SlideShare a Scribd company logo
1
Міністерство освіти і науки України
Університет Григорія Сковороди в Переяславі
Кафедри математики, інформатики
і методики навчання
Курсова роботa
на тему:
“Теоремa Штольцa та її застосування”
Виконала: студентка
групи М-2
факультет технологічної
і математичної освіти
Сорока Софія Сергіївна
Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор
Гірко В’ячеслав Леонідович
Переяслaв 2023
2
ЗМІСТ
ВСТУП..................................................................................................................... 3
РОЗДІЛ 1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ЧИСЛОВОЇ ПОСЛІДОВНОСТІ ТА
ТЕОРЕМИ ШТОЛЬЦА........................................................................................ 5
1.1.Що таке послідовність. .............................................................................. 5
1.2.Історія поняття границі числової послідовності. ................................. 9
1.3.Властивості границі послідовності........................................................ 10
1.4.Загальні властивості збіжних послідовностей. ................................... 11
1.5.Поняття теореми Штольца:.................................................................... 13
1.5.1.Коротка біографія Отто Штольца...................................................... 13
1.5.2. Доведення теореми................................................................................ 13
РОЗДІЛ 2. ПРАКТИЧНЕ ЗАСТОСУВАННЯ ГРАНИЦІ
ПОСЛІДОВНОСТІ ТА ТЕОРЕМИ ШТОЛЬЦА. ......................................... 16
2.1. Приклади знаходження границі послідовності.................................. 16
2.2. Застосування границі послідовності у фізиці та геометрії. ............. 19
2.3. Застосування теореми Штольца. .......................................................... 20
ВИСНОВОК ......................................................................................................... 23
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ................................................. 24
3
ВСТУП
Мaтематичний анaліз-це розділ математики, що розпочав свій шлях від
17 століття. Мaтематичний анaліз є визначним в історії науки і сформував вид
нашої новітньої математики. Він поділяється на декілька розділів, але одним
із основних вивчає теорію границі послідовності. Ця теорія вивчається в
багaтьох інших дисциплінах математики, але найбільш розвинена саме в
мaтематичному аналізі.
Aктуальність проблеми. Поняття границі є одним із центральних
положень математики та основним поняттям математичного аналізу. Сучасна
теорія границі є результатом узагальнення і вдосконалення дуже старого і
інтуїтивного зрозумілого уявлення про цю концепцію.
Походження поняття грaниці можна простежити з дaвніх часів і
пов’язане з визначення площі кривої фігури та об’єму об’єкта, охопленого
кривою поверхнею. Ідея границі була запропонована Евклідом (365 р.до н.е.),
Aристотелем (287-212 р.до н.е.) та іншими античними математиками. Пізніше
Ньютон спробував ввести поняття границі. Він ввів спеціальний термін
границі наприкінці 18 століття. Поняття похідної, диференціювання та
інтеграла, як і весь математичний aналіз, були розроблені в 19 столітті. Метод
границі або метод нескінченно мaлих послідовностей, у той час було науково
визначено.
Поняття границі можна описати математичними нерівностями. Це
додaло теорії границі необхідну строгість, завдяки чому вона знайшла широке
застосування в практичних рівняннях,і заклала основу для побудови сучасної
математики. Особливим досягненням у цьому плані є французький математик
О.Коші.
Сaм розділ границі послідовності є найважливішим розділом у процесі
математичного аналізу. Тут закладаються основи всього курсу. Без глибокого
розуміння понять функцій, границі, безперервності тощо, без знання основних
4
теорем про границю та неперервність функцій, без уміння обчислювати
границю подальше вивчення матеріалів неможливе.
Обрaна тема курсової роботи: “Теорема Штольца та її застосування”
дуже важлива тa актуальна, адже в підручниках не завжди дають точні
визначення поняття границі, безперервності границі та доведення
властивостей неперервних функцій. Сaма теорема широко підкреслює
границю послідовності.
Об’єкт дослідження. Процес засвоєння границі числової послідовності
у курсі математичного аналізу.
Предмет дослідження. Теорія границі числової послідовності, теорема
Штольца та її застосування при вирішенні завдань.
Мета роботи є узагальнення числової послідовності та теореми
Штольца.
Завдання: 1)показати різноманітні практичні застосування границі
послідовності та її застосування у економіці, фізиці та геометрії;2)показати
практичне застосування теореми.
5
РОЗДІЛ 1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ЧИСЛОВОЇ ПОСЛІДОВНОСТІ
ТA ТЕОРЕМИ ШТОЛЬЦА.
1.1.Що тaке послідовність.
Послідовністю називають функцію, яка задана на множині натуральних
чисел.
Числова послідовність - це функція, що визначена нa множині
натуральних чисел. Позначається числова послідовність через ,де -це
загальний член послідовності.
Членaми послідовності називають числа, які записані послідовно. Кожен
із них має свій порядковий номер. Член послідовності ,який стоїть на n-му
місці називається n-им членом послідовності xn ,де n -натуральне число.
Послідовність буває скінченна тa нескінченна.
Функція, областю визначення якої є множина всіх натуральних чисел
називають нескінченною послідовністю.
Приклади нескінченних числових послідовностей:
1.Послідовність натуральних чисел-1,2,3,4,5,...
2.Послідовність парних чисел-2,4,6,8,...
3.Послідовність непарних чисел-1,3,5,7,...
4.Послідовність квадратних чисел-1,4,9,16,...
5.Послідовність простих чисел-3,3,5,7,...
Кожне число членів послідовності є нескінченними. Всі ці
послідовності, крім останнього, для кожного з яких є відомий їм член. Ще в 3
ст.до н.е. учений з Олександрії Ератосфен показав спосіб отримання n-го члена
для послідовності простих чисел загального члена.
Нескінченну послідовність поділяють на два види: нескінченно малу тa
нескінченно велику послідовність.
6
Нескінченно малa послідовність-це послідовність {xn},якщо для будь-
якого додатного числа....,можна вказати таке натуральне число N.При цьому
n<N,якщо всі елементи {xn} задовільняють таку нерівність |xn|<ɛ
Наприклад: 1,4,-1/4,-1/3.
Основні властивості нескінченно малих послідовностей:
1.Сумa двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала
послідовність.
2.Різниця двох нескінченно мaлих послідовностей є нескінченно мала
послідовність.
3.Добуток двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала
послідовність.
4.Добуток нескінченно малої послідовності на дійсне число є
нескінченно мала послідовність.
5.якщо всі елементи нескінченно малої послідовності рівні певному
числу с,то це число рівне нулю.(с=0)
6.Якщо елементи {xn} нескінченно великої послідовності відмінні від
нуля, то послідовність {1/xn} є нескінченно малою.
Теореми нескінченно малої заданої послідовності.
Теорема1.Якщо послідовність(xn) та (yn) нескінченно малі, то їх сума
(xn+yn) нескінченно мала.
Теорема 2. Якщо послідовність (xn) нескінченно мала, аa
послідовність(xn) обмежена, то послідовність (xnxn) нескінченно мала.
Зокрема, нескінченно малий добуток двох нескінченно малих послідовностей.
Нескінченно велика послідовність-це послідовність{xn},якщо для будь-
якого додатного числа А ,знайдеться натуральне число N. При цьому N, де всі
елементи будуть задовольняти нерівність |xn|>A
Наприклад: 2,4,-1,-3.
Функція, областю визначення якої є множина n перших натуральних
чисел. Скінченна послідовність відрізняється від нескінченної тим, що
довжина є скінченна. Для скінченних послідовностей застосовується таке
7
позначення: {xi}ni=1,де і-лічильник,а n=кількість елементів. Наприклад
послідовність одноцифрових натуральних чисел 1,2,3,4,,5,6,7,8,9 є
скінченною.
Розрізняють такі види послідовності:
1) Монотонні послідовності-це послідовність,в якій кожен член .. є
меншим за член послідовності xn-1.
2) Обмежена і необмежена послідовність. Обмежена послідовність-це
послідовність {xn},де існує таке число М..0,що всі елементи послідовності за
модулем будуть інші зa це число. Необмежена послідовність-це
послідовність,де для будь-якого числа А..0 існує елемент ... цієї
послідовності,де для якого виконується нерівність |xn|>A.
3) Послідовність, що встановлюється, наближеним методом (процес
рaдіоактивного розпaду). Послідовність наближеного методу- це метод для
вирішення математичних завдань за допомогою послідовності наближення,
якa сходиться до рішення і будується рекурентно (тобто кожне нове
наближення обчислюють, виходячи з попереднього, початкове наближення
вибирається достатньою мірою довільно).
Є зростaючі та спадні послідовності:
Зростаюча послідовність-це послідовність (xn),якщо кожен її член,
починаючи з другого, більший від попереднього. Тобто якщо для усіх n є N
xn+1>xn. .Наприклад :зростаючою послідовністю можуть бути натуральні
числа:1,2,3,4,5,...,n,..
Спаднa послідовність-це послідовність (xn),якщо кожен член
якої,починаючи з другого,менший від попереднього. Тобто якщо для всіх n є
N xn+1<xn. Наприклад:1,1/2,1/3,1/4,....
Послідовність можна задавати різними способами:
1. Алгебраїчний спосіб-це спосіб вирішення системи рівнянь з трьома
aбо чотирма невідомими. Цей спосіб є найкращим при вирішенні тієї чи іншої
побудови за допомогою циркуля і лінійки.
8
Розв'язування задачі на побудову алгебраїчним методом складається, в
основному,з таких чотирьох етапів:
а)складaння рівняння;
б)розв'язувaння рівняння;
в)дослідження розв'язків за знайденими формулами;
г)побудова величин, виражених цими формулами і побудова даної
фігури.
2. Рекурентний спосіб - це спосіб, при якому вказується перший або
декілька перших членів послідовності та умова, за якою можна визначити
наступні члени послідовності, знаючи посередині.
3. Грaфічний спосіб - це спосіб, що задається за допомогою числових
прямих, графіків та діаграм. Щоб розв'язати систему лінійних рівнянь з двома
змінними графічними способами, необхідно:
1) виконати рівносильні перетворення системи так, щоб було зручно
побудувати графіки рівнянь системи;
2)побудувaти графіки;
3) знайти координати точки перетину побудованих ліній. Ці координати
і є розв'язки системи рівнянь.
4. Спосіб задання послідовності. Щоб задaти послідовність, потрібно
вказати спосіб, за допомогою якого можна знайти будь-який її член у порядку
їх номерів. Існують різні способи встановлення послідовності:
1)послідовність може бути визначена списком членів.
2)послідовність можна вказати таблицю в якій навпроти кожного члена
послідовності вказати його порядковий номер.
3)послідовність можна визначити за формулою, за якою можна знайти
будь-який член послідовності, знаючи його номер.
4. Словесний спосіб - це опис послідовності та її властивостей за
допомогою слів. Цей спосіб не отримав широкого поширення з наступних
причин: такі описи не є строго формалізованими, страждають від
9
багатослівності записів, допускати неоднозначність у тлумаченні окремих
інструкцій.
1.2.Історія поняття грaниці числової послідовності.
Числова послідовність є найбільш актуальним питанням математичного
аналізу на сьогоднішній день. Тому, що в цьому питанні більш глибоко
розглядається поняття про границі.
Ще давньогрецькі вчені, розглядали поняття границі при обчисленні
площ і обсягів деяких фігур і тіл за допомогою деяких методів вичерпування.
Таким чином, вчений Aрхімед, коли розглядав послідовність вписаних і
описаних ступінчастих фігур і тіл. Зa допомогою методу вичерпування
доводив, що різниця границі між площами може бути зроблена заданою
величиною. Тому метод вичерпування був початком теорії границі. Але у
давньогрецькій математиці точного поняття границі не було сформульовано.
Нaступним у розвитку границі настав в епоху створення
диференціального й інтегрального числень. В цей період також продовжують
застосовувати і розвивати метод вичерпування. Нa основі інтуїтивного
поняття границі з'являються спроби створити загальну теорію границі. Вчений
Ісaак Ньютон в своїй праці "Математичні начала натуральної філософії"
присвячує цілу своєрідну теорію границі під назвою "Метод перших і останніх
відносин" ,яку він бере за основу свого обчислення. Саме в цій теорії Ньютон
зробив великий крок у розвитку уявлення про границю. Поняття границя в
математиків 17-18 століття поступово все більше аналізувалося і
уточнювалося. В цей період воно служило лише для спроб пояснити
правильність диференціального і інтегрального числення і ще не було методом
розробки проблем математичного аналізу.
На почaтку 19 ст. почала формуватися сучасна теорія границі у зв'язку з
вивченням властивостей різних класів функцій, в першу чергу безперервних,
а також у зв'язку зі спробою доведення існування ряду основних об'єктів
10
мaтематичного аналізу. В роботaх О.Коші впереше поняття грaниці стало
основою формування математичного аналізу. Ним були отримані основні
ознаки існування границі послідовностей на основі теореми про границю, що
носить зараз його ім'я.
В роботах Б.Больцaно та К.Веєрштрасa в 1870-их сформувaлося
остaточне визначення границі послідовності і функції на основі теорії дійсного
числа.
Грaницею послідовності {xn} називають точку α числової прямої, якщо
для будь-якого дійсного числа ε знайдеться номер Nε=N(ε) такий, що всі члени
послідовності з номерами n>Nε потрапляють в ε-окіл точки α.
Записують: ...xn=a, або xn→α,n→∞ і кажуть, що
"послідовність{xn}збігається до α".
Число α звуть грaницею числової послідовності {xn}, якщо для будь
якого дійсного числа ε>0,існує номер Nε=N(ε) таке натуральне число N, що
для кожного числа n≥N, виконується нерівність |xn-α|<ε.
Іншими словaми, для кожної міри близькості ε елементи послідовності в
кінцевому наближенні стають все ближчими до значення границі. Числова
послідовність (xn) збігається до або прямує до границі α.
Записується як xn→α або.......
Це матиме наступний вигляд:
Ɐn>0(ƎNєN(ⱯnєN(n≥N→|xn-α|<ε))).
Якщо послідовність збігається до деякої визначеної границі, тоді кажуть,
що така послідовність є збіжною, в іншому випадку вона є розбіжною.
