Απόλυτη τιμή (Εκπαιδευτικό σενάριο)

Σελίδα | 1
Εκπαιδευτικό σενάριο
Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού
Συγγραφέας
Γιαννάκης Ζήνων
Γνωστική περιοχή
Άλγεβρα Α΄ Λυκείου
Θέμα
Το προτεινόμενο θέμα αφορά τη γεωμετρική ερμηνεία της απόλυτης τιμής
Τεχνολογικά εργαλεία
Το σενάριο θα διεξαχθεί με τη χρήση του λογισμικού Geogebra
Σκεπτικό
Βασική ιδέα
Η μετάβαση από την απόλυτη τιμή ενός συγκεκριμένου αριθμού στην απόλυτη
τιμή του x, αποτελεί ένα μεγάλο διδακτικό εμπόδιο, το οποίο επιδιώκεται να
ξεπεραστεί με το παρόν σενάριο.
Οι μαθητές θα ορίσουν την απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α ως την
απόσταση ενός σημείου με τετμημένη α από την αρχή Ο του άξονα και θα
συνδέσουν τον γεωμετρικό με τον αλγεβρικό ορισμό.
Η διδακτική αυτή παρουσίαση πλεονεκτεί έναντι της φορμαλιστικής αντιμε-
τώπισής της απόλυτης τιμής ως ένα σύνολο από τυπικές αλγοριθμικές διαδι-
κασίες.
Οι μαθητές θα βρουν, επίσης, γεωμετρικά τους πραγματικούς αριθμούς x για
τους οποίους ισχύουν σχέσεις με απόλυτες τιμές της μορφής: 0| |x x θ− =,
0| |x x θ− < , 0| |x x θ− > και 1 2| | | |x x x x− = − .
Digitally signed by Zinos Giannakis
Date: 2018.02.16 22:28:40 +02'00'

Σελίδα | 2
Γνωστικά - διδακτικά προβλήματα
Η έννοια της απόλυτης τιμής και οι εφαρμογές της ανήκουν στα αντικείμενα
που δυσκολεύουν πολύ τους μαθητές της Α΄ Λυκείου. Οι μαθητές αντιλαμβά-
νονται την έννοια αρκετά αφηρημένα και προσπαθούν να λύσουν προβλήματα
και ασκήσεις εγκλωβισμένοι πολλές φορές σε έναν άγονο φορμαλισμό. Δυ-
σκολεύονται να συνδέσουν με επάρκεια το γεωμετρικό και τον αλγεβρικό ο-
ρισμό της απόλυτης τιμής και εν γένει η Άλγεβρα και η Γεωμετρία για τους
μαθητές φαίνονται ξένα και ασύνδετα μεταξύ τους Μαθηματικά πεδία.
Καινοτομίες
• Επιτυγχάνεται η οπτική αναπαράσταση της απόλυτης τιμής.
• Περιορίζεται σημαντικά η ανάπτυξη μεγάλης αλγεβρικής "μεθοδολογίας"
και η ενασχόληση του μαθητή με αφηρημένη αλγεβρική διερεύνηση (π.χ.
διάκριση περιπτώσεων για τις τιμές του x, ή πίνακας πρόσημου για τις
παραστάσεις που βρίσκονται στα απόλυτα κ.λπ.).
• Πραγματοποιείται η γνωριμία του μαθητή με ένα δυναμικό λογισμικό και
γενικά με τις νέες τεχνολογίες και τις δυνατότητές τους. Επιτυγχάνεται η
εμπλοκή του μαθητή στη διαδικασία λύσης και ανακάλυψης του πραγμα-
τικού περιεχομένου των εννοιών και τελικά της λύσης.
Προστιθέμενη αξία
Με τη χρήση του δυναμικού λογισμικού γίνεται πολύ γρήγορα και εύκολα η
διερεύνηση για την ύπαρξη ή όχι λύσης, αλλά και ο προσδιορισμός των λύ-
σεων. Γίνεται ταυτόχρονα περισσότερο αντιληπτή η «γεωμετρική εικόνα» της
εξίσωσης ή της ανίσωσης.
Θεωρητικό πλαίσιο
• Ακολουθείται μία βήμα προς βήμα διαδικασία ανακάλυψης και κατα-
σκευής της γνώσης.
• Ανατίθεται εργασία σε ομάδες (ομαδοσυνεργατική μάθηση) με τον διδά-
σκοντα να είναι στη θέση συμβούλου και καθοδηγητή στη δραστηριότητα
που λαμβάνει χώρα και όχι απλός μεταφορέας γνώσης.

