Algebra al 27-05-2014

1. ΕΕΞΞΕΕΤΤΑΑ
ΑΑ΄΄ ΤΤΑΑΞΞΗΗ ΛΛΥΥΚΚΕΕΙΙΟΟΥΥ
ΚΚΥΥΡΡΙΙΑΑΚΚΗΗ 2277//0044//22001144
ΑΑΖΖΟΟΜΜΕΕΝΝΟΟ ΜΜΑΑΘΘΗΗΜΜΑΑ:: ΑΑΛΛΓΓΕΕΒΒΡΡΑΑ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή
ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
(Σ) ή λανθασμένη (Λ) καθεμία από τις
:
προτάσεις που ακολουθούν
α. Για κάθε α,β∈ ℝ με β ≥ ισχύει =
β. Αν 2 2 α + β > 0 τότε α ≠ ≠
γ. Το σημείο Α(α,β) ανήκει στη
2 ∈ 0 ότι α β α β
0 ή β 0 .
α β γραφική παράσταση μιας συνάρτησης
ισχύει ότι f (β) = α.
δ. Τρεις αριθμοί α, β, γ είναι
α β διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν
2β = α + γ .
ε. Αν P(A) ≤ P(B) τότε A B
⊆ B.
Α2. Να αποδείξετε ότι για κάθε
x 3
x
1 2 3
− −
για κάθε x ∈ ℝ −{0,1,3}
A = και
2 2 2 λ = 0 (1) με λ∈ ℝ.
η ( ) 1 2 1 2 x ⋅ x - 2λx - 2λx > λ 3 - 2λ - 2 .
ΤΤ
Πότε ισχύει η ισότητα;
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση f(x) =
(
α,β∈ ℝ ισχύει ότι α + β ≤ α + β .
−
)( )
x x x
Β1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
Β2. Nα δείξετε ότι
1
f(x) =
3
+
−
x
x
Β3. Αν
f
( 7
)
( ) ( )
f − f
4 5
f.
Β= 6 f (5) ⋅ 4 34 33 3 να δείξετε ότι A B
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η εξίσωση x2 - (λ - 2) x - λ2
Γ1. Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει
Γ2. Αν 1 x , 2 x οι ρίζες της εξίσωσης
α. να εκφράσετε ως συνάρτηση
β. να λύσετε την ανίσωση
ΑΑΡΡΧΧΗΗ 1ΗΗΣΣ ΣΣΕΕΛΛΙΙΔΔΑΑΣΣ
ΔΥΟ (2)
δυο πραγματικές και άνισες ρίζες για
(1)
του λ τις παραστάσεις 1 2 S = x + x και
ΤΤΕΕΛΛΟΟΣΣ 1ΗΗΣΣ ΑΑΠΠΟΟ 2 ΣΣΕΕΛΛΙΙΔΔΕΕΣΣ
f αν και μόνο αν
και μόνο αν
Μονάδες 10
Μονάδες 15
Μονάδες 8
Μονάδες 8
−= 5
Μονάδες 9
κάθε λ∈ ℝ.
Μονάδες 5
1 2 P = x ⋅ x .
Μονάδες 3
Μονάδες 6

2. ΑΑΡΡΧΧΗΗ 2ΗΗΣΣ ΣΣΕΕΛΛΙΙΔΔΑΑΣΣ
Γ3. Αν λ∈(-1 , 2) να βρείτε τις τιμές
του x για τις οποίες αληθεύει η ανίσωση
2 + 2 - λ .
2x - 3 ≤ λ - 2 - -λ2 + λ + 2 + 2λ 2
Γ4. Δίνεται αριθμητική πρόοδος
ρίζες της εξίσωσης (1) για λ = -1
( α ) με α10 = ρ1 +ρ2 +10 και α15 = 8ρ1 ⋅ρ2
ν
1. Να βρείτε τον πρώτο όρο της προόδου
ΘΕΜΑ Δ
Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού
Β P(Β) είναι η πιθανότητα του ενδεχομένου
του τριωνύμου K(x) είναι Δ = 2P (Β −1
K(x) ≤ 0 να δείξετε ότι ( ) 1
P Β = και γνωρίζετε ότι
( ( ) ) 1 ε : y = 9P A − 8 − 1 x +
ΤΤ
2 1
K(x) = -x + 2P(Β)x + -P(Β)
4
,όπου
Δ1. Να δείξετε ότι η Διακρίνουσα
Δ2. Αν για κάθε x ∈ ℝ ισχύει ότι
Δ3. Αν ( ) 1
2
ταυτίζονται , να δείξετε ότι
P Α = και ότι τα Α,Β δεν είναι ασυμβίβαστα
Δ4. Αν επιπλέον είναι γνωστό ότι
τετμημένη 0
1
6
x = − να βρείτε
α. P (Α ∪Β) β. P (Β
ΟΔΗΓΙΕΣ
χώρου Ω και το τριώνυμο
1. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να
πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά
γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία
θέματα στο τετράδιο και να μην γράψετε
2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό
μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις
σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή
φωτοαντίγραφα.
3. Να απαντήσετε στο τετράδιό
στυλό με μελάνι που δεν σβήνει
ΜΟΝΟ για πίνακες, διαγράμματα
4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη
5. Διάρκεια εξέτασης: δυο (2) ώρες
6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης
P Β = .
ΤΤΕΕΛΛΟΟΣΣ 2ΗΗΣΣ ΑΑΠΠΟΟ 2 ΣΣΕΕΛΛΙΙΔΔΕΕΣΣ
2
οι ευθείες με εξισώσεις
5
6
και ( ) 2 ε : y = 4x + P Α ∪Β είναι παράλληλες
( ) 1
3
η ευθεία 2 ε τέμνει τον άξονα x΄x στο σημείο
τις πιθανότητες
Α ∩Β) γ. P ((Α ∩Β′)∪(Β − Α))
(για τους εξεταζομένους)
γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο
στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών
και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην
πουθενά στις απαντήσεις σας το
σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων
σας πάνω στα θέματα δεν θα
σας να παραδώσετε μαζί με το
σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή
σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η
κλπ..
είναι αποδεκτή.
) μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων
αποχώρησης: 13:00
KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ
Μονάδες 7
15 ρ1 όπουρ1 , ρ2 οι
και τη διαφορά ω.
Μονάδες 4
Β.
) 2 2 . Μονάδες 5
Μονάδες 6
αλλά δεν
ενδεχόμενα.
Μονάδες 5
με
Μονάδες 9
πάνω-
σας να
αντιγράψετε τα
όνομά σας.
αμέσως
βαθμολογηθούν
τετράδιο και τα
μόνο με μαύρο
εκφώνηση, και
φωτοαντιγράφων.