Download to read offline
![13
Метод інтегрування заміни
змінної.
Нехай потрібно знайти , причому
безпосередньо підібрати первісну для ми не
можемо, але нам відомо, що вона існує. Часто
вдається найти первісну, ввівши нову змінну, по
формулі:
де , а - нова змінна
∫ dxxf )(
)(xf
[ ] dttdxxf t∫ ∫= 1
)()( ϕϕ
)(tx ϕ= t](https://image.slidesharecdn.com/021-151228135108/85/slide-13-320.jpg)
![16
Визначений інтеграл.
Означення. Вираз , де
, називається інтегральною
сумою функції на відрізку
i
n
i
i xxf ∆∑=
)(
1
1−−=∆ iii xxx
)(xf [ ].,ba](https://image.slidesharecdn.com/021-151228135108/85/slide-16-320.jpg)
![17
Визначений інтеграл.
Означення. Якщо існує ,
яка не залежить ні від способу розбиття
відрізку на частини, ні від вибору
точок , то така границя
називається визначеним інтегралом
функції на відрізку і
позначається
i
n
i
i
x
xxf
i
∆∑=
→∆
)(lim
1
0max
[ ]ba,
[ ]iii xxx ,1−∈
)(xf [ ]ba,
∫
b
a
dxxf )(](https://image.slidesharecdn.com/021-151228135108/85/slide-17-320.jpg)
More Related Content
Similar to Інтегральне числення. Диференціальні рівняння
Інтегральне числення. Диференціальні рівняння
- 1.
- 2. 2 ЗМІСТ • Невизначений інтеграл. •Властивості невизначеного інтеграла. Визначений інтеграл. • Формула Ньютона-Лейбніца. • Властивості визначеного інтеграла. • Основні поняття теорії диференціальних рівнянь.
- 3. 3 Невизначений інтеграл, його властивостіі обчислення Означення. Функція F(x) називається первісною функції f(x) на деякому проміжку, якщо для кожного х з цього проміжку Наприклад функція cosx являється первісною для функції – sinx, тому що )()( xfxF =′ xx sin)(cos −=′
- 4. 4 Первісна та невизначений інтеграл Очевидно,якщо F(x) – первісна функції f(x), то , де С –деяка постійна, також являється первісною для функції f(x). Якщо F(x) є будь – яка первісна для функції f(x), то всяка функція виду Ф(х)= також являється первісною для функції f(x)
- 5. 5 Первісна та невизначений інтеграл Означення.Сукупність всіх первісних функції f(x),визначених на деякому проміжку, називається невизначеним інтегралом від функції f(x) на цьому проміжку і позначається ∫ dxxf )(
- 6. 6 Первісна та невизначений інтеграл ЯкщоF(x) – деяка первісна для функції f(x), то пишуть = , хоча логічніше писати = . Ми по існуючих правилах будемо писати = . Таким чином один і той же символ буде визначати як всю сукупність первісних функції f(x), так і будь – який елемент цієї множини ∫ dxxf )( CxF +)( ∫ dxxf )( { }CxF +)( ∫ dxxf )( CxF +)( ∫ dxxf )(
- 7. 7 Властивості інтеграла, котрі випливаютьз означення Первісна невизначеного інтегралу рівна підінтегральній функції, а його диференціал – його підінтегральному виразу. Тобто: ∫ ∫ ∫ =′= =′=′+=′ .)())(()(.2 );()())(())(.(1 dxxfdxdxxfdxxfd xfxFCxFdxxf
- 8. 8 Властивості інтеграла, котрі випливаютьз означення Невизначений інтеграл від неперервно диференційованої функції дорівнює самій цій функції з точністю до постійної. Так як являється первісною для ∫ ∫ +=′= ,)()()( Cxdxxxd ϕϕϕ )(хϕ )(хϕ′
- 9.
- 10. 10 Таблиця невизначених інтегралів 1. .6. . 2. . 7. . 3. . 8. . 4. . 9. . 5. . 10. .