Σελίδα | 3
Πλαίσιο εφαρμογής
Σε ποιους απευθύνεται
Το σενάριο απευθύνεται σε μαθητές της Α΄ Λυκείου.
Χρόνος υλοποίησης
Για την εφαρμογή του σεναρίου απαιτούνται τέσσερις (4) διδακτικές ώρες.
Ο χρόνος αυτός εξαρτάται από το αν οι μαθητές διδάσκονται ή όχι για πρώτη
φορά μη-μετωπικά, με φύλλο εργασίας, Η/Υ κ.τ.λ. και το από αν ή το πόσο
καλά κατέχουν τις προαπαιτούμενες γνώσεις.
Χώρος υλοποίησης
Το σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί εξ’ ολοκλήρου στο εργαστήριο υπολογι-
στών, εκτός ίσως από κάποιες αποδείξεις ή ασκήσεις που μπορούν να γίνουν
στην τάξη, εμβόλιμα των ωρών του σεναρίου, ή στο τέλος του σεναρίου.
Προαπαιτούμενες γνώσεις
Ως προς τα μαθηματικά οι μαθητές θα πρέπει να γνωρίζουν:
• Την έννοια του άξονα των πραγματικών αριθμών.
• Την έννοια της τετμημένης.
• Την έννοια του αντίθετου ενός αριθμού.
• Την έννοια του συμμετρικού ενός σημείου.
• Τον ορισμό του κύκλου.
• Την έννοια της διάταξης και τις ιδιότητες των ανισοτήτων.
• Την έννοια του διαστήματος.
Ως προς την τεχνολογία οι μαθητές θα πρέπει να γνωρίζουν:
• Το περιβάλλον και τις βασικές εντολές του λογισμικού.
Απαιτούμενα βοηθητικά υλικά και εργαλεία
Στους μαθητές δίνονται, από το διδάσκοντα, κατάλληλα φύλλα εργασίας και
αναλυτικές οδηγίες για την υλοποίηση του σεναρίου στο λογισμικό Geogebra.

Σελίδα | 4
Επίσης αν χρειαστεί οι μαθητές μπορούν να χρησιμοποιήσουν τα τετράδια
τους.
Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης
Οι μαθητές εργαζόμενοι σε ομάδες των τριών ατόμων και καθοδηγούμενοι
από το φύλλο εργασίας κατασκευάζουν, εξερευνούν και απαντούν σε συγκε-
κριμένα ερωτήματα. Επομένως, συνεργάζονται και προκειμένου να υπάρχει
κοινός στόχος και η βέλτιστη δυνατή συνεργασία καλούνται να συμπληρώ-
σουν το κοινό φύλλο εργασίας που περιέχει σχετικές ερωτήσεις με το θέμα.
Το φύλλο εργασίας αφήνει μια μεγάλη ελευθερία στους μαθητές ώστε να θέ-
τουν δικά τους ερωτήματα και να απαντούν σε αυτά.
Ο ρόλος του καθηγητή είναι ο έλεγχος των συμπερασμάτων των μαθητών, η
συνεργασία μαζί τους, η καθοδήγηση και η διευκόλυνση αυτών ώστε να κα-
τανοούν τα συμπεράσματα τους. Ο καθηγητής ενθαρρύνει τους μαθητές να
συνεχίσουν, παρέχοντάς τους συμβουλές και ανατροφοδότηση όπου χρειάζε-
ται.
Στόχοι
Από την εφαρμογή του σεναρίου οι μαθητές θα μάθουν να ανακαλύπτουν τη
γνώση μέσα από την συνεργασία τους.
Θα μάθουν να διερευνούν με δυναμικό τρόπο τα σχήματα που οι ίδιοι κατα-
σκευάζουν και έτσι θα κάνουν εικασίες και υποθέσεις σχετικές με τα προβλή-
ματα που έχουν.
Κοινωνικοί στόχοι
Οι μαθητές, εργαζόμενοι σε ομάδες των τριών ατόμων, ωθούνται προς τη
συνεργασία και την ανταλλαγή απόψεων με σκοπό την επίτευξη ενός στόχου.
Στην κατεύθυνση αυτή έρχεται να βοηθήσει και η ύπαρξη του φύλλου εργα-
σίας.
Στόχοι ως προς το γνωστικό αντικείμενο
Οι μαθητές αναμένεται:

Σελίδα | 5
• Να ορίζουν αλγεβρικά την απόλυτη τιμή, συνδέοντάς τη με τη γεωμετρική
της ερμηνεία.
• Να διερευνούν και να αποδεικνύουν τις βασικές ιδιότητες της απόλυτης
τιμής.
• Να ερμηνεύουν γεωμετρικά τις ιδιότητες και να τις χρησιμοποιούν στην
επίλυση προβλημάτων.
• Να βρίσκουν τους πραγματικούς αριθμούς x για τους οποίους ισχύουν οι
σχέσεις: 0| |x x θ− =, 0| |x x θ− < , 0| |x x θ− > και 1 2| | | |x x x x− = − , (
0 1 2, , ,θ χ χ χ ∈  ).
Στόχοι ως προς τη χρήση νέων τεχνολογιών
Οι μαθητές αναμένεται:
• Να αναπτύξουν την ικανότητα να συλλέγουν δεδομένα, να τα καταγρά-
φουν και με βάση αυτά και τις παρατηρήσεις τους να εξάγουν ανάλογα
συμπεράσματα.
• Να εξοικειωθούν με το λογισμικό, το οποίο θα τους είναι πολύ χρήσιμο
σε άλλες μελλοντικές δραστηριότητες και σενάρια.
• Να ενθαρρυνθούν να «ανακαλύψουν» μόνοι τους το λογισμικό δουλεύο-
ντας και στο σπίτι, εκμεταλλευόμενοι το γεγονός ότι αυτό διατίθεται ε-
λεύθερα.
Στόχοι ως προς τη μαθησιακή διαδικασία
Οι μαθητές καλούνται:
• Να πειραματιστούν με τις περιεχόμενες μαθηματικές έννοιες, θέτοντας
ερωτήματα και κάνοντας διάφορες εικασίες.
• Να οργανώσουν τα δεδομένα τους από τη διερεύνηση, ώστε να διευκο-
λυνθούν στην εξαγωγή συμπερασμάτων.
• Να ενεργοποιηθούν στο να κάνουν υποθέσεις και να τις ελέγχουν ως
προς την ορθότητα τους.
• Να εργάζονται ομαδικά, αλλά και ατομικά, καλλιεργώντας το διάλογο,
την επιχειρηματολογία και την κριτική σκέψη.

