Statistics clip vidva

คณิตศาสตร์ สถิติ www.clipvidva.com
1
สถิติ
ในปัจจุบันชีวิตคนเราต้องพบกับ ข้อมูล (Data) มากมาย หากเราต้องการนาข้อมูลเหล่านี้ไปใช้ให้เกิด
ประโยชน์ในสาขาต่างๆ เช่น เศรษฐศาสตร์ วิทยาศาสตร์ เป็นต้น เราจะต้องทาการวิเคราะห์ข้อมูลซึ่งเป็นที่มา
ของวิชา สถิติศาสตร์ (Statistics) ซึ่งเราจะได้ศึกษากันในบทนี้ จากสถิติแล้ว ข้อสอบ PAT1 มีการออกข้อสอบ
ในบทนี้ทุกครั้งประมาณครั้งละ 5-6 ข้อ ที่สาคัญระดับความยากถือว่าไม่ยากมากน่าเก็บคะแนนเป็นอย่างยิ่ง
ครับ
สถิติ
1. การนาเสนอข้อมูล
2. ค่ากลางข้อมูล
3. ตาแหน่งสัมพัทธ์ของข้อมูล
4. ค่าการกระจายข้อมูล
5. ค่ามาตรฐานและการแจกแจง
แบบปกติ
6. ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน
ระหว่างข้อมูล

2
1. การนาเสนอข้อมูล
การแจกแจงความถี่ เป็นการจัดเรียงลาดับข้อมูลดิบที่เก็บรวบรวมมาได้ โดยจัดให้เป็นหมวดหมู่ ซึ่งทา
ได้ 2 รูปแบบ
1. การแจกแจงความถี่แบบตาราง
1.1 ตารางแจกแจงความถี่
1.2 ตารางแจกแจงความถี่สะสม
1.3 ตารางแจกแจงความถี่สัมพัทธ์
1.4 ตารางแจกแจงความถี่สะสมสัมพัทธ์
2. การแจกแจงความถี่แบบใช้แผนภูมิหรือกราฟ
2.1 ฮิสโทแกรม
2.2 รูปหลายเหลี่ยมความถี่
2.3 โค้งความถี่
2.4 โค้งความถี่สะสม
2.5 แผนภาพต้น-ใบ
ตัวอย่างตารางและแผนภาพการแจกแจงความถี่แบบต่างๆ
(ที่มา: คณิต มงคลพิทักษ์สุข, “MATH E-BOOK Release2.5”, สานักพิมพ์ Science Center, 2554)

3
NOTE

4
2. ค่ากลางข้อมูล
2.1 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic mean)
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต เรียกสั้นๆว่าค่าเฉลี่ย คือค่าของผลรวมของข้อมูลทั้งหมดหารด้วยจานวน
ข้อมูล มีสูตรดังนี้
เมื่อ Xi แทน ข้อมูลแต่ละตัว และ n แทน จานวนข้อมูล
นอกจากนี้ยังมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตในแบบต่างๆ ได้แก่
- ค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงน้าหนัก
เมื่อ wi คือ น้าหนักถ่วงของแต่ละข้อมูล
ข้อควรรู้
ประชากร หมายถึง กลุ่มของสมาชิกทุกหน่วยที่เราต้องการศึกษาลักษณะ
กลุ่มตัวอย่าง หมายถึง กลุ่มย่อยของสมาชิกในกลุ่มของประชากรที่สุ่มเลือกมาเพื่อศึกษา

5
- ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม
- ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว
เมื่อ fi แทนความถี่ของแต่ละอันตรภาคชั้น และ xi แทน จุดกึ่งกลางของแต่ละอันตรภาคชั้น
2.2 มัธยฐาน (Median)
มัธยฐาน คือค่าของข้อมูลที่อยู่ตาแหน่งกึ่งกลางของชุดข้อมูลเมื่อมีการจัดเรียงข้อมูลจากน้อย
ไปมากหรือมากไปน้อย โดยแบ่งเป็น 2 กรณี
- กรณีข้อมูลไม่มีการแจกแจงความถี่
มัธยฐาน คือ ค่าของข้อมูลตาแหน่งที่
1
2
N
***ข้อควรระวัง การหาค่ามัธยฐานข้อมูลต้องมีการเรียงลาดับจากน้อยไปมากแล้ว
NOTE
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบลดทอน

6
- กรณีข้อมูลมีการแจกแจงความถี่
เมื่อ L แทนขอบล่างของชั้นที่มีมัธยฐานอยู่
I แทนความกว้างของชั้นที่มีมัธยฐานอยู่
 Lf แทนความถี่สะสมจนถึงขอบล่างของชั้นที่มีมัธยฐานอยู่
Medf แทนความถี่ของชั้นที่มีมัธยฐานอยู่
2.3 ฐานนิยม (Mode)
ฐานนิยม คือข้อมูลที่มีความถี่สูงสุด แบ่งเป็น 2 กรณี
ฐานนิยม คือ ข้อมูลที่มีความถี่(จานวน)สูงสด
เมื่อ L แทนขอบล่างของชั้นที่มีฐานนิยมอยู่
I แทนความกว้างของชั้นที่มีฐานนิยมอยู่
Ld แทนผลต่างความถี่ของชั้นที่มีฐานนิยมอยู่กับชั้นที่อยู่ติดกันที่ต่ากว่า
Ud แทนผลต่างความถี่ของชั้นที่มีฐานนิยมอยู่กับชั้นที่อยู่ติดกันที่สูงกว่า
NOTE

