batas tersebut sesuai
dengan skala yang telah ditentukan.

11. 5. Tentukan letak titik-titik sij = 0 dan sumbu t, serta sij terkecil
dan sij terbesar bila belum terlukis pada sumbu sij .
6. Bagi dua jarak antara tegangan terkecil dan tegangan terbesar
sehingga diperoleh pusat lingkaran, P.
7. Tentukan letak titik A pada koordinat (sij terbesar , txy ).
8. Lukis lingkaran Mohr dengan pusat P dan jari-jari PA.
9. Tarik garis dari A melalui P sehingga memotong lingkaran Mohr di
B. Maka titik B akan terletak pada koordinat (sij terkecil , txy ).
Garis AB menunjukkan sumbu asli, q = 0, elemen tersebut.
Contoh 1.1: Sebuah elemen dari bagian konstruksi yang dibebani,
menerima tegangan tarik pada arah sumbu x sebesar 280 MPa,
tegangan tekan pada arah sumbu y sebesar 40 MPa serta tegangan
geser pada bidang tersebut sebesar 120 MPa.

12. Diminta: a. Lukisan lingkaran Mohr.
b. Besar rotasi mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan
tegangan geser maksimum, menurut lingkaran Mohr.
Periksa hasil tersebut dari persamaan (1.10).
c. Besar tegangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr.
Periksa hasil tersebut dengan rumus (1.11) dan hasil yang
didapat pada b. di atas.
d. Besar perputaran mengelilingi sumbu z untuk
mendapatkan tegangan geser bernilai nol, menurut
lingkaran Mohr. Periksa hasil ini dengan persamaan (1.8).
e. Besar tegangan-tegangan utama menurut lingkaran Mohr.
Periksa hasil tersebut dengan persamaan-persamaan (1.9)
dan dari hasil pada pada d. di atas.

13. Penyelesaian:
a. Lingkaran Mohr:
1) Buat sumbu sij , horisontal.
2) Tegangan normal terkecil, syy = -40 MPa, negatif, sehingga
digunakan sebagai titik di dekat batas kiri.
3) Tegangan normal terbesar sxx = 280 MPa, positif, sehingga
digunakan sebagai titik di dekat batas kanan.
4) Diambil skala 1cm = 40 MPa. Kemudian ditentukan titik syy = -
40 MPa di sebelah kiri, dan sxx = 280 MPa di sebelah kanan yang
berjarak (sxx + syy) dari titik syy di sebelah kiri.
5) Lukis sumbu t yang berjarak 40 MPa di sebelah kanan titik syy .
6) Dengan membagi dua sama panjang jarak syy ke sxx akan
didapat titik P.
7) Menentukan letak titik A pada koordinat (sxx , txy ) = (280,120).
8) Dengan mengambil titik pusat di P dan jari-jari sepanjang PA,
lingkaran Mohr dapat dilukis.
9) Dengan menarik garis dari A lewat P yang memotong lingkaran
Mohr di B, akan didapat kedudukan titik (syy , txy ) = (-40,120).

14. Gambar 1.8. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang
b. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan
mengukur, didapat
qmax = 0,5 x 2 qmax = 0,5 x (-53o) = 26o 30’.
Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapat
tan 2qmax = - (280 + 40) / (2 x 120) = - 4/3
2qmax = - 53o 08’ atau qmax = - 26o 34’

15. c. Besar tegangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr
tmax = 5 x 40 MPa = 200 MPa.
Sedangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat
d. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan
mengukur, didapat
qp = 0,5 x 2qp = 0,5 x 37o = 18o 30’.
Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapat
tan 2qp = (2 x 120) / (280 + 40) = 3/4
2qp = - 36o 52’ atau qmax = - 18o 26’
e. Besar tegangan-tegangan utama menurut lingkaran Mohr
s1 = 8 x 40 MPa = 320 MPa.
s2 = -2 x 40 MPa = -80 MPa.
Sedangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat
( )
( )
1
2 2
2
2 2
280 40
2
1
2
280 40 120 320
280 40
2
1
2
280 40 120 80
s
s
=
-
+ + + =
=
-
- + + = -
MPa
MPa
( )maxt = ± + + =
1
2
280 40 120 200
2 2
MPa