Σελίδα | 6
• Να καλλιεργούν την ατομική και συλλογική τους ευθύνη για το παραγό-
μενο αποτέλεσμα.
Ανάλυση του σεναρίου
Το φύλλο εργασίας περιλαμβάνει τρεις (3) παραγράφους.
1 Ορισμός της απόλυτης τιμής
2 Βασικές ιδιότητες της απόλυτης τιμής
3 Απόσταση δύο αριθμών
Η παράγραφος «Ορισμός της απόλυτης τιμής» θα διαχωριστεί σε 2 φάσεις και
αναμένεται να διατεθούν δύο (2) ώρες. Για τις παραγράφους «Βασικές ιδιό-
τητες της απόλυτης τιμής» και «Απόσταση δύο αριθμών» αναμένεται να δια-
τεθεί από μία (1) ώρα.
Κάποιες αποδείξεις και ασκήσεις θα μπορούσαν να παραλειφθούν, αν δεν υ-
πάρχει χρόνος, και να δοθούν σαν εργασία. Κάποιες άλλες θα μπορούσαν να
παραλειφθούν λόγω ελάττωσης των απαιτήσεων.
Όλες οι δραστηριότητες γίνονται σαφείς από το φύλλο εργασίας και από το
γενικό πλαίσιο λειτουργίας του, όπου οι μαθητές καλούνται να ανταποκρι-
θούν σε αυτό και ο εκπαιδευτικός να συμβάλλει υποστηρικτικά.
Περιληπτικά επισημαίνονται τα παρακάτω σημεία.
1η φάση
Στην έναρξη της διαδικασίας οι μαθητές θα ενημερωθούν για τις γενικές γραμ-
μές του σεναρίου και τα ζητούμενά του, θα διευκρινιστεί ο τρόπος λειτουργίας
μεταξύ των μελών των ομάδων και θα εξηγηθεί ο τρόπος χρήσης του φύλλου
εργασίας και των μικροεφαρμογών.

Σελίδα | 7
Στη συνέχεια οι μαθητές να ανοίξουν το αρχείο «ΑΤ1» στο οποίο φαίνεται ο
άξονας xx' και κάποια σημεία του. Θα κατασκευάσουν ένα δρομέα και θα ει-
σάγουν ένα σημείο πάνω στον άξονα που θα κινείται με τη βοήθεια του δρο-
μέα.
Επιδιώκεται να παρατηρήσουν οι μαθητές ότι η απόσταση δύο σημείων είναι
πάντα θετικός αριθμός, εκτός της περίπτωσης που τα σημεία ταυτίζονται, ο-
πότε είναι μηδέν. Κατόπιν καλούνται οι μαθητές να εκφράσουν αλγεβρικά τις
παρατηρήσεις τους, να διατυπώσουν τον αλγεβρικό ορισμό της απόλυτης τι-
μής, να αποδείξουν κάποιες άμεσες συνέπειες του ορισμού και να λύσουν κά-
ποιες ασκήσεις.
2η φάση
Η δεύτερη φάση αφορά την εύρεση των τιμών του x ώστε να ισχύουν οι σχέ-
σεις της μορφής: | |x θ= , | |x θ< , | |x θ> με 0θ > .
Οι μαθητές γνωρίζουν, έστω και εμπειρικά, την ιδιότητα των σημείων ενός
κύκλου, τα οποία ισαπέχουν από το κέντρο του. Έτσι θα τους ζητηθεί να α-
νοίξουν το αρχείο «ΑΤ2», να εισάγουν ένα σημείο Μ πάνω στον άξονα xx' και
να κατασκευάσουν έναν κύκλο με κέντρο το Ο και ακτίνα (ΟΜ).
Στο σημείο αυτό δεν έχει υιοθετηθεί η σειρά που ακολουθεί το σχολικό βιβλίο,
διότι με την προηγούμενη κατασκευή προκύπτουν άμεσα οι τιμές του x για τις
οποίες ισχύουν οι σχέσεις της μορφής | |x θ< , | |x θ> με 0θ > .
Στη συνέχεια θα ζητηθεί από τους μαθητές να βρουν τις τιμές του x ώστε να
ισχύουν οι σχέσεις της μορφής: | |x θ= , | |x θ< , | |x θ> με 0θ < και 0θ = .

