логарифмічна функція

1. 26/12/1526/12/15 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 11
ЛОГАРИФМІЧНАЛОГАРИФМІЧНА
ФУНКЦІЯФУНКЦІЯ

2. 26/12/1526/12/15 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 22
Цілі проектуЦілі проекту
Познайомити оточуючих зПознайомити оточуючих з
,поняттям логарифма його,поняттям логарифма його
,функцією графіком та,функцією графіком та
.властивостями.властивостями

3. 26/12/1526/12/15 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 33
Історична довідка.Історична довідка.
Логарифм числа.Логарифм числа.
Логарифмічна функція, її графік іЛогарифмічна функція, її графік і
властивості.властивості.
Логарифмічні рівняння та нерівності.Логарифмічні рівняння та нерівності.

4. 26/12/1526/12/15 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 44

5. 26/12/1526/12/15 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 55
Ідея створення логарифмівІдея створення логарифмів
бере початок ще від Архімедабере початок ще від Архімеда
(бл.287-212 р. до н. е.), але(бл.287-212 р. до н. е.), але
перший крок до спрощенняперший крок до спрощення
обчислень зробив німецькийобчислень зробив німецький математикматематик
Михаель Штіфель(1487-1567).Михаель Штіфель(1487-1567).

6. 26/12/1526/12/15 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 66
ТермінТермін “логарифм”“логарифм”
належитьналежить
шотландськомушотландському
математику Джонуматематику Джону
Неперу (1550-1617),Неперу (1550-1617),
який у 1614 роціякий у 1614 році
вперше опублікуваввперше опублікував
працю “Описанняпрацю “Описання
дивовижної таблицідивовижної таблиці
логарифмів”.логарифмів”.

7. 26/12/1526/12/15 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 77
Логарифми також вивчавЛогарифми також вивчав
швейцарський математик, астроном ішвейцарський математик, астроном і
механік Йост Бюргі (1552-1635). Своїмеханік Йост Бюргі (1552-1635). Свої
таблиці він опублікував у 1620 році.таблиці він опублікував у 1620 році.
Через чотири роки логарифмічні таблиціЧерез чотири роки логарифмічні таблиці
надрукував Генрі Брігс( 1561-1631), а унадрукував Генрі Брігс( 1561-1631), а у
1629 їх доповнив А. Влокк.1629 їх доповнив А. Влокк.
Пізніше ці таблиці назвали таблицямиПізніше ці таблиці назвали таблицями
звичайних логарифмів.звичайних логарифмів.

8. 26/12/1526/12/15 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 88
 Корінь рівнянняКорінь рівняння aa x
==NN , де, де
a>a>0,0, aa≠≠1, називають1, називають
логарифмом числалогарифмом числа NN заза
основоюосновою aa..
 Логарифмом числаЛогарифмом числа NN заза
основоюосновою
a (a>0 i aa (a>0 i a≠≠1)1)називаєтьсяназивається
показник степеняпоказник степеня xx,, до якогодо якого
треба піднеститреба піднести aa, щоб дістати, щоб дістати
числочисло NN..

9. 26/12/1526/12/15 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 99
 Логарифм числаЛогарифм числа NN за основою а дорівнюєза основою а дорівнює
х, а записується це так:х, а записується це так:
loglog aa NN= х= х
 Наприклад, з рівностіНаприклад, з рівності 553=3=
125125 випливає, щовипливає, що
loglog 55125 = 3125 = 3
ПРИМІТКА :ПРИМІТКА :
ВиразВираз loglogaa NN, де, де a>0, aa>0, a≠≠00 має смислмає смисл
лише прилише при N>0N>0..

10. 26/12/1526/12/15 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 1010
Основна логарифмічнаОсновна логарифмічна
тотожністьтотожність
 aaxx
= N= N
 x = logx = log aa NN
 aa loglog
aa
NN
=N=N
 55loglog
55
125125
= 125= 125
 1010 lg1000lg1000
= 1000= 1000
 log 9log 9
= 9= 9





3
1 





3
1

11. 26/12/1526/12/15 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 1111
Логарифм добутку двох додатнихЛогарифм добутку двох додатних
множників дорівнює сумі їхмножників дорівнює сумі їх
логарифмів,логарифмів,
тобтотобто
log a (N1N2) =log a N1+log a N2log a (N1N2) =log a N1+log a N2, де, де
NN11>0>0,, NN22>0>0

12. 26/12/1526/12/15 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 1212
Логарифм частки двох додатнихЛогарифм частки двох додатних
чисел дорівнює різниці логарифмівчисел дорівнює різниці логарифмів
діленого і дільника (дробуділеного і дільника (дробу
чисельника і знаменника), тобточисельника і знаменника), тобто
LogLog aa NN11/N/N22=log=log aa NN11- log- log aa NN22 ,, деде
NN11>0,>0, NN22 >0>0