7
2.4 สมบัติของค่ากลางข้อมูล
-

 1
n
i
i
nX X
-  

 1
0
n
i
i
X X
-  


2
1
n
i
i
X k มีค่าน้อยที่สุด เมื่อ k X
-

1
n
i
i
X k มีค่าน้อยที่สุด เมื่อ k Med
- ถ้าข้อมูลชุด Y ทุกๆตัวสัมพันธ์กับข้อมูลชุด X แต่ละตัว ตามสมการ  i iY mX C จะได้
ว่า  Y mX Cหรือ  Med MedY mX C หรือ  Mod ModY mX C
ตัวอย่าง ข้อมูลน้าหนัก (ก.ก.) ของนักเรียน 9 คนเป็นดังนี้ 50 64 72 43 57 59 64 41 50
จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐานและฐานนิยมของข้อมูลชุดนี้
REVIEW

8
ตัวอย่าง จงคานวณผลการเรียนเฉลี่ยของนักเรียนคนหนึ่งซึ่งมีผลการเรียนดังนี้
รายวิชา คณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ เคมี ชีววิทยา ภาษาอังกฤษ
หน่วยกิต 3 2 1.5 1.5 2
เกรดที่ได้ 4 2.5 3 3.5 1.5
ตัวอย่าง นักเรียนห้องหนึ่งมีนักเรียนทั้งหมด 24 คน เป็นนักเรียนชาย 16 คน โดยส่วนสูงเฉลี่ยของ
นักเรียนชายและหญิง คือ 172 และ 158 เซนติเมตร ตามลาดับ จงหาส่วนสูงเฉลี่ยของนักเรียนห้องนี้
ตัวอย่าง ตารางแจกแจงความถี่สะสมของคะแนนสอบของนักเรียน 100 คน เป็นดังนี้
คะแนน จานวนนักเรียนสะสม
20-29 2
30-39 11
40-49 24
50-59 44
60-69 74
70-79 89
80-89 99
90-99 100
จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐานและฐานนิยมของคะแนนสอบ

9
ตัวอย่าง จงหาค่า a-b เมื่อ a คือค่าที่ทาให้  
5
2
1
i
i
a X

 มีค่าน้อยที่สุดสาหรับข้อมูล X : 2 3 6
12 20 และ b คือค่าที่ทาให้
8
1
i
i
b Y

 มีค่าน้อยที่สุดสาหรับข้อมูล Y : 16 15 10 8 7 6 5 3
ENT ต.ค. 41 ข้อมูลชุดหนึ่งเรียงลาดับจากน้อยไปมากได้เป็น 10, 20, 30, 30, a, b, 60, 60, 90, 120 ถ้า
ฐานนิยมและมัธยฐานของคะแนนชุดนี้เป็น 30 และ 40 ตามลาดับ แล้วข้อมูลชุดต่อไปนี้ คือ 11, 22, 33, 34,
a+5, b+6, 67, 68, 99, 130 มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับข้อใด
1. 50 2. 55.5 3. 60 4. 60.5

10
ENT มี.ค. 42 เมื่อสร้างตารางแจกแจงความถี่ของนักเรียน 36 คน โดยใช้ความกว้างของแต่ละอันตรภาคชั้น
เป็น 10 แล้ว ปรากฏว่ามัธยฐานของคะแนนทั้งหมดอยู่ในช่วง 50-59 ถ้ามีนักเรียนที่สอบได้คะแนนต่ากว่า
49.5 คะแนนอยู่จานวน 12 คน และมีนักเรียนได้คะแนนต่ากว่า 59.5 คะแนนอยู่จานวน 20 คน แล้วมัธยฐาน
ของคะแนนการสอบครั้งนี้มีค่าเท่ากับเท่าใด
1. 53 2. 54 3. 56 4. 57
ENT มี.ค. 44 กาหนดให้ x1, x2,…, x10 มีค่าเป็น 5, 6, a, 7, 10, 15, 5, 10, 10, 9 ตามลาดับ โดยที่ a<15
ถ้าพิสัยของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ 12 b เป็นจานวนจริงที่ทาให้  
210
1
i
i
X b

 มีค่าน้อยที่สุด และ c เป็น
จานวนจริงที่ทาให้
10
1
i
i
X c

 มีค่าน้อยที่สุด แล้ว a+b+c มีค่าเท่าใด

11
ENT มี.ค. 48 ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย x1, x2,…, x13 โดยที่ xn = | 5-n | เมื่อ n = 1, 2,…, 13 จานวน
จริง a ที่ทาให้
13
1
n
i
x a

 มีค่าน้อยที่สุด เท่ากับเท่าใด
PAT1 มี.ค. 52 ข้อมูลชุดหนึ่งมี 99 จานวน เรียงลาดับจากน้อยไปมากได้เป็น x1, x2,…, x99 ถ้าค่าเฉลี่ยเลข
คณิตของข้อมูลชุดนี้เท่ากับมัธยฐาน แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1.
49 99
1 51
i i
i i
x x
 
 
2.    
49 99
50 50
1 51
i i
i i
x x x x
 
   
3.
49 99
50 50
1 51
i i
i i
x x x x
 
   
4.    
2 249 99
50 50
1 51
i i
i i
x x x x
 
   

12
PAT1 มี.ค. 53 นักเรียนห้องหนึ่งสอบวิชาคณิตศาสตร์ได้คะแนนเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 40 คะแนน ถ้า
นักเรียนชายสอบได้คะแนนเฉลี่ยเลขคณิต 35 คะแนนและนักเรียนหญิงสอบได้คะแนนเฉลี่ยเลขคณิต 50
คะแนน อัตราส่วนของนักเรียนชายต่อนักเรียนหญิงตรงกับข้อใดต่อไปนี้
1. 3:2
2. 2:3
3. 2:1
4. 1:2
PAT1 ก.ค. 53 สร้างตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนการสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่ง โดยให้ความกว้างของ
แต่ละอันตรภาคชั้นเป็น 10 แล้วปรากฏว่ามัธยฐานของคะแนนการสอบเท่ากับ 57 คะแนนซึ่งอยู่ในช่วง 50-59
ถ้ามีนักเรียนที่สอบได้คะแนนต่ากว่า 49.5 คะแนน อยู่จานวน 12 คน และมีนักเรียนได้คะแนนต่ากว่า 59.5
คะแนน อยู่จานวน 20 คน จงหาว่านักเรียนกลุ่มนี้มีทั้งหมดกี่คน