Σελίδα | 8
Θα χρειαστεί ενδεχομένως να θυμηθούν ότι το σύμβολο | |x εκφράζει μήκος
ευθύγραμμου τμήματος.
3η φάση
Η τρίτη φάση αφορά τις βασικές ιδιότητες των απόλυτων τιμών και, εναλλα-
κτικά, θα μπορούσε να παρουσιαστεί στην τάξη με τη χρήση βιντεοπροβολέα.
Οι μαθητές θα συμπληρώσουν έναν πίνακα για να οδηγηθούν στις σχέσεις
| | | | | |α β α β⋅ = ⋅ ,
| |
| |
α α
β β
= και | | | | | | | | | |α β α β α β− ≤ ± ≤ + .
Θα αποδείξουν τις δύο πρώτες ιδιότητες ενώ με τη βοήθεια του αρχείου «ΑΤ3»
θα συμπληρώσουν κάποιες προτάσεις σχετικές με την τριγωνική ανισότητα.
Στο τέλος θα λύσουν δύο σχετικές ασκήσεις.

Σελίδα | 9
4η φάση
Δίνονται οι ορισμοί της απόστασης δύο αριθμών α και β, καθώς και του μή-
κους, του κέντρου και της ακτίνας ενός διαστήματος.
Οι μαθητές με τη βοήθεια του αρχείου «ΑΤ4» θα απαντήσουν σε κάποιες ερω-
τήσεις σχετικές με τις παραπάνω έννοιες.

Σελίδα | 10
Αμέσως μετά οι μαθητές θα ανοίξουν το αρχείο «ΑΤ5» και με τη μέθοδο "άξο-
νας-κύκλος" θα βρουν τις τιμές του x ώστε να ισχύουν οι σχέσεις της μορφής
0| |x x θ− =, 0| |x x θ− < και 0| |x x θ− > με 0θ > και αντίστροφα θα βρουν
σχέσεις της παραπάνω μορφής με τη βοήθεια του κέντρου και της ακτίνας
κατάλληλου διαστήματος.

Σελίδα | 11
Επέκταση του σεναρίου
Ως προς την επέκταση των παραπάνω οι μαθητές μπορούν να βρουν τους
πραγματικούς αριθμούς x για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις:
• | |αx β γ+ =, • | |αx β γ+ < , • | |αx β γ+ > ,
• | | | |αx β γx δ+ = + , • | |αx β γx δ+ = + , • | | | |x α x β γ+ + + =,
• | | | |x α x β γ+ + + < , • | | | |x α x β γ+ + + > , • 2
| | 0αx β x γ+ + =.
Βιβλιογραφία
• Επιμορφωτικό υλικό Γενικό μέρος Γ' εκδ. (Μάρτιος 2013)
• Επιμορφωτικό υλικό ΠΕ03 Β' εκδ. (Νοέμβριος 2010)
• Πρόγραμμα Σπουδών Μαθηματικών Α' τάξης Γενικού Λυκείου
• Οδηγίες για τον Εκπαιδευτικό - Άλγεβρα Α' Λυκείου
• Βιβλίο μαθητή Α' λυκείου (Απόλυτη τιμή)
• Βιβλίο καθηγητή Α' λυκείου (Απόλυτη τιμή)

Σελίδα | 12
Φύλλο Εργασίας
Γνωστική περιοχή Άλγεβρα Α΄ Λυκείου
Θέμα Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού
Ονοματεπώνυμο
Τμήμα
Ημερομηνία

Σελίδα | 13
Ανοίξτε το αρχείο «ΑΤ0 (κενό)».
Παρατηρήστε το πεδίο εισαγωγής και τα εικονίδια της γραμμής εργαλείων:
Μετακίνηση
(Σύρετε ή επιλέξτε αντικείμενα) (Esc)
Νέο σημείο
(Κλικ στην προβολή γραφικών ή στη γραμμή, συνάρτηση ή καμπύλη)
Τμήμα μεταξύ δύο σημείων
(Επιλέξτε δύο σημεία)
Μέσο ή κέντρο
(Επιλέξτε δύο σημεία, τμήμα, κύκλο ή κωνική τομή)
Τομή δύο αντικειμένων
(Επιλέξτε δύο γραμμές χωριστά ή κάντε κλικ στο σημείο τομής)
Κύκλος με κέντρο και ακτίνα
(Επιλέξτε το κέντρο του κύκλου και την ακτίνα)
Δρομέας
(Κλικ στην προβολή γραφικών για να ρυθμίσετε τη θέση του δρομέα)
Να θυμάστε!
• Για να επιλέξετε κάποιο αντικείμενο, πατήστε πρώτα στο 1ο εικονίδιο της
γραμμής εργαλείων.
• Για να διαγράψετε κάποιο αντικείμενο, επιλέξτε το και πατήστε «Delete».
(Εναλλακτικά κάντε δεξί κλικ και πατήστε «Διαγραφή»).
• Για να αποκρύψετε κάποιο αντικείμενο, κάντε δεξί κλικ και καταργήστε την
επιλογή «Δείξτε το αντικείμενο». Εναλλακτικά επιλέξτε το και από το μενού
«Επεξεργασία» επιλέξτε την εντολή «Εμφάνιση / απόκρυψη αντικειμένων
(Ctrl+G)».
Κλείστε το αρχείο.