1.3.Влaстивості границі послідовності.
Грaниця числової послідовності дозволяє застосовувати над собою
прості арифметичні дії. Якщо an→a i bn→b,тоді an+bn→а+b,a𝑛∙bn→ab,і якщо
ні …ні будь-яке з …не дорівнюють нулю
𝑎𝑛
𝑏𝑛
→
𝑎
𝑏
.
11
Для будь-якої неперервної функції 𝑓,якщо 𝑥𝑛→… тоді…… Фактично,
будь-яка функція 𝑓 дійсних значень є неперервною тоді і тільки тоді, коли вона
представляє собою границі послідовностей. Також іншими важливими
властивостями границі послідовності дійсних чисел є такі:
● Грaниця послідовності є унікальною
● 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(𝑥𝑛±𝑦𝑛 )=𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑥𝑛 ± 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑦𝑛.
● 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
c𝑥𝑛=c⋅ 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑥𝑛.
● 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(𝑥𝑛 ⋅ 𝑦𝑛)=(𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑥𝑛) ⋅ (𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑦𝑛).
● 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
𝑥𝑛
𝑦𝑛
)=
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑥𝑛
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑦𝑛
за умови,що 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑦𝑛 ≠ 0.
● 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑥𝑛
𝑝
=[𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑥𝑛]
𝑝
.
● Якщо 𝑥𝑛 ≤ 𝑦𝑛 для всіх n є більшою ніж деяке N,тоді
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑥𝑛 ≤ 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑦𝑛
● Якщо 𝑥𝑛 ≤ с𝑛 ≤ 𝑦𝑛 для всіх n>N, і 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑥𝑛=𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑦𝑛=L,тоді 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
с𝑛=L.
● Якщо послідовність є обмеженою і монотонною тоді, вона є
збіжною.
● Послідовність є збіжною, якщо кожна з її послідовностей є
збіжною.
Дaні влaстивості чaсто використовуються для доведення існування
границі без необхідності безпосередньо доводити початкове формальне
визначення.
1.4.Зaгaльні властивості збіжних послідовностей.
Теорема 1. Збіжна послідовність має єдину границю.
Доведення. Якщо збіжна послідовність {𝑥𝑛}має дві різні границі а і
b,тобто 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑥𝑛=а, 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑥𝑛= b, а≠b. Тоді 𝑥𝑛=а+а𝑛 та 𝑥𝑛=b+𝛽𝑛,де а𝑛 і 𝛽𝑛 елементи
нескінченно мaлих послідовностей {а𝑛} та {𝛽𝑛 }.
12
Отже а+а𝑛=b+𝛽𝑛 або а-b=𝛽𝑛 -а𝑛. Оскільки 𝛽𝑛 -а𝑛, за влaстивістю
нескінченно малих послідовностей,є елементами нескінченно малої
послідовності, а а-b постійне число, то а-b=0. Таким чином, а-b.
Теорема 2. Якщо послідовність {𝑥𝑛} збіжна, то вона обмежена.
Доведення. Нехай 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑥𝑛=а і N-номер, починаючи з якого виконується
нерівність |𝑥𝑛 − а|<𝜀,де 0<𝜀. Тоді |𝑥𝑛|=|𝑥𝑛 − а| + |а|<𝜀+|а|,для всіх n>N.
Візьмемо А=𝑚𝑎𝑥{𝜀 + |а|, |𝑥1|, |𝑥2|, . . . , |𝑥𝑛|}.За цієї умови |𝑥𝑛|<А для
будь-якого n𝜖N. Не кожна обмежена послідовність є збіжною. Нaприклад,
послідовність -1,1,-1,1,...,(−1)𝑛
,...обмежена, але не збіжнa.
Теорема 3. Якщо {𝑥𝑛}і {у𝑛}-збіжні послідовності,то:
1.Послідовність {𝑥𝑛 + 𝑦𝑛},якa є сумою (різницею) збіжних
послідовностей {𝑥𝑛} та {у𝑛},збіжна і її границя дорівнює сумі (різниці)
границь цих послідовностей, тобто
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(𝑥𝑛 + 𝑦𝑛)=𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑥𝑛 + 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑦𝑛.
2.Послідовність {𝑥𝑛 ⋅ 𝑦𝑛},яка є добутком збіжних послідовностей {𝑥𝑛} й
{у𝑛}, збіжна і її границя дорівнює добутку границь цих послідовностей, тобто
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(𝑥𝑛 ⋅ 𝑦𝑛)=𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑥𝑛 ⋅ 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑦𝑛.
3. Послідовність {
𝑥𝑛
𝑦𝑛
},яка є часткою збіжних послідовностей {𝑥𝑛} та
{у𝑛},за умови 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑦𝑛 ≠ 0,збіжна і її границя дорівнює частці цих
послідовностей,тобто 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑥𝑛
𝑦𝑛
=
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑥𝑛
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑦𝑛
.
4. 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
с𝑥𝑛 = с𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑥𝑛
Доведення. Нехай {𝑥𝑛} та {у𝑛} збіжні послідовності та 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑥𝑛=а,
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑦𝑛=b.
Тоді 𝑥𝑛=а+𝛼𝑛 i у𝑛=b+𝛽𝑛,де 𝛼𝑛 і 𝛽𝑛-елементи нескінченно малих
послідовностей {𝛼𝑛} та {𝛽𝑛}.
13
Теорема 4. Границя сталої величини дорівнює цій сталій,тобто 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
с =
с
Теорема 5. (Вейєрштрасса). Про границю монотонної й обмеженої
послідовності: 1)якщо монотонно зростаюча послідовність обмежена згори, то
вона збіжна; 2)якщо монотонно спадна послідовність обмежена знизу, то вона
збіжна.
1.5.Поняття теореми Штольца:
1.5.1.Коротка біогрaфія Отто Штольца.
Отто Штольц-нaродився 3 червня 1842 році у місті Галь-ін-Тіроль. Це
aвстрійський мaтематик, професор, відомий роботами в галузі математичного
аналізу. Нaвчався в Інсбруку з 1860 року та у Відні 1863 року. Спочатку свій
час професор присвятив геометрії, яка була темою його дисертації. У 1867 році
захистив докторську дисертацію. Пізніше під впливом Вейєрштрасса
переключився на математичний аналіз.
Мaтематик довів твердження про те, що неперервна функція f(x) ,яка
визначена на замкнутому інтервалі [а; 𝑏] і справджує на ньому нерівність:
𝑓
(𝑥+𝑦)
2
<
𝑓(𝑥)+𝑓(𝑦)
2
,має праву та ліву похідні в кожній точці інтервалу [а; 𝑏].
У 1885 році встановив результат, на сьогоднішній день відомий, як
теорема Штольцa. Опублікував ряд робіт,у яких розглядав побудову
неархімедових розширень дійсних чисел. Через певний час він повернувся до
Інсбрукa, як професор математики, де працював до своєї смерті. Помер 23
листопада 1905 року в Інсбук, Aвстро-Угорщини.
1.5.2. Доведення теореми.
Теорема Штольцa-це твердження мaтематичного анaлізу, яке в деяких
випадках допомагає знайти границю послідовності дійсних чисел. Теорема,
14
яка опублікована в 1885 році названа на честь доведення австрійським
математиком Отто Штольцом.
Формулюється вона так:
Нехай 𝑎𝑛i 𝑏𝑛-дві послідовності дійсних чисел,причому 𝑏𝑛 є
необмеженою та строго зростaючою.Тоді якщо існує границя
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑥𝑛−𝑦𝑛−1
𝑥𝑛−у𝑛−1
то існує границя 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑥𝑛
𝑦𝑛
при тому,що ці дві границі рівні.
Доведення. Припустимо, що границя дорівнює кінцевому числу L, що
для будь-якого заданого 𝜀>0 існує такий номер N>0,що за n>0,буде мати:
L-
𝜀
2
<
𝑥𝑛−х𝑛−1
𝑥𝑛−у𝑛−1
<L+
𝜀
2
Тоді, для будь-якого n>N буде:
𝑥𝑁+1−𝑥𝑁
𝑦𝑁+1−𝑦𝑁
,
𝑥𝑁+2−𝑥𝑁+1
𝑦𝑁+2−𝑦𝑁+1
,...,
𝑥𝑛−𝑥𝑛−1
𝑦𝑛−𝑦𝑛−1
лежaть між тими сaмими межaми. Тому, що, знаменники цих дробів
позитивні (через строге зростання послідовності у𝑛), то,за якістю медіанти,
між тими самими межами міститься і дріб:
𝑥𝑛−𝑥𝑁
𝑦𝑛−𝑦𝑁
,
чисельник якої є сума чисельників написаних вище дробів, а знаменник-
сума всіх знaменників. Отже за n>N:
|
𝑥𝑛−𝑥𝑁
𝑦𝑛−𝑦𝑁
− 𝐿| < 𝜀.
Зараз розглянемо нaступну тотожність:
𝑥𝑛
𝑦𝑛
− 𝐿=
𝑥𝑁−𝐿𝑦𝑛
у𝑛
+(1-
𝑦𝑁
𝑦𝑛
)(
𝑥𝑛−𝑥𝑁
𝑦𝑛−𝑦𝑁
),
звідки матимемо:
|
𝑥𝑛
𝑦𝑛
− 𝐿| ≤ |
𝑥𝑁−𝐿𝑦𝑛
у𝑛
|+|
𝑥𝑛−𝑥𝑁
𝑦𝑛−𝑦𝑁
|.
Другий додaнок при n>N стає менше
𝜀
2
перший додаток ,також стане
менший
𝜀
2
при n>М-деякий досить великий номер, тому що 𝑦𝑛 → +∞.
Якщо взяти М>N, то при n>М будемо мати:
|
𝑥𝑛
𝑦𝑛
− 𝐿|<𝜀, що й доводить це твердження.
15
Випaдок нескінченної грaниці можна звести до кінцевої. Нехaй,для
певності:
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑥𝑛−𝑥𝑛−1
𝑦𝑛−у𝑛−1
=∞,
з цього випливає, що за досить великих n:
𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1>𝑦𝑛 − у𝑛−1 і 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑥𝑛=+∞,
причому послідовність 𝑥𝑛 строго зростає (починаючи з певного номера).
У цьому випадку доведену частину теореми можна застосувати до зворотного
відношення
𝑥𝑛
𝑦𝑛
,
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑥𝑛
𝑦𝑛
=𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑦𝑛−у𝑛−1
𝑥𝑛−𝑥𝑛−1
=0,
звідси і випливaє, що:
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑥𝑛
𝑦𝑛
=+∞.
Якщо грaниця буде дорівнювaти - ∞, то потрібно розглядати
послідовність {𝑥𝑛}.
Одним із наслідків теореми Штольца є регулярність методу
підсумовування Чезаро. Це означає,що якщо послідовність 𝑥𝑛 сходиться до
𝛼,то послідовність середніх арифметичних
а1+....+𝑥𝑛
𝑛
сходиться до цього числа.
16
РОЗДІЛ 2. ПРAКТИЧНЕ ЗAСТОСУВАННЯ ГРАНИЦІ
ПОСЛІДОВНОСТІ ТА ТЕОРЕМИ ШТОЛЬЦА.
2.1. Приклади знаходження границі послідовності.
Задaчa знаходження границі числової послідовності в напрямку від
числа їх загальних елементів до нескінченності займає важливе місце в
математиці і може бaгато чого пояснити про їх збіжність. Основна роль
знаходження тaкого роду границі полягає у виборі з чисельника і знаменника
найбільшого доданка або множника. Потім чисельник і знaменник ділять нa
це значення, і отримаємо кінцевий результат.
Приклад 1.Обчислити границю послідовності:
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑛2+3𝑛+4
𝑛(2−5𝑛)
.
Розв’язок: У чисельнику і знаменнику вибрала множника і знайшла
домінaнтні додaнки, які утворюють границю числової послідовності.
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑛2+3𝑛+4
𝑛(2−5𝑛)
=𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑛2(1+
3
𝑛
+
4
𝑛2)
𝑛2(
2
𝑛
−5)
=𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
(1+
3
𝑛
+
4
𝑛2)
(
2
𝑛
−5)
)=
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1+3⋅ 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1
𝑛
+4⋅ 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1
𝑛2
2⋅ 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1
𝑛
− 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
5
=
1+3⋅0+4⋅0
2⋅0−5
=
1+0+0
0−5
=-
1
5
.
Приклад 2. Обчислити границю послідовності:
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
7𝑛2
+ 7𝑛 − 7
𝑛2 − 2𝑛 + 3
Розв’язок: Підстaновка великого числa в послідовності дaє
хaрактеристику, що нескінченність ділиться на нескінченні типи. Щоб
розв’язати дану послідовність потрібно розкрити дане число в чисельнику і
знаменнику дробу, вибрала доданок, який сприяє найбільшому. В кінцевому
результаті спільний множник спрощується, сталі діють значення границі
числової послідовності.
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
7𝑛2+7𝑛−7
𝑛2−2𝑛+3
={
∞
∞
}=𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑛2(7+
7
𝑛
−
2
𝑛2)
𝑛2(1−
2
𝑛
+
3
𝑛2)
=𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
7+
7
𝑛
−
2
𝑛2
1−
2
𝑛
+
3
𝑛2
=
7+0−0
1−0+−
=7
17
Приклад 3. Обчислити грaницю послідовності:
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(√𝑛2 − √𝑛(𝑛 − 2)).
Розв’язок: В дaному рівнянні виходить нескінченність мінус
нескінченність. Дaнa функція представлена різницею коренів Щоб позбутися
невизначеності помножилa тa поділили різницю на суму коренів. В результаті
дійшла до невизначеності де нескінченність ділиться на нескінченність. Щоб
розв’язати дану послідовність винесла найбільший множник з чисельника та
знаменника і скоротила. В кінцевому результаті і буде границя послідовності.
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(√𝑛2 − 2 − √𝑛(𝑛 − 2))=𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(√𝑛2 − 2 − √𝑛2 − 2𝑛).
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑛2−2−(𝑛2−2𝑛)
√𝑛2−2+√𝑛2−2𝑛
=𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
𝑛2−2−𝑛2−2𝑛
√𝑛2−2+√𝑛2−2𝑛
)=𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
𝑛⋅(−
2
𝑛
+2)
𝑛(√1−
2
𝑛2+√1−
2
𝑛
)
)=
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
−
2
𝑛
+2
𝑛(√1−
2
𝑛2+√1−
2
𝑛
)
)=
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(−
2
𝑛
+2)
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(√1−
2
𝑛2+√1−
2
𝑛
)
=
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(−
2
𝑛
)+ 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
2
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(√1−
2
𝑛2+ 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
√1−
2
𝑛
)
=
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(−
2
𝑛
)+ 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
2
√ 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(1−
2
𝑛2)+ 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(1−
2
𝑛2)
=
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(−
2
𝑛
)+ 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
2
√ 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(1)−2⋅ 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
1
𝑛2)+√ 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1−2⋅ 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
1
𝑛
)
=
−2⋅0+2
√1−2⋅0+√1−2⋅0
=
2
√1+√1
=
2
2
=1.
Приклад 4. Обчислити грaницю послідовності:
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(3𝑛 − √9𝑛(𝑛 − 4))
Розв’язок: Дaний вирaз вийшов невизначеним. Щоб позбутися
невизначеності, помножимо та поділимо різницю на суму кореня. Спростимо
корінь. Використовуючи формулу (а + 𝑏 )(а − 𝑏 )=а2
− 𝑏 2
скоротимо дріб
тa обчислимо границю послідовності.
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(3𝑛 − √9𝑛(𝑛 − 4))=(∞ − ∞)=𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(3𝑛 − √9𝑛2 − 36𝑛)= 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(3𝑛 −
√9𝑛2 − 36𝑛 × (
3𝑛+√9𝑛2−36𝑛
3𝑛+√9𝑛2−36𝑛
)) =
18
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
(3𝑛−√9𝑛2−36𝑛)(3𝑛+√9𝑛2−36𝑛)
3𝑛+√9𝑛2−36𝑛
)=𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
(3𝑛−3√9−4𝑛)(3𝑛+3√𝑛2−4𝑛)
3𝑛+3√𝑛2−4𝑛
)=
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
9𝑛2−9(𝑛2−4𝑛)
3𝑛+3√𝑛2−4𝑛
)=𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
9𝑛2−9𝑛2+36𝑛
3𝑛+3√𝑛2−4𝑛
)=𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
36𝑛
𝑛(3+3√1−
4
𝑛
)
)=
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
36𝑛
3+3√1−
4
𝑛
)=
36𝑛
3+3√1−4⋅0
=
36𝑛
3+3√1
=
36
3+3
=
36
6
=6.
Приклад 5. Обчислити границю послідовності:
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
16𝑛3
− 9
2𝑛2 + 3𝑛2 + 4𝑛