16. Lingkaran Mohr untuk Regangan Bidang
Pada persamaan (1.7a), bila suku dipindahkan ke ruas kiri
dan kemudian kedua ruasnya dikuadratkan, maka akan didapat
………(1.16a)
Sedangkan pada persamaan (1.7c), bila dikuadratkan akan didapat
………(1.16b)
Penjumlahan persamaan-persamaan (1.16a) dan (1.16b) menghasilkan
xx yye e+
2
( )
2 2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2 2x x
xx yy xx yy xy
xx yy
xy
' ' cos sin sin cose
e e e e
q
g
q e e
g
q q-
+æ
è
ç
ö
ø
÷ =
-æ
è
ç
ö
ø
÷ +
æ
è
ç
ö
ø
÷ + -
æ
è
ç
ö
ø
÷
( )
2 2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2 2
x y xy xx yy
xx yy
x y' ' ' '
cos sin sin cos
g g
q
e e
q e e
g
q q
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷ =
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷ +
-æ
è
ç
ö
ø
÷ - -

17. (1.17)
Persamaan (1.17) merupakan persamaan lingkaran pada bidang
yang pusatnya di dengan jari-jari
Lingkaran tersebut ditunjukkan pada Gambar 1.9 di bawah ini, yang
dilukis dengan prosedur sebagaimana melukis lingkaran Mohr untuk
tegangan dengan mengganti sxx , syy dan txy berturut-turut menjadi
exx , eyy dan gxy / 2. Penerapannya, lihat Contoh 1.2 pada halaman 21.
2 2 2 2
2 2 2 2x x
xx yy x y xx yy x y
' '
' ' ' '
e
e e e e e e
-
+æ
è
ç
ö
ø
÷ +
æ
è
ç
ö
ø
÷ =
-æ
è
ç
ö
ø
÷ +
æ
è
ç
ö
ø
÷
e
g
2
xx yye e-æ
è
ç
ö
ø
÷
2
0,
2 2
2 2
xx yy xye e g-æ
è
ç
ö
ø
÷ +
æ
è
ç
ö
ø
÷
1.7. Hubungan Antara Tegangan Dengan Regangan
Untuk deformasi normal, geser maupun gabungan keduanya, hubungan
antara tegangan dan regangan untuk bahan-bahan isotropis pada
pembebanan dalam batas proporsional diberikan oleh hukum Hooke.
Jadi hukum Hooke tidak berlaku untuk pembebanan di luar batas
proporsional. Hukum Hooke diturunkan dengan berdasarkan pada
analisis tentang energi regangan spesifik.

18. Apabila besar tegangan-tegangannya yang diketahui, maka hukum
Hooke untuk persoalan-persoalan tiga dimensi, hubungan antara
tegangan normal dengan regangan normal dapat dituliskan secara
matematis sebagai berikut:
(1.18)
Dengan E dan v berturut-turut adalah modulus alastis atau modulus
Young dan angka perbandingan Poisson. Sedangkan pada deformasi
geser untuk G adalah modulus geser , hubungannya adalah:
(1.19)
( )
( )
( )
xx xx yy zz
yy yy xx zz
zz zz xx yy
E
E
E
e s ns ns
e s ns ns
e s ns ns
= - -
= - -
= - -
1
1
1
( )
( )
( )
xy
xy xy xy
xz
xz xz xz
yz
yz yz yz
G E
G E
G E
e
g t n t
e
g t n t
e
g t n t
= = =
+
= = =
+
= = =
+
2 2
1
2 2
1
2 2
1

19. Sedangkan untuk mencari tegangan normal yang terjadi bila regangan
normal dan sifat-sifat mekanis bahannya diketahui, digunakan
persamaan-persamaan:
(1.20)
Selanjutnya untuk deformasi geser, bentuk hukum Hooke adalah:
(1.21)
( )( )
( ) ( ){ }
( )( )
( ) ( ){ }
( )( )
( ) ( ){ }
xx xx yy zz
yy yy xx zz
zz zz xx yy
E
E
E
s
n n
n e n e e
s
n n
n e n e e
s
n n
n e n e e
=
+ -
- + +
=
+ -
- + +
=
+ -
- + +
1 1 2
1
1 1 2
1
1 1 2
1
( )
( )
( )
xy xy xy xy
xz xz xz xz
yz yz yz yz
E E
G
E E
G
E E
G
t
n
e
n
g g
t
n
e
n
g g
t
n
e
n
g g
=
+
=
+
=
=
+
=
+
=
=
+
=
+
=
1 2 1
1 2 1
1 2 1