Σελίδα | 14
1 Ορισμός της απόλυτης τιμής
Ανοίξτε το αρχείο «ΑΤ1».
Βλέπετε τον άξονα των πραγματικών αριθμών με αρχή το Ο και τα σημεία
του Α, Β, Γ και Δ.
Εισαγωγή δρομέα (μεταβολέα)
Πατήστε στο 7ο εικονίδιο στη γραμμή εργαλείων. Κάντε κλικ σε ένα οποιοδή-
ποτε ελεύθερο μέρος στην προβολή γραφικών και στο εμφανιζόμενο παρά-
θυρο:
• Μετονομάστε το δρομέα σε «α»,
• Δώστε ελάχιστη τιμή «‒8», μέγιστη τιμή «8» και αύξηση (βήμα) «0.5».
Εισαγωγή μεταβλητού σημείου πάνω στον άξονα
Κάντε κλικ στο πεδίο εισαγωγής, γράψτε «Μ=(α, 0)» και πατήστε «Εnter ↵».
• Κάντε δεξί κλικ πάνω στο σημείο Μ και από το αναδυόμενο μενού επι-
λέξτε «Ιδιότητες». (Εναλλακτικά επιλέξτε την εντολή «Ιδιότητες» από το
μενού «Επεξεργασία» ή πατήστε το συνδυασμό πλήκτρων «Ctrl+E»)
• Στο παράθυρο «Ιδιότητες» που εμφανίζεται πατήστε στην καρτέλα «Βα-
σικά», πληκτρολογήστε τον τίτλο «Μ(α)» και επιλέξτε να εμφανίζεται η
ετικέτα «Τίτλος».
Επιλέξτε το 1ο εικονίδιο της γραμμής εργαλείων και μετακινήσετε το δρομέα
α με το ποντίκι ή με βελάκια του πληκτρολογίου.
Παρατηρήστε ότι το σημείο Μ κινείται πάνω στον άξονα.
Κατασκευή τμήματος
Κάντε κλικ στο 3ο εικονίδιο της γραμμής εργαλείων και επιλέξτε διαδοχικά
τα σημεία Ο και Μ για να κατασκευάσετε το ευθύγραμμο τμήμα ΟΜ.
• Αλλάξτε το όνομα του αντικειμένου από "a" που προτείνει το λογισμικό
σε «ΟΜ» και επιλέξτε να εμφανίζεται η ετικέτα «Όνομα & Τιμή».
• Μετακινήστε το δρομέα α ώστε το σημείο Μ να ταυτιστεί με τα σημεία Α,
Β, Γ και Δ.

Σελίδα | 15
Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα.
Σημείο του άξονα Ο Α Β Γ Δ
Τετμημένη σημείου
Απόσταση από το Ο
Θυμηθείτε τους παρακάτω ορισμούς συμπληρώνοντας τα κενά:
Απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α είναι η __________ . του
σημείου με τετμημένη _____ από την αρχή Ο του άξονα και συμβολίζεται
| |α .
Αντίθετοι ονομάζονται δύο αριθμοί που είναι __________ . και έχουν
την ίδια _____________ . .
Συμπληρώστε τον πίνακα που ακολουθεί.
Αριθμός 0 2
13
5
13
5
− 2−
Αντίθετος
Απόλυτη τιμή
Ο αντίθετος αριθμός του α είναι ο . .
Εισαγωγή σημείου που αντιστοιχεί στον αντίθετο του α
Κάντε κλικ στο πεδίο εισαγωγής, γράψτε «Μ'=(‒α, 0)» και πατήστε «Εnter ↵».
Δώστε τον τίτλο «Μ'(‒α)» και επιλέξτε να εμφανίζεται η ετικέτα «Τίτλος».
Πειραματιστείτε με το δρομέα α.

Σελίδα | 16
Συμπληρώστε τα παρακάτω κενά.
Η απόλυτη τιμή ενός θετικού αριθμού είναι . .
Η απόλυτη τιμή ενός αρνητικού αριθμού είναι . .
Η απόλυτη τιμή του μηδενός είναι . .
Τοποθετήστε ένα "X" στην αντίστοιχη στήλη. Σωστό Λάθος
Ο αριθμός ‒α είναι αρνητικός.
Αν α < 0, τότε ο αριθμός ‒α είναι θετικός.
Αν α = ‒α, τότε α = 0.
Για κάθε πραγματικό αριθμό α, ισχύει | |α α= .
Αν α < 0, τότε ισχύει | |α α= − .
Για κάθε πραγματικό αριθμό α, ισχύει | | 0α− ≤ .
Συμπληρώστε τα παρακάτω κενά ώστε να έχουμε τον αλγεβρικό ορισμό της
απόλυτης τιμής πραγματικού αριθμού.
, ............
| | 0, ............
, ............
α αν α
α αν α
α αν α


= 

−
ή πιο σύντομα
, ............
| |
, ............
α αν α
α
α αν α

= 
−

Σελίδα | 17
Άμεσες συνέπειες του ορισμού της απόλυτης τιμής
Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις για κάθε μία από τις περιπτώσεις:
• 0α > , • 0α < , • 0α = .
1. | | 0α ≥ , για κάθε πραγματικό αριθμό α.
2. | | | |α α= − , για κάθε πραγματικό αριθμό α.
3. | |α α≥ , για κάθε πραγματικό αριθμό α.
4. | |α α≥ − , για κάθε πραγματικό αριθμό α.
5. | | | |α α α− ≤ ≤ , για κάθε πραγματικό αριθμό α.
6. 2 2
| |α α= , για κάθε πραγματικό αριθμό α.