13
3. ตาแหน่งสัมพัทธ์ของข้อมูล
ในหัวข้อที่แล้วเราได้ศึกษาการหาค่ากึ่งกลางของข้อมูลไปแล้ว ไม่ว่าจะเป็น ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน
และฐานนิยม สาหรับในบทนี้เราจะศึกษาค่า ณ ตาแหน่งใดๆของข้อมูล ได้แก่ ควอร์ไทล์ (แบ่งข้อมูลออกเป็น
4 ส่วนเท่าๆกัน) เดไซล์ (แบ่งข้อมูลออกเป็น 10 ส่วนเท่าๆกัน) และเปอร์เซนไทล์ (แบ่งข้อมูลออกเป็น 100
ส่วนเท่าๆกัน) โดยข้อมูลจะต้องถูกเรียงลาดับจากน้อยไปมากก่อนเสมอ
แผนภาพอธิบายตาแหน่งสัมพัทธ์ของข้อมูล
การคานวณหาค่าควอร์ไทล์ เดไซล์และเปอร์เซนไทล์มีลักษณะคล้ายๆกับการคานวณค่ามัธยฐาน โดย
แบ่งเป็น 2 กรณี
ควอไทล์ที่ r (Qr) คือข้อมูลตาแหน่งที่  1
4
r
N 
Med
P50
Q2
D5
P25
Q1
D2.5
P75
Q3
D7.5
D1 D9
NOTE

14
เดไซล์ที่ r (Dr) คือข้อมูลตาแหน่งที่  1
10
r
N 
เปอร์เซนไทล์ที่ r (Pr) คือข้อมูลตาแหน่งที่  1
100
r
N 
***ข้อควรระวัง ในการหาค่าควอร์ไทล์ เดไซล์และเปอร์เซนไทล์ข้อมูลต้องมีการเรียงลาดับจากน้อยไปมาก
แล้ว
เมื่อ L แทนขอบล่างของชั้นที่มีควอร์ไทล์ เดไซล์หรือเปอร์เซนไทล์อยู่
I แทนความกว้างของชั้นที่มีควอร์ไทล์ เดไซล์หรือเปอร์เซนไทล์อยู่
Lf แทนความถี่สะสมจนถึงขอบล่างของชั้นที่มีควอร์ไทล์ เดไซล์หรือเปอร์เซนไทล์อยู่
rQf , rDf , rPf แทนความถี่ของชั้นที่มีควอร์ไทล์ เดไซล์หรือเปอร์เซนไทล์อยู่
***ข้อควรระวัง ในการหาค่าควอร์ไทล์ เดไซล์และเปอร์เซนไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว จะใช้
ตาแหน่งโดยไม่ต้องบวกหนึ่ง
มีแผนภาพอีกชนิดหนึ่งที่ช่วยให้เห็นการกระจายข้อมูลได้ชัดเจนยิ่งขึ้น เรียกว่า แผนภาพกล่อง (Box
plot) ซึ่งจะบอกค่าทางสถิติทั้งหมด 5 ค่า ได้แก่ ข้อมูลต่าสุด ข้อมูลสูงสุด ข้อมูลในควอร์ไทล์ที่ 1, 2, 3 โดยรูป
ด้านล่างแสดงตัวอย่างของแผนภาพกล่อง

15
องค์ประกอบของแผนภาพกล่อง ได้แก่ ตัวกล่องซึ่งจุดปลายกล่องทางด้านซ้าย ตรงกลางและขวาจะ
เป็นข้อมูลในควอร์ไทล์ที่ 1 2 และ 3 ตามลาดับ และกิ่งซึ่งจะยื่นออกมาจากกล่อง โดยจุดปลายกิ่งซ้ายและกิ่ง
ขวาคือ ข้อมูลต่าสุดและสูงสุดตามลาดับ
ตัวอย่าง จากข้อมูล 18.3 20.6 19.3 22.4 20.2 18.8 19.7 20.0 19.6 18.8 จงหา P89 – Q3 + D4
ตัวอย่าง ส่วนสูงของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเป็นดังตาราง จงใช้ตารางในการตอบคาถามต่อไปนี้
ส่วนสูง (cm) จานวนนักเรียน
150-154 5
155-159 10
160-164 12
165-169 14
170-174 8
175-179 7
180-184 4

16
ก. นายดาและนายแดงเป็นนักเรียนในกลุ่มนี้ โดยนายดามีส่วนสูงอยู่ในตาแหน่งควอร์ไทล์ที่
3 และนายแดงมีส่วนสูงอยู่ในตาแหน่งเปอร์เซนไทล์ที่ 45 ดังนั้นนายดาและนายแดงมีส่วนสูงต่างกันเท่าไร
ข. นางสาวขาวมีส่วนสูง 159.5 เซนติเมตร คิดเป็นเดไซล์ที่เท่าไร
ENT มี.ค. 46 กาหนดตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่งได้ดังนี้
คะแนน ความถี่
16-18 a
19-21 2
22-24 3
25-27 6
28-30 4
ถ้าควอร์ไทล์ที่ 1 (Q1) เท่ากับ 18.5 คะแนน แล้วมัธยฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องนี้
เท่ากับเท่าใด

