turunan fungsi

1. PERTEMUAN 6
TURUNAN FUNGSI

2. Kecepatan Sesaat dan
Gradien Garis Singgung
Misalkan sebuah benda bergerak sepanjang garis
lurus menurut persamaan
x = x(t),
dengan x menyatakan posisi benda tersebut dan t
menyatakan waktu. Kecepatan rata-ratanya dari t
= a s/d t = b adalah
v[a,b] = [x(b) – x(a)]/(b – a).
Kecepatan sesaat pada t = a adalah

3. Misalkan kita mempunyai fungsi y = f(x) yang
grafiknya cukup mulus, khususnya
di sekitar x = a, sehingga mempunyai garis
singgung di a (lihat gambar)
Gradien garis lurus yang melalui titik P(a,f(a)) dan
Q(b,f(b)) adalah [f(b) – f(a)]/(b – a). Gradien garis
singgung pada grafik y = f(x) di P(a,f(a)) adalah

5. Apa yang dapat direnungkan
dari dua masalah tadi
kecepatan sesaat dan gradien garis
singgung ternyata merupakan bentuk
limit yang sama. Bentuk limit ini juga
muncul dalam persoalan lainnya (lihat
Soal 3.1 no. 19)

6. DEFENISI TURUNAN FUNGSI
Turunan fungsi f adalah fungsi f’ (dibaca f aksen), yang nilainya pada
sembarang bilangan c adalah:
Asalkan limitnya ada
   
h
h
c
f
c
f
h
f(c)
-
→


0
lim
'
PROSES MENCARI TURUNAN
Langsung dari definisi dengan mengganti sembarang bilangan c dengan x,
sehingga didapat:
Asalkan limitnya ada. Notasi turunan fungsi sering kita memakai huruf D,
misalnya Df=f’ atau Df(x)=f’(x)
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − f(x) −
ℎ

7. Contoh-contoh
1. Carilah turunan fungsi dari f(x)=7x-3
Jawab:
Jadi f’ dari fungsi yang diberikan adalah f’(x)=7
( )
( )
h
h
x
f
x
f
h
f(x)
-
lim
'
0
→
+
=
( )
7
7
7
7
7
0
0
0
=
=
+
=
+
=
h
h
lim
h
h
x
lim
h
h
x
lim
h
h
h
3)
-
(7x
-
3
-
3)
-
(7x
-
3
-
→
→
→
2. Carilah turunan dari 1
8 2
+
= x
)
x
(
g
Jawab: ( )
( )
h
h
x
f
lim
x
'
f
h
f(x)
-
→
+
=
0
( )
x
)
h
x
(
lim
h
h
hx
lim
h
)
h
hx
x
(
lim
h
h
x
lim
h
h
h
h
16
16
16
8
1
2
8
8
0
2
0
2
2
0
0
=
+
=
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
=
→
→
2
→
2
2
→
1)
x
(
-
1)
(8x
-
1

8. Teorema-teorema Turunan
 Teorema A (Aturan konstanta)
Jika f(x)=k dengan k suatu konstanta maka untuk
sembarang x, f’(x) = 0 - yakni:
D(k) = 0
 Teorema B (Aturan fungsi identitas)
Jika f(x)=x, maka f’(x)=1 - yakni:
D(x)=1
 Teorema C (Aturan pangkat)
Jika untuk n anggota bilangan Rel, maka
- yakni :
n
x
x
f =
)
(
1
)
(
' 
 n
nx
x
f
1
)
( 
 n
n
nx
x
D

9. SAMBUNGAN-1
( )
[ ] ( )
x
kDf
x
f
k
D =
.
 Teorema D (Aturan Kelipatan)
Jika k suatu konstanta dan f fungsi yang
terdefrensialkan, maka (kf)’x=kf’(x) -yakni:
•Teorema E (Aturan Jumlah)
Jika k suatu konstanta dan f fungsi yang terdefrensialkan,
maka (f+g)’x=f’(x)+g’(x) -yakni:
( ) ( )
[ ] ( ) ( )
x
Dg
x
Df
x
g
x
f
D +
=
+
•Teorema F (Aturan Selisih)
Jika k suatu konstanta dan f fungsi yang terdefrensialkan,
maka (f-g)’x=f’(x)-g’(x) -yakni:
( ) ( )
[ ] ( ) ( )
x
Dg
x
Df
x
g
x
f
D -
- =

