Μαθηματικά Ε΄ 4.27. ΄΄Πολλαπλασιασμός κλασμάτων - Αντίστροφοι αριθμοί΄΄

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής
Μαθηματικά Ε΄ Τάξης - Ενότητα 4 - Κεφάλαιο 27
΄΄ Πολλαπλασιασμός κλασμάτων –
Αντίστροφοι αριθμοί ΄΄
http://e-taksh.blogspot.gr

eva-edu
Παράδειγμα
4
2
x
6
3
=
64
32
x
x
=
24
6
Αντίστροφοι αριθμοί
Για να φτιάξω τον αντίστροφο ενός αριθμού ακολουθώ 3 βήματα
1. Φτιάχνω μια νέα κλασματική γραμμή
2. Βάζω κάτω αυτόν τον αριθμό
3. Βάζω πάνω τον αριθμό 1
Όταν πολλαπλασιάζω 2 αντίστροφους αριθμούς το αποτέλεσμα είναι πάντα 1
6
6
1
και 6 x
6
1
= 1
Για να πολλαπλασιάσω δύο κλάσματα μεταξύ τους ακολουθώ 3 βήματα
1. Φτιάχνω μια νέα κλασματική γραμμή
2. Πολλαπλασιάζω το πάνω με το πάνω
3. Πολλαπλασιάζω το κάτω με το κάτω

eva-edu
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Να πολλαπλασιάσεις μεταξύ τους τα παρακάτω κλάσματα
2 4
5 8
  _______________________________
6 8
7 9
  _______________________________
3 2
4 5
  _______________________________
Να φτιάξεις τους αντίστροφους των παρακάτω αριθμών
5
3
1

eva-edu
1. Βρίσκω τα γινόμενα:
3 4
10 5
 
3 2
4 5
 
3 4
5 8
 
2 2
10 5
 
1 1
4 2
 
4 2
10 100
 

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων
– αντίστροφοι αριθμοί
Γιάννης Φερεντίνος

Πώς πολλαπλασιάζουμε
δύο κλάσματα;
• Για να πολλαπλασιάσουμε δυο κλάσματα,
πολλαπλασιάζουμε πρώτα τους αριθμητές
και γράφουμε το γινόμενο σαν αριθμητή.
• Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τους
παρονομαστές και γράφουμε το γινόμενο
σαν παρονομαστή.
Π.χ. 2 * 5 = 2*5 = 10
3 7 3*7 21

Ποιοι αριθμοί λέγονται αντίστροφοι;
• Δυο αριθμοί λέγονται αντίστροφοι αν το
γινόμενό τους είναι ίσο με τη μονάδα (1).
Π.χ. ο αντίστροφος αριθμός
του 5 είναι ο αριθμός 8 γιατί
8 5
5 * 8 = 5*8 = 40 = 1
8 5 8*5 40

Πολλαπλασιασμός δεκαδικών ή
κλασματικών αριθμών μικρότερων
από τη μονάδα (1)
• Αν πολλαπλασιάσουμε δύο δεκαδικούς ή
κλασματικούς αριθμούς μικρότερους από το 1
(μονάδα), το γινόμενό τους θα είναι
μικρότερο από τη μονάδα, αλλά και
μικρότερο από τους δύο αριθμούς.
Π.χ. 3 * 6 = 18 < 1
4 9 36
0,7 * 0,32 = 0,224 < 1

Πολλαπλασιασμός ακέραιου με
δεκαδικό ή κλασματικό αριθμό
μικρότερο από τη μονάδα (1)
• Ένας ακέραιος αριθμός
όταν πολλαπλασιαστεί με ένα δεκαδικό ή
κλασματικό αριθμό μικρότερο από τη μονάδα
θα μικρύνει.
Π.χ. 5 * 0,4 = 2
6 * 3 = 18 = 3
6 6
Γιάννης Φερεντίνος

Εγκύκλιος Παιδεία
ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ-ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΙ
ΑΡΙΘΜΟΙ
ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΜΑΘΕΙΣ ΚΑΛΑ:
α) Το γινόμενο δύο κλασμάτων είναι ένα νέο κλάσμα με αριθμητή
το γινόμενο των αριθμητών και παρονομαστή το γινόμενο των
παρονομαστών
Παράδειγμα: 3/5 . 2/8 = 3 . 2 / 5 . 8 = 6/40
ΟΠΤΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ
ΚΛΑΣΜΑ ΚΛΙΚ
ΚΑΙ ΕΔΩ ΣΧΕΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ
β) Δύο αριθμοί είναι αντίστροφοι όταν το γινόμενό τους είναι ίσο
με 1
Παράδειγμα: Ο 1/2 και ο 2 είναι αντίστροφοι, γιατί 1/2 . 2 = 2/2 = 1
(μην ξεχνάς πώς μάθαμε ότι μετατρέπουμε ακέραιο σε κλάσμα.
Βάζουμε απλά παρονομαστή το 1)
γ) Δύο αριθμοί μικρότεροι της μονάδας έχουν γινόμενο επίσης
μικρότερο της μονάδας
Παράδειγμα: 3/4 . 2/5 = 6/20 <1
(μην ξεχνάς ότι το ίδιο γίνεται και με τους δεκαδικούς. 0,75 . 0,40 =
0,30 <1
δ) Για να διαιρέσεις ένα κλάσμα μ' έναν ακέραιο,
απλά πολλαπλασιάζεις το κλάσμα με τον αντίστροφο του
ακεραίου
Παράδειγμα: 15/30 : 3 = 15/30 . 1/3 = 15/90
(είπαμε παραπάνω ότι αφού το 3 γράφεται ως κλάσμα 3/1,
αντίστροφο του θα είναι το 1/3.
Επίσης να θυμάσαι ότι αν αντιστρέψεις τους όρους ενός
κλάσματος προκύπτει κλάσμα αντίστροφο του αρχικού)
Παράδειγμα: Το 3/4 και το 4/3 είναι αντίστροφοι γιατί 3/4 . 4/3 =
12/12 = 1
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Τι προτιμάς το 1/2 των 3/4 μιας σοκολάτας ή τα 3/4 του 1/2 της;
Γιατί;

Έλεγξε με ζωγραφική για να καταλάβεις: Και μετά βρες με ακρίβεια
τα γινόμενα και για τις δυο περιπτώσεις
........................................................................................
β) Να κάνεις τις παρακάτω πράξεις:
12/18 . 6/24
3/15 . 40/6
21/36 . 6/7
γ) Να βρεις ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι αντίστροφοι
3, 4/8, 6, 1, 2, 3/6, 8, 1/6
δ) Τα 3/8 των μαθητών της Ε τάξης είναι αγόρια. Από τα αγόρια
αυτά το 1/6 παρακολουθεί μαθήματα γαλλικών. Να βρεις ποιο
μέρος των μαθητών της τάξης είναι τα αγόρια που παρακολουθούν
γαλλικά.