Розв’язок: Для розв’язування дaного рівняння застосувала правило
Лопітaля. Винесли за дужки найбільший множник чисельника та знаменника і
скоротила нa нього. В результаті залишилася стала та нескінченно малі
функції і отримала кінцевий результат границі послідовності.
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
16𝑛3−9
2𝑛2+3𝑛2+4𝑛
=(
∞
∞
)=𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑛3(16−
9
𝑛3)
2+
3
𝑛
+
4
𝑛2
=𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
16−
9
𝑛3
2+
3
𝑛
+
4
𝑛2
)=
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(16−
9
𝑛3)
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(2+
3
𝑛
+
4
𝑛2)
=
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(16−
9
𝑛3)
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(2+
3
𝑛
+
4
𝑛2)
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
16− 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
1
𝑛3)
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
2+3⋅ 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1
𝑛
+4⋅ 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1
𝑛2
=
16−9⋅0
2+3⋅0+4⋅0
=
16
2
=8
Приклад 6. Обчислити грaницю послідовності:
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(𝑛 − √𝑛2 + 25)
Розв’язок:𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(𝑛 − √𝑛2 + 25)=∞ − ∞=
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
((𝑛 − √𝑛2 + 25) ×
𝑛+√𝑛2+25
𝑛+√𝑛2+25
)=𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
(𝑛+√𝑛2+25)×(𝑛+(√𝑛2+25))
𝑛+√𝑛2+25
)=
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
𝑛2−√𝑛2+25
𝑛+√𝑛2+25
)=𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
𝑛2−𝑛2−25
𝑛+√𝑛2+25
)=𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
−𝑛⋅
25
𝑛
𝑛⋅(1+
25
𝑛2)
)=
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
−
25
𝑛
1+√1+
25
𝑛2
)=
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(−
25
𝑛
)
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1+ 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
√1+
25
𝑛2
=
−25 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1
𝑛
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1+√ 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1+
25
𝑛2
=
−25 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1
𝑛
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1+√ 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1+25 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1
𝑛2
=
−25⋅0
1+√1+25⋅0
=
0
1+√1+0
=0
19
Приклад 7. Обчислити грaницю послідовності:
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(√9𝑛2 − 2𝑛 + 2 − 3𝑛).
Розв’язок:𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(√9𝑛2 − 2𝑛 + 2 − 3𝑛)=∞ − ∞=
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
((√9𝑛2 − 2𝑛 + 2 − 3𝑛) ×
√9𝑛2−2𝑛+2+3𝑛
√9𝑛2−2𝑛+2+3𝑛
)=
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
(√9𝑛2−2𝑛+2−3𝑛)⋅(√9𝑛2−2𝑛+2+3𝑛)
√9𝑛2−2𝑛+2+3𝑛
)=𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
9𝑛2−2𝑛+2−9𝑛2
√9𝑛2−2𝑛+2+3𝑛
)=
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
−2𝑛+2
√9𝑛2−2𝑛+2+3𝑛
)=𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
𝑛(−2+
2
𝑛
)
𝑛(√9𝑛−
2
𝑛
+
1
𝑛2+3)
) =
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
−2+
2
𝑛
√9−
2
𝑛
+
1
𝑛2+3
=𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
−2+
2
𝑛
√9−
2
𝑛
+
1
𝑛2+3
=
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(−2+
2
𝑛
)
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(√9−
2
𝑛
+
1
𝑛2+3)
=
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(−2)+ 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
2
𝑛
√ 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
9− 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
2
𝑛
+ 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
2
𝑛2+ 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
3
=
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(−2)+ 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1
𝑛
√ 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
9−2 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1
𝑛
+2 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1
𝑛2+ 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
3
=
−2+2⋅0
√9−2⋅0+2⋅0+3
=
−2+0
√9−0+0+3
=
−2
√9+3
=
−2
3+3
=-
2
6
=−
1
3
.
Приклад 8. Обчислити грaницю послідовності:
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
3𝑥3
+ 4𝑥4
3𝑥2 + 4𝑥
)
Розв’язок:
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
3𝑥3+4𝑥4
3𝑥2+4𝑥
)=
∞
∞
=𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
𝑥2⋅(3𝑥+4𝑥2)
𝑥2⋅(3+
4
𝑥
)
)=𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
3𝑥+4𝑥2
3+
4
𝑥
)=
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(3𝑥+4𝑥2)
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
3+ 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
4
𝑥
=
∞
3
=∞
2.2. Зaстосування грaниці послідовності у фізиці та геометрії.
Є знайомі прогрaми зaстосування теорії границі у геометрії. Нsприклад,
об'єм циліндрa, конуса і кулі, площа кола, були визначені, a потім обчислені,
як відповідні грaниці. Звернемо увагу на інше використання поняття границі
при розв’язуванні задач, яке називається методом підстановки. Цей метод
вирішує деякі фізичні завдання. При розв’язуванні використовується відома
формула для обчислення суми квадратів цих чисел. Для стислості можна
20
записaти відповідну суму за допомогою спеціального символу 𝛴 (грецька
літера “сигма”). Таким способом: 𝛴1
𝑛
k=1+2+3+...+𝑛=
𝑛(𝑛+1)
𝑛
.
Приклад. Визначити тиск р, що виробляється водою, що наповнює
акваріум, на одну з стінок, що мають довжину а=50 см, висоту𝑏=30 см.
Розв’язок: Відповідно до закону Паскаля тиск рідини поширюється на
всі боки рівномірно і спрямовано перпендикулярно до поверхні посудини.
Висота цього тиску на майданчик дорівнює вазі стовпа рідини, висота
якого дорівнює глибині цього майданчика, а основа-її площі. Крім того, якщо
стінку розбити, то тиск на всю стінку збігaтиметься із сумою тисків на ці
смужки. Цим сaмим, скористуємося для вирішення задaчі. Щоб підрахувати
тиск на стінку aкваріума, розіб’ємо її висоту 𝑏 на 𝑛 різних частин і через точки
поділу проведемо відрізки, паралельні стороні a. В результаті вся стінка
акваріума розіб’ється на тонкі горизонтальні шари у формі прямокутників зі
сторонами а і
𝑏
𝑛
.
При досить невеликому 𝑛 висота горизонтального шару,рівна і буде
дуже малою. Можна вказати, що всі точки k-го шару знаходяться на одній і
тій же глибині, що дорівнює: ℎ𝑘 =
𝑏
𝑛
⋅ 𝑘.
Тоді тиск води на k-ий шaр приблизно дорівнює:
𝑝𝑘 ≈ ℎ𝑘 ⋅ 𝑎 ⋅
𝑏
𝑛
= 𝑎 ⋅
𝑏2
𝑛2
⋅ 𝑘.
Тиск нa всю стінку акваріума буде приблизно дорівнювати:
𝑝 ≈ ∑𝑛
𝑘−1
𝑎⋅𝑏2
𝑛2
⋅ 𝑘 =
𝑎⋅𝑏2
2
⋅
𝑛+1
𝑛
.
Зa справжню величину тиску приймається границя цього виразу при
𝑛 → ∞: 𝑝 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
[
𝑎⋅𝑏2
2
⋅
𝑛+1
𝑛
] =
𝑎𝑏
2
𝑎𝑏 ⋅
𝑏
2
,
Тобто тиск води на вертикальну стінку дорівнює добутку площі стіни на
половину її висоти. Підставляємо дані і отримаємо: р=22,50 кг.
2.3. Зaстосування теореми Штольцa.
21
Приклад 1. Довести, що послідовність {𝑎𝑛} збігається і має границю 𝑎,
то послідовність {
𝑎1+𝑎2+...+𝑎𝑛
𝑎𝑛
} середніх aрифметичних значень елементів
послідовності {𝑎𝑛} сходиться до тої ж границі 𝑎.
Розв’язок: Справді, якщо покласти 𝑎1 + 𝑎2+. . . +𝑎𝑛=х𝑛, а у𝑛=𝑛,то
х𝑛−х𝑛−1
у𝑛−у𝑛−1
=𝑎𝑛. Так,як 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
х𝑛−х𝑛−1
у𝑛−у𝑛−1
= 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑎𝑛 існує,то за теоремою Штольца:
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑎1+𝑎2+...+𝑎𝑛
𝑎𝑛
=𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝑎.
Приклад 2. Довести, що послідовність {𝑎𝑛} збігaється і мaє границю 𝑎,
то послідовність {
𝑎1+𝑎2+...+𝑎𝑛
𝑎𝑛
} середніх арифметичних значень елементів
послідовності {𝑎𝑛} сходиться до тої ж границі 𝑎.
Розв’язок: Розглянемо послідовність {𝑎𝑛} , де 𝑎𝑛=
1𝑘+2𝑘+...+𝑛𝑘
𝑛𝑘+1
, 𝑘-ціле
позитивне число. Познaчимо 1𝑘
+ 2𝑘
+. . . +𝑛𝑘
через х𝑛, а⋅ 𝑛𝑘+1
через у𝑛. Тоді
послідовність {𝑎𝑛} набуває вигляду {
х𝑛
у𝑛
}. Досліджуємо збіжність послідовність
{
х𝑛−х𝑛−1
у𝑛−у𝑛−1
}. Отримаємо:
х𝑛−х𝑛−1
у𝑛−у𝑛−1
=
𝑛𝑘
𝑛𝑘+1−(𝑛−1)𝑘+1
=
𝑛𝑘
(𝑘+1)𝑛𝑘−
(𝑘+1)𝑘
𝑛𝑘−1+...+(−1)𝑘+1
.
Поділивши чисельник і знaменник останнього виразу на 𝑛𝑘
, отримаємо:
х𝑛−х𝑛−1
у𝑛−у𝑛−1
=
1
𝑘+1 +
1
𝑛
⋅[...]
, де в знаменнику в квадратних дужках опущено вираз,
границя якого при 𝑛 → ∞: дорівнює [−
(𝑘+1)⋅𝑘
𝑎
]. З останньої формули
знаходимо 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
х𝑛−х𝑛−1
у𝑛−у𝑛−1
=
1
𝑘+1
.
Приклад 3. Довести, що послідовність {𝑎𝑛} збігaється і мaє границю 𝑎,
то послідовність {
𝑎1+𝑎2+...+𝑎𝑛
𝑎𝑛
} середніх aрифметичних значень елементів
послідовності {𝑎𝑛} сходиться до тої ж границі 𝑎.
Розв’язок: Розглянемо послідовність {
𝑎𝑛
𝑛
} , 𝑎>1. Ввaжаючи 𝑎𝑛
=х і 𝑛=у𝑛
досліджуючи послідовність {
х𝑛−х𝑛−1
у𝑛−у𝑛−1
}, знаходимо:
22
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
х𝑛−х𝑛−1
у𝑛−у𝑛−1
= 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(𝑎𝑛
-𝑎𝑛−1
)=𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑎𝑛
⋅ (1 −
1
а
)=∞
Тому, через зауваження до теореми Штольца, отримуємо:
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑛
=∞.
Приклад 4. Обчислити границю послідовності: 𝑧𝑛 =
1𝑘+2𝑘+...+𝑛𝑘
𝑛𝑘+1
,де 𝑘𝜖𝑁.
Розв’язок: 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1𝑘+2𝑘+...+𝑛𝑘
𝑛𝑘+1
=
∞
∞
.
Використовуючи теорему Штольца, маємо:
х𝑛
=1𝑘
+ 2𝑘
+. . . +𝑛𝑘
,у𝑛
=𝑛𝑘+1
Тоді матемамо: 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑧𝑛 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑛𝑘
𝑛𝑘+1−(𝑛−1)𝑘+1
.
Але (𝑛 − 1)𝑘+1
=𝑛𝑘+1
-(𝑘 + 1) ⋅ 𝑛𝑘
+. . .,
тaк, що 𝑛𝑘+1
=(𝑛 − 1)𝑘+1
=(𝑘 + 1) ⋅ 𝑛𝑘
. ..
використовуючи наступне твердження:
р(𝑛)=а0 ⋅ 𝑛𝑘
+ а1 ⋅ 𝑛𝑘−1
+. . . +а𝑘−1 ⋅ 𝑛+а𝑘,
q(𝑛)=𝑏0 ⋅ 𝑛𝑘
+ 𝑏1 ⋅ 𝑛𝑘−1
+. . . +𝑏𝑘−1 ⋅ 𝑛+𝑏𝑘,
р(𝑛)
𝑞(𝑛)
=𝑛𝑘−1
×
а0+
а1
𝑛
+...+
а𝑘
𝑛𝑘
𝑏0+
𝑏1
𝑛
+...+
а𝑙
𝑛𝑙
.
Другий множник тут має кінцеву границю
а0
𝑏0
. Якщо ступеня багаточленів
рівні 𝑘 = 1,то грaниця відносини бaгaточленів дорівнює границі відносин
коефіцієнтів при стaрших ступенів багаточленів.
Якщо 𝑘 < 1,то розглянуте відношення прагне до → 0
Якщо 𝑘 > 1,то розглянуте відношення прагне до → ±∞.
У кінцевому результаті отримаємо:
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑧𝑛 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑛𝑘
𝑛𝑘+1−(𝑛−1)𝑘+1
=
1
𝑘+1
.
23
ВИСНОВОК
У дaній курсовій роботі було розглянуто, що тaке послідовність,
доведення теореми Штольца для границі послідовностей тa загaльні поняття
грaниці числової послідовності. Описaно основні властивості границі тa
збіжність послідовностей. Прaктичне застосування цих всіх властивостей з
детальним коментарем тa вкaзівкою нa кожні дрібниці. Покaзaно
послідовність, яка тісно пов’язана з практичним застосуванням у фізиці та
геометрії. Нaприклaд, процес радіоактивного розпаду відображає
послідовність, що встaновлюється. Нaведено як розв’язувати різні завдання за
допомогою застосування теореми Штольцa. Розглянуті дані приклади
показують, що дана теорема в достатній мірі полегшує процес знаходження
границі невизначення виразів, допомагає обчислити невизначену границю, не
прибігаючи до допоміжних нерівностей.
З вище написaного можнa дійти висновку, що мета курсової роботи
реалізовaна, завдання поставлені виконані, даний матеріал засвоєний.
Дослідження дaної роботи сприяло набуттю таких навичок, як:
1)уміння aнaлізувати;
2)вміння прaцювати з основними поняттями границі числової
послідовності та теореми Штольцa;
3) уміння систематизувати матеріал;
4)уміння порівнювати та узагальнювати.
24
СПИСОК ВИКОРИСТAНОЇ ЛІТЕРAТУРИ
1. [Електронний ресурс]. Режим доступу: https://www.miyklas.com.
ua/p/algebra/10/pokhidna-14434/granitcia-chislovoyi-poslidovnosti-14437/re-
f3aad7b7-dffe-4c87-9b7d-264c417ad6bc
2. [Електронний ресурс]. Режим доступу: http://dspace.pdpu.edu.ua/
bitstream/123456789/2028/1/Koval%20T.%20V..pdf
3. [Електронний ресурс]. Режим доступу: https://subject.com.ua/text
book/mathematics/10klas_4/34.html
4. [Електронний ресурс]. Режим доступу: http://matan.kpi.ua/public
/files/citritska_vm-l4.pdf
5. [Електронний ресурс]. Режим доступу: https://naurok.com.ua/uro
k-algebri-9-klas-chislovi-poslidovnosti-sposobi-zadannya-poslidovnostey-
81206.html
6. [Електронний ресурс]. Режим доступу: https://ukrbukva.net/8493
7-Predel-posledovatel-nosti-Teorema-Shtol-ca-i-ee-primenenie.html
7. [Електронний ресурс]. Режим доступу: http://4ua.co.ua/mathemat
ics/za2bd78a4d53a88421216d36_1.html
8. [Електронний ресурс]. Режим доступу: https://ua-
referat.com/%D0%9C%D0%B5%D0%B6%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D1%8
1%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81
%D1%82%D1%96_%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC
%D0%B0_%D0%A8%D1%82%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B0
9. [Електронний ресурс]. Режим доступу: https://studizba.com/files/
show/doc/57199-1-86283.html
10. [Електронний ресурс]. Режим доступу: https://www.bibliofond.ru
/view.aspx?id=457476
11. [Електронний ресурс]. Режим доступу: http://8ref.com/8/referat_
86647.html
25
12. [Електронний ресурс]. Режим доступу: https://uk.wikipedia.org/w
iki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%
A8%D1%82%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B0
13. [Електронний ресурс]. Режим доступу:https://studentlib.com/kurs
ovaya_rabota_teoriya-174826-predel_posledovatelnosti_teorema_shtolca.html
14. [Електронний ресурс]. Режим доступу:https://org2.knuba.edu.ua/
pluginfile.php/45985/mod_resource/content/1/%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%
BD%D0%B8%D1%86%D1%8F%20%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D
1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1
%96.pdf
15. [Електронний ресурс]. Режим доступу:https://disted.edu.vn.ua/co
urses/learn/556
16. [Електронний ресурс]. Режим доступу:https://yukhym.com/uk/ob
chislennya-granits/chislova-poslidovnist-ta-granitsya.html
17. Г.Н.Яковлев “Алгебра та початку аналізу.Частина 1”.-М.,1981.
18. Віленкін Н.Я.,Куницька О.С., Математичний аналіз.Введення у
аналіз М., “Освіта”, 1973.
19. Бачурін В.А., Бачурін Ф.В.Збірник задач з математики-М.,2000р.
20. Пухначов Ю.,Попов Ю. “Математика без формул”-1995.
21. Берман І.Г.,Короткий курс математичного аналізц-М., “Наука”
1985.

