історичні відомості про прогресії

1. Арифметична іАрифметична і
геометричнагеометрична
прогресіїпрогресії
ТЕМ
А
ТЕМ
А
РозділРозділ IIII
““Математичне минуле”Математичне минуле”
П
ІДТЕМ
А
П
ІДТЕМ
А

2. ІсторичніІсторичні
відомості провідомості про
прогресіїпрогресії

3. • Слово “прогресія” походить від
латинського слова “progressio” і означає
“рух уперед” (як і слово “прогрес”).
Уперше цей термін
як математичний
вживається у працях
римського вченого
Боеція (V - VIст.).

4. Прогресії як часткові
види числових
послідовностей,
трапляються в папірусах
ІІ тисячоліття до н. е.
• Перші із задач на прогресії, що дійшли
до нас, пов’язані з господарською
діяльністю, а саме – з розподілом
продуктів, поділом спадку тощо.

5. Найдавнішою задачею, пов’язаною з
прогресіями, вважають задачу з
єгипетського папірусу Ахмеса:
• “Нехай тобі сказали:
розділи десять мір
ячменю між 10
чоловіками так, щоб
різниця між кожним
чоловікомі його
сусідом становила 1/8
міри ячменю ”.

6. У папірусі подається не тільки
текст задачі, але й пропонується
правило для обчислення частки
першої з десяти осіб.
• Це правило,
виражене мовою
сучасних формул,
має вигляд:
)1(
2
1 −−= n
d
n
S
a

7. Задача із
папірусу Рінда
“Є 7 будинків, в кожному будинку по 7 котів, кожен
кіт з’їдає 7 мишей, кожна миша з’їдає по 7 колосків
ячменю, кожен колосок, якщо посіяти зерно з
нього, дає 7 мір ячменю. Знайти суму загального
числа будинків, котів, мишей, колосків і мір”.

8. У папірусі дано два
розв’язання цієї задачі:
ПЕРШЕ –
безпосереднім
множенням і
наступним
додаванням членів
послідовності:
5432
77777 ++++
ДРУГЕ –
множенням числа
2801 на 7. Число 2801
дістають в результаті
додавання
432
77771 ++++
Загальної формули суми членів
геометричної прогресії навіть для
випадку єгиптяни, очевидно
не знали.
qb =1

9. Ця стародавня задача на геометричну
прогресію не раз зустрічається в
різних народів з дещо зміненим
текстом.
Зустрічається вона і серед
древньоруських народних задач.
“ Іде 7 баб; у кожної баби по 7 палиць; на
кожній палиці по 7 сучків; на кожному сучку по
7 кошиків; у кожному кошику по 7 горобців, у
кожного горобці по 7 . Скільки всього
предметів?”

10. З досліджень вавилонських клинописних
текстів епохи Хаммурані (XVIII cт. до н.
е.) бачимо, що і в стародавньому Вавилоні
розв’язування деяких питань
господарського і наукового характеру
приводимо до арифметичної і
геометричної прогресії.

11. Ось одна з таких задач
“10 братів; 1 2/3 міни срібла; брат над братом
піднімається; на скільки піднімається, я не знаю.
Частка восьмого 6 мехелів. Брат над братом на
скільки піднімається?”
(1 2/3 міни становлять 100 мехелів).

12. В епоху Хаммурані вавилонські
математики мали уявлення і про
геометричну прогресію. Знайдено
глиняну дощечку з клинописним
текстом, який розшифрував один
англієць – ассіролог.

13. Цей текст розповідає про те, яка
частина місячного круга
освітлена сонцем кожного з
п’ятнадцяти днів від молодика
до повного місяця. Збільшення
освітленої частини місячного
круга протягом перших п’яти
днів відбувається за законом
геометричної прогресії із
знаменником 2, а в наступні
десять днів – за законом
арифметичної прогресії з
різницею 16.

14. У Стародавній Греції в часи Евкліда і Архімеда (ІІІ ст. до н. е.)
властивості прогресій розглядались не лише при розв’язуванні
практичних задач, але й у зв’язку з теоретичними
дослідженнями. Так, у книзі Евкліда “Начала” подається
формула суми трьох членів геометричної прогресії.

15. АНГЛІЯ XVIII століття
В XVIII ст. в англійських підручниках
з’явилися позначення арифметичної і
геометричної прогресії.
•
•
Арифметична Геометрична
••
••

16. У нас задачі на прогресії
вперше зустрічаються в
одній з найдавніших
пам’яток руського права, в
“Руській правді”, складеній
при Ярославі Мудрому в ХІ
столітті.

17. Там є стаття, присвячена обчисленню
приплоду від 22 овець за 12 років, при умові,
що кожна вівця щорічно приносить одну
овечку і одного барана.
Там же можна прочитати складений сільським
господарем цікавий розрахунок приплоду за
12 або 9 років від усієї худоби і бджіл його
села, прибутку від посіяних хлібів і п’яти
скирт сіна, а також розрахунок плат за
дванадцятирічну сільську роботу жінки з
дочкою

18. Зустрічаються прогресії і в російських
математичних рукописах
XV – XVII cтоліть
Ось одна з таких задач:
“Було 40 міст, а в кожному місті по 40
вулиць, а на кожній вулиці по 40 домів, а в
кожному домі по 40 стовпів, а на кожному
стовпі по 40 кілець, а біля кожного кільця
по 40 коней, а біля кожного коня по 40
чоловік, а в кожного чоловіка по 40 батогів.
Чи багато їх всього було?”

19. Значна кількість задач на прогресії міститься в чудовій
пам’ятці математичної літератури початку XVIII cт.
“Арифметиці” Л. П. Магніцького.
Протягом півстоліття ця книга була основним
математичним підручником в Росії. М.В. Ломоносов
дуже високо цінив книгу Л.П. Магніцького,
називаючи її “вратами ученості”.

20. Зі знаходженням суми членів арифметичної прогресії
пов’язана така цікава історія. Відомий німецький
математик Карл Гаусс (1777 - 1875) ще у школі
виявив блискучі математичні здібності. Якось
учитель запропонував учням знайти суму перших ста
натуральних чисел. Маленький Гаусс розв’язав цю
задачу за хвилину. Зміркувавши, що суми 1+100, 2+99
і т. д. рівні, він помножив 101 на 50, тобто число таких
сум. Інакше кажучи, він помітив закономірність, яка
властива арифметичній прогресії.

21. Давно неабиякою популярністю користується
задача-легенда, яка належить до початку нашої
ери. Індійський мудрець, який придумав гру в
шахи, попросив за свій винахід у раджі, на
перший погляд, скромну винагороду: за першу
клітинку шахової дошки 1 пшеничне зернятко, за
другу – 2, за третю – 4 і т. д. – за кожну наступну
клітинку вдвічі більше, ніж за попередню.

22. Складемо послідовність чисел
1, 2, 4, 8, 16 …
Дана послідовність є геометричною
b1 = 1, q = 2, n = 64.
S64 - ?
12
12
)12(1 64
64
64 −=
−
−
=S
Загальна кількість зерен, яку
попросив винахідник,
дорівнює S64=264
-1

23. Багатий раджа був
приголомшений, коли
дізнався, що він не в змозі
задовольнити це “скромне”
бажання.
Справа в тому, що значення
виразу 264-1 дорівнює
18446744073709551615.
Для того, щоб зрозуміти, наскільки
величезним є це число, уявимо, що зерно
зберігають у коморі площею 12 га. Її висота
була б більшою за відстань від Землі до Сонця.