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr -Μαθηματικά Ε΄

15
Μάθημα 22ο
Πολλαπλασιασμός ακεραίου με κλάσμα
Όταν έχουμε να πολλαπλασιάσουμε ακέραιο με κλάσμα πολλαπλασιάζουμε τον
ακέραιο με τον αριθμητή του κλάσματος και παρονομαστής μένει ο ίδιος.
π.χ. 2 •
3
2
=
3
22
=
3
4
= 1
3
1
στον πολλαπλασιασμό ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα :
2 •
3
2
=
3
2
• 2
Για να πολλαπλασιάσω δύο κλάσματα, πολλαπλασιάζω τους αριθμητές και το
γινόμενό τους είναι ο νέος αριθμητής και κατόπιν πολλαπλασιάζω τους παρονομαστές
και το γινόμενό τους είναι ο νέος παρονομαστής.
π.χ.
3
2
•
6
1
=
63
12


=
18
2
=
9
1
Στον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα :
3
2
•
6
1
=
6
1
•
3
2
Δύο αριθμοί λέγονται αντίστροφοι, όταν το γινόμενό τους είναι 1.
π.χ.
3
2
•
2
3
=
6
6
= 1
6 •
6
1
=
6
6
= 1
Ασκήσεις
1. Να κάνετε στο τετράδιό σας τους παρακάτω πολλαπλασιασμούς :
6
4
·
6
1
= …..
5
4
·
5
2
= …..
8
3
·
4
1
= …..
7
3
·
21
5
= …..

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr -Μαθηματικά Ε΄

16
2. Να κάνετε στο τετράδιό σας τους παρακάτω πολλαπλασιασμούς :
2 ·
6
1
= ….. 5 ·
5
2
= …..
2
9
· 4 = …..
3
18
· 5 = …..
3. Να βρείτε τους αντίστροφους των παρακάτω αριθμών :
6
4
· ….. = 1
8
3
· ….. = 1
2
9
· ….. = 1 8 · ….. = 1
13
6
· ….. = 1
5
13
· ….. = 1
2
3
· ….. = 1 2 · ….. = 1
4. Για μία συναυλία που έγινε το καλοκαίρι στην Αλεξάνδρεια πουλήθηκαν τα
3
2
από τα
3.000 εισιτήρια. Πόσα εισιτήρια πουλήθηκαν και πόσα έμειναν απούλητα ;
5. Ο Διονύσης αγόρασε ένα βιβλίο 400 σελίδων. Το Σάββατο διάβασε τα
10
2
των σελίδων
και την Κυριακή τα
6
3
των σελίδων. Πόσες σελίδες διάβασε το Σάββατο, πόσες την
Κυριακή και πόσες σελίδες έμειναν ακόμη να διαβάσει ;
6. Ο Μεχμέτ έχει στο πορτοφόλι του 100 €. Θέλει να αγοράσει μία μπάλα η οποία κοστίζει
το
4
1
των χρημάτων του. Πόσο κοστίζει η μπάλα και πόσα χρήματα θα του μείνουν ;
7. Η Μαρία είχε
5
435
€ και έδωσε το
8
1
για να αγοράσει λογοτεχνικό βιβλίο. Πόσα
χρήματα έδωσε;
8. Η Ελένη διαβάζει ένα βιβλίο 432 σελίδων. Την Κυριακή διάβασε το
6
1
των σελίδων και
τη Δευτέρα το
9
1
των σελίδων. Πόσες σελίδες διάβασε συνολικά και τις δυο μέρες ;
9. Ο Παύλος είχε ένα χαρτονόμισμα των 20 €. Ξόδεψε τα
5
4
των
4
3
των χρημάτων του
για να αγοράσει cd. Τι ρέστα πήρε ;
10.Ένα κιλό μπανάνες στοιχίζει
5
3
του ευρώ. Πόσο κοστίζουν τα
4
3
του κιλού ;

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΜΕΙΚΤΟ & ΤΟ
ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ
Σε μεικτό μπορούν να μετατραπούν μόνο τα καταχρηστικά κλάσματα
Για να μετατρέψουμε γρήγορα ένα κλάσμα σε μεικτό αριθμό...
1. Διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή.
2. Το πηλίκο της διαίρεσης είναι ο ακέραιος του μεικτού.
3. Το κλάσμα του μεικτού έχει αριθμητή το υπόλοιπο της διαίρεσης και παρονομαστή τον
ίδιο με το αρχικό κλάσμα.
Π.χ.
Αν διαιρέσουμε τους όρους ενός καταχρηστικού κλάσματος, θα μας προκύψει ή ακέραιος
ή μεικτός αριθμός.
ακέραιος μεικτός
Για να μετατρέψουμε γρήγορα ένα μεικτό αριθμό σε κλάσμα...
1. Πολλαπλασιάζουμε τον ακέραιο του μεικτού με τον παρονομαστή του κλάσματός του.
2. Στο γινόμενο που προκύπτει προσθέτουμε τον αριθμητή του μεικτού αριθμού.
3. Το αποτέλεσμα αποτελεί τον αριθμητή του νέου κλάσματος, ενώ παρονομαστής
παραμένει ο ίδιος.
Π.χ.
Πηγή: http://ioannaprangiou.weebly.com/

1
© Γρηγόρης Ζερβός
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΕργασίεςΕργασίεςΕργασίεςΕργασίες
1) Σωστό (Σ) - Λάθος (Λ)
Δύο αριθμοί που το γινόμενό τους είναι ακριβώς 1 λέγονται αντίστροφοι. [ ][ ][ ][ ]
15
2
53
12
5
1
3
2
=
×
×
=× [ ][ ][ ][ ]
1
2
1
4
3
<× [[[[ ]]]]
Οι αριθμοί 12 και
12
1
δεν είναι αντίστροφοι. [ ][ ][ ][ ]
Ένας ακέραιος δεν μπορεί να γραφτεί με τη μορφή κλάσματος. [ ][ ][ ][ ]
Το γινόμενο δύο κλασμάτων είναι ένα νέο κλάσμα με αριθμητή το γινόμενο
των αριθμητών και παρονομαστή το γινόμενο των παρονομαστών.
[ ][ ][ ][ ]
2) Να γίνουν οι πολλαπλασιασμοί:
=×
5
7
10
2
=×
5
1
4
3
=×
4
9
4
10
=×
5
2
7
6
=×
4
1
3 =×
6
2
5,0
=× 7
9
2
=×
8
3
1,0
=×
10
1
5
2
1 =×
7
2
6
1
2
Όνομα:Όνομα:Όνομα:Όνομα: ...........................................................
ΣΤ΄ΣΤ΄ΣΤ΄ΣΤ΄
……… /……… /………

2
3) Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι αντίστροφοι;
2
3
,
3
2
10
1
,
8
4
=×
12
1
12
25
20
,
4
5
4) Να βρεις τους αντίστροφους των αριθμών και να κάνεις επαλήθευση
υπολογίζοντας το γινόμενό τους:
7
5
2
9
0,05
ΠΠΠΠροβλήματαροβλήματαροβλήματαροβλήματα
1) Ένα μπουκάλι περιέχει
2
1
1 λίτρα φυσικό χυμό πορτοκάλι. Η Πηνελόπη ήπιε το
5
1
από το
περιεχόμενο του μπουκαλιού. Πόσα λίτρα χυμού ήπιε η Πηνελόπη;
Λύση Απάντηση
.......................................................
.......................................................
.......................................................

