Первісна

1. Первісна
Алгебра і початки аналізу, 11 клас
підготував учитель математики
Колодистенської ЗОШ І – ІІІ ступенів
Нетудихата Володимир Ілліч,
спеціаліст вищої категорії, учитель-методист
2013 рік

2. 3. Значення диференціального та інтегрального
числення.
4-5. Операції в математиці.
6. Означення первісної.
7. Таблиця первісних.
8-9. Вправи на формування поняття первісної.
10. Основні властивості первісної.
11. Вправа на основну властивість первісної.
12. Графіки первісних для даної функції.
13-15. Вправа на графіки первісних.
16. Правила знаходження первісної.
17. Методичні рекомендації.
Зміст

3. Сила і загальність методу диференціального
й інтегрального числення такі, що не
ознайомившись із ними, не можна як слід
зрозуміти все значення математики для
природознавства, і техніки і навіть
повністю оцінити всю красу і принадність
самої математичної науки.
А.М. Колмогоров

4. Операції в математиці
Кожна дія (операція) в математиці має обернену:
 додавання-віднімання;
 множення-ділення;
 піднесення до степеня – добування кореня;
 логарифмування – потенціювання;
 множення одночлена на многочлен - розкладання
многочлена на множники способом винесення
спільного множника за дужки.
Деякі з обернених операцій виявилися неоднозначними:
є числа 5 і -5, бо25 .25)5(,255 22
=−=

5. Основна операція диференціального числення є
знаходження похідної даної функції
Обернена операція до диференціювання є: за
відомою похідною деякої функції знайти
(відновити) саму функцію , яку називають
первісною F для відомої функції . Операція
знаходження первісної F для даної функції
називається інтегруванням.
Отже, інтегрування є оберненою операцією до
операції диференціювання.
)('' xfy = ).(xfy =
)('' xfy =
)(xfy =
)(xfy =
)(xfy =

6. Первісна
Означення. Первісною для даної функції y=f(x) на
заданому проміжку [a; b] називається така функція
F(x), похідна якої для всіх x з інтервалу [a; b]
дорівнює f(x), тобто Fʹ(x)=f(x) для всіх x є [a; b].
Наприклад, функція F(x)=x2
є первісною для функції
f(x)=2x на проміжку (-∞;∞), оскільки на цій
множині виконується рівність (x2
) =2ʹ x.
Для функції f(x)=2x первісними будуть функції
F(x)=x2
+1;F(x)=x2
-10; і
т.д., тобто загальний вигляд первісних для функції
f(x)=2x матимуть вигляд F(x)=x2
+С, де С – довільна
стала.
Отже, операція інтегрування неоднозначна.
;5)( 2
+= xxF
3
1)( 2
−= xxF

7. Таблиця первісних
Функція y=f(x) Загальний вигляд первісної F(x)+C
k, де k - стала kx+C
xn
, де n є Z
sin x - cos x+C
cos x sin x+C
tg x + C
- ctg x + C
1−≠n Cn
xn
++
+
1
1
x2
cos
1
x2
sin
1

8. Яка з двох
функцій є
первісною
для другої?
2
3x
13
+x
xsin
xcos−
x
x2
1
x2
sin
1
ctgx−
x2
cos
1
tgxxsin
xcos

9. Вказати первісну
F для кожної
даної функції f
2
)( xxf =
xxf sin)( =
xxf cos)( =
x
xf 1)( =
1)( 3
3
+= x
xF 3
3
)( x
xF = 2)( 3
3
−= x
xF
xxF 2)( =
32)( += xxF
42)( −= xxF
5cos)( +−= xxF 3cos)( −−= xxF xxF cos)( −=
2sin)( += xxF
xxF sin)( =
3sin)( −= xxF

