Γεωμετρία Β΄Λυκείου

1. Γεωμετρία Β΄Λυκείου
Επαναληπτικά Θέματα
(προσομοίωσης Εξετάσεων)
Ο.Ε.Φ.Ε. 2015
Επιμέλεια : Χρήστος Κ.Λοΐζος Μαθηματικός
https://liveyourmaths.wordpress.com/

2. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015
Β΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.Γλ2Γ(ε)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 1 ΑΠΟ 2
ΤΑΞΗ: B΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕ ΜΕΤΡΙΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ
Ηµεροµηνία: M. Τετάρτη 8 Απριλίου 2015
∆ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες
ΕΚΦ ΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να δείξτε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους του, που
αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ίσο µε το γινόµενο των προβολών των
κάθετων πλευρών του στην υποτείνουσα.
Μονάδες 15
Α2. Σηµειώστε Σωστό ή Λάθος στις παρακάτω προτάσεις:
α) Η δύναµη σηµείου Ρ ως προς κύκλο (Ο,R) είναι πάντοτε θετικός αριθµός.
β) Για το εµβαδόν Ε τριγώνου ΑΒΓ ισχύει ο τύπος τ(τ-α)(τ-β)(τ-γ)Ε = όπου τ
είναι η ηµιπερίµετρος του τριγώνου.
γ) Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύει:
2
2 2
=R
4
ν
ν
α
λ + .
δ) Ο λόγος των εµβαδών δύο όµοιων τριγώνων ισούται µε το τετράγωνο του
λόγου οµοιότητας.
ε) ∆ύο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν µία οξεία γωνία τους ίση είναι όµοια.
Μονάδες 5x2
ΘΕΜΑ Β
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ∆ σηµείο της πλευράς ΒΓ. Από το ∆ φέρνουµε παράλληλες
στις πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέµνουν αντίστοιχα τις ΑΒ και ΑΓ στα Ε και Ζ.
Β1. ∆είξτε ότι
∆Ε Β∆
=
ΑΓ ΒΓ
.
Β2. ∆είξτε ότι
EΑ ∆Γ
=
ΑΒ ΒΓ
.

3. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015
Β΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.Γλ2Γ(ε)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 2 ΑΠΟ 2
Β3. Αν
2
3
Β∆ = ∆Γ τότε δείξτε ότι ο λόγος του εµβαδού του παραλληλογράµµου
ΑΖ∆Ε προς το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι
12
25
.
Μονάδες 8–8–9
ΘΕΜΑ Γ
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = 3, ΒΓ = 7, εµβαδόν (ΑΒΓ) =
21
3
4
και οξεία την
γωνία Β .
Γ1. Υπολογίστε τη γωνία Β , την πλευρά ΑΓ και το είδος του τριγώνου ως προς τις
γωνίες.
Γ2. Αν ΑΓ= 37 τότε να βρείτε την διάµεσό του ΒΜ καθώς και την προβολή ΜΚ
της διαµέσου ΒΜ πάνω στην πλευρά ΑΓ.
Γ3. Βρείτε την προβολή της πλευράς ΑΒ πάνω στην ΑΓ.
Μονάδες 9-9-7
ΘΕΜΑ ∆
∆ίνεται κύκλος (Ο,R) και δύο κάθετες διάµετροί του ΑΓ και Β∆. Γράφουµε τους
κύκλους (Α,R) και (Γ,R) και έστω ΜΟΝ και ΚΟΛ τα
τόξα τους που περιέχονται στον κύκλο (Ο,R).
Να βρείτε σαν συνάρτηση του R:
∆1. Τη περίµετρο και το εµβαδό του τριγώνου
∆
ΑΜΟ .
∆2. Τη περίµετρο και το εµβαδό του κυκλικού
τοµέα ΑΜΟΝ.
∆3. Το εµβαδό και τη περίµετρο του
καµπυλόγραµµου χωρίου Μ∆ΚΟΛΒΝ που
σχηµατίζεται απ’ τα τόξα Μ∆Κ, ΚΟΛ, ΛΒΝ, ΝΟΜ.
∆4. ∆είξτε ότι το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τις χορδές ΑΜ, ΑΚ και το
τόξο Μ∆Κ είναι ίσο µε το εµβαδό του κυκλικού τοµέα ΟΜΑ.
Μονάδες 6–6–7–6

4. Λύσεις Γεωμετρίας Β΄Λυκείου
Ενδεικτικές λύσεις στη Γεωμετρία Β’
Λυκείου για τα έτος 2015, χωρίς
λογότυπα. Οι λύσεις, είναι από την
ίδια την Ο.Ε.Φ.Ε.
https://liveyourmaths.wordpress.com/

5. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015
Β΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.Γλ2Γ(α)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 1 ΑΠΟ 3
ΤΑΞΗ: Β΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕ ΜΕΤΡΙΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ
Ηµεροµηνία: M. Τετάρτη 8 Απριλίου 2015
∆ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Σχ. βιβλίο 9.2 θεώρηµα ΙV.
Α2. Λ, Σ, Λ, Σ, Σ.
ΘΕΜΑ Β
Β1. Αφού ∆Ε//ΑΓ θα είναι
∆ ∆
∆ΕΒ ≈ ΒΑΓ οπότε
∆Ε Β∆
=
ΑΓ ΒΓ
.
Β2. Αφού ∆Ζ//ΑΒ θα είναι
∆ ∆
ΓΖ∆ ≈ ΓΑΒ,
οπότε
∆Ζ Γ∆ ΑΕ Γ∆
= ⇔ =
ΑΒ ΒΓ ΑΒ ΒΓ
Β3. Αν
2 2 2
3 3 2 5
Β∆ Β∆ Β∆
= ⇔ = ⇔ =
∆Γ Β∆ + ∆Γ + ΒΓ
οπότε
( )
( )
2
2 4
5 25
ΒΕ∆  
= = ΒΑΓ  
Όµοια
( )
( )
2
3 3 9
οπότε
5 5 25
Γ∆ΖΓ∆  
= = = ΓΒ ΓΒΑ  
.
Άρα ( ) ( ) ( ) ( )ΑΖ∆Ε = ΑΒΓ − ΒΕ∆ − ΓΖ∆ =
4 9 12
( ) ( ) ( ) ( )
25 25 25
= ΑΒΓ − ΑΒΓ − ΑΒΓ = ΑΒΓ
δηλ.
( ) 12
( ) 25
ΑΖ∆Ε
=
ΑΒΓ
.

6. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015
Β΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.Γλ2Γ(α)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 2 ΑΠΟ 3
ΘΕΜΑ Γ
Γ1. Είναι
1 21 3 1
( ) ηµ 3 7ηµ
2 4 2
ΑΒΓ = ΒΑ⋅ΒΓ Β ⇔ = ⋅ ⋅ Β ⇔
ο21 3 2 3
ηµ ηµ60
4 21 2
⇔ Β = ⋅ = = δηλ. Β=60ο
.
Τότε από το νόµο των συνηµιτόνων για τη πλευρά ΑΓ έχουµε:
2 2 2
2 60ο
συνΑΓ = ΑΒ + ΒΓ − ΑΒ⋅ΒΓ⋅ =
1
9 49 2 3 7 37 37
2
= + − ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ ΑΓ = .
Είναι 2 2 2 2
7 49 και ΑΒ +ΑΓ =9+37=46ΒΓ = =
δηλ 2 2 2
90ο
ΒΓ > ΑΒ + ΑΓ ⇔ Α >
δηλ. το τρίγωνο ΑΒΓ είναι αµβλυγώνιο.
Γ2.
2 2 2
2 2 2α 2γ β 2 49 2 9 37
µ
4 4
β
+ − ⋅ + ⋅ −
ΒΜ = = = =
98 18 37 79 79
4 4 2
+ −
= = ⇔ ΒΜ =
και από 2ο
θεώρηµα διαµέσων στο
∆
ΑΒΓ θα
έχουµε:
2 2
γ 2 β 49 9 2 37
20 20 37
3737
α − = ⋅ ⋅ΜΚ ⇔ − = ⋅ ΜΚ
⇔ ΜΚ = =
.
Γ3. Από Γενικευµένο Πυθ.θεώρηµα για αµβλεία γωνία αφού 90ο
Α > για την πλευρά ΒΓ
έχουµε
2 2 2
2ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ + ΑΓ⋅ ΑΚ ⇔
49 9 37 3 37 3 37
49 9 37 2 37 .
2 37 742 37
− −
= + + ⋅ ⋅ΑΚ ⇔ ΑΚ = = =
⋅
ΘΕΜΑ ∆
∆1. Είναι R δηλ. ΑΟΜ
∆
ΑΟ = ΟΜ = ΑΜ = ισόπλευρο πλευράς R οπότε έχει περίµετρο
3R και
2
R 3
( ) .
4
ΑΟΜ =

7. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015
Β΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.Γλ2Γ(α)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 3 ΑΠΟ 3
∆2. Οι χορδές ΑΜ, ΑΝ είναι πλευρές του κανονικού εξαγώνου που είναι εγγεγραµµένο
στο κύκλο (Ο,R).
Άρα 2 60 120ο ο
ΜΑΝ = ⋅ = ή 6
360
φ 180 120
6
ο
ο ο
ΜΑΝ = = − = .
δηλ.
2
2120 πR
( ) πR
360 3
ΑΜΟΝ = = και
ΑΜΟΝ
120 2πR
περίµετρος = R R π R 2R
180 3
lΜΟΝ
ΑΜ + ΑΝ + = + + ⋅ = + .
∆3. κύκλου 2( ) 4( )τΜ∆ΚΟΑΒΝ = − ΑΜΟΝ − =Ε Ε
2 2 2
2 2πR πR 60 R 3
πR 2 4 (OMA) (OMA) 4 πR
3 3 360 4
 
 = − ⋅ − − = − − =   
 
2 2
2 2πR 2πR π
R 3 R 3
3 3 3
 
− + = − 
 
.
∆4. 6 3 6R, ΑΚ=λ =R 3, MK=λ =RλΑΜ = =
Οπότε (ΑΜ∆Κ) = Εκ τµήµατος ΑΚ∆Μ - Εκ τµήµατος ΑΖΜ =
( ) ( ) ( ) ( )ΟΑΚ − ΟΑΚ − ΟΜΑ + ΟΜΑ =
2
2 2
3 3
120 1 60 3
πR πR
360 2 360 4
R
λ α= − ⋅ − + =
2 2 2
πR 1 R πR R 3
R 3
3 2 2 6 4
− − + =
2 2 3 2
πR R 3 R 3 πR
(ΟΜΑ).
6 4 4 6
− + = =