3
2) Η Νίκη έχει στη βιβλιοθήκη της 28 λογοτεχνικά βιβλία. Τα
4
3
απ’ αυτά είναι από Έλλη-
νες συγγραφείς, ενώ τα
7
5
απ’ αυτά τα έχει γράψει ο αγαπημένος της συγγραφέας.
α)α)α)α) Πόσα από τα βιβλία που έχει είναι από Έλληνες συγγραφείς;
ββββ)))) Πόσα απ’ αυτά τα έχει γράψει ο αγαπημένος της συγγραφέας;
Λύση Απάντηση
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................

ΠΟΛΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ
ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΥ ΜΕ ΚΛΑΣΜΑ
Για να πολλαπλασιάσουμε ακέραιο με κλάσμα, πολλαπλασιάζουμε
τον ακέραιο με τον αριθμητή και παρονομαστή αφήνουμε τον ίδιο.
Για να υπολογίσουμε το μέρος μιας ποσότητας, πολλαπλασιάζουμε το μέρος με την
ποσότητα.
ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΚΛΑΣΜΑ
Για να πολλαπλασιάσουμε κλάσμα με κλάσμα, πολλαπλασιάζουμε αριθμητή με αριθμητή
και το γινόμενο το γράφουμε στον αριθμητή και παρονομαστή με παρονομαστή με
παρονομαστή
και το γινόμενο το γράφουμε στον παρονομαστή.
* Αν σε ένα πολλαπλασιαμό ο ένας παράγοντας του γινομένου είναι ακέραιος ή μεικτός
και ο άλλος κλάσμα, ή αν και οι δύο είναι μεικτοί, μπορούμε να τους μετατρέψουμε σε
κλάσματα και να συνεχίσουμε.
Αν δύο αριθμοί δίνουν γινόμενο το 1, λέγονται αντίστροφοι αριθμοί.
Πηγή: http://ioannaprangiou.weebly.com/

 Πολλαπλασιασμός κλασμάτων – Αντίστροφοι αριθμοί
Πρέπει να θυμάμαι !!!
 Για να πολλαπλασιάσουμε κλάσμα με κλάσμα, πολλαπλασιάζουμε
αριθμητή με αριθμητή και παρανομαστή με παρανομαστή.
Π.χ
2
1
·
4
3
=
8
3
 Κάθε ακέραιος μπορεί να γραφεί ως κλάσμα με παρανομαστή τη μονάδα.
Π.χ.
4
3
· 2 =
4
3
·
1
2
=
4
6
 Αντίστροφοι αριθμοί λέγονται δυο αριθμοί, όταν το γινόμενο τους
είναι ίσο με 1.
Π.χ το 2 και
2
1
είναι αντίστροφοι γιατί 2 ·
2
1
=
1
2
·
2
1
=
2
2
= 1
Πολλαπλασιασμό κάνουμε:
 Όταν ξέρουμε την τιμή της μιας ακέραιας μονάδας και ζητάμε να βρούμε
την αξία των πολλών ακέραιων μονάδων.
Π.χ. Ένα μπουκάλι νερό έχει 1,5 λίτρα νερό. Πόσο νερό έχουν τα 10 λίτρα;
Λύση : 1,5 · 10 = 15 λίτρα νερό.
 Όταν ξέρουμε την τιμή της μιας ακέραιας μονάδας και ζητάμε να βρούμε
την αξία ενός μέρους της.
Π.χ. Όλο το μήκος ενός σκοινιού είναι 200 μέτρα. Πόσα μέτρα είναι τα
5
3
του σκοινιού;
Λύση :
i. Με αναγωγή στην κλασματική μονάδα: Τα
5
5
του σκοινιού είναι 200 μ.
Το
5
1
είναι 200 : 5 = 40 μ.
Τα
5
3
θα είναι 3 ·
5
1
δηλ. 3 · 40 = 120 μ.
ii. Με πολλαπλασιασμό κλασμάτων : 200 ·
5
3
=
1
200
·
5
3
=
5
600
= 120 μ.

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Βρίσκω τα παρακάτω γινόμενα με πολλαπλασιασμό α) κλασμάτων και β)
δεκαδικών αριθμών:
2. Γράφω τον αντίστροφο κάθε αριθμού και στη συνέχεια βρίσκω το
γινόμενό τους:
3. Βάζω το σύμβολο της ισότητας ή της ανισότητας όπου ταιριάζει:
4.
Πηγή: blogs.sch.gr/ioporporis/files/2012/12/polklantari.pdf

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ-ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Για να πολλαπλασιάσουμε κλάσματα ακολουθούμε τα παρακάτω
τρία βήματα :
1. Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμητές και το γινόμενό τους το
βάζουμε αριθμητή.
2. Πολλαπλασιάζουμε τους παρονομαστές και το γινόμενό τους το
βάζουμε παρονομαστή.
3. Κάνουμε απλοποίηση, εάν γίνεται.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
1 2
2 5

1. Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμητές :
1 2 1 2 2
2 5

  
2. Πολλαπλασιάζουμε τους παρονομαστές :
1 2 1 2 2
2 5 2 5 10

  

3. Κάνουμε απλοποίηση :
2 1
10 5

1 9
3 16

1. Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμητές :
1 9 1 9 9
3 16

  
2. Πολλαπλασιάζουμε τους παρονομαστές :
1 9 1 9 9
3 16 3 16 48

  

3. Κάνουμε απλοποίηση :
9 3
48 16
 (διαιρέσαμε και τους 2 όρους με
το 3).
sainia.gr

Ένας ακέραιος μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα με αριθμητή τον ίδιο τον
ακέραιο και παρονομαστή το 1.
Π.χ. 8 =
8
1
Για να πολλαπλασιάσουμε ακέραιο με κλάσμα :
Α΄ Τρόπος
1. Μετατρέπουμε τον ακέραιο σε κλάσμα (όπως είδαμε
παραπάνω).
2. Κάνουμε την πράξη όπως μάθαμε.
3. Κάνουμε απλοποίηση, αν χρειάζεται.
1.
2 7 2 7 2 14
7
5 1 5

    
2.
2 7 2 7 2 14
7
5 1 5 1 5 5

    

3. Το κλάσμα
14
5
δεν απλοποιείται.
Β΄ Τρόπος
1. Πολλαπλασιάζουμε τον ακέραιο με τον αριθμητή και το
γινόμενο το βάζουμε αριθμητή.
2. Παρονομαστής μένει ο ίδιος.
3. Κάνουμε απλοποίηση, αν χρειάζεται.

4 4 4 16 8
4
6 6 6 3

   
ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Αντίστροφοι λέγονται οι αριθμοί που το γινόμενό τους είναι 1.
Π.χ.
4
5
και
5
4
είναι αντίστροφοι επειδή :
5 20
1
4 20
4
5
  
Οι αριθμοί 7 και
1
7
:
7 1
7
7
1
7
  
Άρα :
Το αντίστροφο ενός κλάσματος είναι το κλάσμα που έχει αντίστροφα
τους όρους του πρώτου κλάσματος.
Ο αντίστροφος κάθε ακεραίου είναι η κλασματική μονάδα που έχει
παρονομαστή τον ακέραιο.