20. Persamaan-persamaan (1.18) sampai dengan (1.21) dapat juga
diberlakukan untuk persoalan-persoalan dua dan satu dimensi, yakni
dengan memasukkan harga nol untuk besaran-besaran di luar dimensi
yang dimaksud.
Contoh 2: Pembebanan seperti pada Contoh 1, untuk bahan dengan
sifat-sifat mekanis: modulus Young, E = 200 GPa dan angka
perbanding-an Poisson, n = 0,29. Modulus geser ditentukan dengan,
G = E / 2(1 + n).
Diminta: a. Hitunglah regangan-regangan yang terjadi.
b. Lukisan lingkaran Mohr untuk regangan yang terjadi.
c. Besar rotasi mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan
regangan geser maksimum, menurut lingkaran Mohr.
Periksa hasil tersebut dari persamaan (1.10).
d. Besar regangan geser maksimum menurut lingkaran
Mohr. Periksa hasil tersebut dengan rumus (1.11) dan
hasil yang didapat pada b. di atas.

21. e. Besar perputaran mengelilingi sumbu z untuk
mendapatkan regangan geser bernilai nol, menurut
lingkaran Mohr. Periksa hasil ini dengan persamaan
(1.8).
f. Besar regangan-regangan utama menurut lingkaran
Mohr. Periksa hasil tersebut dengan persamaan-
persamaan (1.9) dan dari hasil pada pada d. di atas.
Penyelesaian:
a) Dari persamaan (1.18) dan (1.19) akan didapat:
b. Lingkaran Mohr:
1) Buat sumbu eij horisontal.
2) Regangan normal terkecil, eyy = -606me, sehingga
merupakan titik di dekat batas kiri.
( )
( )
xx
yy
e me
e me
=
=
+ - = =
- - - = - = -
1
200000
280 0,29.40 0,29.0 0,001458 1458
1
200000
40 0,29.280 0,29.0 0,000606 606
( )
xy atau
xy
xye
g
me g me= =
+
= = =
2
1 0,29 120
200000
0,000774 774 1548
.

22. 3) Regangan normal terbesar exx = 1458me, sehingga
merupakan titik di dekat batas kanan.
4) Diambil skala 1cm = 250me. Kemudian ditentukan titik
eyy = -606me di sebelah kiri, exx = 1458me di sebelah
kanan dan berjarak (exx + eyy) dari titik eyy di
sebelah kiri.
5) Lukis sumbu t yang berjarak 606me di sebelah kanan
titik eyy .
6) Dengan membagi dua sama panjang jarak eyy ke exx
akan didapat titik P.
7) Menentukan letak titik A pada koordinat (exx , exy ) =
(1458,774).
8) Dengan mengambil titik pusat di P dan jari-jari
sepanjang PA, lingkaran Mohr dapat di-lukis.
9) Dengan menarik garis dari A lewat P yang memotong
lingkaran Mohr di B, akan di dapat kedudukan titik (eyy ,
exy ) = (-606,-774).

24. c. Besar rotasi mengelilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr,
dengan mengukur, didapat
qmax = 0,5 x 2 qmax = 0,5 x (-53o) = 26o 30’.
Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapat
tan 2qmax = - (1458 + 606) / (2 x 774) = - 4/3
2qmax = - 53o 08’ atau qmax = - 26o 34’
d. Besar regangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr
exy-max = 5,2 x 250me = 1300me.
Sedangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat
e. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr,
dengan mengukur, didapat
qp = 0,5 x 2qp = 0,5 x 37o = 18o 30’.
Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapat
tan 2qp = (2 x 120) / (280 + 40) = 3/4
2qp = - 36o 52’ atau qmax = - 18o 26’
max
max (
g
e me
2
1
2
21458 606) 21548 1290= =- ± + + = ±xy

25. f. Besar regangan-regangan dasar menurut lingkaran Mohr
e1 = 6,9 x 250me = 1725me.
e2 = -3,5 x 250me = -875me
Sedangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat
( )
( )
1
2
1458 606
2
1
2
21458 606 21548 1716
1458 606
2
1
2
21458 606 21548 864
e me
e me
=
=
-
+ + + =
-
- + + = -