На допомогу учням10 класу при вивченні
теми Формули зведення.
0 1
1
x
y
I чвертьII чверть
III
чверть
IV
чверть
α
0
180 α+
0
90 α+
0
270 α+
2.
ФОРМУЛИ ЗВЕДЕННЯ
• -це формули, що дозволяють
виражати значення тригономе-
тричних функцій будь - якого кута
через функції кута першої чверті,
тобто менших за 90°.
3.
x
y
0 cosα
sinα α
900
+α
1800
+α
2700
+α
Побудуємодовільний гострий кут повороту α.
Тепер зобразимо кути 900
+ α, 1800
+ α, 2700
+ α и 3600
+ α.
сos(900
+α)
sin(900
+α)
сos(1800
+α)
sin(1800
+α)
sin(2700
+α)
cos(2700
+α)
, 3600
+α
З рівності прямокутних трикутників можна зробити висновок, що:
cosα=sin(900
+ α)=–cos(1800
+ α)=–sin(2700
+ α)=cos(3600
+ α), а также
sinα=–cos(900
+ α)=–sin(1800
+ α)=cos(2700
+ α)=sin(3600
+ α).
В градусній мірі:В радіанах:
10200
=900
·11+300
=900
·12–600
28
18 19
3 2 3 2 6
· ·
π π π π π
= + = −
1020 90
1190
120
90
30
28 28 2 56 2 2 1
18 18 19
3 3 3 3 3 3
·π π π
π
: = = = = + = −
2
Помножте отримані суму чи різницю на й
отримайте шукані вирази.
2
π
В обох випадаках ми досягли
наступного: аргумент тригонометричної
функції подано у вигляді цілого числа прямих
кутів плюс чи мінус якийсь гострий кут.
6.
ПРАВИЛО 1. ЯКЩОКУТ ВІДКЛАДАЮТЬ ВІД ОСІ
ОX, ТО НАЙМЕНУВАННЯ ФУНКЦІЇ НЕ
ЗМІНЮЄТЬСЯ.
0 x
y
0
π2
III
III IV
α
π
απ ±2
απ ±
7.
ПРАВИЛО 1. АЯКЩО КУТ ВІДКЛАДАЮТЬ ВІД
ОСІ ОY, ТО НАЙМЕНУВАННЯ ФУНКЦІЇ
ЗМІНЮЄТЬСЯ.
0 x
y
0
2
3π
III
III IV
α
2
π
α
π
±
2
α
π
±
2
3
αα cossin ↔
αα ctgtg ↔
8.
ПРАВИЛО 2. ЗНАКВ ПРАВІЙ ЧАСТИНІ ФОРМУЛИ
ВИЗНАЧАЄТЬСЯ ЗА ЗНАКОМ ФУНКЦІЇ В ЛІВІЙ
ЧАСТИНІ.
0 x
y
0
π2π
( ) =−απ2sin αsin−
( ) =+απsin αsin−
( ) =+απtg αtg
( ) =−απ2cos αcos
III
III IV
( ) =−απ2ctg αctg−
9.
ПРАВИЛО 2. ЗНАКВ ПРАВІЙ ЧАСТИНІ ФОРМУЛИ
ВИЗНАЧАЄТЬСЯ ЗА ЗНАКОМ ФУНКЦІЇ В ЛІВІЙ
ЧАСТИНІ.
0 x
y
0
III
III IV
2
π
2
3π
=
+α
π
2
sin αcos
=
−α
π
2
3
cos αsin−
=
+α
π
2
tg αctg−
αtg=
−α
π
2
3
ctg
( )0 00 0
1020 90 30 31 01sin sin · cos= + =
( )0 0 0 0
1020 90 60 62 01sin sin · sin= − =
У першому випадку нам доведеться змінювати дану функцію
синус на кофункцію – косинус (кількість прямих кутів непарне – 11), у
другому функція синус збережеться.
I
II
Залишається нез'ясованим питання про знак перед отриманим
результатом. Для його вирішення нам необхідно вміти працювати з
одиничним тригонометричним колом (уважно слідкуйте за обертанням
точки):
?
?
х
у
0 1
1
х
у
0 1
1
I II
12
3 4
56
7 8
910
11
12
3 4
56
7 8
910
11 12
В будь-якому випадку виходить IV чверть, у якій синус набуває від‘ємних
значень.
– –
13.
Отже,
( )0 00 0 3
1020 90 3011 30
2
sin sin · cos= + =− = −
( )0 0 0 0 3
1020 90 6012 60
2
sin sin · sin .= − = − = −
