Το παρόν φυλλάδιο περιέχει μια μικρή εισαγωγή στις βασικές έννοιες των πινάκων. Περιγράφονται οι βασικές πράξεις, βασικές διαδικασίες (αντίστροφος πίνακας, ανάστροφος πίνακας, κ.λ.π.) οι κατηγοριοποιήσεις πινάκων (τετραγωνικοί, διαγώνιοι, τριγωνικοί, συμμετρικοί, κ.λ.π.) και δίνονται μερικά λυμένα παραδείγματα.
Το παρόν φυλλάδιο περιέχει μια μικρή εισαγωγή στις βασικές έννοιες των πινάκων. Περιγράφονται οι βασικές πράξεις, βασικές διαδικασίες (αντίστροφος πίνακας, ανάστροφος πίνακας, κ.λ.π.) οι κατηγοριοποιήσεις πινάκων (τετραγωνικοί, διαγώνιοι, τριγωνικοί, συμμετρικοί, κ.λ.π.) και δίνονται μερικά λυμένα παραδείγματα.
Στο παρόν φυλλάδιο μελετάμε ένα από τα πιο κοινά προβλήματα που εμφανίζονται στα μαθηματικά,
τα γραμμικά συστήματα. Παρουσιάζουμε το γενικό πρόβλημα της επίλυσης ενός
συστήματος με m εξισώσεις και n αγνώστους και την πιο γνωστή μέθοδο επίλυσης, την μέθοδο απαλοιφής του Gauss, χωρίς να δίνουμε
άλλους τρόπους επίλυσης που χρησιμοποιούν επαυξημένους πίνακες και ορίζουσες.
Οι σημειώσεις περιέχουν τα βασικά θεωρήματα για τη σύγκλιση σειρών και τα πιο σημαντικά κριτήρια σύγκλισης (κριτήριο λόγου, κριτήριο οριακού λόγου, κριτήριο σύγκρισης, κριτήριο ρίζας του Cauchy, κριτήριο συμπύκνωσης του Cauchy, κ.λ.π. Περιέχεται επίσης μεθοδολογία και ασκήσεις.
Σημειώσεις στις ακολουθίες για μαθήματα Ανάλυσης σε Πανεπιστήμια και ΤΕΙ. Οι σημειώσεις περιέχουν τα βασικά θεωρήματα, τα σημαντικότερα κριτήρια σύγκλισης και μεθοδολογία ασκήσεων
Στο παρόν φυλλάδιο μελετάμε ένα από τα πιο κοινά προβλήματα που εμφανίζονται στα μαθηματικά,
τα γραμμικά συστήματα. Παρουσιάζουμε το γενικό πρόβλημα της επίλυσης ενός
συστήματος με m εξισώσεις και n αγνώστους και την πιο γνωστή μέθοδο επίλυσης, την μέθοδο απαλοιφής του Gauss, χωρίς να δίνουμε
άλλους τρόπους επίλυσης που χρησιμοποιούν επαυξημένους πίνακες και ορίζουσες.
Οι σημειώσεις περιέχουν τα βασικά θεωρήματα για τη σύγκλιση σειρών και τα πιο σημαντικά κριτήρια σύγκλισης (κριτήριο λόγου, κριτήριο οριακού λόγου, κριτήριο σύγκρισης, κριτήριο ρίζας του Cauchy, κριτήριο συμπύκνωσης του Cauchy, κ.λ.π. Περιέχεται επίσης μεθοδολογία και ασκήσεις.
Σημειώσεις στις ακολουθίες για μαθήματα Ανάλυσης σε Πανεπιστήμια και ΤΕΙ. Οι σημειώσεις περιέχουν τα βασικά θεωρήματα, τα σημαντικότερα κριτήρια σύγκλισης και μεθοδολογία ασκήσεων
Διδακτέα - Εξεταστέα ύλη για το μάθημα "Οικονομία" (ΑΟΘ) της Γ τάξης του Επαγγελματικού λυκείου. Μπορείτε να δείτε και αναλυτικά την ύλη του μαθήματος επιλέγοντας τον παρακάτω σύνδεσμο:
https://view.genially.com/6450d17ad94e2600194eb286
Εκπαιδευτική επίσκεψη στο Μουσείο της Ακρόπολης.pptx
Kef 2 εξισωσεις mathematica
1. 72 2. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
9. Μια κατασκευαστική εταιρεία διαθέτει δυο μηχανήματα Α και Β. Το μηχά-
νημα Β χρειάζεται 12 ώρες περισσότερο από ότι το μηχάνημα Α για να τε-
λειώσει ένα συγκεκριμένο έργο. Ο χρόνος που απαιτείται για να τελειώσει
το έργο, αν χρησιμοποιηθούν και τα δυο μηχανήματα μαζί είναι 8 ώρες. Να
βρείτε το χρόνο που θα χρειαζόταν το κάθε μηχάνημα για να τελειώσει το
έργο αυτό αν εργαζόταν μόνο του.
10. Είναι γνωστό ότι μια ρίζα της εξίσωσης x 4 10 x 2 α 0 είναι ο αριθμός 1.
Να βρείτε το α και να λύσετε την εξίσωση.
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 2ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ
I. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α,
αν ο ισχυρισμός είναι αληθής για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α,
β και γ. Διαφορετικά να κυκλώσετε το γράμμα Ψ .
