1. 1
Практичне заняття 30
Диференціальні рівняння першого порядку. Задача Коші.
Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.
Теоретичний матеріал.
Диференціальне рівняння першого порядку в загальному випадку
записується у вигляді співвідношення
0,, yyxF ,
яке зв'язує незалежну змінну х , шукану функцію xyy і її похідну y .
Якщо рівняння
0,, yyxF
можна розв’язати відносно y то його записують у вигляді
yxfy ,
і називають диференціальним рівнянням першого порядку, розв’язаним відносно
похідної.
Розв’язком диференціального рівняння називається функція, при
підстановці якої в рівняння воно перетворюється в тотожність.
Процес відшукання розв’язку ДР називається його інтегруванням, а графічне
зображення розв’язку ДР — інтегральною кривою.
Інтегрування ДР в загальному випадку приводить до нескінченної множини
розв’язків (вони відрізняються один від одного на сталу величину).
Щоб розв’язок ДР набув конкретного, деякого значення, його треба обмежити
деякими додатковими умовами.
Умова, що при 0x х функція хy повинна бути дорівнювати заданому
числу 0y називається початковою умовою.
Початкова умова записується у вигляді:
0yy при 0хx або 00 yхy .
Загальним розв’язком ДР першого порядку називається функція ,y x С ,
яка містить одну довільну сталу і задовольняє умовам:
1. Функція ,y x С є розв’язком ДР при кожному фіксованому значенні С.
2. 2
2. Яка б не була початкова умова 0 0,y х y існує таке значення сталої
0,С С що функція
0,y x С
задовольняє даній початковій умові, тобто
0 0 0,y x С .
Частинним розв’язком ДР першого порядку називається функція, яка
отримана із загального розв’язку ,y x С при конкретному значенні сталої
0С С , тобто
0, .y x С
Якщо розв’язок ДР знайдено в неявному виді, тобто у вигляді рівняння
Ф , , 0x y С ,
то такий розв’язок називають загальним інтегралом ДР, а рівняння
0Ф , , 0x y С
називається частинним інтегралом ДР.
Геометрично функцію ,y x С можна зобразити множиною кривих на
площині Оху. Криві називають інтегральними кривими ДР.
З цієї множини можна виділити криву 0, ,y x С яка проходить через
задану наперед точку 000 , ухМ , тобто задовольняє заданій початковій умові
00 yхy .
Задача відшукання частинного розв’язку ДР, задовольняючого заданій
початковій умов, називається задачею Коші.
Диференціальне рівняння вигляду ( ) ,y dy f x dx у якому множник при
dx є функцією, яка залежить лише від x , а множник при dy є функцією, яка
залежить лише від y , називається диференціальним рівнянням з відокремленими
змінними. Інтегруючи рівняння, знаходять його розв’язок:
( ) , .y dy f x dx C C R
Рівняння вигляду 1 2 2 1( )y f x y y f x називають диференціальним
3. 3
рівнянням з відокремлюваними змінними.
Рівняння з відокремлюваними змінними зводиться до диференціальних
рівнянь з відокремленими змінними відокремленням змінних. Це робиться так:
1) у рівнянні з відокремлюваними змінними замінюємо y на ,
dy
dx
тобто
1 2 2 1( );
dy
y f x y f x
dx
2) множимо отримане рівняння на dx. Маємо
1 2 2 1( ) ;y f x dy y f x dx
3) поділимо обидві частини рівняння на 2 2 .f x y
Отже,
1 1
2 2
;
y f x
dy dx
y f x
4) маємо рівняння з відокремленими змінними. Знайдемо його розв’язок:
1 1
2 2
.
y dy f x dx
C
y f x
Зауваження. При діленні обох частин рівняння на 2 2f x y можна
загубити деякі розв’язки та звузити область визначення розв’язків. Тому, щоб
отримати усі розв’язки, треба виконати додаткові дослідження, використовуючи
рівняння 2( ) 0y і 2 ( ) 0.f x
Приклад. Показати, що функція 2 2
х у С є розв’язком ДР 0 xyy .
Розв’язання. Знайдемо похідну функції, заданої неявно. Маємо
022 уух , хуу і підставимо в ДР.
Отримаємо тотожність: 0 хx , тобто, 2 2
х у С – розв’язок рівняння в
неявному вигляді.
Приклад. Розв’язати диференціальне рівняння
1 1
,dy dx
y x
0; 0.y x
Розв’язання.
1 1
,dy dx
y x
1ln | | ln | | .y x C Для зручності інтегрування
4. 4
представимо 1 ln | |, 0.C C C Тоді ln | | ln | | ln | |,y x C ln | | ln | |,y Cx
, 0y Cx C – розв’язок рівняння ( при 0C функція 0y не є розв’язком
рівняння).
Зауваження. Рівність ,y C x , C 0,C R – загальний розв’язок, тому що
функція y x виражена явно щодо x.
Приклад. Знайти розв’язок рівняння 2 1 0.x x
e yy e
Розв’язання. Запишемо рівняння у вигляді 2 1 .x x
e yy e Потім замість y
у рівнянні запишемо
dy
dx
і помножимо отримане рівняння на .dx
Маємо 2 1 .x x
e ydy e dx Поділимо рівняння на 1 0,x
e тобто
2 1
.
1 1
x x
x x
e ydy e dx
e e
Після скорочення отримаємо рівняння 2 ,
1
x
x
e dx
ydy
e
яке є рівнянням з
відокремленими змінними:
2 ,
1
x
x
e dx
ydy
e
2
1
,
1
x
x
d e
y
e
2
ln 1 , 1 0,x x
y e C e .x R
Маємо загальний інтеграл 2
ln 1 , 0.x
y e C C
Приклад. Знайти частинний розв’язок рівняння 2
1 0x dy ydx , який
задовольняє початкову умову 0 1y (розв’язати задачу Коші).
Розв’язання. Відокремлюємо змінні та інтегруємо рівняння.
2
1
dy dx
y x
, 2
1
dy dx
y x
, 0.y
Отримали загальний інтеграл ln arctgy x C або arctg x С
y e
Використовуючи початкову умову
0
0
0,
1
х
y
знаходимо сталу С:
ln1 arctg0 C , 0C .
5. 5
Отже, ln arctgy x або arctg x
y e – частинний розв’язок.
Завдання для самостійної роботи:
№ 1. З’ясувати, чи будуть розв’язками диференціальних рівнянь вказані
функції:
1) 2 2 1
,y x y y
x
; 2)
2 2
2
(1 ),x x
y xe y y e
;
3) 2sin ln ,
x
tg
y x y y y e ; 4) 16 0, cos4 .y y y C x
(Відповідь: 1) Ні; 2) Ні; 3) Так; 4) Так.)
№ 2. Знайти загальні розв’язки або загальні інтеграли диференціальних
рівнянь:
1) 2 2
cos ( 1) 0ydx x dy ; 2) 2 2
1 1 0x y dx x dy ;
3) 2 2 2 2
( ) ( ) 0xy y dx x y x dy ; 4) 2
( ) ( ) 0xy x dx y x y dy ;
5) ln 0xy y y ; 6) (2 1)y y tgx ;
7) 2
2y xy xy ; 8) 2
2 1xyy y .
(Відповідь: 1) arctgx tgy C ; 2) 2
arcsin 1y C x ;
3) ln( )
y x
xy C
xy
; 4) 2
1
1
y
e
C x
y
; 5) Cx
y e ;
6) 2 1
cos
C
y
x
; 7) 2
2
x Cy
e
y
; 8) 2
1y Cx .)
№ 3. Знайти частинні розв’язки або частинні інтеграли диференціальних
рівнянь при заданих початкових умовах:
1) 2
(2 1) ( 1) 0, (1) 1y x dx x y dy y ; 2) 2 0, (0) 1ydx dy y ;
3)
2
2
2 1 0, (0) 0y
yy x e y ; 4) 3 2
(1 ) 3 , (0) 2x y x y y ;
5)
2
2
1
, ( 4) 0
1
y
y y
x
; 6) 2
sin ln 0, ( 4) 1y x y y y .
(Відповідь: 1) 2
ln 2xy x y ; 2) 1x y ; 3)
2
arcsin 1 y
x e
;
4) 3
2(1 )y x ; 5) 1 1
ln 1
2 1
y
arctgx
y
; 6)
2
ln
1
2
y
ctgx .)