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 27
Ειρήνη Ξαγοράρη
ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΙ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ – ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Ονοματεπώνυμο: …………………………………………………
1. Να γίνουν οι πολλαπλασιασμοί:
8
3
χ
2
4
=
28
43
x
x
=
16
12
8
5
χ
70
90
=
7
6
χ
40
8
=
23
5
χ
3
7
=
200
55
χ
25
2
=
293
765
χ
765
293
=
450
65
χ
2
10
=
28
82
χ
10
3
=
75
40
χ
8
7
=
98
58
χ
58
98
=
2. Να βρεις τους αντίστροφους των παρακάτω αριθμών :
7
9
: Είναι τα
9
7
γιατί
7
9
χ
9
7
= 1
8
5
: Είναι το … γιατί …………………………
98
12
: ………………………………………………………………
3
2
1 :
3
2
1 =
3
5
, επομένως είναι τα
5
3
γιατί
3
5
χ
5
3
= 1
6
5
2 : ………………………………………………………………………………
9
7
1 : ………………………………………………………………………………
8
6
3 : ………………………………………………………………………………
0,5 : 0,5=
10
5
, επομένως ………………………………………………
0,25 : …………………………………………………………………………………
1,2 : …………………………………………………………………………………

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 27
Ειρήνη Ξαγοράρη
3. Η Μαρία είχε
5
436
€ και έδωσε το
8
1
για να αγοράσει ένα λογοτεχνικό βιβλίο. Πόσα χρήματα έδωσε;
Λύση:
Απάντηση: ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4. Η Ελένη διαβάζει ένα βιβλίο 432 σελίδων. Την Κυριακή διάβασε το
6
1
των σελίδων και τη Δευτέρα το
9
1
των σελίδων.
Πόσες σελίδες διάβασε συνολικά και τις δύο μέρες;
Λύση:
Απάντηση: ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Πότε κάνω πολλαπλασιασμό κλασμάτων
Περίπτωση 1η
Ξέρω το ένα και ψάχνω τα πολλά.
Θα στοιχίζουν 1
5
1
+ 1
5
1
+ 1
5
1
= 3
5
3
Ή αλλιώς 3 . 1
5
1
=
1
3
. 5
6
=
5
18
= 3
5
3
Περίπτωση 2η
Ξέρω το ολόκληρο και ψάχνω το μέρος
Το 1 λίτρο γάλα κοστίζει 1
5
1
€.
Τα 3 λίτρα πόσο θα κοστίζουν;
1
5
1
1
5
1
1
5
1
1
5
1
Ολόκληρο το δοχείο, χωράει 8 λίτρα λάδι.
Τα
4
3
του δοχείου πόσα λίτρα λάδι θα χωρούν;

Ή αλλιώς
8 .
4
3
=
1
8
.
4
3
=
4
24
= 6 λίτρα λάδι
Αφού τα 4 μέρη χωρούν 8 λίτρα, το κάθε μέρος θα
χωράει 8: 4 = 2 λίτρα
2
2
2
2
2
2
2Συνεπώς, τα 3 μέρη θα χωράνε 2 Χ 3 = 6 λίτρα λάδι.

Φύλλο αξιολόγησης
α) Να βρεις με δύο τρόπους:
τα
5
2
της ώρας
τα
6
4
του έτους
τα
6
5
του μήνα
τα
20
8
του €
β) Ο Γιώργος από τα 20€ του, ξόδεψε τα
4
3
για μία μπάλα. Πόσα χρήματα
του περίσσεψαν;
γ) Μία παράσταση την παρακολούθησαν 200 θεατές. Τα
5
2
των θεατών ήταν
άντρες, το
4
1
γυναίκες και τα υπόλοιπα παιδιά. Πόσοι ήταν άντρες, πόσες οι
γυναίκες και πόσα τα παιδιά;
δ) Να βρεις το
2
1
των
4
3
του 80.
ε) Από τα 120 παιδιά ενός σχολείου το
3
1
των παιδιών είναι ξανθά. Από
αυτά τα
8
3
είναι αγόρια. Πόσα είναι τα ξανθά κορίτσια;
στ) Ο Αποστόλης έχει
5
3
€. Η Μαρία έχει
8
3
των 2€. Ποιο παιδί έχει
περισσότερα; Πόσα € τους λείπουν για να έχουν και οι δύο μαζί
6
9
€;
zarkosdim

 Μπορείς να γράψεις με κλάσμα την ποσότητα που είναι μαυρισμένη;
………………………
 Μπορείς να χρωματίσεις τη διπλάσια ποσότητα; Χρωμάτισέ το και γράψε
το με κλάσμα.
………………………
 Βρήκες ότι το διπλάσιο του
10
4
είναι
10
8
 Αν δεν είχες το σχήμα πώς θα μπορούσες να βρεις το διπλάσιο; Τι
κάνουμε για να βρούμε το διπλάσιο μιας ποσότητας; Γράψε τι πράξη θα
κάνουμε για να βρούμε το διπλάσιο του
10
4
.
………………………………………………………………………………………….
Καταλαβαίνεις τώρα πώς πολλαπλασιάζουμε ένα κλάσμα με έναν ακέραιο;
Διατύπωσε τον κανόνα
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
Το 2 είναι ακέραιος. Μπορείς να τον μετατρέψεις σε κλάσμα; …………………..
Για προσπάθησε να κάνεις τώρα τον πολλαπλασιασμό
10
4
Χ
1
2
=
Τι παρατηρείς; Πώς πολλαπλασιάζουμε κλάσμα με κλάσμα; Διατύπωσε τον
κανόνα.
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………

Θυμάμαι:
1.Για να μετατρέψουμε ένα μεικτό αριθμό σε κλάσμα κάνουμε τα εξής :
6
5
3
 Πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή με τον ακέραιο: 5 Χ 6 = 30
 Προσθέτουμε στο γινόμενο τον αριθμητή: 30 + 3 = 33
 Βάζουμε στη θέση του αριθμητή το άθροισμα και παρονομαστή
αφήνουμε τον ίδιο.
6
5
3
=
5
33
Μπορείς να καταλάβεις τώρα πώς πολλαπλασιάζουμε μεικτούς μεταξύ τους ή
μεικτό με κλάσμα; Διατύπωσε τον κανόνα.
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
Μπορείς να διατυπώσεις τώρα ένα γενικό κανόνα που να περιλαμβάνει όλες τις
περιπτώσεις;
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
Φύλλο αξιολόγησης
1. Υπολόγισε τα παρακάτω γινόμενα:
8
2
. 6
7
=
5
4
. 8
6
=
9
4
. 5
8
=
6
5
. 8 =
3
2
. 6
4
=
8
4
. 9
7
= 3
4
8
. 2
7
3
=

2. Συμπλήρωσε τα κενά
5
3
.
4
=
10
12
7
4
.
6
=
42
16 1
.
8
6
=
24
2
.
7
=
21
10
7
.
4
=
16
2
2
1
.
7
=
14
15
1
2
. 3
4
3
=
8
45
4
1
. 2 = 9 3
3
1
. =
12
30
3. Κάνε τους πολλαπλασιασμούς
3
2
.
2
3
=
7
5
.
5
7
= 2
2
1
.
5
2
= 4 .
4
1
=
7
3
.
6
14
=
5
2
.
8
20
=
Τι παρατηρείς;
………………………………………………………………………………………………………………………………………
Οι αριθμοί που έχουν γινόμενο ίσο με 1, λέγονται αντίστροφοι
4. Να βρεις τους αντίστροφους των παρακάτω αριθμών
5
2
7
5
7
3
1
3
2
1
0,5
zarkosdim