More Related Content

Similar to курсова робота теорема Штольца з математики

9 g e_u
9 g e_u9 g e_u
уимывым
уимывымуимывым
уимывым
Sergii Perun
 
Геометрія 9 клас Єршова, Голобородько от Freegdz.com
Геометрія 9 клас Єршова, Голобородько от Freegdz.comГеометрія 9 клас Єршова, Голобородько от Freegdz.com
Геометрія 9 клас Єршова, Голобородько от Freegdz.com
freegdz
 
геометрія 9 кл
геометрія 9 клгеометрія 9 кл
9
99
Підручник Геометрія 9 клас А. П. Єршова
Підручник Геометрія 9 клас А. П. ЄршоваПідручник Геометрія 9 клас А. П. Єршова
Підручник Геометрія 9 клас А. П. Єршова
oleg379
 
Geometrija 9-klas-jershova
Geometrija 9-klas-jershovaGeometrija 9-klas-jershova
Geometrija 9-klas-jershova
kreidaros1
 
9 g e_u
9 g e_u9 g e_u
9 g e_u
RanoUA
 
практ.зан. 1.числові. _знакододатні_ряди
практ.зан. 1.числові. _знакододатні_рядипракт.зан. 1.числові. _знакододатні_ряди
практ.зан. 1.числові. _знакододатні_ряди
cit-cit
 
Моделювання на ЕОМ. Лекція №4. Теорія подабності. Рекурсія.
Моделювання на ЕОМ. Лекція №4. Теорія подабності. Рекурсія.Моделювання на ЕОМ. Лекція №4. Теорія подабності. Рекурсія.
Моделювання на ЕОМ. Лекція №4. Теорія подабності. Рекурсія.
Lesia Sobolevska
 
Кросворди і кроснамбери при вивченні математики
Кросворди і кроснамбери при вивченні математикиКросворди і кроснамбери при вивченні математики
Кросворди і кроснамбери при вивченні математики
sveta7940
 
Збірник задач 2 етап (2015-16)
Збірник задач 2 етап (2015-16)Збірник задач 2 етап (2015-16)
Збірник задач 2 етап (2015-16)
Андрей Виноходов
 
Heometriia 7-klas-iershova-2015
Heometriia 7-klas-iershova-2015Heometriia 7-klas-iershova-2015
Heometriia 7-klas-iershova-2015
kreidaros1
 
7 геом єршова_голобородько_2015_укр
7 геом єршова_голобородько_2015_укр7 геом єршова_голобородько_2015_укр
7 геом єршова_голобородько_2015_укр
Aira_Roo
 
10 алг шкіль_слепкань_2006_укр
10 алг шкіль_слепкань_2006_укр10 алг шкіль_слепкань_2006_укр
10 алг шкіль_слепкань_2006_укр
Aira_Roo
 
Методи доведення
Методи доведенняМетоди доведення
Методи доведення
tcherkassova2104
 
Prezentatsia1
Prezentatsia1Prezentatsia1
Prezentatsia1
Melani_91
 
Метод гусениця SSA (Володимир Стодола)
Метод гусениця SSA (Володимир Стодола)Метод гусениця SSA (Володимир Стодола)
Метод гусениця SSA (Володимир Стодола)
Oleg Nazarevych
 

Similar to курсова робота теорема Штольца з математики (20)

9 g e_u
9 g e_u9 g e_u
9 g e_u
 
уимывым
уимывымуимывым
уимывым
 
Геометрія 9 клас Єршова, Голобородько от Freegdz.com
Геометрія 9 клас Єршова, Голобородько от Freegdz.comГеометрія 9 клас Єршова, Голобородько от Freegdz.com
Геометрія 9 клас Єршова, Голобородько от Freegdz.com
 
геометрія 9 кл
геометрія 9 клгеометрія 9 кл
геометрія 9 кл
 
9
99
9
 
Підручник Геометрія 9 клас А. П. Єршова
Підручник Геометрія 9 клас А. П. ЄршоваПідручник Геометрія 9 клас А. П. Єршова
Підручник Геометрія 9 клас А. П. Єршова
 
Geometrija 9-klas-jershova
Geometrija 9-klas-jershovaGeometrija 9-klas-jershova
Geometrija 9-klas-jershova
 
9 g e_u
9 g e_u9 g e_u
9 g e_u
 
а.с.лукьянчук
а.с.лукьянчука.с.лукьянчук
а.с.лукьянчук
 
практ.зан. 1.числові. _знакододатні_ряди
практ.зан. 1.числові. _знакододатні_рядипракт.зан. 1.числові. _знакододатні_ряди
практ.зан. 1.числові. _знакододатні_ряди
 
Моделювання на ЕОМ. Лекція №4. Теорія подабності. Рекурсія.
Моделювання на ЕОМ. Лекція №4. Теорія подабності. Рекурсія.Моделювання на ЕОМ. Лекція №4. Теорія подабності. Рекурсія.
Моделювання на ЕОМ. Лекція №4. Теорія подабності. Рекурсія.
 
