Інтегральне числення. Диференціальні рівняння

1. 1
ІнтегральнеІнтегральне
числення.числення.
ДиференціальніДиференціальні
рівняння.рівняння.

2. 2
ЗМІСТ
• Невизначений інтеграл.
• Властивості невизначеного інтеграла.
Визначений інтеграл.
• Формула Ньютона-Лейбніца.
• Властивості визначеного інтеграла.
• Основні поняття теорії
диференціальних рівнянь.

3. 3
Невизначений інтеграл, його
властивості і обчислення
Означення. Функція F(x) називається
первісною функції f(x) на деякому
проміжку, якщо для
кожного х з цього проміжку
Наприклад функція cosx являється
первісною для функції – sinx, тому що
)()( xfxF =′
xx sin)(cos −=′

4. 4
Первісна та невизначений
інтеграл
Очевидно, якщо F(x) – первісна функції
f(x), то , де С –деяка постійна, також
являється первісною для функції f(x).
Якщо F(x) є будь – яка первісна для
функції f(x), то всяка функція виду
Ф(х)= також являється первісною для
функції f(x)

5. 5
Первісна та невизначений
інтеграл
Означення. Сукупність всіх
первісних функції
f(x),визначених на деякому
проміжку, називається
невизначеним інтегралом від
функції f(x) на цьому проміжку
і позначається
∫ dxxf )(

6. 6
Первісна та невизначений
інтеграл
Якщо F(x) – деяка первісна для функції
f(x), то пишуть = , хоча
логічніше писати = . Ми
по існуючих правилах будемо писати
= . Таким чином один і
той же символ буде визначати
як всю сукупність первісних функції
f(x), так і будь – який елемент цієї
множини
∫ dxxf )( CxF +)(
∫ dxxf )( { }CxF +)(
∫ dxxf )( CxF +)(
∫ dxxf )(

7. 7
Властивості інтеграла, котрі
випливають з означення
Первісна невизначеного інтегралу рівна
підінтегральній функції, а його
диференціал – його підінтегральному
виразу. Тобто:
∫ ∫
∫
=′=
=′=′+=′
.)())(()(.2
);()())(())(.(1
dxxfdxdxxfdxxfd
xfxFCxFdxxf

8. 8
Властивості інтеграла, котрі
випливають з означення
Невизначений інтеграл від неперервно
диференційованої функції дорівнює самій
цій функції з точністю до постійної.
Так як являється первісною для
∫ ∫ +=′= ,)()()( Cxdxxxd ϕϕϕ
)(хϕ )(хϕ′

9. 9
Властивості інтегралу

10. 10
Таблиця невизначених
інтегралів
1. . 6. .
2. . 7. .
3. . 8. .
4. . 9. .
5. . 10. .

11. 11
Таблиця невизначених
інтегралів
11. . 16. .
12. . 17. .
13. .. 18. .
14. 19. .
15. . 20. .

12. 12
Методи інтегрування
• Метод інтегрування заміни
змінної.
• Метод інтегрування по частинах.
• Метод безпосереднього
інтегрування

13. 13
Метод інтегрування заміни
змінної.
Нехай потрібно знайти , причому
безпосередньо підібрати первісну для ми не
можемо, але нам відомо, що вона існує. Часто
вдається найти первісну, ввівши нову змінну, по
формулі:
де , а - нова змінна
∫ dxxf )(
)(xf
[ ] dttdxxf t∫ ∫= 1
)()( ϕϕ
)(tx ϕ= t

14. 14
Метод інтегрування по
частинах.
Цей метод заснований на формулі:
∫ ∫−= vduuvudv

15. 15
Метод безпосереднього
інтегрування
Приклад. Обчислити ∫ +++ dxххх )13( 32

16. 16
Визначений інтеграл.
Означення. Вираз , де
, називається інтегральною
сумою функції на відрізку
i
n
i
i xxf ∆∑=
)(
1
1−−=∆ iii xxx
)(xf [ ].,ba

17. 17
Визначений інтеграл.
Означення. Якщо існує ,
яка не залежить ні від способу розбиття
відрізку на частини, ні від вибору
точок , то така границя
називається визначеним інтегралом
функції на відрізку і
позначається
i
n
i
i
x
xxf
i
∆∑=
→∆
)(lim
1
0max
[ ]ba,
[ ]iii xxx ,1−∈
)(xf [ ]ba,
∫
b
a
dxxf )(

18. 18
Властивості визначеного
інтегралу
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;

19. 19
Властивості визначеного
інтегралу
5. ;
6. ;
7. , если .

20. 20
Обчислення визначеного
інтегралу
Теорема. Нехай - первісна функції
Тоді
Цю формулу називають формулою Ньютона –
Лейбніца, з якої випливає, що для обчислення
визначеного інтегралу необхідно знайти
первісну від підінтегральної функції.
)(xF )(xf
∫ −=
b
a
aFbFdxxf )()()(

21. 21
Визначення диференціального
рівняння
Означення.
Звичайним диференціальним
рівнянням називається рівняння, яке
зв'язує незалежну змінну х, шукану
функцію )(xfу = і похідні цієї функції
n
yyyу ′′′′′′ ,, , тобто рівняння виду:
0),,,,( =′′′′′′ n
yyyyyxF  . (1)

22. 22
Диференціальні рівняння типу ).(xfу =′
Запишемо це рівняння у такому
вигляді:
)(xf
dx
dy
= ; dxxfdy )(= .
Загальний розв'язок шукатимемо
методом інтегрування:
∫ +== cxFdxxfy )()( .