- 11. 11 Таблиця невизначених інтегралів 11. .16. . 12. . 17. . 13. .. 18. . 14. 19. . 15. . 20. .
- 12. 12 Методи інтегрування • Методінтегрування заміни змінної. • Метод інтегрування по частинах. • Метод безпосереднього інтегрування
- 13. 13 Метод інтегрування заміни змінної. Нехайпотрібно знайти , причому безпосередньо підібрати первісну для ми не можемо, але нам відомо, що вона існує. Часто вдається найти первісну, ввівши нову змінну, по формулі: де , а - нова змінна ∫ dxxf )( )(xf [ ] dttdxxf t∫ ∫= 1 )()( ϕϕ )(tx ϕ= t
- 14. 14 Метод інтегрування по частинах. Цейметод заснований на формулі: ∫ ∫−= vduuvudv
- 15. 15 Метод безпосереднього інтегрування Приклад. Обчислити∫ +++ dxххх )13( 32
- 16. 16 Визначений інтеграл. Означення. Вираз, де , називається інтегральною сумою функції на відрізку i n i i xxf ∆∑= )( 1 1−−=∆ iii xxx )(xf [ ].,ba
- 17. 17 Визначений інтеграл. Означення. Якщоіснує , яка не залежить ні від способу розбиття відрізку на частини, ні від вибору точок , то така границя називається визначеним інтегралом функції на відрізку і позначається i n i i x xxf i ∆∑= →∆ )(lim 1 0max [ ]ba, [ ]iii xxx ,1−∈ )(xf [ ]ba, ∫ b a dxxf )(
- 18. 18 Властивості визначеного інтегралу 1. ; 2.; 3. ; 4. ;
- 19. 19 Властивості визначеного інтегралу 5. ; 6.; 7. , если .
- 20. 20 Обчислення визначеного інтегралу Теорема. Нехай- первісна функції Тоді Цю формулу називають формулою Ньютона – Лейбніца, з якої випливає, що для обчислення визначеного інтегралу необхідно знайти первісну від підінтегральної функції. )(xF )(xf ∫ −= b a aFbFdxxf )()()(
- 21. 21 Визначення диференціального рівняння Означення. Звичайним диференціальним рівняннямназивається рівняння, яке зв'язує незалежну змінну х, шукану функцію )(xfу = і похідні цієї функції n yyyу ′′′′′′ ,, , тобто рівняння виду: 0),,,,( =′′′′′′ n yyyyyxF . (1)
- 22. 22 Диференціальні рівняння типу).(xfу =′ Запишемо це рівняння у такому вигляді: )(xf dx dy = ; dxxfdy )(= . Загальний розв'язок шукатимемо методом інтегрування: ∫ +== cxFdxxfy )()( .
- 23. 23 Запишимо це рівнянняу такому вигляді: Диференціальні рівняння типу )(yfу =′ . dx yf dy = )()(yf dx dy = Загальний розвязок має такий вигляд: CxyF yf dy +==∫ )( )(
- 24. 24 Диференціальні рівняння типу: Називаєтьсядиференціальне рівняння з розділеними змінними. Загальний розв'язок такого рівняння знаходиться за допомогою методу інтегрування: 0)()( =ϕ+ dyydxxf ∫ ∫ =+ Cdyydxxf )()( ϕ
- 25. 25 Це рівняння можнапривести до рівняння типу Диференціальні рівняння типу: 0)()()()( =+ dyyfxdxyxf ϕϕ 0)()( =ϕ+ dyydxxf )()( хy ψ⋅ϕподіливши на 0 )( )( )( )( =+ dx y yf dx x xf ϕϕ Cdx y yf dx x xf = ϕ + ϕ ∫∫ )( )( )( )( отримуємо
- 26. 26 Закон розмноження бактерій. Швидкість поділубактерій dt dN пропорційна до кількості бактерій N у даний момент часу t. Диференціальне рівняння закону розмноження має такий вигляд: kN dt dN = , де k — коефіцієнт розмноження. Інтегральний закон розмноження бактерій описується такою формулою: kt eNN 0 = , де ( ) 0 0 NtN == .