17
A-NET 49 โรงงานแห่งหนึ่งมีพนักงานจานวน 40 คน และตารางการแจกแจงความถี่สะสมของอายุ
พนักงานเป็นดังนี้
อายุ(ปี) ความถี่สะสม
11-20 6
21-30 14
31-40 26
41-50 36
51-60 40
ถ้าผู้จัดการมีอายุ 48.5 ปี แล้วพนักงานที่มีอายุระหว่างค่ามัธยฐานของอายุพนักงานและอายุของผู้จัดการ มี
จานวนประมาณเท่ากับข้อใด
1. 31.5%
2. 33.7%
3. 35.0%
4. 37.0%
PAT1 ต.ค. 52 ข้อมูลชุดหนึ่งมี 5 จานวนและมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 12 ถ้าควอไทล์ที่ 1 และ 3 ของ
ข้อมูลชุดนี้เท่ากับ 5 และ 20 ตามลาดับ แล้วเดไซล์ที่ 5 ของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่าใด

18
PAT1 ต.ค. 53 ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 2 ห้อง ซึ่งทาคะแนนเฉลี่ยได้ 60 คะแนน โดยห้อง
แรกมีนักเรียนจานวน 40 คน และห้องที่สองมีนักเรียนจานวน 30 คน ถ้าคะแนนสอบในห้องแรก เปอร์เซน
ไทล์ที่ 50 มีค่า 64 คะแนนและฐานนิยมมีค่าเป็น 66 คะแนน แล้วคะแนนเฉลี่ยของนักเรียนห้องที่สองมีค่า
เท่ากับเท่าใด
PAT1 มี.ค. 54 ในการสอบคณิตศาสตร์คะแนนเต็ม 60 คะแนน มีนักเรียนเข้าสอบ 30 คน นาย ก. เป็น
นักเรียนคนหนึ่งที่เข้าสอบในครั้งนี้ นาย ก. สอบได้ 53 คะแนนและมีจานวนนักเรียนที่มีคะแนนสอบน้อยกว่า
53 คะแนนอยู่ 27 คน ถ้ามีการจัดกลุ่มคะแนนสอบเป็นช่วงคะแนนโดยมีอันตรภาคชั้นกว้างเท่าๆกัน คะแนน
สอบของนาย ก. อยู่ในช่วงคะแนน 51-60 จานวนนักเรียนที่สอบได้คะแนนในช่วงคะแนน 51-60 นี้มีทั้งหมดกี่
คน
1. 3
2. 4
3. 5
4. 9

19
4. ค่าการกระจายข้อมูล
ในหัวข้อที่ผ่านมาเราได้ศึกษาถึงค่ากลางของข้อมูลเพื่อใช้เป็นตัวแทนของข้อมูลทั้งหมด แต่ยังมีอีกสิ่ง
หนึ่งที่ควรจะวิเคราะห์ประกอบกันนั่นคือ การกระจายตัวของขัอมูล ซึ่งจะช่วยให้เราเข้าใจข้อมูลที่เรามีได้
ละเอียดขึ้น โดยการวัดการกระจายตัวของข้อมูลแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ การวัดการกระจายสัมบูรณ์และการ
วัดการกระจายสัมพัทธ์ ซึ่งแต่ละประเภทจะมีตัววัดการกระจายข้อมูลอีก 4 แบบ ซึ่งจะได้ศึกษาต่อไป
4.1 การวัดการกระจายสัมบูรณ์ คือ การวัดการกระจายตัวของข้อมูลเพียงชุดเดียว เพื่อดู
ว่าข้อมูลชุดนั้นมีการกระจายตัวมากน้อยเพียงใด โดยที่นิยมใช้มีอยู่ทั้งหมด 4 แบบ ได้แก่
- พิสัย
- ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์
- ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
สูตรการคานวณ พิสัย (Range)
พิสัย = ค่าสูงสุด – ค่าต่าสุด ( max minx x )
พิสัย = ขอบบนของอันตรภาคชั้นที่มีข้อมูลที่มีค่าสูงสุด – ขอบล่างของอันตรภาคชั้นที่มีข้อมูลที่มีค่าต่าสุด
สูตรการคานวณ ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ (Quartile deviation : QD)
- กรณีข้อมูลไม่มีการแจกแจงความถี่และมีการแจกแจงความถี่
สูตรการคานวณ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (Mean deviation : MD)

20
สูตรการคานวณ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard deviation : SD)
4.2 การวัดการกระจายสัมพัทธ์ จะใช้ก็ต่อเมื่อมีข้อมูลตั้งแต่สองชุดขึ้นไป ซึ่งอาจเป็น
ข้อมูลคนละประเภทแต่สามารถนามาวัดการกระจายได้ โดยที่นิยมใช้มีอยู่ทั้งหมด 4 แบบ ได้แก่
- สัมประสิทธิ์ของพิสัย
- สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์
- สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
- สัมประสิทธิ์ของความแปรผัน
NOTE
ถ้าข้อมูลชุด Y ทุกๆตัว สัมพันธ์กับข้อมูลชุด X แต่ละตัว ตามสมการ จะได้ว่า
ค่าการกระจายของข้อมูลชุด Y เป็น |m| เท่าของชุด X

21
สูตรการคานวณ สัมประสิทธิ์ของพิสัย(Coefficient of Range : CR)
สูตรการคานวณ สัมประสิทธิ์ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ (Coefficient of quartile deviation : CQ)
สูตรการคานวณ สัมประสิทธิ์ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (Coefficient of average deviation : CA)
สูตรการคานวณ สัมประสิทธิ์ของความแปรผัน (Coefficient of variation : CV)
ตัวอย่าง อายุของสมาชิกในครอบครัวหนึ่งซึ่งมี 5 คน ได้แก่ 10, 30, 30, 30, 60 ปี จงหาค่าการ
กระจายสัมบูรณ์ทั้ง 4 แบบ