C
lick
to
buy
N
O
W
!
PD F-XChange View
er
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PD
F-XChange View
er
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PD F-XChange View
er
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PD
F-XChange View
er
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PD F-XChange View
er
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PD
F-XChange View
er
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PD F-XChange View
er
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PD
F-XChange View
er
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PD F-XChange View
er
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PD
F-XChange View
er
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PD F-XChange View
er
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PD
F-XChange View
er
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PD F-XChange View
er
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PD
F-XChange View
er
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PD F-XChange View
er
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PD
F-XChange View
er
w
w
w
.docu-track.c
o
m
Μάθημα 22ο
Όταν έχουμε να πολλαπλασιάσουμε ακέραιο με κλάσμα πολλαπλασιάζουμε τον
ακέραιο με τον αριθμητή του κλάσματος και παρονομαστής μένει ο ίδιος.
π.χ.:
Στον πολλαπλασιασμό ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα:
Για να πολλαπλασιάσω δύο κλάσματα, πολλαπλασιάζω τους αριθμητές και το
γινόμενό τους είναι ο νέος αριθμητής και κατόπιν πολλαπλασιάζω τους παρονομαστές
και το γινόμενό τους είναι ο νέος παρονομαστής.
π.χ.:
Στον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα :
Δύο αριθμοί λέγονται αντίστροφοι, όταν το γινόμενό τους είναι 1.
π.χ.:
Γιώργος Μπαρούτας

C
lick
to
buy
N
O
W
!
PD F-XChange View
er
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PD
F-XChange View
er
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PD F-XChange View
er
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PD
F-XChange View
er
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PD F-XChange View
er
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PD
F-XChange View
er
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PD F-XChange View
er
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PD
F-XChange View
er
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PD F-XChange View
er
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PD
F-XChange View
er
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PD F-XChange View
er
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PD
F-XChange View
er
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PD F-XChange View
er
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PD
F-XChange View
er
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PD F-XChange View
er
w
w
w
.docu-track.c
o
m
C
lick
to
buy
N
O
W
!
PD
F-XChange View
er
w
w
w
.docu-track.c
o
m
Ασκήσεις
1. Να κάνετε στο τετράδιό σας τους παρακάτω πολλαπλασιασμούς:
2. Να κάνετε στο τετράδιό σας τους παρακάτω πολλαπλασιασμούς:
3. Να βρείτε τους αντίστροφους των παρακάτω αριθμών:
4. Για μία συναυλία που έγινε το καλοκαίρι στην Αλεξάνδρεια πουλήθηκαν τα από
τα 3.000 εισιτήρια. Πόσα εισιτήρια πουλήθηκαν και πόσα έμειναν απούλητα;
5. Ο Κύριλλος αγόρασε ένα βιβλίο 400 σελίδων. Το Σάββατο διάβασε τα των
σελίδων και την Κυριακή τα των σελίδων. Πόσες σελίδες διάβασε το Σάββατο,
πόσες την Κυριακή και πόσες σελίδες έμειναν ακόμη να διαβάσει ;
6. Ο Μίμης έχει στο πορτοφόλι του 100 €. Θέλει να αγοράσει μία μπάλα η οποία
κοστίζει το των χρημάτων του. Πόσο κοστίζει η μπάλα και πόσα χρήματα θα του
μείνουν ;
7. Η Μίνα είχε € και έδωσε το για να αγοράσει λογοτεχνικό βιβλίο. Πόσα
χρήματα έδωσε;
8. Η Όλγα διαβάζει ένα βιβλίο 432 σελίδων. Την Κυριακή διάβασε το των σελίδων
και τη Δευτέρα το των σελίδων. Πόσες σελίδες διάβασε συνολικά και τις δυο μέρες ;
9. Ο Νίκος είχε ένα χαρτονόμισμα των 20 €. Ξόδεψε τα των των χρημάτων του για
να αγοράσει cd. Τι ρέστα πήρε ;
10. Ένα κιλό μπανάνες στοιχίζει του ευρώ. Πόσο κοστίζουν τα του κιλού
μπανάνες;

163
27. Ðïëëáðëáóéáóìüò êëáóìÜôùí - Áíôßóôñïöïé áñéèìïß
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò â
ôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 34
1. ×ùñßæù ôçí ìïíÜäá óå 5 ßóá ìÝñç êáé ðáßñíù ôï 1 áðï áõôÜ.
2. Ôï
1
5
ôçò ìïíÜäáò, äçëáäÞ ôï ìÝñïò ðïõ åðÝëåîá ôï ÷ùñßæù óå 4 ßóá ìÝñç.
Êáé åðéëÝãù ôá 3 áðï ôá 4. ¸ôóé Ý÷ù ôá
3
4
ôïõ
1
5
äçëáäÞ
3
20
ôçò ìïíÜäáò
â.
1
10
x
1
10
=
1
100
ôçò ìïíÜäáò Þ 0, ..........01
1 ìïíÜäá
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò á

164
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ã
• .......... • ..........
•
2
10
÷
3
5
= ...........
Þ 0,2 ÷ 0,6 = ..........0,12
6
50
•
5
10
÷
2
100
= ...........
Þ 0,5 ÷ .......... = ..........
10
1.000
0,02 0,01
1
4
0,5 0,5 0,25
0,250,12 0,01
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ä
• á)
3
5
÷
20
60
1 â)
3
5
÷
4
8
1 ä)
125
8
÷
8
125
1ã)
22
10
÷
5
11
1
•
1
2
÷
1
2
= .........
.......... x .......... = ..........
• ..........
< < ==
á)
60
300
Þ ......0,2...... ã)
110
110
Þ ......1,0......
â)
12
40
Þ ......0,3......
ä)
1000
1000
Þ ......1,0.......
•
Ðïëëáðëáóéáóìüò êëáóìÜôùí - Áíôßóôñïöïé áñéèìïß
¢óêçóç á
Ìéá âñýóç ãåìßæåé ìéá äåîáìåíÞ ýøïõò 10ì. ìå ôïí åîÞò ôñüðï:
Óôï ôÝëïò ôçò 1çò þñáò ç óôÜèìç ôïõ íåñïý Ý÷åé öôÜóåé óôá
4
5
ôïõ
ìéóïý ýøïõò ôçò äåîáìåíÞò.Óôï ôÝëïò ôçò äåýôåñçò þñáò ç óôÜè-