10. ОСНОВНА
ВЛАСТИВІСТЬ
ПЕРВІСНОЇ:
Якщо на проміжку
функція F(x)
є первісною для
f(x), то на цьому
проміжку
первісною для f(x)
буде також
функція F(x)+C
33)(;23)( 22
−+=++= xxxFxxxF 16)( += xxf
xxFxxF sin11)(;3sin)( +=+= xxf cos)( =
);0(;5,13)(;35)( ∞∈+−=−= xxxFxxF
x
xf
2
3)( −=
π+=+= tgxxFtgxxF 4
1
4
1
)(;6)(
x
xf 2
cos4
1)( =
32)(;12)( +=−= ctgxxFctgxxF
x
xf 2
sin
2)( −=
Первісні однієї і тієї ж функції можуть відрізнятись лише на сталий доданок
ba;

11. Яка з функцій є
первісною для
функції ?
3
4
1
)( xxf =
4
0625,0)( xxF =
12)( 44
−= −
xxF
4
16
1
)( xxF =
3)( 4
−= xxF
2
4
3
)( xxF =
5)( 4
16
1
+= xxF
4)( 2
4
3
−= xxF
2)( 4
16
1
−= xxF

12. x
y
F(x)=x2
+2
F(x)=x2
F(x)=x2
-4
F(x)=x2
-7
F(x)=x2
-2
Графіки первісних для даної функції
Основній властивості
первісних можна надати
геометричного змісту:
Графіки будь-яких двох
первісних даної функції можна
отримати один з одного
паралельним перенесенням
уздовж осі ординат

13. Завдання. Побудувати графік первісної для функції f(x)=2x, яка
проходить через точку M (2; 6)
x
y

14. x
y
x
y
Вказати, на якому
малюнку
зображено графіки
первісної функції
а) б)
в) г)
y

15. Завдання. На малюнку зображено первісну функції
. Показати, яка з первісних проходить через точку K(4; 2)
і вибрати формулу первісної, яка проходить через вказану точку.
x
xf 2
1
)( =
);0( ∞∈x
x
y
4)()2
1)()1
−=
+=
xxF
xxF
2)()4
3)()3
−=
+=
xxF
xxF
3)()6
2)()5
−=
+=
xxF
xxF
1)()8
)()7
−=
=
xxF
xxF

16. Правила знаходження первісної
( )gfдляпервіснаGF
gдляпервіснаG
fдляпервіснаF
+−+⇒





Приклад:





 +−+⇒










−
−
5
2
53
5
2
5
3 2
23
2
2
3
xxдляпервіснаxx
xдляпервіснаx
xдляпервіснаx
І правило знаходження первісної
ІІ правило знаходження первісної
( ) ( )kfдляпервіснаkFчислодеякеkfдляпервіснаF −⇒−− ,
( ) ( )xxfдляпервіснаxxFxxfдляпервіснаxxF cos10)(sin10)(cos)(sin)( =−=⇒=−=
ІІІ правило знаходження первісної
( ) ( ))()(10,, bkxfдляпервіснаbkxF
k
kчислодеякеkfдляпервіснаF +−+⋅⇒≠−−
( ) ( ))13sin()()13cos(
3
1)(sin)(cos)( +−=−+=⇒−=−= xxfдляпервіснаxxFxxfдляпервіснаxxF
Приклад:
Приклад:

17. Методичні рекомендації
Слайди 3 -9 використовуються при формуванні поняття первісної
Слайди 10-11 доцільно використати при засвоєнні нового
матеріалу про основну властивість первісної
Слайди 12, 14, 15 застосовувати при вивченні графіків первісних
для даної функції
Слайд 13 пропонується для самостійної роботи
Слайд 16 бажано використати при вивченні нового матеріалу

18. Список використаної літератури:
1. Мерзляк А.Г. Алгебра. 11 клас: підруч. для загальноосвіт. навчальн. закладів:
академ. рівень, проф. рівень / А. Г. Мерзляк, Д.А. Номіровський, В.Б. Полонський, М. С.
Якір. – Х. : Гімназія, 2011. – 431 с.: іл.