22
ตัวอย่าง ในการสอบครั้งหนึ่ง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนของคะแนนสอบของนักเรียนเป็น
14 คะแนนและ 1.4 คะแนน2
ตามลาดับ จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนเมื่อ
ก. ผู้สอนเพิ่มคะแนนเก็บให้กับทุกคน คนละ 5 คะแนน
ข. หากผู้สอนปรับคะแนนเต็มจากเดิม 20 คะแนนเป็น 60 คะแนน
ความแปรปรวน ( ) เป็นการวัดการกระจายสัมบูรณ์อีกชนิดหนึ่ง โดย
ความแปรปรวน = ค่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2
และเมื่อมีข้อมูล 2 ชุดที่แต่ละชุดทราบความแปรปรวน สามารถหาความแปรปรวนรวมได้จาก

23
ENT มี.ค. 43 ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย x1, x2, x3,…, x20 โดยมีสมบัติดังนี้
20
2
1
( 5) 500i
i
X

  ,
20
1
i
i
X a

 มีค่าน้อยที่สุดเมื่อ a=5 และ
20
2
1
( )i
i
X b

 มีค่าน้อยที่สุดเมื่อ b=8 ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ข้อมูลชุดนี้มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตน้อยกว่าค่ามัธยฐาน
2. ผลรวมของข้อมูลชุดนี้ทั้งหมดเท่ากับ 100
3. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับ 5
4. สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับ 50%
ENT ต.ค. 45 ข้อมูลชุดหนึ่งเรียงลาดับจากน้อยไปมาก คือ a 4 5 6 b ซึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วน
เบี่ยงเบนเฉลี่ยเท่ากับ 6 และ 3 ตามลาดับ สัมประสิทธิ์ของพิสัยของข้อมูลชุดนี้เท่ากับเท่าใด

24
ENT มี.ค. 47 ถ้า 20, x2,…,x25 เป็นข้อมูลที่เรียงจากค่าน้อยไปค่ามากและเป็นลาดับเลขคณิตและควอร์ไทล์
ที่หนึ่งของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ 31 แล้วส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลชุดนี้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 6.24
2. 10.28
3. 12.48
4. 24.96
ENT ต.ค 47 ให้ x1, x2,…, x5 เป็นข้อมูลชุดหนึ่งซึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 6 ถ้า
5
2
1
( 4) 30i
i
X

 
แล้ว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 2
2. 2
3. 6
4. 2 2

25
PAT1 ก.ค. 52 ถ้าความยาวของรัศมีวงกลม 10 วงมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 3 และมีความแปรปรวนเท่ากับ
5 แล้วผลรวมของพื้นที่วงกลมทั้ง 10 วงนี้ มีค่าเท่ากับเท่าใดต่อไปนี้
1. 90
2. 95
3. 140
4. 340
PAT1 ต.ค. 53 พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. ในการสอบของนักเรียน 3 คน พบว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเท่ากับ 80 คะแนน ค่ามัธย-
ฐาน 75 คะแนน และพิสัยเท่ากับ 25 คะแนน คะแนนสอบของนักเรียนที่ได้คะแนนต่าสุดเท่ากับ 70 คะแนน
ข. ข้อมูลชุดที่หนึ่งมี 5 จานวน คือ x1, x2, x3, x4, x5 และข้อมูลชุดที่สองมี 4 จานวน คือ x1, x2, x3,
x4 โดยที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลทั้งสองชุดเท่ากัน ถ้า a และ b เป็นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดที่
หนึ่งและชุดที่สองตามลาดับ แล้ว
5
2
b
a

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ก. ถูก และ ข. ถูก
2. ก. ถูก แต่ ข. ผิด
3. ก. ผิด แต่ ข. ถูก
4. ก. ผิด และ ข. ผิด

26
5. ค่ามาตรฐานและการแจกแจงแบบปกติ
5.1 ค่ามาตรฐาน
ในหัวข้อนี้ หากเราต้องการเปรียบเทียบข้อมูลตั้งแต่สองชุดขึ้นไป เช่น นาย ก. ได้คะแนนสอบ
วิชาคณิตศาสตร์ 90% ส่วนวิชาฟิสิกส์ 98% เราไม่สามารถกล่าวได้ว่า นาย ก. เก่งวิชาฟิสิกส์มากกว่าวิชา
คณิตศาสตร์ แต่เราต้องคานึงถึงค่าเฉลี่ยและการกระจายของคะแนนทั้งสองวิชาด้วย นักสถิติจึงคิดค่าทางสถิติ
ใหม่อีกหนึ่งตัวเพื่อใช้เปรียบเทียบข้อมูลซึ่งมาจากคนละชุด นั่นก็คือ ค่ามาตรฐาน (Standard score : z) โดย
หาได้จาก
สมบัติของค่ามาตรฐาน
-
1
0
n
i
i
z


- 0z  และ 1zSD  เสมอ
- The 95% rule กล่าวว่า “โดยทั่วไปข้อมูลที่อยู่ระหว่าง z = -2 และ z = 2 จะมีปริมาณ 95%
ของข้อมูลทั้งหมด” หมายความว่าข้อมูลทั้งหมดจะอยู่ในช่วง (z – 2SD, z + 2SD) แสดงว่าเรา
อาจประมาณ พิสัย เท่ากับ 4SD ได้
5.2 เส้นโค้งความถี่และการแจกแจงแบบปกติ
เส้นโค้งความถี่ แสดงให้เห็นถึงลักษณะการแจกแจงของข้อมูลมีทั้งหมด 3 แบบ ได้แก่