165
Óôï ôÝëïò ôçò 1çò þñáò ôï ýøïò ôïõ íåñïý å÷åé öôÜóåé óôá
4
5
ôïõ ìéóïý ýøïõò ôçò.Âñßóêïõìå ôï ìéóü ôïõ
óõíïëéêïý ýøïõò ôçò äåîáìåíÞò ðïõ åßíáé (
1
2
÷ 10 ) ì. =
10
2
ì. = 5ì. Ôá
4
5
áõôïõ ôïõ ýøïõò åéíáé
(
4
5
÷ 5 ) ì. =
20
5
ì. = 4ì. ¢ñá óôï ôÝëïò ôçò 1çò þñáò ç óôÜèìç ôïõ íåñïý åéíáé óôá 4ì. áðï ôïí
ðõèìÝíá. Óôï ôÝëïò ôçò 2çò þñáò ç óôÜèìç ôïõ íåñïý Ý÷åé áíÝâåé êáôá
1
4
ôïõ ýøïõò ðïõ âñßóêåôáé óôï
ôÝëïò ôçò 1çò þñáò äçëáäÞ ôùí 4ì. ¸éíáé åðïìÝíùò (
1
4
÷ 4 ) ì. =
4
4
ì. = 1ì. ¢ñá Ý÷åé áíÝâåé êáôá 1ì. Óôï
ôÝëïò ôçò 2çò þñáò ç óôÜèìç ôïõ íåñïý âñßóêåôáé óå ýøïò 4ì. + 1ì. = 5ì. ÅðïìÝíùò âñßóêåôáé óôçí ìÝóç.
ëýóç
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò å
• O ÃéÜííçò áíáññé÷Þèçêå ôá
9
10
ôùí 2ì. äçëáäÞ
9 18
x2 µ. µ. 1,8µ.
10 10
   = =   
   
áöïý 2ì. Þôáí ôï
ýøïò ðïõ áíáññé÷Þèçêå ï Ìßëôïò åðåéäÞ Ýöôáóå óôá
3
6
ôùí 4ì. äçëáäÞ
3 12
x4 µ. µ. 2µ.
6 6
  = = 
 
• ÊÜëõøå
9
20
ôïõ óõíïëéêïý ìÞêïõò ôïõ ó÷ïéíéïý.
ìç Ý÷åé áíÝâåé åðéðëÝïí
1
4
ôïõ ýøïõò ðïõ âñéóêüôáí óôï ôÝëïò ôçò 1çò þñáò. Íá áðáíôÞóåôå áí ç
óôÜèìç ôïõ íåñïý óôï ôÝëïò ôçò 2çò þñáò åßíáé:
• óôçí ìÝóç •ðéï êÜôù áðï ôçí ìÝóç
• ðéï ðÜíù áðï ôçí ìÝóç.

166
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò óô
ÊÜèå ìÞíá äßíïõí 21 äéüôé
1 252
252χ € € 21€
12 12
  = = 
 
.
Áðü áõôÜ 7 ôá
1
χ21 € 7€
3
  = 
 
äßíåé ç Å’ ôÜîç êáé ôá
2 42
χ21 € € 14€
3 3
  = = 
 
äßíåé ç ÓÔ’ ôÜîç
¢ñá Å’ ôÜîç äßíåé:
7
252
ôïõ óõíüëïõ =
1
36
ôïõ óõíüëïõ.
ÓÔ’ ôÜîç:
14
252
ôïõ óõíüëïõ =
1
18
ôïõ óõíüëïõ.
• ÊÜèå ÷ñüíï ç Å’ ôÜîç äßíåé 7 ÷ 12 = 84 êáé ÓÔ’ ôÜîç äßíåé 14 ÷ 12 =168 .

167
28. Äéáßñåóç ìÝôñçóçò óå ïìþíõìá êëÜóìáôá
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò á
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò â
• ÷ùñÜåé 4 öïñÝò
• ×ùñÜåé 10 öïñÝò
• ÷ùñÜåé 4 öïñÝò
• 2 öïñÝò ãéáôß 0,2 ÷ 2 = 0,4 Þ
2 4
x2
10 10
=
• 2 öïñÝò ãéáôß 0,2 ÷ 2 = 0,40 Þ 2 4
x2
10 10
=
4 2
:
10 10
• 11 öïñÝò ãéáôß 0,2 ÷ 11 = 2,20 Þ
2 22 220
x11
10 10 100
= =
22 2
:
10 10
Óôá
2
3
ôçò þñáò ðüóåò öïñÝò ÷ùñÜåé ôï
1
15
ôçò.
Óôá
15
5
ôïõ ìÝôñïõ ðüóåò öïñÝò ÷ùñÜåé ôï
1
4
ôïõ.
Óôá
12
25
ôïõ ÷ì. ðüóåò öïñÝò ÷ùñÜåé ôá
3
100
ôïõ ÷ì.

168
Äéáßñåóç ìÝôñçóçò óå ïìþíõìá êëÜóìáôá
¢óêçóç á
Ìå Ýíá êéëü áëÜôé ãåìßóáìå 50 áëáôéÝñåò. Ðüóåò
áëáôéÝñåò èá ãåìßóïõìå ìå 1,4 êéëÜ áëÜôé;
Ôï ðåñéå÷üìåíï êÜèå áëáôéÝñáò åßíáé ôï
1
50
ôïõ êéëïý.
Ôá 1,4 êéëÜ áëÜôé èá ãåìßóïõí:
1 14 1 70 1
1,4 : : :
50 10 50 50 50
= = = 70 áëáôéÝñåò.
ëýóç
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ã
• Èá ãåìßóïõí
1 18 1 18 2
1,8 : : :
5 10 5 10 10
= =
ðÞëéíá äï÷åßá = 9 ðÞëéíá äï÷åßá.

169
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ä
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò å
• 9,9:1,1 9÷1,1 Þ 11 99
9x
10 10
=
• 0,80:0,1
8÷0,1 Þ 1 8
8x
10 10
=
• ÷ùñÜåé 60 öïñÝò 60÷0,25 Þ 25 150
60x
100 10
=
1
10
80 40
13,6 6,8
90 30
45 15
9,6 3,2
21,6 7,2
90 30
10 10
60
100
12
100
5,628,0
4,221,0
100
60
20
12
3 6
9,7 19,4
8
:
: :
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
2
1,1
Äéáßñåóç ìÝôñçóçò óå ïìþíõìá êëÜóìáôá
:

170
29. Óýíèåôá ðñïâëÞìáôá - ÅðáëÞèåõóç
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò á
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò â
• 3,5 ãýñïõò
• (1.400:400)ãýñïõò = 3,5ãýñïõò
• 400 1ãýñïò
• 400 2ãýñïò
400 3ãýñïò
200
1.400ìÝôñá
• Ôá
2
3
ôïõ 2.688 åßíáé 1.792 ìÝôñá. ¢ñá ç áðüóôáóç ôïõ ðÜñêïõ áðü ôï óðßôé ôïõ
Êùíóôáíôßíïõ åßíáé (2.688 - 1.792)ìÝôñá = 896ìÝôñá.
• Ç áðüóôáóç áðü ôï ðÜñêï óôï óðßôé ôïõ Êùíóôáíôßíïõ åßíáé ôï
1
3
ôçò óõíïëéêÞò áðüóôáóçò
ðïõ åßíáé 2.688ìÝôñá. Åßíáé (2.688:3)ìÝôñá = 896ìÝôñá.