Σελίδα | 18
Ασκήσεις
1. Γράψτε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς απόλυτες τιμές.
i. | 2 2|− = .
ii. | 3|π − = .
iii. | 4|π − = .
iv. |3 | |4 |π π− + − = .
2. Γράψτε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς απόλυτες τιμές.
i. Αν 2x ≥ , τότε | 2|x − = .
ii. Αν 3x ≤ − , τότε | 3|x + = .
iii. Αν 2x ≥ , τότε | 2| | 3|x x− − + = .
iv. Αν 3 2x− ≤ ≤ , τότε | 2| | 3|x x− + + = .
3. Δίνεται η παράσταση
| | | |x y
A
x y
= + με , 0x y ≠ .
Βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει η παράσταση συμπληρώνοντας τα παρα-
κάτω κενά.
i. Αν 0x > και 0y > , τότε Α = .
ii. Αν 0x > και 0y < , τότε Α = .
iii. Αν 0x < και 0y > , τότε Α = .
iv. Αν 0x < και 0y < , τότε Α = .
Θυμηθείτε τις παρακάτω γεωμετρικές έννοιες συμπληρώνοντας τα κενά:
Έστω ο άξονας x'x με αρχή το Ο. Για κάθε σημείο Μ του άξονα, υπάρχει μο-
ναδικό σημείο Μ' τέτοιο, ώστε το Ο να είναι το μέσο του ΜΜ'.
Το σημείο Μ' λέγεται . τ-------- του Μ ως προς το Ο.

Σελίδα | 19
Έστω ένα σταθερό σημείο Ο και ένα τμήμα με μήκος ρ. Το σχήμα του οποίου
όλα τα σημεία απέχουν από το Ο απόσταση ίση με ρ, λέγεται ______. τ
με ._________ τ το Ο και . ________τ ρ.
Ανοίξτε το αρχείο «ΑΤ2» και κάντε την παρακάτω κατασκευή για να συ-
μπληρώστε την 3η στήλη του παρακάτω πίνακα.
Εισαγωγή σημείου Μ πάνω στον άξονα x'x
Πατήστε στο 2ο εικονίδιο της γραμμής εργαλείων και κάντε κλικ πάνω στον
άξονα x'x. Μετονομάστε το σημείο σε «Μ» και μετακινήστε το δοκιμαστικά
πάνω στον άξονα.
Κατασκευή τμήματος ΟΜ
Πατήστε στο 3ο εικονίδιο της γραμμής εργαλείων και επιλέξτε διαδοχικά τα
σημεία Ο και Μ. Μετονομάστε το τμήμα σε «d» και επιλέξτε να εμφανίζεται η
ετικέτα «Όνομα & Τιμή».
Κατασκευή κύκλου με κέντρο το Ο και ακτίνα το μήκος του τμήματος ΟΜ
Πατήστε στο 6ο εικονίδιο της γραμμής εργαλείων, επιλέξτε τo σημείο Ο και
πληκτρολογήστε «d» ως ακτίνα.
Εύρεση του 2ου σημείου στο οποίο ο κύκλος τέμνει τον άξονα x'x
Πατήστε στο 5ο εικονίδιο της γραμμής εργαλείων, κάντε κλικ στο 2ο σημείο
τομής του κύκλου και του άξονα x'x και μετονομάστε το σημείο σε «Μ'».
Τα σημεία Μ και Μ' είναι συμμετρικά ως προς το Ο. Άρα οι τετμημένες τους
έχουν την ίδια απόσταση από το 0.

Σελίδα | 20
Βρείτε τις τιμές του
x ώστε να ισχύει:
Βρείτε τις τιμές του x ώστε
η απόστασή τους από το …
Οι τιμές του x
είναι:
| | 2x =
| | 3x <
| | 1x ≥
… 0 να είναι ίση με 3 μονάδες
… 0 να είναι μικρότερη
από 1 μονάδα
… 0 να είναι μεγαλύτερη ή ίση
από 2 μονάδες
1x = − ή 1x =
2 2x− ≤ ≤
3x < − ή 3x >
Συμπληρώστε τις παρακάτω ιδιότητες.
1. | |x θ= ⇔ . , για κάθε x ∈  και 0θ > .
2. | |x θ< ⇔ . , για κάθε x ∈  και 0θ > .
3. | |x θ> ⇔ . , για κάθε x ∈  και 0θ > .
Αποδείξτε τις ιδιότητες για κάθε μία από τις περιπτώσεις:
• 0x > , • 0x < , • 0x = .

Σελίδα | 21
είναι:
| | 2x = −
| | 3x < −
| | 1x ≥ −
| | 0x =
| | 0x ≥
| | 0x >
| | 0x <
| | 0x ≤
Υπενθύμιση
Το σύμβολο | |x εκφράζει μήκος ευθύγραμμου τμήματος.