10. SAMBUNGAN 2
Teorema G (Aturan Perkalian)
Andaikan f dan g fungsi-fungsi yang dapat
dideferensialkan,maka(f.g)’(x)=f(x)g’(x)+g(x)f’(x) -
yakni:
( ) ( )
[ ] ( ) ( )
x
Df
x
f
x
g
x
f
D g(x)
+
Dg(x)
=
Teorema H (Aturan Pembagian)
Andaikan f dan g fungsi-fungsi yang dapat
dideferensialkan dengan , maka
-yakni:
0
≠
)
(x
g
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
x
g
x
Dg
x
f
x
Df
x
g
x
g
x
f
D


)
(
)
(
'
)
(
)
(
'
)
(
)
( 2
x
g
x
g
x
f
x
f
x
g
x
g
f 










11. Bukti Teorema
1
1
2
2
1
0
...
2
)
1
(
lim


















 n
n
n
n
n
h
nx
h
h
nxh
h
x
n
n
nx
h
n
x
x
f 
)
(
h
x
h
nxh
h
x
n
n
h
nx
x
h
x
h
x
h
x
f
h
x
f
x
f
n
n
n
n
n
n
h
n
n
h
h




















1
2
2
1
0
0
0
...
2
)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
' lim
lim
lim
Bukti Teorema C (Aturan pangkat), yaitu , maka
Bukti:
1
)
(
' 
 n
nx
x
f
Contoh Soal; Carilah Dy dari:
3
.
1 x
y 
x
x
y
1
1
.
2 2


)
1
3
)(
(
.
3 3
4



 x
x
x
x
y
3
2
5
2
.
4 2
2





x
x
x
x
y

12. Pemecahan soal-soal
2
1
3
3
3
3
)
(
.
1 x
x
x
D
Dy 

 
2
3
2
3
1
2
1
2
2
1
2
)
1
(
2
)
(
)
(
)
(
1
1
.
2
x
x
x
x
x
D
x
D
x
x
D
x
x
D
Dy 

















 





)
1
3
)(
(
.
3 3
4



 x
x
x
x
y
  
     
1
6
8
15
7
1
4
3
12
4
3
3
3
3
)
1
4
)(
1
3
(
)
3
3
)(
(
)
(
)
1
3
(
1
3
(
1
3
3
4
6
3
4
3
6
3
4
6
3
3
2
4
4
3
3
4
3
4


































x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
D
x
x
x
x
D
x
x
x
x
x
x
D
Dy
3
2
5
2
.
4 2
2





x
x
x
x
y
   
 
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
3
2
(
2
4
8
)
3
2
(
)
10
10
4
4
2
2
(
6
6
4
4
2
2
)
3
2
(
)
2
2
)(
5
2
(
)
2
2
(
3
2
)
3
2
(
)
3
2
(
)
5
2
(
)
5
2
(
3
2









































x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
D
x
x
x
x
D
x
x
Dy

13. 2. Cari persamaan garis singgung pada grafik y = 3 sin 2x di t
Jawab.
Kita memerlukan turunan dari sin 2x yaitu:
 
0
,
2
π
 
2
π

x
       
  x
x
x
x
x
x
x
x
xD
x
xD
x
x
D
x
D
2
cos
6
sin
cos
6
cos
cos
)
sin
(
sin
6
)
(sin
cos
)
(cos
sin
6
cos
sin
2
.
3
2
sin
3
2
2









Pada maka turunannya bernilai 6, ini
merupakan kemiringan garis singgung. Jadi
persamaan garis singgung itu adalah:


3
6
2
6
0
1
1 










 x
y
x
y
x
x
m
y
y )
(
)
(

14. Notasi Leibniz
Pada gambar di bawah, tampak bahwa
pertambahan sebesar ∆x pada x
menyebabkan pertambahan sebesar ∆y
pada y, dengan
 NOTASI LEIBNIZ
 TURUNAN TINGKAT TINGGI
 TURUNAN IMPLISIT

15. ∆y = f(x + ∆x) – f(x). Bagi kedua ruas
dengan ∆x,kita peroleh
Jika ∆x → 0, maka
G. Leibniz menggunakan lambang dy/dx
untuk menyatakannya

16. Contoh Jika y = x3 + x, maka dy/dx = 3x2 + 1.
Dengan notasi Leibniz, Aturan Rantai berbunyi:
Jika y = f(u) dan u = g(x), maka

18. Turunan Tingkat Tinggi
Diberikan sebuah fungsi f, kita turunkan f ’, yang
juga merupakan fungsi. Dari f ’ dapat kita turunkan
f ’’ = (f ’)’, yang disebut turunan kedua f , dan dari
f ’’ kita dapat memperoleh turunan ketiga f , yakni
f ’’’ = (f ’’)’, dst.
Turunan ke-n dari y = f(x) dilambangkan dengan
f (n) atau dny/dxn.
Contoh Jika y = sin 2x, maka dy/dx = 2 cos 2x,
d2y/dx2 = -4 sin 2x, d3y/dx3 = -8 cos 2x, dst.

