สื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ลองทำ

โดย ครูฟองเพียร ใจ
ติ๊บ
โรงเรียนแม่ใจ
วิทยาคม
ใช้ประกอบการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง การ
วิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้น
หน้า
สื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
ที่สร้างจากโปรแกรม
Power Pointเรื่อง การวัดค่า
กลางของข้อมูล

คาบ
ที่ 1คาบ
ที่ 5
คาบ
ที่ 10
จุดประสงค์
การเรียนรู้
ก่อน หน้า
การวัดค่ากลาง
ของข้อมูล

คาบที่ 1
ทดสอบ
ก่อนเรียน
ทดสอบ
ก่อนเรียน
หน้าก่อน หน้า

การวัดค่ากลางของ
ข้อมูล (Measures
of Central Value)
การวัดค่ากลางของ
ข้อมูล (Measures
of Central Value)

จุดประสงค์การเรียนรู้
1. หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่ไม่แจกแจง
ความถี่และแจกแจง ความถี่ได้
2. บอกสมบัติของ
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและนำาไปใช้ได้
3. หาค่ามัธยฐานของข้อมูลที่ไม่แจกแจง
ความถี่และแจกแจงความถี่ได้
4. บอกสมบัติของ
มัธยฐานและนำาไปใช้ได้ 5.
หาค่าฐานนิยมของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่
และแจกแจงความถี่ได้
6. บอกสมบัติของฐานนิยม

สถิติหรือค่าพารามิเตอร์
แล้วนำาผลที่ได้มาสรุปและตีความหมาย
ของข้อมูล
ใช้เป็นตัวแทนของข้อมูลทั้งหมดเพื่อ
ความสะดวกในการสรุปเรื่องราวเกี่ยว
กับข้อมูลนั้น ๆ จะช่วยทำาให้เกิดการ
วิเคราะห์ข้อมูลถูกต้องดีขึ้นการหาค่า
กลางของข้อมูลมีวิธีหาหลายวิธี แต่ละ
วิธีมีข้อดีและข้อเสีย และมีความเหมาะ
สมในการนำาไปใช้ไม่เหมือนกันขึ้นอยู่หน้าก่อน หน้า

ค่ากลางที่เป็นตัวแทนของ
ข้อมูลที่นิยมใช้มีอยู่ 3
ชนิด
1. ค่าเฉลี่ย
เลขคณิต2.
มัธยฐาน3.
ฐานนิยม

การคำานวณค่ากลางทั้ง 3 ชนิด
นี้โดยทั่วไปแบ่งออกได้เป็น 2
กรณีใหญ่ ๆ
1. การหาค่ากลางของข้อมูลที่
ไม่ได้แจกแจงความถี่
(ungrouped datya)2. การหาค่ากลางของข้อมูลที่
แจกแจงความถี่ (grouped
datya)

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
(arithmetic mean)
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (arithmetic
mean) คือ ค่าของผลรวมของค่าสังเกต
ของข้อมูลทั้งหมด หารด้วยจำานวนของ
ข้อมูลทั้งหมด เรียกสั้น ๆ ว่า ค่าเฉลี่ย ค่า
เฉลี่ยเลขคณิตเหมาะที่จะนำามาเป็นค่า
กลางของข้อมูลที่ไม่มีค่าใดค่าหนึ่งสูง
หรือตำ่าผิดปกติ มีสูตรดังนี้สำาหรับข้อมูลที่ไม่
แจกแจงความถี่
สำาหรับข้อมูลที่
แจกแจงความถี่

ค่าเฉลี่ยประชากร
(Population mean)
 คือ ค่าเฉลี่ยของ
ประชากร
N คือ จำานวนข้อมูล
ทั้งหมด
i=1
N
Xi คือ ผลรวมของข้อมูล
ถ้าให้ x1 , x2 , x3 ,… xN เป็นข้อมูล N
จำานวนจากประชากร
 =
N
x1+ x2 + x3 + … + xN
 = i=1
N
 xi
N
หรื
อ

ค่าเฉลี่ยกลุ่มตัวอย่าง
(sample mean)
คือ ผลรวมของข้อมูล
i=1
n คือ จำานวน
ข้อมูลทั้งหมด
n
Xi
คือ ค่าเฉลี่ยของ
กลุ่มตัวอย่าง
x
x =
n
x1+ x2 + x3 + … + xn
i=1
 xi
n
x =
n
หรื
อ
ถ้าให้ x1 , x2 , x3 ,… xn เป็นข้อมูล n
จำานวนจากตัวอย่าง

สมบัติของ ที่
ควรทราบถ้า c เป็นค่า
คงตัวใด ๆ
N
i=1
1.  c = Nc
N
i=1
2.  cxi =
N
i=1
c  xi
N
i=1
 xi
N
i=1
4.  (xi - yi) = -
N
i=1
 yi
N
i=1
3.  (xi + yi) =
N
i=1
 xi +
N
i=1
 yi

ตัวอย่างที่ 1 คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์
ของนักเรียนกลุ่มตัวอย่างจำานวน 10 คน มี
ค่าดังนี้
87 , 61 , 75 , 85 , 73 , 65 , 58 , 66 ,
78 , 95 จงหาค่าเฉลี่ยของคะแนน
สอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนกลุ่มนี้
วิธีทำา จากสูตร i=1
 xi
n
x =
n
จะ
ได้
10
87+ 61 + 75 +85 + 73 +
65 + 58 + 66 + 78 + 95
x =
74
3
= 1
0=
74.3
ดังนั้นค่าเฉลี่ยของคะแนน
สอบวิชาคณิตศาสตร์ของ
นักเรียนกลุ่มนี้ เท่ากับ
74.3 คะแนนหน้าก่อน หน้า

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงนำ้าหนัก
(weighted arithmetic mean)
ถ้าให้ w1 , w2 , w3 ,… wn เป็นความสำาคัญ
หรือนำ้าหนักของค่าจากการสังเกต x1 , x2 , x3
,… xn ตามลำาดับ แล้ว
หมายเหตุ ถ้าข้อมูล
เป็นระดับประชากร
การคำานวณคงใช้สูตร
ทำานองเดียวกันแต่
เปลี่ยน เป็น
x
=
 wixii=1
n
 wii=1
n
x
ค่าเฉลี่ย
เลขคณิต
ถ่วงนำ้าหนัก
w1 + w2 + w3 + … + wn
w1x1+ w2x2 + w3x3 + … + wnxn
=x

ตัวอย่างที่ 1 ในการสอบครั้งหนึ่งครูให้นำ้า
หนักคะแนนวิชาเคมี ฟิสิกส์ ชีววิทยา และ
คณิตศาสตร์ เป็น 2 , 1 , 3 และ 4 ตาม
ลำาดับ ถ้าวิมลสอบทั้งสี่วิชาได้คะแนน 65 ,
70 , 80 และ 85 ตามลำาดับ จงหาค่าเฉลี่ย
เลขคณิตของคะแนนสอบของวิมลครั้งนี้
วิธี
ทำา
รายวิชา คะแนน
(x)
นำ้าหนัก
(w)
wx
เคมี 65 2 130
ฟิสิกส์ 70 1 70
ชีววิทยา 80 3 240
คณิตศาส
ตร์
85 4 340
Σw = 10
i=
1
4
 wx =
780
i=
1
4

วิธีทำา
(ต่อ)จาก
สูตร
=
 wixii=1
n
 wii=1
n
x
=
780
10
= 78
ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบ
ของวิมล เท่ากับ 78 คะแนน

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม
(combined arithmetic mean)
หมายเหตุ ถ้าข้อมูล
เป็นระดับประชากร
การคำานวณคงใช้สูตร
ทำานองเดียวกันแต่
เปลี่ยน เป็น
x
ถ้าให้ เป็นค่าเฉลี่ย
เลขคณิตของข้อมูลชุดที่ 1 , 2 , 3 , ... , k ตาม
ลำาดับ n1 , n2 , n3 ,… nk เป็นจำานวนค่าจากการ
สังเกต 1 , 2 , 3 , ... , k ตามลำาดับ
x2 x3
,x1 xk
,, ,…
=
 nii=1
n
 nii=1
nxรวม
xi
n1 + n2 + n3 + … + nk
=xรวม
n1 + n2 + n3 + … + nkx1
x2 x3
x
k

ตัวอย่างที่ 1 ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ
นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 , 5 และ 6
ของโรงเรียนแห่งหนึ่งเป็น 15 , 17 และ 19
ปี ตามลำาดับ จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตอายุ
ของนักเรียนรวมทั้งสามชั้น เมื่อ ม.4 มี 80
คน ม.5 มี 70 คน และ ม.6 มี 50 คน
วิธี
ทำา
จาก
สูตร
n1 + n2 + n3
=xรวม
n1 + n2 + n3x1
x2 x3
x1
= 1
5
x2
= 1
7
x3
= 1
9
จากโจทย์จะ
ได้
, ,
, ,n1 =
80
n2 =
70
n3 =
50
80 + 70 +
50
=xรวม
(80 15) +
(7017) + (5019)

