13

1. Квадратні рівняння

2. Квадратним називають рівняння виду
ax²+bx+c=0,
де х – змінна; а, b, с – числа, причому а≠0.
Число а називають першим (старшим)
коефіцієнтом, b – другим коефіцієнтом,
с – вільним членом.
2x²+3x-1=0;
x²-2x+4=0.
Якщо a=1, то квадратне
рівняння називають зведеним.
x²-x+30=0

3. Квадратне рівняння, у якого хоча б один з
коефіцієнтів – b або с – дорівнює нулю,
називають неповним квадратним рівнянням.
Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:
1)ax²=0; 2)ax²+bx=0; 3)ax²+c=0.
1) ax²=0 при b=0, c=0;
x²=0
x=0
рівняння має тільки один розв’язок.
5x²=0;
x=0
Відповідь: 0.
2)При с=0, ax²+bx=0;
x(ax+b)=0
x₁=0 або (ax+b)=0;
x₂= –
𝑏
𝑎
Рівняння завжди має два розв’язки.
4x²+3x=0;
x(4x+3)=0;
x=0 або 4x+3=0;
x= –
𝟑
𝟒
.
Відповідь: 0, –
𝟑
𝟒
.

4. 3)При b=0, ax²+c=0;
x²= –
𝑐
𝑎
,
оскільки с≠0,то –
с
𝑎
≠0, тоді:
а)якщо –
𝑐
𝑎
> 0, то рівняння має два
розв’язки:
x₁= – –
с
𝑎
;
x₂= –
с
𝑎
;
б)якщо –
с
𝑎
< 0 ,то рівняння не має
розв’язків.
9x²-4=0;
x²=
4
9
x₁=
2
3
; x₂= –
2
3
.
Відповідь :
2
3
; –
2
3
.
16x²+9=0
x²= –
9
16
немає розв’язків.
Відповідь: немає розв’язків.

5. Повні квадратні рівняння ax²+bx+c=0 , a≠0, розв’язуємо за формулою:
x₁,₂=
−𝐛± 𝐃
𝟐𝐚
, де D=b²–4ac називають дискримінантом даного квадратного
рівняння.
Якщо D<0 ,то рівняння не має
дійсних розв’язків.
2x²+5x+6=0;
D=25-48=–23;
D<0, отже, рівняння не має дійсних
розв’язків.
Якщо D=0, то рівняння має два
однакові розв’язки:
x₁ = x₂ =
−𝐛
𝟐𝐚
.
4x²+4x+1=0;
D=16–16=0, D=0,
отже,рівняння має два однакові
розв’язки:
x₁=x₂= –
4
8
=–
1
2
.
Відповідь: –0,5.
Якщо D>0, то рівняння має два різні
розв’язки:
x₁ =
−𝐛+ 𝐃
𝟐𝐚
; x₂ =
−𝐛− 𝐃
𝟐𝐚
.
2x²+3x+1=0;
D=9–8=1;
x₁=
−3+1
4
=–
1
2
; x₂=
−3−1
4
=–1.
Відповідь:= –0,5; –1.

6. Теорема Вієта.
ax²+bx+c=0, a≠0,
x₁x₂=
𝑐
𝑎
, x₁+x₂= –
𝑏
𝑎
у зведеному квадратному рівнянні
x²+bx+c=0
x₁+x₂= – b;
x₁x₂=c.
x² –5x +6=0;
x₁+x₂=5;
x₁x₂=6;
x₁=3;x₂=2.
Відповідь:2;3.
Рівняння виду ax⁴+bx²+c=0, де
a≠0,b≠0 називається
біквадратним рівнянням.
2x⁴+3x²+4=0.
Формула розкладу квадратного
тричлена на множники:
ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂).
2x²–x–3=2(x-x₁)(x-x₂);
2x²–x–3=0;
x₁=1,5; x₂=–1.
2x²–x–3=2(x–1,5)(x+1).

7. Знайти всі розв’язки рівняння
𝒙 𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟎 = 𝟎
D=𝟕 𝟐 − 𝟒 ∙ 𝟏 ∙ 𝟏𝟎=49 – 40 = 9,
D>0, отже, рівняння має два різні розв’язки:
𝒙 𝟏 =
−𝟕 + 𝟗
𝟐
=
−𝟕 + 𝟑
𝟐
= −𝟐;
𝒙 𝟏 =
−𝟕− 𝟗
𝟐
=
−𝟕−𝟑
𝟐
= −𝟓;
II спосіб
За теоремою Вієта:
𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 = −𝟕;
𝒙 𝟏 ∙ 𝒙 𝟐 = 𝟏𝟎;
𝒙 𝟏 = −𝟐;
𝒙 𝟐 = −𝟓.
Відповідь: - 2 , -5.

8. Скоротити дріб
𝑥2−7𝑥−8
𝑥+1
Розкладемо чисельник на множники:
𝑥2 − 7𝑥 − 8 = (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)
𝑥2 − 7𝑥 − 8 = 0
За теоремою Вієта:
𝑥1 = 8; 𝑥2 = −1;
𝑥2 − 7𝑥 − 8 = (𝑥 − 8)(𝑥 + 1), тоді
𝑥2−7𝑥−8
𝑥+1
=
(𝑥−8)(𝑥+1)
𝑥+1
= 𝑥 − 8.

