18

1. Квадратні нерівності

2. Розв’язування нерівностей
другого степеня з однією змінною
Нерівність, лівою частиною якої є квадратний
тричлен , де а≠0; b, с – дані
числа, а правою – нуль, називають квадратною.
Наприклад:
нерівності
є квадратними, або нерівностями другого
степеня з однією змінною.

3. Розв’язання
Графік функції - парабола, вітки якої напрямлені вгору.
Знайдемо нулі функції, для цього розв’яжемо рівняння . Корені цього рівняння
дорівнюють
Отже, парабола перетинає вісь х у двох точка, абсциси яких дорівнюють -8 і 6.
На рис. видно, що функція набуває від’ємних значень, коли х належить
проміжку (-8;6). Значить, розв’язком нерівності є
числовий проміжок (-8;6).
Відповідь: (-8;6).
На рис. видно, що:
1. розв’язками нерівності є всі числа проміжка [-8;6];
2. розв’язками нерівності є всі числа проміжків (-∞;-8) або
(6;+∞), тобто об’єднання проміжків ;
3. розв’язками нерівності є об’єднання проміжків
.
Розв’яжіть нерівність

4. Розв’язання
Розглянемо функцію . Її графік – парабола, вітки
якої напрямлені догори.
Розв’яжемо рівняння , звідси х= - 0,6. Рівняння має єдиний корінь.
Отже, парабола дотикається осі ОХ. На рис. видно, що функція набуває
додатних значень при будь-яких х, крім -0,6
Відповідь:
Із рис. випливає також, що:
1. розв’язком нерівності є всі дійсні числа;
2. нерівність має один розв’язок: х=-0,6;
3. нерівність розв’язків не має.
Розв’яжіть нерівність

5. Графік функції - парабола, вітки якої напрямлені вниз.
Рівняння дійсних коренів не має, тому парабола не перетинає вісь ОХ.
Отже, вона розташована нижче осі ОХ.
Це означає, що значення квадратичної функції при всіх х – від’ємні,
тобто нерівність виконується при всіх дійсних числах
(-∞;+∞).
Відповідь: (-∞;+∞).
Із рис. видно також, що:
1. розв’язками нерівності є множина всіх дійсних чисел R;
2. та розв’язків не мають.
Розв’яжіть нерівність

6. Із розглянутих прикладів можна зробити висновок, що для
розв’язування квадратних нерівностей за допомогою графіків треба:
1. визначити напрям віток параболи за значенням першого коефіцієнта
квадратичної функції (якщо а>0, то вітки параболи
напрямлені догори, якщо а<0, то вниз);
2. знайти дійсні корені квадратного рівняння або
встановити, що їх немає;
3. схематично побудувати графік квадратичної функції,
використовуючи точки перетину (точки дотику) із віссю ОХ, якщо
вони є;
4. за графіком визначити проміжки, на яких функція набуває значень,
при яких виконується задана нерівність.

7. Розв’язування квадратичних нерівностей методом інтервалів
(-∞;2) (2;3) (3;+∞)
х-2 - + +
х-3 - - +
(х-2)(х-3) + - +
Знайдіть, при яких значення х квадратний тричлен набуває додатних значень, а при
яких – від’ємних.
Розв’язання
Розкладемо квадратний тричлен на множники
Тоді х=2 і х=3 поділяють числову пряму на три проміжки: (-∞;2); (2;3); (3;+∞).
Вираз (х-2)(х-3) є добутком двох множників. Знак кожного з цих множників та їх добутку подамо у
вигляді таблиці.
Рухаючись уздовж числової осі зліва направо, ми бачимо, що на проміжку (-∞;2) тричлен набуває
додатних значень, оскільки в цьому випадку обидва множники х-2 і х-3 є від’ємними.
На проміжку (2;3) цей тричлен набуває від’ємних значень і, отже, при переході через точку х=2
змінює знак.
При переході через точку х=3 тричлен знову змінює знак, оскільки в добутку (х-2)(х-3) перший
множник х-2 не змінює знак, а другий множник х-3 змінює.
Таким чином, задачу про знак квадратного тричлена можна розв’язувати у такий спосіб.
Позначити на числовій прямій корені рівняння , тобто точки х=2, х=3. Вони
поділяють числову пряму на три проміжки.
На рисунку видно, що на , а на проміжку (2;3) -
(-∞;2) (2;3) (3;+∞)
х-2 - + +
х-3 - - +
(х-2)(х-3) + - +

8. Розв’язання
Знайдемо корені квадратного тричлена :
Наносимо на числову пряму точки -1 та , які поділяють її на
три проміжки. Визначаємо знак тричлена на проміжку (-∞;-1), він
на цьому проміжку додатний.
Знаходимо знаки тричлена на інших проміжках.
Отже, , якщо х належить об’єднанню
проміжків
Відповідь:
Розв’яжіть нерівність