27
สิ่งที่เราได้จากเส้นโค้งความถี่ นั่นคือ สามารถคานวณหาตาแหน่งสัมพัทธ์ของข้อมูล (มัธยฐาน ควอร์
ไทล์ เดไซล์ เปอร์เซนไทล์) ได้ โดยอาศัยพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ซึ่งมีหลักการง่ายๆ ได้แก่
1. เราจะต้องเปลี่ยนข้อมูลของเราให้อยู่ในรูปค่ามาตรฐาน แล้วนาไปสร้างเส้นโค้งปกติ
มาตรฐาน ซึ่งมีสมบัติว่า พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานจะเท่ากับ 1.00
2. ใช้ตารางแสดงความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานกับค่ามาตรฐาน โดย
ค่าที่ระบุในตารางจะแสดงพื้นที่ที่วัดระหว่าง z=0 ไปถึง z ใดๆที่ระบุในตาราง
3. หาค่าตาแหน่งสัมพัทธ์ที่ต้องการโดยนาพื้นที่ที่ได้ไปเปลี่ยนเป็นค่ามาตรฐาน
เช่น การหาเปอร์เซนไทล์ที่ 65 จะทาได้โดยการเปิดตารางพื้นที่ 0.65-0.5=0.15 ซึ่งจะได้ว่าค่า
z=0.385 หรือ เปอร์เซนไทล์ที่ 20 จะทาได้โดยการเปิดตาราง 0.5-0.2=0.3 ซึ่งจะได้ค่า z=0.841 แต่เนื่องจาก
เป็นพื้นที่ทางด้านซ้าย จะได้ z=-0.841
ตัวอย่าง นายแดงสอบวิชาภาษาไทยและคณิตศาสตร์ได้คะแนน 48 และ 35 คะแนนตามลาดับ โดย
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบวิชาภาษาไทยและคณิตศาสตร์เท่ากับ 45 และ 32 คะแนนตามลาดับ และ
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 12 และ 10 คะแนนตามลาดับ จงหาว่านายแดงสอบวิชาใดได้ดีกว่ากัน

28
ตัวอย่าง คนงาน 100 คน มีอายุเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุเป็น 25 และ 13 ปี
ตามลาดับ ถ้าผลรวมของค่ามาตรฐานของอายุคนงาน 99 คนเป็น -0.25 แล้ว อายุของคนงานอีกคนที่เหลือ
เป็นเท่าใด
ตัวอย่าง ถ้าคะแนนสอบวิชาเคมีมีการแจกแจงปกติ โดยมีคะแนนเฉลี่ยและความแปรปรวนเป็น 60
และ 25 ตามลาดับ และผู้สอบผ่านต้องได้ไม่น้อยกว่า 54 คะแนน สมมตินาย ก ข และ ค ทราบว่าตนเองได้
คะแนนอยู่ในตาแหน่งเปอร์เซนไทล์ที่ 10 15 และ 33 ตามลาดับ จงหาว่านาย ค สอบได้คะแนนเท่าใดและ
นักเรียนทั้งสามคนนี้ใครสอบผ่านบ้าง กาหนดให้ตารางแสดงพื้นที่ใต้โค้งปกติตั้งแต่ค่ามาตรฐาน 0 ถึง z ดังนี้
Z 0.35 0.40 0.44 1.20
พื้นที่ 0.1368 0.1554 0.1700 0.3849
ENT มี.ค. 43 โรงเรียนแห่งหนึ่งมีนักเรียนชั้น ม.6 จานวน 300 คน สมชาย สมศักดิ์และสมศรี เป็นนักเรียน
ชั้น ม.6 ของโรงเรียนนี้ โดยที่ เกรดเฉลี่ยของสมชายอยู่ในตาแหน่งเดไซล์ที่ 8.15 เกรดเฉลี่ยของสมศักดิ์คิดเป็น
ค่ามาตรฐานเท่ากับ 1 นักเรียนชั้น ม.6 ที่ได้เกรดเฉลี่ยมากกว่าสมศรีมีจานวน 50 คน ถ้าสมมติว่าเกรดเฉลี่ย
ของนักเรียนชั้น ม.6 มีการแจกแจงปกติ ข้อใดต่อไปนี้เป็นรายชื่อนักเรียนเรียงลาดับจากคนที่ได้เกรดเฉลี่ยมาก
ที่สุดไปน้อยที่สุด (กาหนดพื้นที่ใต้โค้งปกติ z=0 ถึง z=1 มีค่าเท่ากับ 0.3413)
1. สมชาย สมศักดิ์ สมศรี
2. สมศักดิ์ สมศรี สมชาย
3. สมศรี สมศักดิ์ สมชาย
4. สมศักดิ์ สมชาย สมศรี

29
ENT ต.ค. 45 ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่ง ซึ่งมีคะแนนเต็ม 70 คะแนน มีสัมประสิทธิ์
ของการแปรผันของคะแนนเท่ากับ 2/7 ถ้านายบัณฑิตสอบได้ 65 คะแนน ซึ่งคิดเป็นคะแนนมาตรฐานเท่ากับ
3 และนางสาวบังอรสอบได้คะแนนซึ่งคิดเป็นค่ามาตรฐานเท่ากับ 1.9 แล้ว นางสาวบังอรสอบได้คะแนนเท่ากับ
ข้อใดต่อไปนี้
1. 50 คะแนน
ENT มี.ค. 46 การแจกแจงความสูงของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเป็นการแจกแจงปกติ ถ้านักเรียนที่มีความสูง
มากกว่า 149.4 เซนติเมตร มีอยู่ 3% และนักเรียนที่มีความสูงน้อยกว่าฐานนิยมแต่มากกว่า 136.5 เซนติเมตร
มีอยู่ 25.8% แล้ว ข้อใดต่อไปนี้คือฐานนิยมและความแปรปรวนของความสูงของนักเรียนกลุ่มนี้ตามลาดับ
(หน่วยเป็นเซนติเมตร) กาหนดตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานที่อยู่ระหว่าง 0 ถึง z
z 0.3 0.7 1.49 1.88
พื้นที่ 0.1179 0.2580 0.4139 0.4700
1. 144.4, 5
2. 144.4, 25
3. 140, 5
4. 140, 25