- 27. 27 Закон розчинення лікарської речовиниз таблетки. Якщо швидкість розчинення лікарської речовини з таблетки dt dm пропорційна до кількості лікарської речовини у таблетці m, то km dt dm −= , де k — стала швидкості розчинення. Закон розчинення лікарської речовини з урахуванням початкової умови ( ) 0 0 mtm == описується такою формулою: kt emm − = 0 .
- 28. 28 Хімічні реакції першогопорядку: А → продукт реакції. Нехай при 0=t початкова концентрація речовини А дорівнює а, за час t концентрація речовини А стане ( )xa − . Кінетика хімічних реакцій першого порядку описується таким диференційним рівнянням: ( )xak dt dx −= 1 , де 1 k — константа швидкості реакції першого порядку. Розв’язок цього диференційного рівняння записуємо у такому вигляді: ( )tk eax 1 1 − −= .
- 29. 29 Хімічні реакції другогопорядку: А+В→ продукт реакції. Нехай а — початкова концентрація речовини А; в — початкова концентрація речовини В при 0=t . За час t відповідні концентрації стануть такими: ( )xa − та ( )xв − . Кінетика хімічних реакцій другого порядку описується таким диференціяльним рівнянням: ( )( )xвxak dt dx −−= 2 , де 2 k — константа швидкості хімічної реакції другого порядку.
- 30. 30 Якщо вa =, то розв’язок даного рівняння має такий вигляд: + −= atk ax 2 1 1 1 . Якщо вa ≠ , то розв’язок даного рівняння записуємо так: ( ) ( ) ( ) aвe eaв x tkaв tkaв − − = − − 2 2 1 .
- 31. 31 Диференціальне рівняння однокамерної лінійноїфармакокінетично моделі має такий вигляд: Mk dt dM el −= , де el k — константа елімінації. Інтегральне рівняння однокамерної лінійної фармакокінетичної моделі записують так: tkel eMM − = 0 , де M — маса препарату у камері в момент часу 0=t .
- 32. 32 Якщо V —об’єм камери, то масу препарату визначають через концентрацію: cVM ⋅= . Тоді інтегральне рівняння для концентрації має такий вигляд: ( ) tkel ectc − = 0 . Елімінацію (виведення) біологічно активних речовин з організму на практиці визначають за зменшенням їхньої концентрації у крові. Кров є основною тест-тканиною.
- 33. 33 • Константа елімінаціїє важливою суб’єктивною характеристикою організму. На рис.1 зображено залежності логарифмів концентрації даного препарату від часу у двох суб’єктів з однаковими початковими концентраціями, але 21 elel kk >
- 34. 34 Рис.1 Залежності логарифмівконцентрації даного препарату від часу у двох суб’єктів з однаковими початковими концентраціями.
- 35. 35 • Однокамерна лінійнамодель є адекватна для багатьох лікарських препаратів, введених у кров ін’єкцією. Рівномірний розподіл забезпечується циркуляцією крові упродовж кількох хвилин, а період напіввиведення вимірюється здебільшого годинами.
- 36. 36 Однокамерна лінійна фармакокінетична модельзі всмоктуванням. • У попередній моделі передбачалося швидке надходження у камеру та рівномірний розподіл усієї порції лікарської речовини. Розгляньмо поступове надходження (всмоктування) препарату) у камеру з деякою депо. Таку модель можна зобразити у такому схематичному вигляді, як показано на малюнкові.
- 37. 37 Депо Камера 1k elk Рис.2 Однокамерна лінійнафармакокінетична модель зі всмоктуванням.
- 38. 38 Всмоктування препарату здепо у камеру та його елімінацію з камери моделюємо лінійною кінетикою. Система диференціальних рівнянь однокамерної лінійної моделі зі всмоктуванням має такий вигляд: −= −= ; , 11 11 1 MkMk dt dM Mk dt dM el де 1 m — маса препарату у депо у момент часу t; М — маса препарату у камері у момент часу t.
- 39.