Інтеграл та його застосування

1. Алгебра 12 клас № уроку дата:
Тема: Застосування інтеграла до обчислення площ геометричних фігур
Мета
:
систематизувати знання учнів з теми „Інтеграл та його застосування”, продовжити
відпрацьовувати вміння та навички використання отриманих знань під час
розв’язування вправ на знаходження невизначених та визначених інтегралів,
обчислення площ криволінійних фігур; підготувати учнів до тематичної контрольної
роботи; розвивати логічне мислення, сприяти свідомому застосуванню вивченого
матеріалу при розв’язуванні вправ; виховувати інтерес до процесу навчання, вміння
звертатися до власного досвіду, культуру математичної мови і записів.
Тип уроку: урок систематизації знань, вмінь та навичок.
Обладнання: таблиці первісних та „Правила інтегрування».
ДЕВІЗ УРОКУ: „Світ, що нас оточує – це світ інтегрального і диференціального
числення. Тож давайте його пізнавати”
Х. Гюйгенс
ХІД УРОКУ
І. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ МОМЕНТ
Добрий день. Щоб розпочати урок, скажіть мені, будь-ласка, слово-ключ, яке допоможе відкрити
вам двері до „Країни знань”. (Учні називають терміни, які вони вивчили протягом теми. Названі
терміни є „дозволом” для кожного учня взяти участь в уроці. Використати метод „Мікрофон”).
ІІ. МОТИВАЦІЯ НАВЧАЛЬНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ
Сьогодні на уроці ви пригадаєте та систематизуєте матеріал, що вивчали з теми „Інтеграл та його
застосування”, будете розв’язувати різноманітні вправи, у тому числі і нестандартного характеру, на
знаходження інтегралів та обчислення площ криволінійних фігур з використанням отриманих знань. Це
і буде метою нашого уроку. Відповідно до загальної мети, кожен із вас повинен поставити перед собою
цілі, над досягненням яких буде працювати на сьогоднішньому уроці.
Отже, відкрили зошити, записали дату і тему уроку „Застосування інтеграла для обчислення площ
геометричних фігур”.
ІІІ. ПЕРЕВІРКА ДОМАШНЬОГО ЗАВДАННЯ
Перевірити правильність виконання домашнього завдання за записами, зробленими на дошці до
початку уроку. Відповісти на питання, які виникли під час розв’язування вправ.
№ 18. а) .);.(
3
2
6
3
20
12
80
12
1
12
81
1
3
123
1 4
3
3
1
одкв
x
dxхS ===−=== ∫
в) )..(4ln
5,0
2
ln5,0ln2ln
5,0
2
ln
1
2
5,0
одквxdx
х
S ==−=== ∫
ІІІ. ПОВТОРЕННЯ ТА СИСТЕМАТИЗАЦІЯ ЗНАНЬ
Девізом нашого уроку будуть слова голландського вченого Х. Гюйгенса „Світ, що нас оточує – це
світ інтегрального і диференціального числення. Тож давайте його пізнавати”.
АКТУАЛІЗАЦІЯ ОПОРНИХ ЗНАНЬ
Фронтальне опитування із завданнями:
1. Вставте пропущені вирази:
Відповідь: x ;
x2
cos
1
; ex
.
7
x ? tgx ? xsin
6
7x
х2
1
? x
e xcos

2. Які операції виконували?
2. Що називається інтегруванням? диференціюванням?
3. Що називається первісною функції?
4. Хто ввів термін первісна у математику?
(Жозеф Луї Лагранж у 1797 році).
Завдання:
№ 1. Доведіть, що функція F є первісною для функції f на проміжку (– ∞; ∞):
;12)( 3
+−= xxxF .23)( 2
−= xxf
Розв’язання.
)(23)12()( 23
xfxxxxF =−=′+−=′ для всіх х з проміжку (– ∞; ∞).
№ 2. Знайдіть загальний вигляд первісних для функцій:
а) ;cos)( xxf = б) ;)( 4
xxf = в) .
1
)(
x
xf =
Відповідь: а) ;sin)( CxxF += б) ;
5
)(
5
C
x
xF += в) .2)( CxxF +=
5. Що називається невизначеним інтегралом функції?
6. Хто ввів символ ∫ і поняття невизначеного інтеграла?
(Готфрід Вільгельм Лейбніц у 1675 році).
Завдання:
№ 3. Знайдіть невизначені інтеграли:
а) ∫ ;
1
dx
х
б) ∫ ;dxа
х
в) .
sin
1
2
dx
x∫
Відповідь: а) ;ln Cx + б) ;
ln
C
a
a x
+ в) .Cctgx +−
№ 4. Чи правильно розв’язана вправа? Відповідь обґрунтуйте, використовуючи метод ПРЕС.
а) ;32
∫ += Cxdxх б) .
7
7
6
∫ += C
x
dxх Відповідь: а) ні, б) так.
7. Що є криволінійною трапецією?
Завдання:
№ 5. Які з фігур, що подані на малюнках, є криволінійними трапеціями?
а) б) в) г)
д) е)
Відповідь: Криволінійні трапеції подані на малюнках а), в), е).