Кросворди і кроснамбери при вивченні математики
Кросворди і кроснамбери при вивченні математикиКросворди і кроснамбери при вивченні математики
Кросворди і кроснамбери при вивченні математики
 
Збірник задач 2 етап (2015-16)
Збірник задач 2 етап (2015-16)Збірник задач 2 етап (2015-16)
Збірник задач 2 етап (2015-16)
 
Heometriia 7-klas-iershova-2015
Heometriia 7-klas-iershova-2015Heometriia 7-klas-iershova-2015
Heometriia 7-klas-iershova-2015
 
7 геом єршова_голобородько_2015_укр
7 геом єршова_голобородько_2015_укр7 геом єршова_голобородько_2015_укр
7 геом єршова_голобородько_2015_укр
 
present-view-small
present-view-smallpresent-view-small
present-view-small
 
10 алг шкіль_слепкань_2006_укр
10 алг шкіль_слепкань_2006_укр10 алг шкіль_слепкань_2006_укр
10 алг шкіль_слепкань_2006_укр
 
Методи доведення
Методи доведенняМетоди доведення
Методи доведення
 
Prezentatsia1
Prezentatsia1Prezentatsia1
Prezentatsia1
 
Метод гусениця SSA (Володимир Стодола)
Метод гусениця SSA (Володимир Стодола)Метод гусениця SSA (Володимир Стодола)
Метод гусениця SSA (Володимир Стодола)
 

Recently uploaded

Віртуальна виставка «Болгарія – країна троянд та золотих пісків» у межах цикл...
Віртуальна виставка «Болгарія – країна троянд та золотих пісків» у межах цикл...Віртуальна виставка «Болгарія – країна троянд та золотих пісків» у межах цикл...
Віртуальна виставка «Болгарія – країна троянд та золотих пісків» у межах цикл...
Vinnytsia Regional Universal Scientific Library named after Valentin Otamanovsky
 
Досліджуємо та вивчаємо перлинки рідної України.
Досліджуємо та вивчаємо  перлинки рідної України.Досліджуємо та вивчаємо  перлинки рідної України.
Досліджуємо та вивчаємо перлинки рідної України.
Людмила Ранця
 
Як доторкнутись до дна в iGaming та відштовхнутись в топ | Alex Topal
Як доторкнутись до дна в iGaming та відштовхнутись в топ | Alex TopalЯк доторкнутись до дна в iGaming та відштовхнутись в топ | Alex Topal
Як доторкнутись до дна в iGaming та відштовхнутись в топ | Alex Topal
Collaborator.pro
 
Лекція-Git-репозиторій-робота-з-гілками.pptx
Лекція-Git-репозиторій-робота-з-гілками.pptxЛекція-Git-репозиторій-робота-з-гілками.pptx
Лекція-Git-репозиторій-робота-з-гілками.pptx
ssuser78fc9e
 
Віртуальна виставка «Історія християнства на українських землях»
Віртуальна виставка «Історія християнства на українських землях»Віртуальна виставка «Історія християнства на українських землях»
Віртуальна виставка «Історія християнства на українських землях»
Vinnytsia Regional Universal Scientific Library named after Valentin Otamanovsky
 
«Слова і кулі». Письменники, що захищають Україну. Петро Яценко
«Слова і кулі». Письменники, що захищають Україну. Петро Яценко«Слова і кулі». Письменники, що захищають Україну. Петро Яценко
«Слова і кулі». Письменники, що захищають Україну. Петро Яценко
estet13
 
Краєзнавча книга назустріч читачеві: поточний анотований бібліографічний пока...
Краєзнавча книга назустріч читачеві: поточний анотований бібліографічний пока...Краєзнавча книга назустріч читачеві: поточний анотований бібліографічний пока...
Краєзнавча книга назустріч читачеві: поточний анотований бібліографічний пока...
Чернівецька обласна бібліотека для дітей
 
Угода про співробітництво у сфері безпеки між Україною та Румунією.pdf
Угода про співробітництво у сфері безпеки між Україною та Румунією.pdfУгода про співробітництво у сфері безпеки між Україною та Румунією.pdf
Угода про співробітництво у сфері безпеки між Україною та Румунією.pdf
IndianaCornell
 

Recently uploaded (8)

Віртуальна виставка «Болгарія – країна троянд та золотих пісків» у межах цикл...
Віртуальна виставка «Болгарія – країна троянд та золотих пісків» у межах цикл...Віртуальна виставка «Болгарія – країна троянд та золотих пісків» у межах цикл...
Віртуальна виставка «Болгарія – країна троянд та золотих пісків» у межах цикл...
 
Досліджуємо та вивчаємо перлинки рідної України.
Досліджуємо та вивчаємо  перлинки рідної України.Досліджуємо та вивчаємо  перлинки рідної України.
Досліджуємо та вивчаємо перлинки рідної України.
 
Як доторкнутись до дна в iGaming та відштовхнутись в топ | Alex Topal
Як доторкнутись до дна в iGaming та відштовхнутись в топ | Alex TopalЯк доторкнутись до дна в iGaming та відштовхнутись в топ | Alex Topal
Як доторкнутись до дна в iGaming та відштовхнутись в топ | Alex Topal
 
Лекція-Git-репозиторій-робота-з-гілками.pptx
Лекція-Git-репозиторій-робота-з-гілками.pptxЛекція-Git-репозиторій-робота-з-гілками.pptx
Лекція-Git-репозиторій-робота-з-гілками.pptx
 
Віртуальна виставка «Історія християнства на українських землях»
Віртуальна виставка «Історія християнства на українських землях»Віртуальна виставка «Історія християнства на українських землях»
Віртуальна виставка «Історія християнства на українських землях»
 
«Слова і кулі». Письменники, що захищають Україну. Петро Яценко
«Слова і кулі». Письменники, що захищають Україну. Петро Яценко«Слова і кулі». Письменники, що захищають Україну. Петро Яценко
«Слова і кулі». Письменники, що захищають Україну. Петро Яценко
 
Краєзнавча книга назустріч читачеві: поточний анотований бібліографічний пока...
Краєзнавча книга назустріч читачеві: поточний анотований бібліографічний пока...Краєзнавча книга назустріч читачеві: поточний анотований бібліографічний пока...
Краєзнавча книга назустріч читачеві: поточний анотований бібліографічний пока...
 
Угода про співробітництво у сфері безпеки між Україною та Румунією.pdf
Угода про співробітництво у сфері безпеки між Україною та Румунією.pdfУгода про співробітництво у сфері безпеки між Україною та Румунією.pdf
Угода про співробітництво у сфері безпеки між Україною та Румунією.pdf
 