30
PAT1 มี.ค. 52 ข้อมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ถ้าหยิบข้อมูล a, b, c, d มาคานวณค่ามาตรฐาน ปรากฏว่า
ได้ค่าดังตาราง
ข้อมูล a b c d
ค่ามาตรฐาน(z) -3 -0.45 0.45 1
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
1. –a+2b+2c-3d = 0
2. –a+b+c-3d = 0
3. a-2b+3c+2d = 0
4. a-b+c-d = 0
PAT1 มี.ค. 52 ข้อมูลความสูงของนักเรียนชั้น ม.6 ของโรงเรียนแห่งหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ถ้าจานวน
นักเรียนที่มีความสูงน้อยกว่า 140.6 เซนติเมตร มีอยู่ 3.01% และจานวนนักเรียนที่มีความสูงมากกว่าค่ามัธย
ฐานแต่น้อยกว่า 159.4 เซนติเมตร มีอยู่ 46.99% แล้วจานวนนักเรียนที่มีความสูงไม่น้อยกว่า 155 เซนติเมตร
แต่ไม่เกิน 160 เซนติเมตรมีเปอร์เซนเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ เมื่อกาหนดตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ
มาตรฐานระหว่าง 0 ถึง z เป็นดังนี้
z 1.00 1.12 1.88 2.00
พื้นที่ใต้เส้นโค้ง 0.3413 0.3686 0.4699 0.4772
1. 12.86%
2. 13.14%
3. 15.87%
4. 13.59%

31
PAT1 ต.ค. 52 กาหนดให้ข้อมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงปกติ หยิบข้อมูล x1, x2, x3 มาคานวณค่ามาตรฐาน
ปรากฏว่าได้ค่าเป็น z1, z2, z3 ตามลาดับ ถ้า z1+z2 = z3 แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้เท่ากับข้อใด
ต่อไปนี้
1. x1+x2-x3
2. x1-x2-x3
3. x3-x2-x1
4. x1+x2+x3

32
6. ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล
ในระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย ความสัมพันธ์ที่ควรทราบและออกข้อสอบมีอยู่ 2 รูปแบบ ได้แก่
1. ฟังก์ชันเส้นตรง
รูปทั่วไป : ˆY mX c 
สมการปกติ :
1 1
n n
i i
i i
Y m X nc
 
  
2
1 1 1
n n n
i i i i
i i i
X Y m X c X
  
   
2. ฟังก์ชันพาราโบลา
รูปทั่วไป : 2ˆY aX bX c  
สมการปกติ : 2
1 1 1
n n n
i i i
i i i
Y a X b X nc
  
    
3 2
1 1 1 1
n n n n
i i i i i
i i i i
X Y a X b X c X
   
     
2 4 3 2
1 1 1 1
n n n n
i i i i i
i i i i
X Y a X b X c X
   
     
***หมายเหตุ สมการปกติเป็นสมการที่ไว้ใช้หาค่าคงที่ เช่น a, b, c, m
ข้อควรระวัง
การสร้างสมการถดถอยจะสามารถใช้ทานายตัวแปรตาม ( ) จากตัวแปรต้น (X) ได้ แต่ไม่
สามารถใช้สมการเดียวกันทานายตัวแปรต้น (X) จากตัวแปรตาม ( ) ได้นอกจากใช้ทานายค่าตัวแปร
ต้นได้ ณ จุด ถ้าต้องการทานายตัวแปรต้นจะต้องเปลี่ยนรูปสมการให้อยู่ในรูป

33
หากข้อมูลของเรามีตัวแปรต้นที่เป็นช่วงที่ห่างเท่าๆกัน เช่น ช่วงเวลา (พ.ศ.) เราเรียกข้อมูลเหล่านั้นว่า
ข้อมูลที่อยู่ในรูปของอนุกรมเวลา เราสามารถแทนค่าตัวแปนต้นที่เป็นตัวเลขน้อยๆ โดยหากมีจานวนตัวแปร
ต้นเป็นจานวนคี่ มักจะแทนด้วย …, -2, -1, 0, 1, 2,… โดยตัวแปรต้นตรงกลางแทนด้วย 0 เสมอ หากจานวน
ตัวแปรต้นเป็นจานวนคู่ มักจะแทนด้วย …, -3, -1, 1, 3,… โดยตัวแปนต้นคู่ตรงกลางแทนด้วย -1 และ 1
ตัวอย่าง จากการสอบถามรายจ่ายของ 8 ครอบครัวในหมู่บ้านหนึ่ง ได้ผลสัมพันธ์กับรายได้ดังตาราง
จงใช้ข้อมูลข้างต้นตอบคาถามต่อไปนี้
ก. ให้หาความสัมพันธ์ที่ใช้ประมาณรายจ่ายจากรายได้
ข. ถ้าครอบครัวหนึ่งในหมู่บ้านแห่งนี้มีรายได้ 4,500 บาท จะมีรายจ่ายประมาณเท่าใด
ค. ถ้าครอบครัวหนึ่งในหมู่บ้านแห่งนี้มีรายจ่าย 3,500 บาท จะมีรายได้ประมาณเท่าใด
รายได้ (พันบาท) 1 3 4 6 8 9 11 14
รายจ่าย (พันบาท) 1 2 4 4 5 7 8 9