3. 8. Що називається визначеним інтегралом?
9. Запишіть формулу Ньютона – Лейбніца.
10. Хто ввів позначення dxxf
b
a
∫ )( в математику?
(Жан Батист Жозеф Фур’є у 1799 році).
ІV. ПОВТОРЕННЯ, УЗАГАЛЬНЕННЯ ТА СИСТЕМАТИЗАЦІЯ ВМІНЬ ТА НАВИЧОК
Групові диференційовані завдання (одночасно для трьох груп).
Перша і третя групи виконують завдання самостійно, а друга працює усно з учителем.
І ряд – І група ІІ ряд – ІІ група ІІІ ряд – ІІІ група
(індивідуальні тестові завдання з
використанням програмованого
контролю)
(фронтальна робота)
усно
(робота в парах)
з використання технології
„Дерево розв’язань”
Завдання для І групи
(індивідуальні тестові завдання з використанням програмованого контролю)
І варіант
№1. Загальний вигляд первісної для функції
4
)( xxf = є:
а) ;
4
4
C
x
+ б) ;
5
5
C
x
+ в) ;
4
5
C
x
+ г) .
5
4
C
x
+
№2. Знайдіть невизначений :
cos
1
2
dx
x
∫
а) ;Cctgx + б) ;sin Cx +− в) ;Ctgx + г) .cos Cx +
№3. Обчисліть інтеграл :
4
0
xdx∫
а) 8; б) 4; в) 3; г) 2.
№4 Обчисліть інтеграл :
18
8
1
0
dx
x +
∫
а) 5; б) 8; в) 2; г) 4.
№5. Запишіть у вигляді визначеного інтеграла площу фігури, обмежену лініями
у = x2
; x = 2; x = 4; y = 0:
а) ;2
4
2
dxx∫ б)
;2
2
0
dxx∫ в)
;2
2
4
dxx∫ г) інше.
ІІ варіант
№1. Загальний вигляд первісної для функції
5
)( xxf = є:
а) ;
5
5
C
x
+ б) ;
6
6
C
x
+ в) ;
5
6
C
x
+ г) .
6
5
C
x
+
№2. Знайдіть невизначений ∫ :
sin
1
2
dx
x

4. а) ;Ctgx + б) ;cos Cx + в) ;Cctgx +− г) .sin Cx +−
№3. Обчисліть інтеграл
:2
3
0
dxx∫
а) 9; б) 3; в) 27; г) 6.
№4. Обчисліть інтеграл :
97
7
1
0
dx
x +
∫
а) 7; б) 8; в) 6; г) 2.
№5. Запишіть у вигляді визначеного інтеграла площу фігури, обмежену лініями
у = x3
; x = 1; x = 3; y = 0:
a)
;3
3
1
dxx∫ б)
;3
3
0
dxx∫ в)
;2
1
3
dxx∫ г) інше.
Таблиця відповідей для обох варіантів:
Прізвище, ім’я:
№№ а б в г
1 +
2 +
3 +
4 +
5 +
(Коментарі. Під час програмованого контролю перевірку тестових завдань можна здійснити за кілька
хвилин. Заготовляєте тестові бланки однаково формату для учнів і один для себе. На вчительському
варіанті наносите правильні відповіді, вони повинні збігатися для обох варіантів. Потім шляхом
накладання бланків один на один і проколювання в місцях, де стоять „+”, ви відразу дізнаєтеся чи
правильно учень відповів на питання і зможете здійснити корекцію знань).
Завдання для ІІ групи
(фронтальна робота, усне опитування )
№ 1. Запишіть у вигляді визначеного інтеграла площі фігур, що обмежені лініями:
а) у = х2
; х = 2; х = 4; у = 0; б) у = sin х; х = 3
π
; х = 2
π
; у = 0.
Відповідь: а) ;
4
2
2
dxx∫ б) .sin
2
3
∫
π
π
xdx
№ 2. Обчислити інтеграли:
а) ∫
1
0
;xdx б) ∫
2
0
;
2
dx
х
в) ;
5
1
∫dx г) ;
cos
4
0
2∫
π
x
dx д) .sin
2
0
∫
π
xdx
Відповідь: а)
2
1
; б) 1; в) 4; г) 1; д) 1.
Завдання для ІІІ групи
(робота в парах з використання технології „Дерево розв’язань”)
Запишіть за допомогою інтеграла площу
фігури, зображеної на рисунку та обчисліть її.
(Робота на окремих аркушах з клейкою
Відповідь:

5. кінцівкою).
.)..(
3
1
2
3
7
3
1
3
8
1
2
3
2
1
3
2
одкв
x
dxхS ==−=== ∫
V. КОЛЕКТИВНЕ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ВПРАВ НА ЗАКРІПЛЕННЯ
(методом мозкового штурму)
Завдання № 1. Запишіть у вигляді інтеграла площі фігур, зображених на малюнках:
а) б)
Відповідь: ∫ ∫−
+=
0
3
2
0
;)()( dxxgdxxfS Відповідь: ∫ ∫− −
−=
4
1
4
1
;)()( dxxgdxxfS
в) Відповідь:
∫ ∫ ∫
−
− − −
−+=
1
4
4
1
4
4
.)()()( dxxtdxxgdxxfS
Завдання № 2. Знайдіть площу фігури, обмеженої графіками функцій у = 5 – х2
і у = 3 – х.
Розв’язання.
Зобразимо на координатній площині фігуру, площу якої
треба знайти.
Лінія у = 5 – х2
– парабола з вершиною в точці (0; 5), вітки
якої напрямлені вниз.
Лінія у = 3 – х – пряма, що проходить через точки з
координатами (0; 3), (3; 0).

6. Знайдемо абсциси точок перетину заданих ліній, розв’язавши рівняння:
5 – х2
= 3 – х;
– х2
+ х + 2 = 0;
х2
– х – 2 = 0;
х1= – 1; х2 = 2.
Знайдемо площу фігури за формулою:
;ABCDAmBCD SSS −=
.);.(12315
3
1
5
3
8
10
3
1
5
3
8
10
1
2
3
5)5(
2
1
3
2
одкв
x
xdxхSAmBCD =−=−+−=





+−−





−=
−





−=−= ∫−
( ) .)..(
2
1
7
2
1
34
2
1
326
1
2
2
3)3(
2
1
2
одкв
x
xdxxSABCD =+=





−−−−=
−





−=−= ∫−
Отже,
.)..(
2
1
4
2
1
712 одквS =−=
Відповідь. .)..(
2
1
4 одкв
Завдання № 3. Обчисліть площу фігури за даними, поданими на рисунку.
Розв’язання.
Знайдемо площу фігури, зображеної на рисунку:
( ) .)..(
6
5
2
1
12
3
1
2
2
1
420
3
1
1
2
2
20
1
3
)2(
21
0
2
1
3
2
одквx
xx
dxxdxхS =−+=











+−−+−+





−=





+−+=+−+= ∫ ∫
Відповідь. ..
6
5
одкв
VІ. Підсумок уроку. Рефлексія
Сьогодні на уроці ви пригадали і систематизували вивчений
раніше матеріал з теми „Інтеграл та його застосування”. Це все вам
допоможе вам під час виконання контрольної роботи, що відбудеться
на наступному уроці.
Також на початку уроку ви ставили перед собою цілі, над
якими працювали індивідуально. Розкажіть, чи досягли ви
поставленої перед собою мети? Чим сподобався і запам’ятався вам
цей урок? Чи вдалося вам заповнити прогалини в знаннях?
(Використати „Метод незакінчених речень”. Учні працюють з
відкритими реченнями: „На початку уроку я поставив перед собою
мету і досягнув її …”, „Цей урок мені запам’ятався …”, „На уроці
мені сподобалося…”).
VІІ. Оголошення оцінок
Оцінки сьогодні отримали наступні учні...
VІІІ. Домашнє завдання
§ 4, п. 4, № 11 (1).