1. Η εξίσωση (α 1) x α (α 1) έχει μοναδική λύση την x α . Α Ψ
(για α=1 είναι 0x = 0 δηλ. ταυτότητα)
2. H εξίσωση x 1 x 2 0 είναι αδύνατη. Α Ψ
(αφού οι εξισώσεις |x|=-1 και |x|=-2 είναι αδύνατες )
3. H εξίσωση x 1 x 2 0 έχει δύο πραγματικές ρίζες. Α Ψ
(4 ρίζες τις -1, 1, -2, 2 )
4. H εξίσωση x 1 x 2 0 έχει δύο πραγματικές ρίζες. Α Ψ
(τις x=1 και x=-1 αφού η εξίσωση |x|=-2 είναι αδύνατη)
5. Η εξίσωση x x 2 έχει μοναδική λύση. (είναι αδύνατη) Α Ψ
6. Η εξίσωση x 2 x έχει μοναδική λύση. (την x=1) Α Ψ
7. Αν οι συντελεστές α και γ της εξίσωσης αx 2 βx γ 0 είναι Α Ψ
ετερόσημοι, τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες. (αγ<0 οπότε -4αγ>0 άρα Δ>0)
8. Αν δύο εξισώσεις 2ου βαθμού έχουν τις ίδιες ρίζες, τότε οι
συντελεστές των ίσων δυνάμεων του x των εξισώσεων αυ- Α Ψ
τών είναι ίσοι.
2 2
(x -5x+6=0 και 2x -10x+12=0 έχουν ίδιες ρίζες τις 2 και 3 )
9. Η εξίσωση αx 2 2 x α 0 έχει δύο ρίζες πραγματικές και Α Ψ
άνισες.
(για α=0 έχει μοναδική λύση x=0)
ΤΣΟΥΚΑΤΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΛΕΩΝΙΔΙΟ
2. 2.3 Εξισώσεις 2ου βαθμού 73
10. Η εξίσωση x 2 4αx 4α 2 0 , με α 0 , έχει δύο ρίζες Α Ψ
πραγματικές και άνισες. (Δ=0 άρα έχει μια ρίζα διπλή)
11. Η εξίσωση α 2 x 2 2αx 2 0 , με α 0 , δεν έχει πραγματι- Α Ψ
κές ρίζες. 2
(Δ=-4α <0 αφού α ≠0 και δεν έχει πραγματικές ρίζες)
12. Η εξίσωση 2 x 2 3αx α 2 0 δεν έχει πραγματικές ρίζες. Α Ψ
2
(Δ=α ≥ 0 άρα έχει ή μια ρίζα διπλή ή δύο άνισες)
13. 1
Η εξίσωση x 2 α x 1 0 , με α 0, 1 έχει δύο άνισες
α Α Ψ
και αντίστροφες πραγματικές ρίζες. (Για α=-1 έχει διπλή ρίζα το x=-1)
x 2 3x 2
14. Οι εξισώσεις 0 και x 2 3 x 2 0 έχουν τις Α Ψ
x 1
ίδιες λύσεις. (Το 1 ρίζα μόνο της δεύτερης εξίσωσης)
15. 2 x 2 3x 1
Οι εξισώσεις 5 και (2 x 2 3 x 1) 5( x 2 1) Α Ψ
x2 1
έχουν τις ίδιες λύσεις. (Το -1 ρίζα μόνο της δεύτερης εξίσωσης)
16. Υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί x και y που να έχουν άθροι-
Α Ψ
σμα S 10 και γινόμενο P 16 .
-2-8=-10 και (-2)(-8)=16 άρα x=-2 και y=-8
17. Υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί x και y που να έχουν άθροι-
Α Ψ
σμα S 10 και γινόμενο P 25 .
5+5=10 και 5∙5=25 άρα x=y=5
18. Υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί x και y που να έχουν άθροι-
5 Α Ψ
σμα S 2 και γινόμενο P 2 .
2
( η εξίσωση x -2x+2=0 έχει Δ=-4<0 άρα δεν έχει πραγματικές ρίζες)
II. Να εντοπίσετε το λάθος στους παρακάτω συλλογισμούς:
1. Η εξίσωση (2 x 1)( x 2) (3 2 x)( x 2) γράφεται ισοδύναμα:
(2 x 1)( x 2) (3 2 x)( x 2) 2 x 1 3 2 x 4 x 4 x 1 .
Όμως και ο αριθμός x 2 επαληθεύει τη δοθείσα εξίσωση.
Δεν απλοποιούμε μεταβλητή. Με την απλοποίηση του x+2 "χάθηκε" η λύση x= -2
2. Η εξίσωση 2 x 1 x 2 γράφεται ισοδύναμα:
2 x 1 x 2 2 x 1 x 2 ή 2 x 1 2 x x 1 ή x 1 .
Όμως καμία από τις τιμές αυτές του x δεν επαληθεύει τη δοθείσα εξίσωση.
Το πρώτο μέλος σαν απόλυτο είναι μη αρνητικός αριθμός οπότε πρέπει
x-2≥0 !Ôx≥2 άρα & το -1 & το 1 απορρίπτονται
ΤΣΟΥΚΑΤΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΛΕΩΝΙΔΙΟ