9 клас 2015-16

1. 9 клас - завдання та розв’язки
1. Скільки коренів має рівняння |х2
− 4|х|| = а залежно від значення
параметра а?
Розв’язання
Побудуємо графік функції, що розташована в лівій частині рівняння.
Графіком функції у = а – буде пряма, паралельна осі ОХ.
Кількість перетину графіків двох функцій буде відповідати кількості розв’язків
рівняння.
Відповідь.
При а<0 – розв‘язків немає; при а=0 – три розв‘язки; при 0<a<4 – шість
розв‘язків; при а=4 – чотири розв‘язки; при a>4 – два розв‘язки.
2. Якщо першу цифру тризначного числа збільшити на n, в другу та третю
цифри зменшити на n, то отримане число буде у n разів більше
початкового. Знайдіть число n та початкове тризначне число.
Розв’язання
Нехай 100x + 10y + z – початкове число. За умовою маємо рівність:
100(x + n) + 10(y – n) + (z – n) = n(100x + 10y + z),
звідки: 100x + 10y + z=
89𝑛
𝑛−1
.
Оскільки 89 – просте число, то або n-1 дорівнює 1, або n повинно ділитися
на n-1. В обох випадках ми приходимо до рівності: n=2, тоді шукане число
178
Відповідь: 178

2. 3. Всі сторониопуклого п’ятикутника ABCDE рівні, а його кути
задовольняють нерівностям EDCBA  . Довести, що
ABCDE - правильнийп’ятикутник.
Розв’язання
Оскільки CE
D
CD
B
ABAC 




2
sin2
2
sin2 , то з трикутника ACE
маємо EACAEC  . З іншого боку, маємо   BAEAC 
180
2
1
  AECD180
2
1
E90
2
D
E90
2
B
A 



 
. Отже,
AECEAC  , але тоді EA  , тобто всі кути п’ятикутника рівні,
п’ятикутник є правильним.
4. Для всіх дійсних а і b доведіть нерівність 16а8
+ с8
+ 8 ≥ 16а2
с2
Розв’язання
Використовуючи нерівність Коші, отримуємо:
16а8
+ с8
+ 8 ≥ 2√16а8с8 + 8 = 8а4
с4
+ 8 = 8(а4
с4
+ 1) ≥ 8 ∙ 2√а4с4 =16а2
с2
5. В одній з вершин куба сидить павук. Чи може він проповзтипо всім його
ребрам точно по одному разу і повернутись в початкову вершину?
Розв’язання
Представивши куб у виглядізв’язногографу, спробуємо знайтицикл без
повторень ребер.
Граф без петель називається ейлеровим, якщо існує цикл без повторень ребер
(такий цикл називають ейлеровим), який обходить усі вершини графа.
Має місце твердження: «Для того щоб зв’язнийграфбув ейлеровим, необхідно
і достатньо, що степені вершин були парними.»
У кожній із восьмивершин куба сходиться по три ребра. Це означає, що степінь
кожної вершини отриманого графа непарна, отже, відповідно до теореми шлях
виконати не можливо.
Відповідь: ні