23. 23
Запишимо це рівняння у такому вигляді:
Диференціальні рівняння типу )(yfу =′ .
dx
yf
dy
=
)()(yf
dx
dy
=
Загальний розвязок має такий вигляд:
CxyF
yf
dy
+==∫ )(
)(

24. 24
Диференціальні рівняння типу:
Називається диференціальне рівняння з
розділеними змінними.
Загальний розв'язок такого рівняння
знаходиться за допомогою методу
інтегрування:
0)()( =ϕ+ dyydxxf
∫ ∫ =+ Cdyydxxf )()( ϕ

25. 25
Це рівняння можна привести до рівняння
типу
Диференціальні рівняння типу:
0)()()()( =+ dyyfxdxyxf ϕϕ
0)()( =ϕ+ dyydxxf
)()( хy ψ⋅ϕподіливши на
0
)(
)(
)(
)(
=+ dx
y
yf
dx
x
xf
ϕϕ
Cdx
y
yf
dx
x
xf
=
ϕ
+
ϕ ∫∫ )(
)(
)(
)(
отримуємо

26. 26
Закон розмноження
бактерій.
Швидкість поділу бактерій
dt
dN
пропорційна до кількості бактерій N у
даний момент часу t. Диференціальне
рівняння закону розмноження має
такий вигляд:
kN
dt
dN
= ,
де k — коефіцієнт розмноження.
Інтегральний закон розмноження
бактерій описується такою формулою:
kt
eNN 0
= ,
де ( ) 0
0 NtN == .

27. 27
Закон розчинення лікарської
речовини з таблетки.
Якщо швидкість розчинення
лікарської речовини з таблетки
dt
dm
пропорційна до кількості лікарської
речовини у таблетці m, то
km
dt
dm
−= ,
де k — стала швидкості розчинення.
Закон розчинення лікарської речовини
з урахуванням початкової умови
( ) 0
0 mtm == описується такою формулою:
kt
emm −
= 0
.

28. 28
Хімічні реакції першого порядку: А →
продукт реакції.
Нехай при 0=t початкова концентрація
речовини А дорівнює а, за час t
концентрація речовини А стане ( )xa − .
Кінетика хімічних реакцій першого
порядку описується таким
диференційним рівнянням:
( )xak
dt
dx
−= 1
,
де 1
k — константа швидкості реакції
першого порядку.
Розв’язок цього диференційного
рівняння записуємо у такому вигляді:
( )tk
eax 1
1 −
−= .

29. 29
Хімічні реакції другого порядку: А+В→
продукт реакції.
Нехай а — початкова концентрація
речовини А; в — початкова
концентрація речовини В при 0=t . За
час t відповідні концентрації стануть
такими: ( )xa − та ( )xв − .
Кінетика хімічних реакцій другого
порядку описується таким
диференціяльним рівнянням:
( )( )xвxak
dt
dx
−−= 2
,
де 2
k — константа швидкості хімічної
реакції другого порядку.

30. 30
Якщо вa = , то розв’язок даного
рівняння має такий вигляд:






+
−=
atk
ax
2
1
1
1 .
Якщо вa ≠ , то розв’язок даного
рівняння записуємо так:
( )
( )
( )
aвe
eaв
x tkaв
tkaв
−
−
= −
−
2
2
1
.

31. 31
Диференціальне рівняння однокамерної
лінійної фармакокінетично моделі має
такий вигляд:
Mk
dt
dM
el
−= ,
де el
k — константа елімінації.
Інтегральне рівняння однокамерної
лінійної фармакокінетичної моделі
записують так:
tkel
eMM −
= 0
,
де M — маса препарату у камері в
момент часу 0=t .

32. 32
Якщо V — об’єм камери, то масу
препарату визначають через
концентрацію: cVM ⋅= . Тоді
інтегральне рівняння для концентрації
має такий вигляд:
( ) tkel
ectc −
= 0
.
Елімінацію (виведення) біологічно
активних речовин з організму на
практиці визначають за зменшенням
їхньої концентрації у крові. Кров є
основною тест-тканиною.

33. 33
• Константа елімінації є
важливою суб’єктивною
характеристикою організму. На
рис.1 зображено залежності
логарифмів концентрації даного
препарату від часу у двох
суб’єктів з однаковими
початковими концентраціями,
але
21 elel
kk >

34. 34
Рис.1 Залежності логарифмів концентрації
даного препарату від часу у двох суб’єктів з
однаковими початковими концентраціями.

35. 35
• Однокамерна лінійна модель є
адекватна для багатьох
лікарських препаратів, введених
у кров ін’єкцією. Рівномірний
розподіл забезпечується
циркуляцією крові упродовж
кількох хвилин, а період
напіввиведення вимірюється
здебільшого годинами.

36. 36
Однокамерна лінійна
фармакокінетична модель зі
всмоктуванням.
• У попередній моделі передбачалося
швидке надходження у камеру та
рівномірний розподіл усієї порції
лікарської речовини. Розгляньмо
поступове надходження
(всмоктування) препарату) у камеру з
деякою депо. Таку модель можна
зобразити у такому схематичному
вигляді, як показано на малюнкові.

37. 37
Депо
Камера
1k
elk
Рис.2 Однокамерна лінійна фармакокінетична модель зі
всмоктуванням.

38. 38
Всмоктування препарату з депо у
камеру та його елімінацію з камери
моделюємо лінійною кінетикою.
Система диференціальних рівнянь
однокамерної лінійної моделі зі
всмоктуванням має такий вигляд:





−=
−=
;
,
11
11
1
MkMk
dt
dM
Mk
dt
dM
el
де 1
m — маса препарату у депо у момент
часу t; М — маса препарату у камері у
момент часу t.

39. 39