9. Розв’язати рівняння
𝑥2
+ 3 2
− 14 𝑥2
+ 3 + 24 = 0
𝑦 = 𝑥2 + 3
𝑦2 − 14𝑦 + 24 = 0
𝑦1 = 12; 𝑦2 = 2; Отримаємо:
𝑥2
+ 3 = 12; 𝑥2
+ 3 = 2;
𝑥2 = 9; 𝑥2 = −1 – Немає розв’язків.
𝑥1 = 9 ; 𝑥2 = − 9 ;
𝑥1 = 3; 𝑥2 = −3.

10. Розв'язати задачу
Із міста А до міста В вирушив пішохід. Відстань АВ
дорівнює 10 км. Через 30 хв. після нього з міста А до міста В
вирушив велосипедист, швидкість якого на 6 км. Більша
швидкості пішохода. Велосипедист, обігнавши пішохода і
дійшовши до міста В, повернувся знову до міста А в той же
час, коли пішохід прийшов до міста В.
Визначити швидкість пішохода.
Для розв’язання цієї задачі можна скласти рівняння
за допомогою такої таблиці:
Відстань, км Швидкість км/год Час, год.
Пішохід
Велосипедист
10
20
x
𝐱 + 𝟔
𝟏𝟎
𝐱
𝟐𝟎
𝐱 + 𝟔

11. Розв’язання
Нехай пішохід йшов зі швидкістю x км/год тоді відстань в 10 км. він
пройшов за
10
𝑥
год. Велосипедист їхав зі швидкістю (x+6) км/год. і проїхав
відстань 20 км. від А до В і назад за
20
𝑥+6
год. за умовою задачі, пішохід
вийшов на 30 хв. Раніше, тобто він витратив на проходження шляху на
1
2
год. більше, ніж велосипедист.
Складаємо рівняння
10
𝑥
−
20
𝑥+6
=
1
2
;
10
𝑥
−
20
𝑥+6
−
1
2
= 0;
10∗2 𝑥+6 =20∗2x−x(x+6)
2𝑥(𝑥+6)
= 0;
20𝑥+120−40𝑥−𝑥2 −6𝑥
2𝑥(𝑥−6)
= 0;
−𝑥2−26𝑥+120
2𝑥(𝑥+6)
= 0;
𝑥2+26𝑥−120
−2𝑥(𝑥+6)
= 0;
𝑥2
+ 26𝑥 − 120 = 0;
−2𝑥 𝑥 + 6 ≠ 0;
𝑥 = 4; 𝑥 = −30
𝑥 ≠ −6, 𝑥 ≠ −6𝑥 = −30 не задовольняє умову задачі (швидкість не може бути від'ємною)
отже, швидкість пішохода 4 км/год.
Відповідь: 4 км/год.

12. Розв’язати
рівняння
2
1 − 𝑥
+
𝑥
𝑥 + 1
=
2𝑥
1 − 𝑥2
Розв’язання.
Залишаємо у
вигляді:
зведемо до
спільного
знаменника
спростимо:
2
1 − 𝑥
+
𝑥
𝑥 + 1
−
2𝑥
1 − 𝑥2
= 0
2 1 + 𝑥 + 𝑥 1 − 𝑥 − 2𝑥
1 − 𝑥2
= 0;
2 + 2𝑥 + 𝑥 − 𝑥2 − 2𝑥
1 − 𝑥2 = 0;
−𝑥2 + 𝑥 + 2
1 − 𝑥2
= 0;
𝑥2
− 𝑥 − 2
𝑥2 − 1
= 0
Дріб дорівнює нулю, коли
чисельник – нуль, а
знаменник відмінний від
нуля. Маємо:
𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0,
𝑥2 − 1 ≠ 0;
𝑥 = 2
𝑥 = −1
𝑥 ≠ 1
𝑥 ≠ −1
𝑥 = −1 – сторонній
розв’язок
Відповідь: 2.

13. Знайти всі розв’язки
рівняння. 2𝑥2
+ 3𝑥 + 12 = 0.
Розв’язання. 𝐷 = 32 − 4 ∗ 2 ∗ 12 − 96 = −87, 𝐷 < 0,
Отже, рівняння розв’язків не має.
Відповідь; немає розв’язків.
Розв’язати рівняння
виділенням
квадрата двочлена
𝑥2
− 10𝑥 + 16 = 0
Розв’язання.
Виділимо квадрат
двочлена
𝑥2 − 10𝑥 + 16 = 𝑥2 − 2 ∗ 5𝑥 + 25 +16=(x-5)2 −
9;
(𝑥 − 5)2 − 9 = 0; (𝑥 − 5)2 = 9;
𝑥1 − 5 = 3; 𝑥2 − 5 = −3;
𝑥1 = 8; 𝑥2 = 2;
Відповідь: 8; 2.