Σελίδα | 22
Άσκηση
Τι σημαίνουν οι παρακάτω εκφράσεις για τους αριθμούς x και y;
• | | | | 0x y+ =
• | | | | 0x y+ >
• | | | | 0x y+ ≥
• | | | | 0x y+ ≤
• | | | | 0x y+ <
2 Βασικές ιδιότητες της απόλυτης τιμής
α β | |α β⋅ | | | |α β⋅
α
β
| |
| |
α
β
| |α β+ | |α β− | | | |α β+ | | | |α β−
3 4
3 –4
–3 4
–3 –4
0 4

Σελίδα | 23
Συμπληρώστε τα κενά στις παρακάτω ιδιότητες επιλέγοντας το κατάλληλο
σύμβολο ( , , , ,= < > ≤ ≥).
Για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει ................| | | | | |α β α β⋅ ⋅ .
Για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει ................
| |
| |
α α
β β
.
Αποδείξτε τις ιδιότητες για κάθε μία από τις περιπτώσεις:
• 0α ≥ και 0β ≥ • 0α ≥ και 0β < • 0α < και 0β ≥ • 0α < και 0β <
Ανοίξτε το αρχείο «ΑΤ3» και πειραματιστείτε με τους δρομείς α και β.
Συμπληρώστε τα κενά στις παρακάτω ιδιότητες επιλέγοντας το κατάλληλο
σύμβολο ( , , , ,= < > ≤ ≥).
Για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει ................| | | | | |α β α β+ + .
Για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει ................| | | | | |α β α β+ −
Για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει ................| | | | | |α β α β− + .
Για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει ................| | | | | |α β α β− −
Αν 0α β⋅ =, τότε ισχύει ................| | | | | |α β α β+ + .

Σελίδα | 24
Αν οι αριθμοί α, β είναι ομόσημοι, τότε ισχύει ................| | | | | |α β α β+ + .
Αν οι αριθμοί α, β είναι ετερόσημοι, τότε ισχύει ................| | | | | |α β α β+ + .
Αν 0α β⋅ =, τότε ισχύει ................| | | | | |α β α β+ − .
Αν οι αριθμοί α, β είναι ομόσημοι, τότε ισχύει ................| | | | | |α β α β+ − .
Αν οι αριθμοί α, β είναι ετερόσημοι, τότε ισχύει ................| | | | | |α β α β+ − .
Αν 0α β⋅ =, τότε ισχύει ................| | | | | |α β α β− + .
Αν οι αριθμοί α, β είναι ομόσημοι, τότε ισχύει ................| | | | | |α β α β− + .
Αν οι αριθμοί α, β είναι ετερόσημοι, τότε ισχύει ................| | | | | |α β α β− + .
Αν 0α β⋅ =, τότε ισχύει ................| | | | | |α β α β− − .
Αν οι αριθμοί α, β είναι ομόσημοι, τότε ισχύει ................| | | | | |α β α β− − .
Αν οι αριθμοί α, β είναι ετερόσημοι, τότε ισχύει ................| | | | | |α β α β− − .
Σχόλιο
Για κάθε 1 2, ,......, να α α ∈  και , 2ν ν∈ ≥ ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες.
1 2 1 2| ...... | | | | | ...... | |ν να α α α α α⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
| | | |ν ν
α α= (Αν 1 2 ...... να α α α= = = = )
1 2 1 2| ...... | | | | | ...... | |ν να α α α α α+ + + ≤ + + +

Σελίδα | 25
Ασκήσεις
1. Αν α β≠ , βρείτε την τιμή της παράστασης
α β
β α
−
−
.
2. Αποδείξτε ότι | | | | | |α β α γ γ β− ≤ − + − .
3 Απόσταση δύο αριθμών
Ορισμοί:
Το μήκος του τμήματος ΑΒ λέγεται απόσταση των αριθμών α και β και συμ-
βολίζεται ( ) ( , ) ( , )AB d α β d β α= = .
Αν α β< , τότε η απόσταση των αριθμών α και β λέγεται μήκος του διαστή-
ματος [ , ]α β (και των διαστημάτων ( , )α β , [ , )α β , ( , ]α β ).

Σελίδα | 26
Ο αριθμός 0x που αντιστοιχεί στο μέσο Μ του τμήματος ΑΒ λέγεται κέντρο
του διαστήματος [ , ]α β (και των διαστημάτων ( , )α β , [ , )α β , ( , ]α β ).
Το μήκος καθενός από τα τμήματα ΜΑ και ΜΒ λέγεται ακτίνα του διαστήματος
[ , ]α β (και των διαστημάτων ( , )α β , [ , )α β , ( , ]α β ).
Βλέπετε τους δρομείς α και β οι οποίοι μεταβάλλουν τη θέση των σημείων
Α(α, 0) και Β(β, 0) αντίστοιχα πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθ-
μών.
Εύρεση του μέσου Μ του τμήματος ΑΒ
Κάντε κλικ στο 4ο εικονίδιο της γραμμής εργαλείων και επιλέξτε διαδοχικά
τα σημεία Α και Β. Στη συνέχεια μετονομάστε το μέσο του τμήματος ΑΒ σε
«Μ».
Μετακινήστε τους δρομείς α και β για να συμπληρώστε τον πίνακα που ακο-
λουθεί.
Αριθμός α –5 0 –1 0 6.5
Αριθμός β –2 –2 5
5
2
1.5
Απόσταση ( , )d α β
Ποιο είναι το μήκος του τμήματος ΑΒ;

Σελίδα | 27
Διάστημα [ 5, 2]− − [ 2, 0]− [ 1, 5]−
5
0,
2
 
  
[1.5, 6.5]
Μήκος διαστήματος
Κέντρο διαστήματος
Ακτίνα διαστήματος
Ποιο είναι το μήκος του διαστήματος [ , ]α β ;
Ποιο είναι το κέντρο του διαστήματος [ , ]α β ;
Αποδείξτε την εικασία σας.
Ποια είναι η ακτίνα του διαστήματος [ , ]α β ;

Σελίδα | 28
Άσκηση
είναι:
| 1| 3x − =
| 1| 2x + <
| 2| 1x − ≥
… ‒1 να είναι ίση με 2 μονάδες
… 2 να είναι μικρότερη
από 1 μονάδα
… 1 να είναι μεγαλύτερη ή ίση
από 3 μονάδες
1x = ή 3x =
2 4x− ≤ ≤
3x < − ή 1x >
Βοήθεια
Βλέπετε τον άξονα των πραγματικών αριθμών, τα σημεία του Α και Β και
το τμήμα θ που αυτά σχηματίζουν.
• Για να συμπληρώσετε την 3η στήλη του πίνακα, κατασκευάστε κύ-
κλο με κέντρο Α και ακτίνα θ. Στη συνέχεια μετακινήστε κατάλληλα
τα σημεία Α και Β πάνω στον άξονα.
• Για να συμπληρώσετε την 1η στήλη του πίνακα, βρείτε το μέσο Γ του
τμήματος ΑΒ και κατασκευάστε κύκλο με κέντρο Γ και διάμετρο θ.

Σελίδα | 29
Αν χρειαστεί να διαγράψετε κάποιο αντικείμενο, επιλέξτε το και πατήστε
«Delete».
Άσκηση
η απόστασή τους από …
είναι:
| 1| | 5|x x+ = −
| 1| | 3|x x− < +
| | | 4|x x≥ −

Σελίδα | 30
Άσκηση
Ένα εργοστάσιο κατασκευάζει μεταλλικούς δίσκους για τη λειτουργία μιας μη-
χανής.
• Η διάμετρος ενός δίσκου μετρήθηκε και βρέθηκε 3 dm.
• Το σφάλμα της μέτρησης είναι το πολύ 0,1 cm.
• Αν δ είναι η πραγματική διάμετρος του δίσκου, τότε:
1) Παραστήστε την παραπάνω παραδοχή στην αριθμογραμμή.
2) Εκφράστε την παραπάνω παραδοχή με τη βοήθεια της έννοιας της από-
λυτης τιμής.
3) Βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της δ.
Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το αρχείο «ΑΤ6».

Σελίδα | 31
Άσκηση
Βλέπετε 2 δρομείς α και β με 0 α β< < .
1) Συμπληρώστε τα παρακάτω κενά με το κατάλληλο σύμβολο
( , , , ,= < > ≤ ≥ ).
Για όλους τους θετικούς αριθμούς α, β με α β> ισχύει ................
α β
β α
.
Για όλους τους θετικούς αριθμούς α, β με α β> ισχύει ................ 1
α
β
.
Για όλους τους θετικούς αριθμούς α, β με α β> ισχύει ................ 1
β
α
.
2) Ποιος από τους αριθμούς
α
β
και
β
α
βρίσκεται πλησιέστερα στο 1;
Αποδείξτε την εικασία σας.
Βοήθεια
Θυμηθείτε τους ορισμούς της απόλυτης τιμής, της απόστασης δύο αριθμών
και τις ιδιότητες των ανισοτήτων.

Σελίδα | 32
Άσκηση
Βλέπετε 2 δρομείς α και β, ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ με πλευρές α, β και ένα
εξάγωνο ΑΒΗΖΕΔ (μη κυρτό).
1) Βρείτε τις τιμές των α και β, για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις:
| 2| 0,1α − ≤
| 4| 0,2β − ≤
2) Βρείτε τις περιμέτρους των σχημάτων ΑΒΓΔ και ΑΒΗΖΕΔ.
3) Βρείτε την περίμετρο του σχήματος ΑΒΗΖΕΔ αν μετακινήσετε σε άλλη
θέση την κορυφή Ε.
4) Βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της περιμέτρου του σχήματος Α
ΒΗΖΕΔ.

Σελίδα | 33
Ερωτηματολόγιο
1. Τα μαθήματα γεωμετρίας που πραγματοποιήθηκαν με χρήση υπολο-
γιστή μου άρεσαν:
Καθόλου Λίγο Αρκετά Πολύ Πάρα Πολύ
2. Κατά τη διδασκαλία με χρήση υπολογιστή κατανόησα τις γεωμετρι-
κές έννοιες που διδάχθηκα:
Καθόλου Λίγο Αρκετά Πολύ Πάρα Πολύ
3. Πιστεύω πως η επίδοσή μου χρησιμοποιώντας τον υπολογιστή είναι:
Πολύ
χειρότερη
Χειρότερη Η ίδια Καλύτερη
Πολύ
καλύτερη
4. Προτιμώ το μάθημα να γίνεται:
Χωρίς χρήση
υπολογιστή
Με τη χρήση
υπολογιστή
Και με τα δύο
5. Θα ήθελα και άλλα μαθήματα να διδάσκονται με τη βοήθεια υπολογι-
στή:
Όχι Ναι

Απόλυτη τιμή (Εκπαιδευτικό σενάριο)

More Related Content

What's hot

Similar to Απόλυτη τιμή (Εκπαιδευτικό σενάριο)

Recently uploaded

Απόλυτη τιμή (Εκπαιδευτικό σενάριο)