วิธีทำา
(ต่อ) =
1,200 +
1,190 + 950200
xรวม
= 16.7
 อายุเฉลี่ยของนักเรียนทั้ง
สามชั้นเท่ากับ 16.7 ปี

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ
ข้อมูลที่แจกแจงความถี่
ถ้าให้ f1 เป็นความถี่ของค่าจากการสังเกต x1 ,
f2 เป็นความถี่ของค่าจากการสังเกต x2 , เรื่อย
ไปจนถึง fk เป็นความถี่ของค่าจากการสังเกต
xk แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิต คือx = f1 + f2 + f3 + … + fk
f1x1+ f2x2 + f3x3 + … + fkxk
i=1
 fixi
n
k
=
 fixii=1
k
 fii=1
k =
เมื่อ n เป็นจำานวนค่าจากการ
สังเกตทั้งหมด
ในกรณีข้อมูลเป็น
อันตรภาคชั้น
xi เป็นจุดกึ่งกลางของ
ชั้นที่ ik เป็นจำานวน

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ
ข้อมูลที่แจกแจงความถี่
i=1
 fixi
N
k
=
 fixii=1
k
 fii=1
k =
และถ้าข้อมูลเป็นระดับประชากร การคำานวณ
ยังคงใช้สูตรทำานองเดียวกัน แต่เปลี่ยน
เป็น และ n เป็น N
x
f1 + f2 + f3 + … + fk
f1x1+ f2x2 + f3x3 + … + fkxk=

ตัวอย่างที่ 1 ในการสอบวิชา
คณิตศาสตร์พื้นฐานของนักเรียนชั้น
ม.6/1 จำานวน 20 คน ปรากฏผล
ดังนี้
คะแนน 5 6 7 8 9 10
จำานวน
นักเรียน
2 1 7 2 5 3
จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนน
สอบนักเรียน ชั้น ม.6/1

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบนักเรียน ชั้น
ม.6/1 เท่ากับ 7.8 คะแนน
วิธี
ทำาคะแนน
(x)
จำานวน
นักเรียน (f)
fx
5
6
7
8
9
10
2
1
7
2
5
3
10
6
49
16
45
30
จาก
สูตร
i=1
 fixi
n
k
x =
= 156
20
= 7.8
n = f =
20
fx=
156

ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าเฉลี่ย
เลขคณิตของคะแนนสอบวิชา
ภาษาไทย จากตารางแจกแจง
ความถี่ต่อไปนี้
คะแนน ความถี่
2 - 4 6
5 - 7 4
8 - 10 10
11 - 13 8
14 - 16 2

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบวิชาภาษา
ไทย เท่ากับ 8.6 คะแนน
วิธี
ทำา
จาก
สูตร
i=1
 fixi
n
k
x =
= 258
30
= 8.6
คะแน
น
2 – 4
5 – 7
8 –
10
11 –
13
14 -
16
จุดกึ่งกลางชั้น
(x)
3
6
9
1
21
5
ความถี่
(f)
6
4
1
08
2
fx
1
82
49
09
63
0n =f = 30 fx = 258

สรุปขั้นตอนวิธีการหาค่าเฉลี่ย
เลขคณิตของข้อมูลที่แจกแจง
ความถี่แบบอันตรภาคชั้น มีดังนี้1. หาจุดกึ่งกลางชั้น (xi) ของแต่ละ
อันตรภาคชั้น2. หาผลคูณของความถี่แต่ละอันตรภาค
ชั้นกับจุดกึ่งกลางชั้นของอันตรภาคชั้น
เดียวกัน (fixi)3. หาผลบวกจากค่าของแต่ละอันตรภาคชั้นที่
ได้ในข้อ 2 (fixi)
4. หา จากสูตร =x fixi
n
x

เทคนิค
คิดลัด ค่าเฉลี่ยเลขคณิตโดยวิธีนี้
ใช้สูตรลดทอน ดังนี้
เมื่อ di
=
Xi - a
I และk เป็นจำานวน
โดยกำาหนดให้ a เป็นค่ากลางสมมติ โดยค่านี้ได้จาก
การเลือกจากจุดกึ่งกลางชั้นใดก็ได้ แต่นิยมใช้ชั้นที่
มีความถี่สูงสุด หรือชั้นที่อยู่ตรงกลางเมื่อ I แทนความกว้าง
ของอันตรภาคชั้นdi แทนจุดกึ่งกลางใหม่ของ
แต่ละอันตรภาคชั้นfi แทนความถี่ของแต่ละ
อันตรภาคชั้นn แทนจำานวน
ข้อมูลทั้งหมด
x =a + I n
i=1
fidi
k
( )

ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต
ของข้อมูลในตัวอย่างที่ 2 โดยวิธีลัด (วิธี
ทอนค่าข้อมูล)คะแน
น
ความ
ถี่
d fd
2 - 4 6
5 - 7 4
8 -
10
10
11 -
13
8 fd = -4
-2
-1
0
1
2
-12
-4
0
8
4
จาก
สูตร
ให้ a = 9 , di =
Xi - a
I
x =a + I n
i=1
fidi
k
( )
= 9 + 3(-
4
30
)
= 9 + (-0.4)
= 8.6 ตอ
บหน้าก่อน หน้า

สมบัติที่สำาคัญของค่า
เฉลี่ยเลขคณิตค่าเฉลี่ยเลขคณิตเมื่อคูณกับจำานวน
ข้อมูลทั้งหมดไม่ว่าจะเป็นทั้งประชากร
ขนาด N หรือตัวอย่างขนาด n จะมีค่า
เท่ากับผลรวมของข้อมูลทุก ๆ ค่า ตาม
ลำาดับ ดังนี้
สมบัติข้อ
ที่ 1
i=1
 xi
N
= N

แล
ะ
x
i=1
 xi
n
= n

เฉลี่ยเลขคณิตผลรวมของผลต่างระหว่างแต่ละ
ค่าของข้อมูลกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต
ของข้อมูลชุดนั้น ๆ จะเท่ากับ 0
กล่าวคือ
ที่ 2
i=1
 (xi- )
N
= 0
แล
ะ

(xi- )
= 0xi=1
n

เฉลี่ยเลขคณิตผลรวมของผลต่างกำาลังสองของ
แต่ละค่าของข้อมูลกับจำานวนจริง
M ใด ๆ จะมีค่าน้อยที่สุดเมื่อ M
เท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ
ข้อมูลชุดนั้น กล่าวคือ
ที่ 3
2
i=1
 (xi- M)
N
= 0น้อยที่สุด เมื่อ M
= 
แล
ะ
i=1
 (xi- M)
n
= 0น้อยที่สุด เมื่อ
M =
x
2

เฉลี่ยเลขคณิตอาจเขียนได้อีก
อย่างหนึ่งว่า
เมื่อ M เป็น
จำานวนจริงใด ๆ
ที่ 3
2
i=1
 (xi- M)
N2
i=1
 (xi- )
N

แล
ะ
x
2
i=1
 (xi- M)
n2
i=1
 (xi- )
n


เฉลี่ยเลขคณิตค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดใด
ๆ จะต้องอยู่ระหว่างค่าจากการ
สังเกตที่น้อยที่สุด และค่าจากการ
สังเกตที่มากที่สุดในข้อมูลชุดนั้น
กล่าวคือ
ที่ 4
xmin  xmax 
แล
ะ
xxmin xmax 
เมื่อ xmin และ xmax เป็นค่าจากการสังเกตที่น้อย
ที่สุดและค่าจากการสังเกตที่มากที่สุดในข้อมูล
ชุดนั้น ตามลำาดับ หน้าก่อน หน้า

สมบัติที่สำำคัญของค่ำ
เฉลี่ยเลขคณิตถ้ำตัวแปร Y สัมพันธ์กับตัวแปร X
ในรูปฟังก์ชันเชิงเส้น นั่นคือ ถ้ำ
yi = axi + b เมื่อ i คือ 1 , 2 , 3, ...
, N เมื่อ a , b เป็นค่ำคงตัวใด ๆ
แล้ว
ที่ 5
แล = a + bxY
Y = aX + b
Y คือ ค่ำเฉลี่ยเลขคณิตของ yi
x คือ ค่ำเฉลี่ยเลขคณิตของ xiเมื่
อ
หน้ำก่อน หน้ำ

ตัวอย่ำงกำรแก้
ปัญหำโดยใช้
เฉลี่ยเลขคณิต
ตัวอย่ำงที่ 1 กำำหนดข้อมูล 10 , 20 , 30
, 40 , 50 จงหำจำำนวนจริง a ซึ่งทำำให้
เมื่อ xi แทนค่ำในข้อมูลที่กำำหนด
ให้
(xi- )=0x
i=1
5
ตัวอย่ำงที่ 2 กำำหนดข้อมูล 3 , 5 , 7 , 9 ,
11 , 13 จงหำค่ำที่น้อยที่สุดของ
เมื่อ a เป็นจำำนวนจริง และ xi แทนค่ำใน
ข้อมูลที่กำำหนดให้
(xi- a)
2
i=1
6