34
ตัวอย่าง ให้สร้างสมการทานายประชากรในท้องที่หนึ่ง ซึ่งมีข้อมูลที่สารวจมาได้ดังตารางและจากนั้น
ให้ประมาณจานวนประชากรในท้องที่นี้ในปีพ.ศ. 2547
พ.ศ. 2535 2537 2539 2541 2543
จานวนประชากร (พันคน) 0.8 0.9 1.1 1.4 2.0
ENT ต.ค. 42 พิจารณาข้อมูลของ x และ y ดังนี้
x -3 -1 0 1 3
y 0 a a+3 a+4 a+6
เมื่อ a เป็นค่าคงที่ ให้ x และ y มีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันเป็นกราฟเส้นตรง โดยที่ความชันเท่ากับ 1.55 ถ้า
x=4 จะประมาณค่า y ได้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 8.7
2. 10.8
3. 11.2
4. 12.8

35
A-NET 51 ถ้าในการหาความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างคะแนนสอบวิชาที่หนึ่ง (X) และวิชาที่สอง (Y)
ของนักเรียนชั้นหนึ่งมีจานวน 10 คน ของโรงเรียนแห่งหนึ่ง ได้พจน์ต่างๆที่ใช้ในการคานวณค่าคงตัวจาก
สมการปกติ ดังนี้
10
1
50i
i
X


10
1
50i
i
Y


10
1
288i i
i
X Y


10
2
1
304i
i
X


10
2
1
284i
i
Y

 ได้สมการ
ประมาณคะแนนสอบวิชาที่สองจากคะแนนสอบวิชาที่หนึ่งเป็น ˆ 1.5 0.7Y X  (ใช้ทศนิยมหนึ่งตาแหน่ง)
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. ถ้านักเรียนสองคนในกลุ่มนี้มีคะแนนสอบวิชาที่หนึ่งต่างกัน 2 คะแนนแล้ว คะแนนสอบวิชาที่สอง
ของนักเรียนสองคนนี้ต่างกันประมาณ 1.4 คะแนน
ข. เมื่อสอบคะแนนสอบวิชาที่สอง จะประมาณคะแนนสอบวิชาที่หนึ่งของนักเรียนกลุ่มนี้ได้จาก
สมการ ˆ 1.4 2.1X Y 
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ก. ถูก และ ข. ถูก
2. ก. ถูก และ ข. ผิด
3. ก. ผิด และ ข. ถูก
4. ก. ผิด และ ข. ผิด
PAT ก.ค. 52 ในการหาความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างปริมาณสารปนเปื้อนชนิดที่ 1 (x) และปริมาณสาร
ปนเปื้อนชนิดที่ 2 (y) จากตัวอย่างอาหารจานวน 100 ตัวอย่าง พบว่าความแปรปรวนของปริมาณสารชนิดที่ 1
มีค่าเท่ากับ 1.75 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของปริมาณสารชนิดที่ 2 มีค่าเท่ากับ 0.5
100
1
100i i
i
x y

 และ
100
2
1
200i
i
x

 ถ้าสมการปกติของความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันดังกล่าวอยู่ในรูป y = ax+b แล้ว เมื่อพบสาร
ปนเปื้อนชนิดที่ 1 อยู่ 4 หน่วย จะพบสารปนเปื้อนชนิดที่ 2 (โดยประมาณ) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 0.5 หน่วย
2. 1 หน่วย
3. 1.5 หน่วย
4. 2 หน่วย

36
เอกสารอ้างอิง
คณิต มงคลพิทักษ์สุข. MATH E-BOOK Release2.5, สานักพิมพ์ Science Center, 2554.
จักรินทร์ วรรณโพธิ์กลาง. คัมภีร์ คณิตศาสตร์ Entrance ม.4-5-6 สอบตรง สอบโควต้า Admission
PAT1, กรุงเทพมหานคร: พ.ศ. พัฒนา, พิมพ์ครั้งที่ 1, 2552.
ณัฐ อุดมพาณิชย์. เส้นทางสู่ วิศวะฯจุฬา พิชิต PAT1 คณิตศาสตร์, กรุงเทพมหานคร: สถาบันสอนวิชา
คณิตศาสตร์ NUTTY PROFESSIONAL, พิมพ์ครั้งที่ 2, 2552.
ทรงวิทย์ สุวรรณธาดา. 1001 TESTS IN MATHS 2, กรุงเทพมหานคร: บริษัท สานักพิมพ์แม็ค จากัด, พิมพ์
ครั้งที่ 1, 2550.
ทรงวิทย์ สุวรรณธาดา. 1001 TESTS IN MATHS 3, กรุงเทพมหานคร: บริษัท สานักพิมพ์แม็ค จากัด, พิมพ์
ครั้งที่ 1, 2550.
ฝ่ายวิชาการ บริษัท สกายบุ๊กส์ จากัด. รวมสูตรเลขคณิต ช่วงชั้นที่ 3-4, ปทุมธานี: สกายบุ๊กส์, พิมพ์ครั้งที่ 1,
2548.
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ. หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้
พื้นฐาน คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5, กรุงเทพมหานคร: โรงพิมพ์ครุสภาลาดพร้าว,
พิมพ์ครั้งที่ 3, 2549.
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ. หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้
เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6, กรุงเทพมหานคร: โรงพิมพ์ครุสภาลาดพร้าว,
พิมพ์ครั้งที่ 4, 2550.
อรรณพ สุขธารง. คณิตศาสตร์ Entrance เล่ม 3. ม.ป.ป.

Statistics clip vidva

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to Statistics clip vidva

Statistics clip vidva