Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος για το lisari.blogspot.gr

1. lisari.blogspot.gr
Το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος…
μια διαφορετική απόδειξη
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Τμήμα: Β2 / 1ο
ΓΕΛ Πετρούπολης
Εισαγωγή
Όσοι καθηγητές διδάσκουν το Πυθαγόρειο Θεώρημα λογικά πρέπει να ρωτάνε τους μαθητές
τους αν ισχύει το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος και στη συνέχεια να το
διατυπώσουν. Τις περισσότερες φορές, αν όχι όλες, οι μαθητές δυσκολεύονται να ξεφύγουν
κατά την περιγραφή τους από τις έννοιες, «υποτείνουσα», «κάθετες πλευρές» αντί των
εννοιών «μεγαλύτερης», «δύο άλλες πλευρές» κτλ.
Αφού μαθητές και καθηγητές ξεπεράσουν αυτή τη δυσκολία, ο καθένας για διαφορετικούς
λόγους, ερχόμαστε αντιμέτωποι με την απόδειξη του ισχυρισμού:
«Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει 2 2 2
     τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με
1L  ».
Η σκέψη για κατασκευή με δύο κάθετους άξονες ας μην γελιόμαστε δεν έρχεται σε κανένα
καθηγητή πριν δει τη λύση, πόσο μάλλον σε μαθητές! Ποια είναι η πρώτη ιδέα που ρίχνει ο
ανήσυχος μαθητής; Η απαγωγή σε άτοπο!!
Τελικά υπάρχει πιο προσιτή λύση σύμφωνα με τη λογική των μαθητών;
Ναι υπάρχει! Είμαι σίγουρος ότι κάπου θα είναι γραμμένη απλά όταν έγινε η απόδειξη δεν
την είχαμε κατά νου. Η απόδειξη έγινε κατά την διάρκεια συζήτησης σε ένα τμήμα της Β΄
Λυκείου (Β2) αυτές τις ημέρες.
Απόδειξη
Έστω ότι η γωνία Α δεν είναι ορθή, υποθέτουμε ότι
1L  . Φέρνουμε το ύψος ΒΔ, άρα το Δ είναι
εσωτερικό σημείο της πλευράς ΑΓ όπως φαίνεται στο
σχήμα.
Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα στα τρίγωνα
ΒΔΓ και ΔΑΒ αντίστοιχα:
2 2 2 2 2 2
          
και
2 2 2 2 2 2
          
από τη δεδομένη σχέση 2 2 2
     έχουμε:

2. lisari.blogspot.gr
 
  
 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
2
0
                        
     
        
      
     
       
  
άτοπο!
Όμοια καταλήγουμε αν 1L  , οπότε 1L  .