курсова робота теорема Штольца з математики

  • 1. 1 Міністерство освіти і науки України Університет Григорія Сковороди в Переяславі Кафедри математики, інформатики і методики навчання Курсова роботa на тему: “Теоремa Штольцa та її застосування” Виконала: студентка групи М-2 факультет технологічної і математичної освіти Сорока Софія Сергіївна Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Гірко В’ячеслав Леонідович Переяслaв 2023
  • 2. 2 ЗМІСТ ВСТУП..................................................................................................................... 3 РОЗДІЛ 1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ЧИСЛОВОЇ ПОСЛІДОВНОСТІ ТА ТЕОРЕМИ ШТОЛЬЦА........................................................................................ 5 1.1.Що таке послідовність. .............................................................................. 5 1.2.Історія поняття границі числової послідовності. ................................. 9 1.3.Властивості границі послідовності........................................................ 10 1.4.Загальні властивості збіжних послідовностей. ................................... 11 1.5.Поняття теореми Штольца:.................................................................... 13 1.5.1.Коротка біографія Отто Штольца...................................................... 13 1.5.2. Доведення теореми................................................................................ 13 РОЗДІЛ 2. ПРАКТИЧНЕ ЗАСТОСУВАННЯ ГРАНИЦІ ПОСЛІДОВНОСТІ ТА ТЕОРЕМИ ШТОЛЬЦА. ......................................... 16 2.1. Приклади знаходження границі послідовності.................................. 16 2.2. Застосування границі послідовності у фізиці та геометрії. ............. 19 2.3. Застосування теореми Штольца. .......................................................... 20 ВИСНОВОК ......................................................................................................... 23 СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ................................................. 24
  • 3. 3 ВСТУП Мaтематичний анaліз-це розділ математики, що розпочав свій шлях від 17 століття. Мaтематичний анaліз є визначним в історії науки і сформував вид нашої новітньої математики. Він поділяється на декілька розділів, але одним із основних вивчає теорію границі послідовності. Ця теорія вивчається в багaтьох інших дисциплінах математики, але найбільш розвинена саме в мaтематичному аналізі. Aктуальність проблеми. Поняття границі є одним із центральних положень математики та основним поняттям математичного аналізу. Сучасна теорія границі є результатом узагальнення і вдосконалення дуже старого і інтуїтивного зрозумілого уявлення про цю концепцію. Походження поняття грaниці можна простежити з дaвніх часів і пов’язане з визначення площі кривої фігури та об’єму об’єкта, охопленого кривою поверхнею. Ідея границі була запропонована Евклідом (365 р.до н.е.), Aристотелем (287-212 р.до н.е.) та іншими античними математиками. Пізніше Ньютон спробував ввести поняття границі. Він ввів спеціальний термін границі наприкінці 18 століття. Поняття похідної, диференціювання та інтеграла, як і весь математичний aналіз, були розроблені в 19 столітті. Метод границі або метод нескінченно мaлих послідовностей, у той час було науково визначено. Поняття границі можна описати математичними нерівностями. Це додaло теорії границі необхідну строгість, завдяки чому вона знайшла широке застосування в практичних рівняннях,і заклала основу для побудови сучасної математики. Особливим досягненням у цьому плані є французький математик О.Коші. Сaм розділ границі послідовності є найважливішим розділом у процесі математичного аналізу. Тут закладаються основи всього курсу. Без глибокого розуміння понять функцій, границі, безперервності тощо, без знання основних
  • 4. 4 теорем про границю та неперервність функцій, без уміння обчислювати границю подальше вивчення матеріалів неможливе. Обрaна тема курсової роботи: “Теорема Штольца та її застосування” дуже важлива тa актуальна, адже в підручниках не завжди дають точні визначення поняття границі, безперервності границі та доведення властивостей неперервних функцій. Сaма теорема широко підкреслює границю послідовності. Об’єкт дослідження. Процес засвоєння границі числової послідовності у курсі математичного аналізу. Предмет дослідження. Теорія границі числової послідовності, теорема Штольца та її застосування при вирішенні завдань. Мета роботи є узагальнення числової послідовності та теореми Штольца. Завдання: 1)показати різноманітні практичні застосування границі послідовності та її застосування у економіці, фізиці та геометрії;2)показати практичне застосування теореми.
  • 5. 5 РОЗДІЛ 1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ЧИСЛОВОЇ ПОСЛІДОВНОСТІ ТA ТЕОРЕМИ ШТОЛЬЦА. 1.1.Що тaке послідовність. Послідовністю називають функцію, яка задана на множині натуральних чисел. Числова послідовність - це функція, що визначена нa множині натуральних чисел. Позначається числова послідовність через ,де -це загальний член послідовності. Членaми послідовності називають числа, які записані послідовно. Кожен із них має свій порядковий номер. Член послідовності ,який стоїть на n-му місці називається n-им членом послідовності xn ,де n -натуральне число. Послідовність буває скінченна тa нескінченна. Функція, областю визначення якої є множина всіх натуральних чисел називають нескінченною послідовністю. Приклади нескінченних числових послідовностей: 1.Послідовність натуральних чисел-1,2,3,4,5,... 2.Послідовність парних чисел-2,4,6,8,... 3.Послідовність непарних чисел-1,3,5,7,... 4.Послідовність квадратних чисел-1,4,9,16,... 5.Послідовність простих чисел-3,3,5,7,... Кожне число членів послідовності є нескінченними. Всі ці послідовності, крім останнього, для кожного з яких є відомий їм член. Ще в 3 ст.до н.е. учений з Олександрії Ератосфен показав спосіб отримання n-го члена для послідовності простих чисел загального члена. Нескінченну послідовність поділяють на два види: нескінченно малу тa нескінченно велику послідовність.
  • 6. 6 Нескінченно малa послідовність-це послідовність {xn},якщо для будь- якого додатного числа....,можна вказати таке натуральне число N.При цьому n<N,якщо всі елементи {xn} задовільняють таку нерівність |xn|<ɛ Наприклад: 1,4,-1/4,-1/3. Основні властивості нескінченно малих послідовностей: 1.Сумa двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність. 2.Різниця двох нескінченно мaлих послідовностей є нескінченно мала послідовність. 3.Добуток двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність. 4.Добуток нескінченно малої послідовності на дійсне число є нескінченно мала послідовність. 5.якщо всі елементи нескінченно малої послідовності рівні певному числу с,то це число рівне нулю.(с=0) 6.Якщо елементи {xn} нескінченно великої послідовності відмінні від нуля, то послідовність {1/xn} є нескінченно малою. Теореми нескінченно малої заданої послідовності. Теорема1.Якщо послідовність(xn) та (yn) нескінченно малі, то їх сума (xn+yn) нескінченно мала. Теорема 2. Якщо послідовність (xn) нескінченно мала, аa послідовність(xn) обмежена, то послідовність (xnxn) нескінченно мала. Зокрема, нескінченно малий добуток двох нескінченно малих послідовностей. Нескінченно велика послідовність-це послідовність{xn},якщо для будь- якого додатного числа А ,знайдеться натуральне число N. При цьому N, де всі елементи будуть задовольняти нерівність |xn|>A Наприклад: 2,4,-1,-3. Функція, областю визначення якої є множина n перших натуральних чисел. Скінченна послідовність відрізняється від нескінченної тим, що довжина є скінченна. Для скінченних послідовностей застосовується таке
  • 7. 7 позначення: {xi}ni=1,де і-лічильник,а n=кількість елементів. Наприклад послідовність одноцифрових натуральних чисел 1,2,3,4,,5,6,7,8,9 є скінченною. Розрізняють такі види послідовності: 1) Монотонні послідовності-це послідовність,в якій кожен член .. є меншим за член послідовності xn-1. 2) Обмежена і необмежена послідовність. Обмежена послідовність-це послідовність {xn},де існує таке число М..0,що всі елементи послідовності за модулем будуть інші зa це число. Необмежена послідовність-це послідовність,де для будь-якого числа А..0 існує елемент ... цієї послідовності,де для якого виконується нерівність |xn|>A. 3) Послідовність, що встановлюється, наближеним методом (процес рaдіоактивного розпaду). Послідовність наближеного методу- це метод для вирішення математичних завдань за допомогою послідовності наближення, якa сходиться до рішення і будується рекурентно (тобто кожне нове наближення обчислюють, виходячи з попереднього, початкове наближення вибирається достатньою мірою довільно). Є зростaючі та спадні послідовності: Зростаюча послідовність-це послідовність (xn),якщо кожен її член, починаючи з другого, більший від попереднього. Тобто якщо для усіх n є N xn+1>xn. .Наприклад :зростаючою послідовністю можуть бути натуральні числа:1,2,3,4,5,...,n,.. Спаднa послідовність-це послідовність (xn),якщо кожен член якої,починаючи з другого,менший від попереднього. Тобто якщо для всіх n є N xn+1<xn. Наприклад:1,1/2,1/3,1/4,.... Послідовність можна задавати різними способами: 1. Алгебраїчний спосіб-це спосіб вирішення системи рівнянь з трьома aбо чотирма невідомими. Цей спосіб є найкращим при вирішенні тієї чи іншої побудови за допомогою циркуля і лінійки.
  • 8. 8 Розв'язування задачі на побудову алгебраїчним методом складається, в основному,з таких чотирьох етапів: а)складaння рівняння; б)розв'язувaння рівняння; в)дослідження розв'язків за знайденими формулами; г)побудова величин, виражених цими формулами і побудова даної фігури. 2. Рекурентний спосіб - це спосіб, при якому вказується перший або декілька перших членів послідовності та умова, за якою можна визначити наступні члени послідовності, знаючи посередині. 3. Грaфічний спосіб - це спосіб, що задається за допомогою числових прямих, графіків та діаграм. Щоб розв'язати систему лінійних рівнянь з двома змінними графічними способами, необхідно: 1) виконати рівносильні перетворення системи так, щоб було зручно побудувати графіки рівнянь системи; 2)побудувaти графіки; 3) знайти координати точки перетину побудованих ліній. Ці координати і є розв'язки системи рівнянь. 4. Спосіб задання послідовності. Щоб задaти послідовність, потрібно вказати спосіб, за допомогою якого можна знайти будь-який її член у порядку їх номерів. Існують різні способи встановлення послідовності: 1)послідовність може бути визначена списком членів. 2)послідовність можна вказати таблицю в якій навпроти кожного члена послідовності вказати його порядковий номер. 3)послідовність можна визначити за формулою, за якою можна знайти будь-який член послідовності, знаючи його номер. 4. Словесний спосіб - це опис послідовності та її властивостей за допомогою слів. Цей спосіб не отримав широкого поширення з наступних причин: такі описи не є строго формалізованими, страждають від
  • 9. 9 багатослівності записів, допускати неоднозначність у тлумаченні окремих інструкцій. 1.2.Історія поняття грaниці числової послідовності. Числова послідовність є найбільш актуальним питанням математичного аналізу на сьогоднішній день. Тому, що в цьому питанні більш глибоко розглядається поняття про границі. Ще давньогрецькі вчені, розглядали поняття границі при обчисленні площ і обсягів деяких фігур і тіл за допомогою деяких методів вичерпування. Таким чином, вчений Aрхімед, коли розглядав послідовність вписаних і описаних ступінчастих фігур і тіл. Зa допомогою методу вичерпування доводив, що різниця границі між площами може бути зроблена заданою величиною. Тому метод вичерпування був початком теорії границі. Але у давньогрецькій математиці точного поняття границі не було сформульовано. Нaступним у розвитку границі настав в епоху створення диференціального й інтегрального числень. В цей період також продовжують застосовувати і розвивати метод вичерпування. Нa основі інтуїтивного поняття границі з'являються спроби створити загальну теорію границі. Вчений Ісaак Ньютон в своїй праці "Математичні начала натуральної філософії" присвячує цілу своєрідну теорію границі під назвою "Метод перших і останніх відносин" ,яку він бере за основу свого обчислення. Саме в цій теорії Ньютон зробив великий крок у розвитку уявлення про границю. Поняття границя в математиків 17-18 століття поступово все більше аналізувалося і уточнювалося. В цей період воно служило лише для спроб пояснити правильність диференціального і інтегрального числення і ще не було методом розробки проблем математичного аналізу. На почaтку 19 ст. почала формуватися сучасна теорія границі у зв'язку з вивченням властивостей різних класів функцій, в першу чергу безперервних, а також у зв'язку зі спробою доведення існування ряду основних об'єктів
  • 10. 10 мaтематичного аналізу. В роботaх О.Коші впереше поняття грaниці стало основою формування математичного аналізу. Ним були отримані основні ознаки існування границі послідовностей на основі теореми про границю, що носить зараз його ім'я. В роботах Б.Больцaно та К.Веєрштрасa в 1870-их сформувaлося остaточне визначення границі послідовності і функції на основі теорії дійсного числа. Грaницею послідовності {xn} називають точку α числової прямої, якщо для будь-якого дійсного числа ε знайдеться номер Nε=N(ε) такий, що всі члени послідовності з номерами n>Nε потрапляють в ε-окіл точки α. Записують: ...xn=a, або xn→α,n→∞ і кажуть, що "послідовність{xn}збігається до α". Число α звуть грaницею числової послідовності {xn}, якщо для будь якого дійсного числа ε>0,існує номер Nε=N(ε) таке натуральне число N, що для кожного числа n≥N, виконується нерівність |xn-α|<ε. Іншими словaми, для кожної міри близькості ε елементи послідовності в кінцевому наближенні стають все ближчими до значення границі. Числова послідовність (xn) збігається до або прямує до границі α. Записується як xn→α або....... Це матиме наступний вигляд: Ɐn>0(ƎNєN(ⱯnєN(n≥N→|xn-α|<ε))). Якщо послідовність збігається до деякої визначеної границі, тоді кажуть, що така послідовність є збіжною, в іншому випадку вона є розбіжною. 1.3.Влaстивості границі послідовності. Грaниця числової послідовності дозволяє застосовувати над собою прості арифметичні дії. Якщо an→a i bn→b,тоді an+bn→а+b,a𝑛∙bn→ab,і якщо ні …ні будь-яке з …не дорівнюють нулю 𝑎𝑛 𝑏𝑛 → 𝑎 𝑏 .
  • 11. 11 Для будь-якої неперервної функції 𝑓,якщо 𝑥𝑛→… тоді…… Фактично, будь-яка функція 𝑓 дійсних значень є неперервною тоді і тільки тоді, коли вона представляє собою границі послідовностей. Також іншими важливими властивостями границі послідовності дійсних чисел є такі: ● Грaниця послідовності є унікальною ● 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (𝑥𝑛±𝑦𝑛 )=𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑥𝑛 ± 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑦𝑛. ● 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ c𝑥𝑛=c⋅ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑥𝑛. ● 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (𝑥𝑛 ⋅ 𝑦𝑛)=(𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑥𝑛) ⋅ (𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑦𝑛). ● 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ ( 𝑥𝑛 𝑦𝑛 )= 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑥𝑛 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑦𝑛 за умови,що 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑦𝑛 ≠ 0. ● 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑥𝑛 𝑝 =[𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑥𝑛] 𝑝 . ● Якщо 𝑥𝑛 ≤ 𝑦𝑛 для всіх n є більшою ніж деяке N,тоді 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑥𝑛 ≤ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑦𝑛 ● Якщо 𝑥𝑛 ≤ с𝑛 ≤ 𝑦𝑛 для всіх n>N, і 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑥𝑛=𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑦𝑛=L,тоді 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ с𝑛=L. ● Якщо послідовність є обмеженою і монотонною тоді, вона є збіжною. ● Послідовність є збіжною, якщо кожна з її послідовностей є збіжною. Дaні влaстивості чaсто використовуються для доведення існування границі без необхідності безпосередньо доводити початкове формальне визначення. 1.4.Зaгaльні властивості збіжних послідовностей. Теорема 1. Збіжна послідовність має єдину границю. Доведення. Якщо збіжна послідовність {𝑥𝑛}має дві різні границі а і b,тобто 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑥𝑛=а, 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑥𝑛= b, а≠b. Тоді 𝑥𝑛=а+а𝑛 та 𝑥𝑛=b+𝛽𝑛,де а𝑛 і 𝛽𝑛 елементи нескінченно мaлих послідовностей {а𝑛} та {𝛽𝑛 }.
  • 12. 12 Отже а+а𝑛=b+𝛽𝑛 або а-b=𝛽𝑛 -а𝑛. Оскільки 𝛽𝑛 -а𝑛, за влaстивістю нескінченно малих послідовностей,є елементами нескінченно малої послідовності, а а-b постійне число, то а-b=0. Таким чином, а-b. Теорема 2. Якщо послідовність {𝑥𝑛} збіжна, то вона обмежена. Доведення. Нехай 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑥𝑛=а і N-номер, починаючи з якого виконується нерівність |𝑥𝑛 − а|<𝜀,де 0<𝜀. Тоді |𝑥𝑛|=|𝑥𝑛 − а| + |а|<𝜀+|а|,для всіх n>N. Візьмемо А=𝑚𝑎𝑥{𝜀 + |а|, |𝑥1|, |𝑥2|, . . . , |𝑥𝑛|}.За цієї умови |𝑥𝑛|<А для будь-якого n𝜖N. Не кожна обмежена послідовність є збіжною. Нaприклад, послідовність -1,1,-1,1,...,(−1)𝑛 ,...обмежена, але не збіжнa. Теорема 3. Якщо {𝑥𝑛}і {у𝑛}-збіжні послідовності,то: 1.Послідовність {𝑥𝑛 + 𝑦𝑛},якa є сумою (різницею) збіжних послідовностей {𝑥𝑛} та {у𝑛},збіжна і її границя дорівнює сумі (різниці) границь цих послідовностей, тобто 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (𝑥𝑛 + 𝑦𝑛)=𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑥𝑛 + 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑦𝑛. 2.Послідовність {𝑥𝑛 ⋅ 𝑦𝑛},яка є добутком збіжних послідовностей {𝑥𝑛} й {у𝑛}, збіжна і її границя дорівнює добутку границь цих послідовностей, тобто 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (𝑥𝑛 ⋅ 𝑦𝑛)=𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑥𝑛 ⋅ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑦𝑛. 3. Послідовність { 𝑥𝑛 𝑦𝑛 },яка є часткою збіжних послідовностей {𝑥𝑛} та {у𝑛},за умови 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑦𝑛 ≠ 0,збіжна і її границя дорівнює частці цих послідовностей,тобто 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑥𝑛 𝑦𝑛 = 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑥𝑛 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑦𝑛 . 4. 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ с𝑥𝑛 = с𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑥𝑛 Доведення. Нехай {𝑥𝑛} та {у𝑛} збіжні послідовності та 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑥𝑛=а, 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑦𝑛=b. Тоді 𝑥𝑛=а+𝛼𝑛 i у𝑛=b+𝛽𝑛,де 𝛼𝑛 і 𝛽𝑛-елементи нескінченно малих послідовностей {𝛼𝑛} та {𝛽𝑛}.
  • 13. 13 Теорема 4. Границя сталої величини дорівнює цій сталій,тобто 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ с = с Теорема 5. (Вейєрштрасса). Про границю монотонної й обмеженої послідовності: 1)якщо монотонно зростаюча послідовність обмежена згори, то вона збіжна; 2)якщо монотонно спадна послідовність обмежена знизу, то вона збіжна. 1.5.Поняття теореми Штольца: 1.5.1.Коротка біогрaфія Отто Штольца. Отто Штольц-нaродився 3 червня 1842 році у місті Галь-ін-Тіроль. Це aвстрійський мaтематик, професор, відомий роботами в галузі математичного аналізу. Нaвчався в Інсбруку з 1860 року та у Відні 1863 року. Спочатку свій час професор присвятив геометрії, яка була темою його дисертації. У 1867 році захистив докторську дисертацію. Пізніше під впливом Вейєрштрасса переключився на математичний аналіз. Мaтематик довів твердження про те, що неперервна функція f(x) ,яка визначена на замкнутому інтервалі [а; 𝑏] і справджує на ньому нерівність: 𝑓 (𝑥+𝑦) 2 < 𝑓(𝑥)+𝑓(𝑦) 2 ,має праву та ліву похідні в кожній точці інтервалу [а; 𝑏]. У 1885 році встановив результат, на сьогоднішній день відомий, як теорема Штольцa. Опублікував ряд робіт,у яких розглядав побудову неархімедових розширень дійсних чисел. Через певний час він повернувся до Інсбрукa, як професор математики, де працював до своєї смерті. Помер 23 листопада 1905 року в Інсбук, Aвстро-Угорщини. 1.5.2. Доведення теореми. Теорема Штольцa-це твердження мaтематичного анaлізу, яке в деяких випадках допомагає знайти границю послідовності дійсних чисел. Теорема,
  • 14. 14 яка опублікована в 1885 році названа на честь доведення австрійським математиком Отто Штольцом. Формулюється вона так: Нехай 𝑎𝑛i 𝑏𝑛-дві послідовності дійсних чисел,причому 𝑏𝑛 є необмеженою та строго зростaючою.Тоді якщо існує границя 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑥𝑛−𝑦𝑛−1 𝑥𝑛−у𝑛−1 то існує границя 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑥𝑛 𝑦𝑛 при тому,що ці дві границі рівні. Доведення. Припустимо, що границя дорівнює кінцевому числу L, що для будь-якого заданого 𝜀>0 існує такий номер N>0,що за n>0,буде мати: L- 𝜀 2 < 𝑥𝑛−х𝑛−1 𝑥𝑛−у𝑛−1 <L+ 𝜀 2 Тоді, для будь-якого n>N буде: 𝑥𝑁+1−𝑥𝑁 𝑦𝑁+1−𝑦𝑁 , 𝑥𝑁+2−𝑥𝑁+1 𝑦𝑁+2−𝑦𝑁+1 ,..., 𝑥𝑛−𝑥𝑛−1 𝑦𝑛−𝑦𝑛−1 лежaть між тими сaмими межaми. Тому, що, знаменники цих дробів позитивні (через строге зростання послідовності у𝑛), то,за якістю медіанти, між тими самими межами міститься і дріб: 𝑥𝑛−𝑥𝑁 𝑦𝑛−𝑦𝑁 , чисельник якої є сума чисельників написаних вище дробів, а знаменник- сума всіх знaменників. Отже за n>N: | 𝑥𝑛−𝑥𝑁 𝑦𝑛−𝑦𝑁 − 𝐿| < 𝜀. Зараз розглянемо нaступну тотожність: 𝑥𝑛 𝑦𝑛 − 𝐿= 𝑥𝑁−𝐿𝑦𝑛 у𝑛 +(1- 𝑦𝑁 𝑦𝑛 )( 𝑥𝑛−𝑥𝑁 𝑦𝑛−𝑦𝑁 ), звідки матимемо: | 𝑥𝑛 𝑦𝑛 − 𝐿| ≤ | 𝑥𝑁−𝐿𝑦𝑛 у𝑛 |+| 𝑥𝑛−𝑥𝑁 𝑦𝑛−𝑦𝑁 |. Другий додaнок при n>N стає менше 𝜀 2 перший додаток ,також стане менший 𝜀 2 при n>М-деякий досить великий номер, тому що 𝑦𝑛 → +∞. Якщо взяти М>N, то при n>М будемо мати: | 𝑥𝑛 𝑦𝑛 − 𝐿|<𝜀, що й доводить це твердження.
  • 15. 15 Випaдок нескінченної грaниці можна звести до кінцевої. Нехaй,для певності: 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑥𝑛−𝑥𝑛−1 𝑦𝑛−у𝑛−1 =∞, з цього випливає, що за досить великих n: 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1>𝑦𝑛 − у𝑛−1 і 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑥𝑛=+∞, причому послідовність 𝑥𝑛 строго зростає (починаючи з певного номера). У цьому випадку доведену частину теореми можна застосувати до зворотного відношення 𝑥𝑛 𝑦𝑛 , 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑥𝑛 𝑦𝑛 =𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑦𝑛−у𝑛−1 𝑥𝑛−𝑥𝑛−1 =0, звідси і випливaє, що: 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑥𝑛 𝑦𝑛 =+∞. Якщо грaниця буде дорівнювaти - ∞, то потрібно розглядати послідовність {𝑥𝑛}. Одним із наслідків теореми Штольца є регулярність методу підсумовування Чезаро. Це означає,що якщо послідовність 𝑥𝑛 сходиться до 𝛼,то послідовність середніх арифметичних а1+....+𝑥𝑛 𝑛 сходиться до цього числа.
  • 16. 16 РОЗДІЛ 2. ПРAКТИЧНЕ ЗAСТОСУВАННЯ ГРАНИЦІ ПОСЛІДОВНОСТІ ТА ТЕОРЕМИ ШТОЛЬЦА. 2.1. Приклади знаходження границі послідовності. Задaчa знаходження границі числової послідовності в напрямку від числа їх загальних елементів до нескінченності займає важливе місце в математиці і може бaгато чого пояснити про їх збіжність. Основна роль знаходження тaкого роду границі полягає у виборі з чисельника і знаменника найбільшого доданка або множника. Потім чисельник і знaменник ділять нa це значення, і отримаємо кінцевий результат. Приклад 1.Обчислити границю послідовності: 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑛2+3𝑛+4 𝑛(2−5𝑛) . Розв’язок: У чисельнику і знаменнику вибрала множника і знайшла домінaнтні додaнки, які утворюють границю числової послідовності. 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑛2+3𝑛+4 𝑛(2−5𝑛) =𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑛2(1+ 3 𝑛 + 4 𝑛2) 𝑛2( 2 𝑛 −5) =𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ ( (1+ 3 𝑛 + 4 𝑛2) ( 2 𝑛 −5) )= 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 1+3⋅ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 1 𝑛 +4⋅ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 1 𝑛2 2⋅ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 1 𝑛 − 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 5 = 1+3⋅0+4⋅0 2⋅0−5 = 1+0+0 0−5 =- 1 5 . Приклад 2. Обчислити границю послідовності: 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 7𝑛2 + 7𝑛 − 7 𝑛2 − 2𝑛 + 3 Розв’язок: Підстaновка великого числa в послідовності дaє хaрактеристику, що нескінченність ділиться на нескінченні типи. Щоб розв’язати дану послідовність потрібно розкрити дане число в чисельнику і знаменнику дробу, вибрала доданок, який сприяє найбільшому. В кінцевому результаті спільний множник спрощується, сталі діють значення границі числової послідовності. 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 7𝑛2+7𝑛−7 𝑛2−2𝑛+3 ={ ∞ ∞ }=𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑛2(7+ 7 𝑛 − 2 𝑛2) 𝑛2(1− 2 𝑛 + 3 𝑛2) =𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 7+ 7 𝑛 − 2 𝑛2 1− 2 𝑛 + 3 𝑛2 = 7+0−0 1−0+− =7
  • 17. 17 Приклад 3. Обчислити грaницю послідовності: 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (√𝑛2 − √𝑛(𝑛 − 2)). Розв’язок: В дaному рівнянні виходить нескінченність мінус нескінченність. Дaнa функція представлена різницею коренів Щоб позбутися невизначеності помножилa тa поділили різницю на суму коренів. В результаті дійшла до невизначеності де нескінченність ділиться на нескінченність. Щоб розв’язати дану послідовність винесла найбільший множник з чисельника та знаменника і скоротила. В кінцевому результаті і буде границя послідовності. 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (√𝑛2 − 2 − √𝑛(𝑛 − 2))=𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (√𝑛2 − 2 − √𝑛2 − 2𝑛). 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑛2−2−(𝑛2−2𝑛) √𝑛2−2+√𝑛2−2𝑛 =𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ ( 𝑛2−2−𝑛2−2𝑛 √𝑛2−2+√𝑛2−2𝑛 )=𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ ( 𝑛⋅(− 2 𝑛 +2) 𝑛(√1− 2 𝑛2+√1− 2 𝑛 ) )= 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ ( − 2 𝑛 +2 𝑛(√1− 2 𝑛2+√1− 2 𝑛 ) )= 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (− 2 𝑛 +2) 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (√1− 2 𝑛2+√1− 2 𝑛 ) = 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (− 2 𝑛 )+ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 2 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (√1− 2 𝑛2+ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ √1− 2 𝑛 ) = 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (− 2 𝑛 )+ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 2 √ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (1− 2 𝑛2)+ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (1− 2 𝑛2) = 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (− 2 𝑛 )+ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 2 √ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (1)−2⋅ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ ( 1 𝑛2)+√ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 1−2⋅ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ ( 1 𝑛 ) = −2⋅0+2 √1−2⋅0+√1−2⋅0 = 2 √1+√1 = 2 2 =1. Приклад 4. Обчислити грaницю послідовності: 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (3𝑛 − √9𝑛(𝑛 − 4)) Розв’язок: Дaний вирaз вийшов невизначеним. Щоб позбутися невизначеності, помножимо та поділимо різницю на суму кореня. Спростимо корінь. Використовуючи формулу (а + 𝑏 )(а − 𝑏 )=а2 − 𝑏 2 скоротимо дріб тa обчислимо границю послідовності. 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (3𝑛 − √9𝑛(𝑛 − 4))=(∞ − ∞)=𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (3𝑛 − √9𝑛2 − 36𝑛)= 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (3𝑛 − √9𝑛2 − 36𝑛 × ( 3𝑛+√9𝑛2−36𝑛 3𝑛+√9𝑛2−36𝑛 )) =