ตัวอย่ำงที่ 1 กำำหนดข้อมูล 10 , 20 , 30
, 40 , 50 จงหำจำำนวนจริง a ซึ่งทำำให้
เมื่อ xi แทนค่ำในข้อมูลที่กำำหนด
ให้
(xi- a)=0i=1
5
วิธี
ทำำ
จำกสมบัติข้อที่ 2
ที่ว่ำ

(xi- )
= 0xi=1
n
แสดงว่ำ เมื่อ (xi- a) = 0i=1
n
xa =
10 + 20 + 30 +
40 + 505
x =
= 15
05
= 30
 a = 30

ตัวอย่ำงที่ 2 กำำหนดข้อมูล 3 , 5 , 7 , 9 ,
11 , 13 จงหำค่ำที่น้อยที่สุดของ
เมื่อ a เป็นจำำนวนจริง และ xi แทนค่ำใน
ข้อมูลที่กำำหนดให้
(xi- a)
2
i=1
6
วิธี
ทำำ
3 + 5+ 7 + 9 +
11 + 136
x =
= 48
6
= 8
ก็ต่อเมื่อ a
=
x
จำกสมบัติข้อที่ 3
ที่ว่ำ
(xi- a)
2
i=1
n
มีค่ำน้อย
ที่สุด

วิธีทำำ
(ต่อ)
ค่ำที่น้อยที่สุดของ(xi- a)
2
i=1
6
คื
อ

(3 - 8)2
+ (5 - 8)2
+ (7 - 8)2
+(9 -
8)2
+ (11 - 8)2
+ (13 - 8)2
= 25 + 9 + 1 + 1 +
9 + 25= 7
0 ค่ำที่น้อย
ที่สุดของ
(xi- a)
2
i=1
6
คื
อ
7
0

ตัวอย่ำงกำรแก้
ปัญหำโดยใช้
เฉลี่ยเลขคณิต
ตัวอย่ำงที่ 3 บริษัทแห่งหนึ่งต้องกำร
กำำหนดเบี้ยประกันอุบัติเหตุรถยนต์โดย
คำำนวณจำกควำมสัมพันธ์ Y = 0.73X +
2,500 เมื่อ Y แทนเบี้ยประกันอุบัติเหตุ
รถยนต์มีหน่วยเป็นบำท และ X แทนอำยุกำร
ใช้งำนของรถยนต์มีหน่วยเป็นปี จำกกำร
สำำรวจในปีที่ผ่ำนมำ พบว่ำอำยุกำรใช้งำน
ของรถยนต์ส่วนมำกเป็น 2 , 3.5 , 5 , 6.5 ,

วิธี
ทำำ
= 6.5
5
จำกโจทย์กำำหนดให้ควำมสัมพันธ์ของ X และ Y
คือ Y = 0.73X + 2,500ในที่นี้ yi = 0.73 xi + 2,500 เมื่อ i
คือ 1 , 2 , 3 , ... , 10ดังนั้น จำกสมบัติ
ข้อที่ 5
X
=
Y 0.
73
+25
002 + 3.5+ 5 + 6.5 + 7 + 8 + 9
+ 6 + 8.5 + 101
0
x =แต่
= 65
.510ดัง
นั้น
=
Y 0.73(6.55) +
2,500
= 2,504.
7815นั่นคือ ค่ำเฉลี่ยของเบี้ยประกันอุบัติเหตุ
รถยนต์ของบริษัทนี้ประมำณ 2,504.78 บำท

อำยุเฉลี่ยของคนกลุ่มหนึ่ง
เท่ำกับ 31 ปี ถ้ำอำยุเฉลี่ยของ
ผู้หญิงในกลุ่มนี้เท่ำกับ 35 ปี
และอำยุเฉลี่ยของผู้ชำยในกลุ่ม
นี้เท่ำกับ 25 ปีแล้ว อัตรำส่วน
ระหว่ำงจำำนวนผู้หญิงต่อ
จำำนวนผู้ชำยเป็นเท่ำไรก. 2 : 3 ข. 2 : 5
ค. 3 : 2 ง. 3 : 5

สื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ลองทำ

More Related Content

What's hot

Similar to สื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ลองทำ

สื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ลองทำ

Editor's Notes