171
Óýíèåôá ðñïâëÞìáôá - ÅðáëÞèåõóç
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ä
• 51 ôüíïõò
• (4÷12)ôüíïé=48 ôüíïé
( )3 36x12 τόνοι τόνοι 3,6τόνοι
10 10
= =
(48+3,6)ôüíïé=51,6ôüíïé
Ôï âÜñïò ôïõ öïñôßïõ áðü ôéò êáñüôóåò åßíáé 2 x 25 = 50 ôüíïé.
Åðßóçò ôï âÜñïò ôïõ öïñôçãïý ÷ùñßò ôï öïñôßï åßíáé
1 50
χ50
10 10
= ôüíïé = 5 ôüíïé.
Ôï óõíïëéêü âÜñïò ôïõ öïñôçãïý ìå ôï öïñôßï åßíáé 50 + 5 = 55 ôüíïé.
¢ñá äåí åðéôñÝðåôáé íá ðåñÜóåé ôç ãÝöõñá.
ëýóç
¢óêçóç á
Áðü ìéá ãÝöõñá åðéôñÝðåôáé íá ðåñÜ-
óåé öïñôßï âÜñïõò 50 ôüíùí. ¸íá öïñ-
ôçãü Ý÷åé âÜñïò ÷ùñßò öïñôßï ôï
1
10
ôïõ åðéôñåðüìåíïõ âÜñïõò ãéá ôçí óõ-
ãêåêñéìÝíç ãÝöõñá. Êáèþò êáèåìßá
áðü ôéò êáñüôóåò ôïõ ìðïñåß íá ìåôá-
öÝñåé 25 ôüíïõò. ÅðéôñÝðåôáé ôï öïñ-
ôçãü íá ðåñÜóåé ôçí ãÝöõñá;

172
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò å
Óå êáèÝíá áðü ôá äï÷åßá á, â, ã ðñÝðåé íá âÜëù
3
10
ôïõ êéëïý æÜ÷áñç. ¸÷ù óôç
äéÜèåóç ìïõ ôá âïçèçôéêÜ äï÷åßá (Â.Ä.) ôùí
9 1 5 1 2, ,
10 2 10 5 10
κ κ κ κ κ= = ôá ïðïßá
ïíïìÜæù áíôßóôïé÷á
9 5 2, ,
10 10 10
Β∆ Β∆ Β∆
1. Ìå ôï
9
10
Β∆ ãåìßæù ôï
5
10
Β∆ êáé óôç óõíÝ÷åéá ìå ôï
5 ,
10
Β∆ ãåìßæù ôï
2
10
Β∆
Ýôóé óôï
5
10
Β∆ Ýìåéíáí ôá
3
10
ôïõ êéëïý æÜ÷áñç ôï ïðïßï áäåéÜæù óôï äï÷åßï
á. ¸ôóé ôï äï÷åßï á Ý÷åé
3
10
ôïõ êéëïý æÜ÷áñç.
2. ÁäåéÜæù ôï
2
10
Β∆ óôï
9
10
Β∆ êáé åðáíáëáìâÜíù ôçí ßäéá ìå ðáñáðÜíù äéáäé-
êáóßá êáé ãåìßæù ôï äï÷åßï â.
3. Ôï
9
10
Β∆ ðåñéÝ÷åé
1
10
ôïõ êéëïý æÜ÷áñç êáé ôï
2
10
Β∆ ðåñéÝ÷åé
2
10
ôïõ êéëïý
æÜ÷áñç, ôá ïðïßá êáé áäåéÜæù óôï äï÷åßï ã.
¸ôóé êáé ôá ôñéá äï÷åßá á, â, ã ðåñéÝ÷ïõí ôçí ßäéá ðïóüôçôá æÜ÷áñçò äçëáäÞ
3
10
ôïõ êéëïý.
Óýíèåôá ðñïâëÞìáôá - ÅðáëÞèåõóç

173
30. MïíÜäåò ìÝôñçóçò ìÞêïõò: ìåôáôñïðÝò (á)
¢óêçóç á
Ç Ìáñßá êáé ï ÃéÜííçò Ýêáíáí âüëôá ìå ôï
ðïäÞëáôï ôïõò êáé äéÜíõóáí áðüóôáóç 7,4
÷éëéüìåôñá. ¼ôáí ôåëåßùóå ç âüëôá ç Ìá-
ñßá åßðå: ¸éìáé ðïëý êïõñáóìÝíç äéüôé êÜ-
íáìå 7.400 ìÝôñá. Åêåßíç ôçí óôéãìÞ
áðÜíôçóå ï ÃéÜííçò: ËÜèïò êÜíåéò Ìáñßá,
êÜíáìå 7 ÷éëéüìåôñá êáé 40 ìÝôñá. Ðïéüò
åß÷å äßêéï ôåëéêÜ;
Ç Ìáñßá åßðå ôçí óùóôÞ áðÜíôçóç äéüôé 7,4 ÷éëéüìåôñá = (7,4 ÷ 1000 ) ìÝôñá = 7.400 ìÝôñá.
ëýóç
Ôá ðáéäéÜ ðïõ Ý÷ïõí åêöñÜóåé ìå
óùóôü ôñüðï ôï ìÞêïò ôçò áêôÞò ðïõ
êáèÜñéóáí åßíáé: Ôá ðáéäéÜ Á, Ã, Ä.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò á
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 6

174
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò â
ôåôñ.åñãáóéþí ã, óåë. 6
MïíÜäåò ìÝôñçóçò ìÞêïõò: ìåôáôñïðÝò (á)
• Ôï ãåùìåôñéêü ó÷Þìá ðïõ ÷ñçóéìïðïéÞóáìå ðåñéóóüôåñá îõëÜêéá ãéá íá ó÷çìáôßóïõìå ôçí ðåñß-
ìåôñï, áí = 15 ÷éëéïóôÜ Þ .......... åßíáé ôï ó÷Þìá ã êáé ÷ñçóéìïðïéÞóáìå 14 îõëÜêéá.1,5åê.
á) Ý÷ïõí ìÞêïò: 10 ÷ 1,5åê. = 15åê.
â) Ý÷ïõí ìÞêïò: 10 ÷ 1,5åê. = 15åê.
ã) Ý÷ïõí ìÞêïò: 14 ÷ 1,5åê. = 21åê.
¢óêçóç â
ÊÜíå ôéò ðñÜîåéò:
• 2,3ì. + 0,8ì. = ......
• 0,6ì. + 0,3ì. = ......
• 1,4ì. + 0,6ì. = ......
• 3,1ì. + 1,3ì. = ......
• 2,3ì. + 0,8ì. = 2ì. + 30åê. + 80åê. = 2ì. + 110åê. = 3ì.10åê.
• 0,6ì. + 0,3ì. = 60åê. + 30åê. = 90åê. = 0,9ì.
• 1,4ì. + 0,6ì. = 1ì. + 40åê. + 60åê. = 1ì. + 100åê. = 1ì. + 1ì. = 2ì.
• 3,1ì. + 1,3ì. = 3ì. + 10åê. + 1ì. + 30åê. = 4ì. + 40åê. = 4ì. 40åê.
ëýóç