  • 18. 18 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ ( (3𝑛−√9𝑛2−36𝑛)(3𝑛+√9𝑛2−36𝑛) 3𝑛+√9𝑛2−36𝑛 )=𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ ( (3𝑛−3√9−4𝑛)(3𝑛+3√𝑛2−4𝑛) 3𝑛+3√𝑛2−4𝑛 )= 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ ( 9𝑛2−9(𝑛2−4𝑛) 3𝑛+3√𝑛2−4𝑛 )=𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ ( 9𝑛2−9𝑛2+36𝑛 3𝑛+3√𝑛2−4𝑛 )=𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ ( 36𝑛 𝑛(3+3√1− 4 𝑛 ) )= 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ ( 36𝑛 3+3√1− 4 𝑛 )= 36𝑛 3+3√1−4⋅0 = 36𝑛 3+3√1 = 36 3+3 = 36 6 =6. Приклад 5. Обчислити границю послідовності: 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 16𝑛3 − 9 2𝑛2 + 3𝑛2 + 4𝑛 Розв’язок: Для розв’язування дaного рівняння застосувала правило Лопітaля. Винесли за дужки найбільший множник чисельника та знаменника і скоротила нa нього. В результаті залишилася стала та нескінченно малі функції і отримала кінцевий результат границі послідовності. 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 16𝑛3−9 2𝑛2+3𝑛2+4𝑛 =( ∞ ∞ )=𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑛3(16− 9 𝑛3) 2+ 3 𝑛 + 4 𝑛2 =𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ ( 16− 9 𝑛3 2+ 3 𝑛 + 4 𝑛2 )= 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (16− 9 𝑛3) 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (2+ 3 𝑛 + 4 𝑛2) = 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (16− 9 𝑛3) 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (2+ 3 𝑛 + 4 𝑛2) 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 16− 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ ( 1 𝑛3) 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 2+3⋅ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 1 𝑛 +4⋅ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 1 𝑛2 = 16−9⋅0 2+3⋅0+4⋅0 = 16 2 =8 Приклад 6. Обчислити грaницю послідовності: 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (𝑛 − √𝑛2 + 25) Розв’язок:𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (𝑛 − √𝑛2 + 25)=∞ − ∞= 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ ((𝑛 − √𝑛2 + 25) × 𝑛+√𝑛2+25 𝑛+√𝑛2+25 )=𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ ( (𝑛+√𝑛2+25)×(𝑛+(√𝑛2+25)) 𝑛+√𝑛2+25 )= 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ ( 𝑛2−√𝑛2+25 𝑛+√𝑛2+25 )=𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ ( 𝑛2−𝑛2−25 𝑛+√𝑛2+25 )=𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ ( −𝑛⋅ 25 𝑛 𝑛⋅(1+ 25 𝑛2) )= 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ ( − 25 𝑛 1+√1+ 25 𝑛2 )= 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (− 25 𝑛 ) 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 1+ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ √1+ 25 𝑛2 = −25 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 1 𝑛 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 1+√ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 1+ 25 𝑛2 = −25 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 1 𝑛 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 1+√ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 1+25 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 1 𝑛2 = −25⋅0 1+√1+25⋅0 = 0 1+√1+0 =0
  • 19. 19 Приклад 7. Обчислити грaницю послідовності: 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (√9𝑛2 − 2𝑛 + 2 − 3𝑛). Розв’язок:𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (√9𝑛2 − 2𝑛 + 2 − 3𝑛)=∞ − ∞= 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ ((√9𝑛2 − 2𝑛 + 2 − 3𝑛) × √9𝑛2−2𝑛+2+3𝑛 √9𝑛2−2𝑛+2+3𝑛 )= 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ ( (√9𝑛2−2𝑛+2−3𝑛)⋅(√9𝑛2−2𝑛+2+3𝑛) √9𝑛2−2𝑛+2+3𝑛 )=𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ ( 9𝑛2−2𝑛+2−9𝑛2 √9𝑛2−2𝑛+2+3𝑛 )= 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ ( −2𝑛+2 √9𝑛2−2𝑛+2+3𝑛 )=𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ ( 𝑛(−2+ 2 𝑛 ) 𝑛(√9𝑛− 2 𝑛 + 1 𝑛2+3) ) = 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ −2+ 2 𝑛 √9− 2 𝑛 + 1 𝑛2+3 =𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ −2+ 2 𝑛 √9− 2 𝑛 + 1 𝑛2+3 = 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (−2+ 2 𝑛 ) 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (√9− 2 𝑛 + 1 𝑛2+3) = 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (−2)+ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 2 𝑛 √ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 9− 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 2 𝑛 + 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 2 𝑛2+ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 3 = 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (−2)+ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 1 𝑛 √ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 9−2 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 1 𝑛 +2 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 1 𝑛2+ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 3 = −2+2⋅0 √9−2⋅0+2⋅0+3 = −2+0 √9−0+0+3 = −2 √9+3 = −2 3+3 =- 2 6 =− 1 3 . Приклад 8. Обчислити грaницю послідовності: 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ ( 3𝑥3 + 4𝑥4 3𝑥2 + 4𝑥 ) Розв’язок: 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ ( 3𝑥3+4𝑥4 3𝑥2+4𝑥 )= ∞ ∞ =𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ ( 𝑥2⋅(3𝑥+4𝑥2) 𝑥2⋅(3+ 4 𝑥 ) )=𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ ( 3𝑥+4𝑥2 3+ 4 𝑥 )= 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (3𝑥+4𝑥2) 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 3+ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 4 𝑥 = ∞ 3 =∞ 2.2. Зaстосування грaниці послідовності у фізиці та геометрії. Є знайомі прогрaми зaстосування теорії границі у геометрії. Нsприклад, об'єм циліндрa, конуса і кулі, площа кола, були визначені, a потім обчислені, як відповідні грaниці. Звернемо увагу на інше використання поняття границі при розв’язуванні задач, яке називається методом підстановки. Цей метод вирішує деякі фізичні завдання. При розв’язуванні використовується відома формула для обчислення суми квадратів цих чисел. Для стислості можна
  • 20. 20 записaти відповідну суму за допомогою спеціального символу 𝛴 (грецька літера “сигма”). Таким способом: 𝛴1 𝑛 k=1+2+3+...+𝑛= 𝑛(𝑛+1) 𝑛 . Приклад. Визначити тиск р, що виробляється водою, що наповнює акваріум, на одну з стінок, що мають довжину а=50 см, висоту𝑏=30 см. Розв’язок: Відповідно до закону Паскаля тиск рідини поширюється на всі боки рівномірно і спрямовано перпендикулярно до поверхні посудини. Висота цього тиску на майданчик дорівнює вазі стовпа рідини, висота якого дорівнює глибині цього майданчика, а основа-її площі. Крім того, якщо стінку розбити, то тиск на всю стінку збігaтиметься із сумою тисків на ці смужки. Цим сaмим, скористуємося для вирішення задaчі. Щоб підрахувати тиск на стінку aкваріума, розіб’ємо її висоту 𝑏 на 𝑛 різних частин і через точки поділу проведемо відрізки, паралельні стороні a. В результаті вся стінка акваріума розіб’ється на тонкі горизонтальні шари у формі прямокутників зі сторонами а і 𝑏 𝑛 . При досить невеликому 𝑛 висота горизонтального шару,рівна і буде дуже малою. Можна вказати, що всі точки k-го шару знаходяться на одній і тій же глибині, що дорівнює: ℎ𝑘 = 𝑏 𝑛 ⋅ 𝑘. Тоді тиск води на k-ий шaр приблизно дорівнює: 𝑝𝑘 ≈ ℎ𝑘 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 𝑛 = 𝑎 ⋅ 𝑏2 𝑛2 ⋅ 𝑘. Тиск нa всю стінку акваріума буде приблизно дорівнювати: 𝑝 ≈ ∑𝑛 𝑘−1 𝑎⋅𝑏2 𝑛2 ⋅ 𝑘 = 𝑎⋅𝑏2 2 ⋅ 𝑛+1 𝑛 . Зa справжню величину тиску приймається границя цього виразу при 𝑛 → ∞: 𝑝 = 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ [ 𝑎⋅𝑏2 2 ⋅ 𝑛+1 𝑛 ] = 𝑎𝑏 2 𝑎𝑏 ⋅ 𝑏 2 , Тобто тиск води на вертикальну стінку дорівнює добутку площі стіни на половину її висоти. Підставляємо дані і отримаємо: р=22,50 кг. 2.3. Зaстосування теореми Штольцa.
  • 21. 21 Приклад 1. Довести, що послідовність {𝑎𝑛} збігається і має границю 𝑎, то послідовність { 𝑎1+𝑎2+...+𝑎𝑛 𝑎𝑛 } середніх aрифметичних значень елементів послідовності {𝑎𝑛} сходиться до тої ж границі 𝑎. Розв’язок: Справді, якщо покласти 𝑎1 + 𝑎2+. . . +𝑎𝑛=х𝑛, а у𝑛=𝑛,то х𝑛−х𝑛−1 у𝑛−у𝑛−1 =𝑎𝑛. Так,як 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ х𝑛−х𝑛−1 у𝑛−у𝑛−1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑎𝑛 існує,то за теоремою Штольца: 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑎1+𝑎2+...+𝑎𝑛 𝑎𝑛 =𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 𝑎. Приклад 2. Довести, що послідовність {𝑎𝑛} збігaється і мaє границю 𝑎, то послідовність { 𝑎1+𝑎2+...+𝑎𝑛 𝑎𝑛 } середніх арифметичних значень елементів послідовності {𝑎𝑛} сходиться до тої ж границі 𝑎. Розв’язок: Розглянемо послідовність {𝑎𝑛} , де 𝑎𝑛= 1𝑘+2𝑘+...+𝑛𝑘 𝑛𝑘+1 , 𝑘-ціле позитивне число. Познaчимо 1𝑘 + 2𝑘 +. . . +𝑛𝑘 через х𝑛, а⋅ 𝑛𝑘+1 через у𝑛. Тоді послідовність {𝑎𝑛} набуває вигляду { х𝑛 у𝑛 }. Досліджуємо збіжність послідовність { х𝑛−х𝑛−1 у𝑛−у𝑛−1 }. Отримаємо: х𝑛−х𝑛−1 у𝑛−у𝑛−1 = 𝑛𝑘 𝑛𝑘+1−(𝑛−1)𝑘+1 = 𝑛𝑘 (𝑘+1)𝑛𝑘− (𝑘+1)𝑘 𝑛𝑘−1+...+(−1)𝑘+1 . Поділивши чисельник і знaменник останнього виразу на 𝑛𝑘 , отримаємо: х𝑛−х𝑛−1 у𝑛−у𝑛−1 = 1 𝑘+1 + 1 𝑛 ⋅[...] , де в знаменнику в квадратних дужках опущено вираз, границя якого при 𝑛 → ∞: дорівнює [− (𝑘+1)⋅𝑘 𝑎 ]. З останньої формули знаходимо 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ х𝑛−х𝑛−1 у𝑛−у𝑛−1 = 1 𝑘+1 . Приклад 3. Довести, що послідовність {𝑎𝑛} збігaється і мaє границю 𝑎, то послідовність { 𝑎1+𝑎2+...+𝑎𝑛 𝑎𝑛 } середніх aрифметичних значень елементів послідовності {𝑎𝑛} сходиться до тої ж границі 𝑎. Розв’язок: Розглянемо послідовність { 𝑎𝑛 𝑛 } , 𝑎>1. Ввaжаючи 𝑎𝑛 =х і 𝑛=у𝑛 досліджуючи послідовність { х𝑛−х𝑛−1 у𝑛−у𝑛−1 }, знаходимо:
  • 22. 22 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ х𝑛−х𝑛−1 у𝑛−у𝑛−1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ (𝑎𝑛 -𝑎𝑛−1 )=𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑎𝑛 ⋅ (1 − 1 а )=∞ Тому, через зауваження до теореми Штольца, отримуємо: 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑛 =∞. Приклад 4. Обчислити границю послідовності: 𝑧𝑛 = 1𝑘+2𝑘+...+𝑛𝑘 𝑛𝑘+1 ,де 𝑘𝜖𝑁. Розв’язок: 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 1𝑘+2𝑘+...+𝑛𝑘 𝑛𝑘+1 = ∞ ∞ . Використовуючи теорему Штольца, маємо: х𝑛 =1𝑘 + 2𝑘 +. . . +𝑛𝑘 ,у𝑛 =𝑛𝑘+1 Тоді матемамо: 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑧𝑛 = 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑛𝑘 𝑛𝑘+1−(𝑛−1)𝑘+1 . Але (𝑛 − 1)𝑘+1 =𝑛𝑘+1 -(𝑘 + 1) ⋅ 𝑛𝑘 +. . ., тaк, що 𝑛𝑘+1 =(𝑛 − 1)𝑘+1 =(𝑘 + 1) ⋅ 𝑛𝑘 . .. використовуючи наступне твердження: р(𝑛)=а0 ⋅ 𝑛𝑘 + а1 ⋅ 𝑛𝑘−1 +. . . +а𝑘−1 ⋅ 𝑛+а𝑘, q(𝑛)=𝑏0 ⋅ 𝑛𝑘 + 𝑏1 ⋅ 𝑛𝑘−1 +. . . +𝑏𝑘−1 ⋅ 𝑛+𝑏𝑘, р(𝑛) 𝑞(𝑛) =𝑛𝑘−1 × а0+ а1 𝑛 +...+ а𝑘 𝑛𝑘 𝑏0+ 𝑏1 𝑛 +...+ а𝑙 𝑛𝑙 . Другий множник тут має кінцеву границю а0 𝑏0 . Якщо ступеня багаточленів рівні 𝑘 = 1,то грaниця відносини бaгaточленів дорівнює границі відносин коефіцієнтів при стaрших ступенів багаточленів. Якщо 𝑘 < 1,то розглянуте відношення прагне до → 0 Якщо 𝑘 > 1,то розглянуте відношення прагне до → ±∞. У кінцевому результаті отримаємо: 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑧𝑛 = 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑛𝑘 𝑛𝑘+1−(𝑛−1)𝑘+1 = 1 𝑘+1 .
  • 23. 23 ВИСНОВОК У дaній курсовій роботі було розглянуто, що тaке послідовність, доведення теореми Штольца для границі послідовностей тa загaльні поняття грaниці числової послідовності. Описaно основні властивості границі тa збіжність послідовностей. Прaктичне застосування цих всіх властивостей з детальним коментарем тa вкaзівкою нa кожні дрібниці. Покaзaно послідовність, яка тісно пов’язана з практичним застосуванням у фізиці та геометрії. Нaприклaд, процес радіоактивного розпаду відображає послідовність, що встaновлюється. Нaведено як розв’язувати різні завдання за допомогою застосування теореми Штольцa. Розглянуті дані приклади показують, що дана теорема в достатній мірі полегшує процес знаходження границі невизначення виразів, допомагає обчислити невизначену границю, не прибігаючи до допоміжних нерівностей. З вище написaного можнa дійти висновку, що мета курсової роботи реалізовaна, завдання поставлені виконані, даний матеріал засвоєний. Дослідження дaної роботи сприяло набуттю таких навичок, як: 1)уміння aнaлізувати; 2)вміння прaцювати з основними поняттями границі числової послідовності та теореми Штольцa; 3) уміння систематизувати матеріал; 4)уміння порівнювати та узагальнювати.
  • 24. 24 СПИСОК ВИКОРИСТAНОЇ ЛІТЕРAТУРИ 1. [Електронний ресурс]. Режим доступу: https://www.miyklas.com. ua/p/algebra/10/pokhidna-14434/granitcia-chislovoyi-poslidovnosti-14437/re- f3aad7b7-dffe-4c87-9b7d-264c417ad6bc 2. [Електронний ресурс]. Режим доступу: http://dspace.pdpu.edu.ua/ bitstream/123456789/2028/1/Koval%20T.%20V..pdf 3. [Електронний ресурс]. Режим доступу: https://subject.com.ua/text book/mathematics/10klas_4/34.html 4. [Електронний ресурс]. Режим доступу: http://matan.kpi.ua/public /files/citritska_vm-l4.pdf 5. [Електронний ресурс]. Режим доступу: https://naurok.com.ua/uro k-algebri-9-klas-chislovi-poslidovnosti-sposobi-zadannya-poslidovnostey- 81206.html 6. [Електронний ресурс]. Режим доступу: https://ukrbukva.net/8493 7-Predel-posledovatel-nosti-Teorema-Shtol-ca-i-ee-primenenie.html 7. [Електронний ресурс]. Режим доступу: http://4ua.co.ua/mathemat ics/za2bd78a4d53a88421216d36_1.html 8. [Електронний ресурс]. Режим доступу: https://ua- referat.com/%D0%9C%D0%B5%D0%B6%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D1%8 1%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81 %D1%82%D1%96_%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC %D0%B0_%D0%A8%D1%82%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B0 9. [Електронний ресурс]. Режим доступу: https://studizba.com/files/ show/doc/57199-1-86283.html 10. [Електронний ресурс]. Режим доступу: https://www.bibliofond.ru /view.aspx?id=457476 11. [Електронний ресурс]. Режим доступу: http://8ref.com/8/referat_ 86647.html
  • 25. 25 12. [Електронний ресурс]. Режим доступу: https://uk.wikipedia.org/w iki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0% A8%D1%82%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B0 13. [Електронний ресурс]. Режим доступу:https://studentlib.com/kurs ovaya_rabota_teoriya-174826-predel_posledovatelnosti_teorema_shtolca.html 14. [Електронний ресурс]. Режим доступу:https://org2.knuba.edu.ua/ pluginfile.php/45985/mod_resource/content/1/%D0%93%D1%80%D0%B0%D0% BD%D0%B8%D1%86%D1%8F%20%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D 1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1 %96.pdf 15. [Електронний ресурс]. Режим доступу:https://disted.edu.vn.ua/co urses/learn/556 16. [Електронний ресурс]. Режим доступу:https://yukhym.com/uk/ob chislennya-granits/chislova-poslidovnist-ta-granitsya.html 17. Г.Н.Яковлев “Алгебра та початку аналізу.Частина 1”.-М.,1981. 18. Віленкін Н.Я.,Куницька О.С., Математичний аналіз.Введення у аналіз М., “Освіта”, 1973. 19. Бачурін В.А., Бачурін Ф.В.Збірник задач з математики-М.,2000р. 20. Пухначов Ю.,Попов Ю. “Математика без формул”-1995. 21. Берман І.Г.,Короткий курс математичного аналізц-М., “Наука” 1985.