19. Bila turunan pertama mempunyai interpretasi fisis
kecepatan sesaat, maka turunan kedua secara fisis
dapat diinterpretasikan sebagai percepatan (sesaat)
yang mengukur laju perubahan kecepatan terhadap
waktu (lihat Purcell hal. 151-155).
Untuk memahami lebih jauh tentang interpretasi dari
turunan, khususnya turunan pertama, kedua, dan
ketiga, baca Purcell hal. 155 tentang model
matematika dan kerjakan Soal 3.7 no. 39

20. Turunan Implisit
Penurunan Implisit
Misalkan kita mempunyai persamaan
7y3 + y = x3
dan ingin menentukan persamaan garis singgung
pada grafik persamaan tersebut di (2,1).
Masalahnya adalah bagaimana menghitung dy/dx,
padahal kita tidak mempunyai rumus eksplisit untuk
y dalam x.

21. Secara implisit, kita dapat
menurunkan kedua ruas terhadap x
dengan menggunakan Aturan Rantai
(dengan mengingat bahwa y adalah
fungsi dari x):
21y2.dy/dx + dy/dx = 3x2

23. DIFERENSIASI
TURUNAN FUNGSI PARAMETER
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

24. ATURAN DIFFERENSIAL SAMA
DENGAN ATURAN DERIVATIFISASI
Turunan Differensial
 
dx
dv
dx
du
v
u
dx
d


 dv
du
v
u
d 

 )
(
dx
dv
dx
du
v
u
dx
d


 )
( dv
du
v
u
d 

 )
(
dx
du
v
dx
dv
u
v
u
dx
d


 )
(
du
v
dv
u
v
u
d 

 )
(
2
v
dx
dv
u
dx
du
v
v
u
dx
d








2
v
dv
u
du
v
v
u
d









25. FUNGSI PARAMETER
Sebuah fungsi yangdinyatakan oleh parameter lain
Contoh
1. Persamaan lingkaran
Dalam bentuk fugnsi parameter dinyatakan sebagai
2.
3
4
2
2

 y
x
t
a
x cos
2


t
a
y sin
2


t
t
x sin


t
y cos
1

t ≥ 2
1

26. Tentukan turunan dari y terhadap x dari fungsi parameter:
1.
2.
3
4
t
t
x
1


t  0
t
t
y
1


t
x 
 2
R
t 
5
2
2


 t
t
y
1
sin 
 t
x
0 ≤ t ≤ 2 π
2
cos 
 t
y
1
2 2

 t
x
R
t 
 2
1
2 
 t
y

27. Turunan Fungsi Trigonomeri

28. Teorema 1: atau
Teorema 2:
Teorema 3a:
Teorema 3b:
Teorema 4: dan
x
x
dx
d
cos
)
(sin  x
x cos
)
(sin '

  x
x
dx
d
sin
cos 

x
x
x
dx
d
tan
sec
)
(sec 

x
x
x
dx
d
cot
csc
)
(csc '



x
x
dx
d 2
'
sec
)
(tan  x
x
dx
d 2
csc
)
(cot 


29. Contoh-contoh
1.
2.
3.
4
)
cos
sin
( x
x
x
dx
d


)
2
(sin x
dx
d
)
sec
( 3
x
x
dx
d








x
x
dx
d csc

30. Soal-soal
1. 5.
2. 6.
3. 7.
4.
x
x sin
2
x
x cos
3
x
x
cos
sin
1
x
x
cos
sin
1
x
x
tan
sec
3
1
x
x sec
3
3
csc
x
x

31. Soal-soal
8. 12.
9. 13.
10. 14.
11.
x
x tan
sin 
x
x
x cot
cos
2


2
1
cot
x
x

x
x
sec
1
x
x
x cos
sin 

x
x
x sin
cos 

x
x
x
x
x cos
cos
2
sin
2 2





32. 15 23
16 24
17 25
18 26
19 27
20 28
21
22
x
x
x
x
x
x
x cos
6
cos
sin
6
sin
3 3
2



x
)
x
tan( 
x
x
x
x
x sin
sin
2
cos
2 2



x
x
x
x sin
)
6
(
cos
)
6
3
( 2
2



x
x
x
cos
sin
sin

x
x 2
2
cos
sin 
x
x
x
sin
1
2


1
sin
2

x
x
x
x
x 2
cos
sin 
)
cos
)(
sin
( x
x
x
x 

x
x
2
cos
1
sin 2

x
x
x
sin
cos
1


x
x tan

x
x
x
cos
sin
2