175
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ã
• 2,2ì. + 0,2ì. = 2,22 ì.
• 2,5ì. + 1,75ì. = 3,80ì.
• 1,5 ì. + 0,50ì. = 2ì.
• 2,25ì. + 1,25 ì. = 3,50ì.
• 0,4ì. + 0,5ì. = 0,9 ì.
• 0,2ì. + 0,8ì. = 0,10ì.
• 0,7 ì. + 0,5ì. = 1,2ì.
• 6,3ì. + 4,7 ì. = 10,10ì.
Ó
Ë
Ó
Ë Ó
Ó
Ë
Ë
MïíÜäåò ìÝôñçóçò ìÞêïõò: ìåôáôñïðÝò (á)
• Ôï ìÞêïò êÜèå ðëïêáìéïý ôçò áñêôéêÞò ìÝäïõóáò öôÜíåé ôá 0,003÷ì. Þ ...... ì.
• Ôï ÷åëéäüíé ìðïñåß íá äéáíýóåé êÜèå ÷ñüíï 38,5 ÷éëéÜäåò ÷ì. Þ .................... ì.
• Ôï ðéï ìåãÜëï âáôñÜ÷é Ý÷åé ìÞêïò 0,3ì. Þ ...... åê.
• Ï îéößáò, ðïõ ìðïñåß íá Ý÷åé ìÞêïò
35 .
10
µ Þ ........ åê., åßíáé Ýíá øÜñé ðïõ ôï ìõôåñü ôïõ ñýã÷ïò
ìïéÜæåé ìå óðáèß.
• Ç íõößôóá æåé óôï äÜóïò êáé ôï ìÞêïò ôçò öôÜíåé óôá 0,26ì. Þ ...... åê.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ä
3
38.500.000
30
350
26

176
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò á
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò â
31. MïíÜäåò ìÝôñçóçò ìÞêïõò: ìåôáôñïðÝò (â)
¢óêçóç á
Óõìðëçñþóôå ôá êåíÜ:
• 4,16ì. 41,6åê • 7,35÷ì. 73500ì.
545,5ì.
........... ÷ì. ......ì.
0,545
0,5
..........åê.
54.550
..........÷ì.
0,5455
........... äåê.
5.455
• Óôçí Åõñþðç ðåñßðïõ 4,5 åêáô. Üôïìá æïõí üëï ôï ÷ñüíï óôï âïõíü, óå õøüìåôñï áíÜìåóá
óå 0,8÷ì. ( ...... ì.) êáé 2,2÷ì. ( ........ ì. ).
• Ïé Üíèñùðïé êáëëéåñãïýí óßêáëç óå õøüìåôñï ìÝ÷ñé 1,8÷ì. Þ ........ ì.
• Ôï ãéáê åßíáé Ýíá åßäïò ìéêñïý âïåéäïýò ðïõ æåé óå õøüìåôñï áíÜìåóá óôá 3÷ì. Þ ........ ì. êáé
4÷ì. Þ ........ óôá âïõíÜ ôïõ ÈéâÝô.
800 2200
1800
3000
4000

177
ëýóç
MïíÜäåò ìÝôñçóçò ìÞêïõò: ìåôáôñïðÝò (â)
ÌåôáôñÝðù ôïõò áñéèìïýò Ýôóé þóôå íá Ý÷ïõí ßäéåò ìïíÜäåò ìÝôñçóçò.
• 4,16ì. = ( 4,16 ÷ 100 ) åê. = 416åê.
¢ñá 416åê. > 41,6åê. äçëáäÞ 4,16ì. > 41,6åê.
• 7,35÷ì. = ( 7,35 ÷ 1000 ) ì. = 7350ì.
¢ñá 7350ì. < 73500ì. äçëáäÞ 7,35÷ì. < 73.500ì.
Ôá 3,16÷ì. åßíáé 3,16 ÷ 1000 = 3160ì.Ïðüôå åßíáé 3,16ì. < 3160ì.
Ôá 0,75÷ì. åßíáé 0,75 ÷ 1000 = 750ì. Ïðüôå åßíáé 7,5ì. < 750ì.
Óôçí ðñþôç ðåñßðôùóç ç äéáöïñÜ åßíáé 3160 - 3,16 = 3156,84ì.
Óôçí äåýôåñç ðåñßðôùóç ç äéáöïñÜ åßíáé 750 - 7,5 = 742,5ì.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçòã
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ä
1ïò
óå: 3ì.
óå: 300åê.
óå: 0,003÷ì.
2ïò
óå: 4ì.
óå: 400åê.
óå: 0,004÷ì.
3ïò
óå: 5ì.
óå: 500åê.
óå: 0,005÷ì.
Ï 3ïò
ôïß÷ïò åßíáé ï ìåãáëýôåñïò.
¸÷ù: 3ì. < 4ì. < 5ì.

178
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò å
• ........ ÷éë.
• ........ åê.
• ........ äåê.
462
46,2
4,62
MïíÜäåò ìÝôñçóçò ìÞêïõò: ìåôáôñïðÝò (â)
• ........ ÷éë. Þ
• ........ åê. Þ
• ........ äåê.
48
4,8
0,48
• ........ ÷éë. Þ
• ........ åê. Þ
• ........ äåê.
126
12,6
1,26
• ........ ÷éë. Þ
• ........ åê. Þ
• ........ äåê.
120
12
1,2
• ........ ÷éë. Þ
• ........ åê. Þ
• ........ äåê.
294
29,4
2,94
• ........ ÷éë.
• ........ åê.
• ........ äåê.
264
26,4
2,64
¢óêçóç â
Âñßóêù ôïõò áñéèìïýò ðïõ ëåßðïõí:
• 0,345äåê. ÷ ...... = 34,5÷éë. • 0,345åê. ÷ ...... = 3,45÷éë.
•0,345ì. ÷ ...... = 345÷éë.
ëýóç
ÌåôáôñÝðù:
• ôá äåê. óå ÷éë. 0,345xéë. ÷ 100 = 34,5÷éë.
• ôá åê.óå ÷éë. 0,345÷éë. ÷ 10 = 3.45÷éë.
• ôá ì. óå ÷éë. 0,345÷éë. ÷ 1000 = 345÷éë.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò óô
2,5äåê. ÷ ........ = 250÷éë.
2,5÷ì. ÷ ........ = 2.500ì.
0,25ì. ÷ ........ = 2,5äåê.
100
1000
10

Έντεκα μηνών
Ημερομηνία:
Βάρος: [Βάρος[ Ύψος: [Ύψος]
Σημειώσεις:
[Τοποθετήστε φωτογραφίες εδώ]

Μαθηματικά Ε΄ 4.27. ΄΄Πολλαπλασιασμός κλασμάτων - Αντίστροφοι αριθμοί΄΄

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Μαθηματικά Ε΄ 4.27. ΄΄Πολλαπλασιασμός κλασμάτων - Αντίστροφοι αριθμοί΄΄

Similar to Μαθηματικά Ε΄ 4.27. ΄΄Πολλαπλασιασμός κλασμάτων - Αντίστροφοι αριθμοί΄΄ (20)

More from Χρήστος Χαρμπής

More from Χρήστος Χαρμπής (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Μαθηματικά Ε΄ 4.27. ΄΄Πολλαπλασιασμός κλασμάτων - Αντίστροφοι αριθμοί΄΄