13. 26/12/1526/12/15 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 1313
Логарифм степеня додатногоЛогарифм степеня додатного
числа дорівнює показнику степеня,числа дорівнює показнику степеня,
помноженому на логарифм основипомноженому на логарифм основи
цього степеня, тобтоцього степеня, тобто
Log a (Nm) =mLog a (Nm) =m log a N, mlog a N, m – будь-– будь-
яке число,яке число, N>0N>0

14. 26/12/1526/12/15 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 1414
Логарифм кореня з додатного числаЛогарифм кореня з додатного числа
дорівнює логарифму підкореневого виразу,дорівнює логарифму підкореневого виразу,
поділеному на показник кореня, тобтоподіленому на показник кореня, тобто
LogLog aa ==
Застосовуючи теорему №3 маємо:Застосовуючи теорему №3 маємо:
loglog aa = log= log aa NN 1/k1/k
= log= log aa N =N =
K
N
k
aNlog
K
N k
1
k
aNlog

15. 26/12/1526/12/15 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 1515
Якщо логарифми двох додатнихЯкщо логарифми двох додатних
чисел за тією самою основою рівні,чисел за тією самою основою рівні,
то й самі числа рівні. І навпаки, якщото й самі числа рівні. І навпаки, якщо
два додатні числа рівні, то і їхдва додатні числа рівні, то і їх
логарифми за тією самою основоюлогарифми за тією самою основою
рівні.рівні.

16. 26/12/1526/12/15 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 1616
Логарифм одиниці дорівнюєЛогарифм одиниці дорівнює
нулю.нулю.
Це випливає з означення степеня зЦе випливає з означення степеня з
нульовим показником.нульовим показником.
Логарифм основи дорівнюєЛогарифм основи дорівнює
одиниці, тобтоодиниці, тобто loglog a a= 1a= 1. Це. Це
випливає з того, щовипливає з того, що aa11
=a=a..

17. 26/12/1526/12/15 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 1717
Прологарифмувати
одночлен означає виразити
його логарифм через
логарифми додатних чисел,
що входять до його складу.

18. 26/12/1526/12/15 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 1818
Logb a = ablog
1
Log a N = log a k N k
Log a n N = log a N
n
1

19. 26/12/1526/12/15 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 1919
це перетворення, за допомогоюце перетворення, за допомогою
якого за даним логарифмом числаякого за даним логарифмом числа
визначають саме число.визначають саме число.

20. 26/12/1526/12/15 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 2020
Log a N = Log b N log a b

21. 26/12/1526/12/15 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 2121
ірраціональне число, наближенеірраціональне число, наближене
значення якогозначення якого ≈≈ 22,718,718

22. 26/12/1526/12/15 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 2222
називають логарифми з основою е.називають логарифми з основою е.
Позначають їхПозначають їх ln xln x..
Наприклад,Наприклад, ln e =1,ln e =1,
ln 1= 0,ln 1= 0,
ln 2 = 0,693,ln 2 = 0,693,
ln 3 =1,098ln 3 =1,098

23. 26/12/1526/12/15 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 2323

24. 26/12/1526/12/15 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 2424
1)Область визначення логарифмічної1)Область визначення логарифмічної
функції – множина всіх додатних чисел.функції – множина всіх додатних чисел.
2)Область значень логарифмічної функції2)Область значень логарифмічної функції
– множина всіх дійсних чисел.– множина всіх дійсних чисел.
3)Логарифмічна функція на всій області3)Логарифмічна функція на всій області
визначеннявизначення RR зростає,зростає,
якщо аякщо а>1>1 і спадає,і спадає,
якщо 0якщо 0<a<1<a<1..

25. 26/12/1526/12/15 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 2525
ЛОГАРИФМІЧНИМИ
НАЗИВАЮТЬ РІВНЯННЯ , ЯКІ
МІСТЯТЬ НЕВІДОМУ ПІД
ЗНАКОМ ЛОГАРИФМА.
НАПРИКЛАД,
Log ½ х = -3
Х = (1/2) -3
X = 8

26. 26/12/1526/12/15 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 2626
 Якщо аЯкщо а >1>1, то логарифмічна функція, то логарифмічна функція
зростає, тому більшому логарифмузростає, тому більшому логарифму
відповідає більше значення виразу, щовідповідає більше значення виразу, що
стоїть під знаком логарифма.стоїть під знаком логарифма.
 ЯкщоЯкщо a< 1a< 1, то більшому логарифму, то більшому логарифму
відповідає менше значення виразу, щовідповідає менше значення виразу, що
стоїть під знаком логарифма.стоїть під знаком логарифма.

27. 26/12/1526/12/15 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 2727